VERIFICATION DE LA LOI DES GAZ PARFAITS

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1 TGp 1 VERIFICATION DE LA LOI DES GAZ PARFAITS 1 THEORIE 1.1 Le gaz parfait et son équation d état L état d une certaine masse m de substance de composition donnée est déterminé lorsque sont connues 2 des 3 grandeurs d état (la pression p, le volume V et la température T). Autrement dit, il existe pour chaque substance une relation entre ces grandeurs, appelée équation d état, que l on peut mettre sous la forme: f(m,p,v,t) = 0. (1) Cette relation est généralement compliquée. Cependant, lorsqu on est en présence d un gaz suffisamment dilué, p, V et T vérifient la relation: avec: - R : constante des gaz parfaits R = 8,314 [J/mol K] - p : pression en Pa - V : volume en m 3 - T : température en K pv=nrt (2) - n : quantité de gaz exprimée en moles, que l on relie à la masse par l intermédiaire de la relation n = m (M), (M) désignant la masse d'une mole de gaz. Dans ce cas, le gaz est dit parfait, et l équation (2) est appelée équation d état des gaz parfaits. Du point de vue microscopique, le gaz est parfait si ses molécules n interagissent pas.

2 TGp 2 L équation (2) appliquée à trois états quelconques, numérotés de 1 à 3, d une même quantité n de gaz peut s écrire: p 1 V 1 T 1 = p 2 V 2 T 2 = p 3 V 3 T 3 = nr = constante. (3) 1.2 Les trois lois particulières du gaz parfait Si l on maintient constante l une des 3 variables p,v,t, on obtient une relation entre les 2 autres: c est l une des 3 lois particulières du gaz parfait, lois qui sont toutes contenues dans la relation (2) Loi de Boyle-Mariotte (température constante) Si la température est maintenue constante (T 1 = T 2 = T 3 ), alors l équation (3) se réduit à: p 1 V 1 = p 2 V 2 = p 3 V 3 = nrt 1 = constante. (4) Première loi de Gay-Lussac (pression constante) Si la pression est constante (p 1 = p 2 = p 3 ), alors le volume V occupé par le gaz est proportionnel à sa température absolue T: V 1 T 1 = V 2 T 2 = V 3 T 3 = nr p 1 = constante. (5) On peut mettre cette loi sous une autre forme. Introduisons le coefficient de dilatation thermique à pression constante α: α = 1 V V T ; (6) p α correspond à la variation relative de volume par degré, à pression constante. A l aide de la relation (2), on montre que, pour un gaz parfait: α = 1 T. (7) Soit V et V 1, les valeurs du volume correspondant aux températures T et T 1 ; si les deux grandeurs V = V V 1 et T = T T 1 sont petites, on peut définir, autour de l état (T 1, V 1 ), le coefficient moyen suivant:

3 TGp 3 α 1 = 1 V. (8) V 1 T p Alors, autour de l état (T 1, V 1 ), l équation (5) s approxime par: V = V 1 (1+α 1 T) avec α 1 = 1 T 1. (9) Cette approximation est d autant meilleure que la température T 1 est élevée Deuxième loi de Gay-Lussac (volume constant) Si le volume est constant (V 1 = V 2 = V 3 ), alors la pression p exercée par le gaz est proportionnelle à sa température absolue T: p 1 T 1 = p 2 T 2 = p 3 T 3 = nr V 1 = constante. (10) De manière tout à fait analogue à 1.2.2, on introduit le coefficient de variation thermique de pression à volume constant β: avec β = 1 p (11) p T v β = 1 T ; (12) β représente la variation relative de pression par degré à volume constant; on remarquera que, pour un gaz parfait, on a l égalité α = β. On peut approximer la deuxième loi de Gay- Lussac par p = p 1 (1+β 1 T) (13) où β 1 est donné par (12) à la température T 1.

4 TGp 4 2 MANIPULATION 2.1 Vérification de la loi de Boyle-Mariotte Appareil utilisé L appareil à disposition permet de vérifier la loi de Boyle-Mariotte et la deuxième loi de Gay-Lussac. Il est constitué essentiellement de deux parties, soit d un ballon de verre contenant le gaz à étudier et pouvant être chauffé, et et d un manomètre à mercure dont la forme est représentée sur la figure 1. Pour la vérification de la loi de Boyle-Mariotte, le ballon de verre n est pas utilisé. Un robinet R permet d enfermer une certaine quantité d air dont le volume V, dépendant de sa pression p, peut être modifié par déplacement vertical du réservoir B. La pression p est donnée (en Pa) par la relation: p = p atm +ρgh (14) où p atm désigne la pression atmosphérique, ρgh la pression de la colonne de mercure, ρ étant la densité du mercure, g l'accélération de la pesanteur et h la différence de hauteur entre les deux niveaux de mercure (voir la figure 1). R B V h Hg Figure 1. Montage expérimental pour la vérification de la loi de Boyle-Mariotte. La température de l air enfermé dans le volume V reste constante (transformation isotherme) pour autant que le volume ne varie pas trop rapidement. Elle est égale à la température de l air ambiant. Cette partie de l appareillage permet donc la vérification de

5 TGp 5 loi de Boyle-Mariotte. En cas de variation rapide du volume, les échanges de chaleur avec l extérieur sont insuffisants pour maintenir T constante Mesures Lorsque le robinet R est ouvert, le mercure est au même niveau des 2 côtés du tube en U, la pression à ce niveau étant égale à la pression atmosphérique. En fermant le robinet R on isole un volume V 0 mesurable directement en cm 3 sur le tube gradué. Enlevez le bouchon du réservoir B avant de commencer les manipulations. En déplaçant le réservoir B, on modifie le niveau du mercure et on obtient de nouvelles valeurs pour le volume V et la pression p de l air enfermé. Répétez l opération pour une demi-douzaine de valeurs du volume. Prenez garde à bien régler les niveaux de mercure (ajustez les repères) Présentation des résultats des mesures Reportez, dans un tableau, les volumes mesurés avec leurs incertitudes absolues et relatives, les différences de niveaux h avec leurs incertitudes absolues, les pressions correspondantes avec leurs incertitudes absolues et relatives et les produits pv avec leurs incertitudes relatives et absolues. Indiquez, en haut de chaque colonne, l unité utilisée. Portez, sur un graphique, les produits p V en fonction de la pression, ainsi que les rectangles d'incertitudes. Aux incertitudes près, les points doivent être situés sur une même droite. Si ce n est pas le cas, expliquez-en la raison. 2.2 Vérification de la deuxième loi de Gay-Lussac Appareillage Dans cette expérience, le gaz à étudier est contenu dans un ballon de verre immergé dans un réservoir qu'il ne faudra pas oublier de remplir d eau avant l'expérience. Le robinet R reste toujours ouvert (à ne pas confondre avec le robinet S). Au début de l expérience, le niveau de mercure doit être amené aux environs du point P (le plus haut point encore visible) en élevant le réservoir B, après avoir ouvert le robinet S. Le niveau de mercure est plus bas dans le capillaire que dans B à cause de la

6 TGp 6 capillarité. Cette différence, d'autant plus importante que le capillaire est fin, peut être déterminée avec la loi de Jurin, mais ce calcul ne sera pas nécessaire. En fermant le robinet S, on isole une masse de gaz déterminée qui occupe le volume V (le volume contenu dans le capillaire est négligeable). Si l on chauffe l eau (ne pas oublier de remplir d eau) au moyen du corps de chauffe C, la température T du gaz va augmenter et le gaz va se dilater. Afin de garder constant le volume V, il faut donc ramener le niveau du mercure au point P en élevant le réservoir B. La différence h des niveaux du mercure dans les 2 branches permet alors de déterminer la pression p du gaz dans le ballon. Agitateur T S B V h P Capillaire R C Figure 2. Montage expérimental pour la vérification de la deuxième loi de Gay- Lussac. Remarque: Il est nécessaire que la température à l intérieur du bain soit homogène. Il faut donc, d'une part continuellement brasser l eau, et d'autre part attendre au moins 20 secondes après l arrêt du chauffage avant de mesurer T et h.

7 TGp Mesures Chauffez l eau et notez les pressions et températures correspondantes environ tous les 10 C. Comme les deux grandeurs varient assez rapidement, il sera peut-être nécessaire d encadrer la lecture de la pression par deux lectures de la température aussi voisines que possible dont la moyenne donnera la température correspondante à la pression p. Une conduite d eau permet ensuite de refroidir le bain. Effectuez des mesures analogues pour des températures décroissantes. Incertitudes Il faut distinguer entre les incertitudes de lecture et les incertitudes systéma-tiques. Ces dernières sont dues à deux causes. - Erreur due au volume de gaz hors du bain qu il faut évaluer. - Erreur due à la capillarité. Il est facile d en tenir compte lors de chaque mesure. Comment? Graphique Reportez sur un graphique les points (p,t), avec, en abscisse, la pression et, en ordonnée, la température (en C). Pour chaque mesure, tracez les rectangles d incertitude. Faites, à l'aide d'une calculatrice comportant un mode statistique, une régression linéaire à partir de ces points. Vous obtenez ainsi une relation entre p et T de la forme T = ap T o. Le coefficient a correspond à la pente de la droite. Quant à T o, c est l ordonnée à l origine. ; T o est la température (en C) qu atteindrait le gaz si sa pression pouvait être rendue nulle. Déterminez T o à partir de vos mesures et comparez votre résultat avec la valeur tirée d une table des constantes Calcul du coefficient Il est possible de déterminer expérimentalement la valeur du coefficient β. A partir de l équation (13), on obtient:

8 TGp 8 β 1 = 1 p 1 p p 1 T T 1. Calculez, à l aide de cette relation, le coefficient β pour 2 intervalles de température T = T T 1, l un obtenu à l aide des températures les plus basses, l autre à partir des températures les plus élevées de votre tableau. Comparez les valeurs obtenues avec celles prévues par la théorie du gaz parfait [relation (12)]. Tenant compte des incertitudes, tirez une conclusion concernant la légitimité de l hypothèse assimilant, dans les conditions d expérience, l air à un gaz parfait. 3 PLAN DE TRAVAIL 3.1 Loi de Boyle-Mariotte. - Etudiez le manomètre. - Modifiez le volume de gaz enfermé et déplacez le réservoir (en se référant à et 2.1.2). Faites une demi-douzaine de mesures. - Etablissez le graphique selon et vérifiez la constance de pv. 3.2 Deuxième loi de Gay-Lussac. - Etudiez l appareillage et faires les préparatifs décrits sous Faites des mesures à température croissante puis à température décroissante établissant simultanément le graphique selon Déterminez le coefficient T o selon et comparez à la valeur tabulée.. - Déterminez le coefficient β pour deux intervalles de température et comparez avec les valeurs prévues par la théorie du gaz parfait. Bibliographie - Burgeat, Grall et Loth, Physique et Biophysique, 1, page Sears, Zemansky et Young, University Physics, chap. 18