Chapitre 1. Définitions et concepts fondamentaux de la théorie des graphes

Transcription

1 Chapitre 1 Définitions et concepts fondamentaux de la théorie des graphes 1

2 Chapitre 2 Les plus courts Chemins : algorithme de Dijkstra 2.1 Rappels théoriques En théorie des graphes, l algorithme de Dijkstra sert à résoudre le problème du plus court chemin, c est-à-dire, trouver le chemin le plus court entre deux sommets d un graphe. Il permet, par exemple, de déterminer le plus court chemin pour se rendre d une ville à une autre connaissant le réseau routier d une région. Il s applique à un graphe connexe. De plus, cet algorithme est souvent réalisé à l aide d un tableau dans lequel chaque étape correspond à une ligne. Afin de résoudre les exercices, nous allons définir les notions suivantes : Le poids associé à l arête e est un nombre réel noté w(e). On considère que le poids associé à une arête est typiquement une longueur. Un graphe pondéré est un graphe pour lequel un poids est associé à chacune des arêtes. Le poids ou la longueur d un parcours est la somme des poids associés à chacune des arêtes qui le compose. d(u,v) = la longueur du plus court chemin du sommet u vers le sommet v du graphe. plusieurs hypothèses sont considérées : G est un graphe simple et tous les poids associés aux arêtes d un graphe sont 0. De plus par convention, le poids entre deux sommets qui ne sont pas adjacents est défini par w =. 2

3 Algorithme de Dijkstra S = sous-ensemble de V (= ensemble des sommets du graphe (V,E,ψ)) tel que u 0 S où u 0 est le sommet de départ. u = sommet considéré à chaque étape. l(v) = valeur associée à chaque sommet v. Initialement l(u 0 ) et l(v) = pour v u 0. INITIALISATION : l(u 0 ) = 0, l(v) = pour v u, S := u 0, u = u. BOUCLE (tant qu il reste des sommets hors de S) : pour chaque v S, l(v) = min(l(v),l(u )+w(u v)) trouver v min S tel que l(v min ) l(v) pour tout v S u := v min S := S {u } 2.2 Exercices Exercice 1 : Une compagnie admet 6 succursales dans chacune des 6 villes notées C 1,C 2,,C 6. Le prix d un vol direct de la ville C i à la ville C j est donné par la (i,j) ième entrée dans la matrice suivante ( signifie qu il n existe pas de vol direct) Quel est le parcours le moins cher pour aller de la ville C 1 à la ville C 3? 3

4 Exercice 2 : Trouver les distances à partir de a du graphe dirigé suivant : Exercice 3 : Un voyageur souhaite se rendre de Marseille au Futuroscope en train. D une carte du réseau TGV, il a extrait le schéma suivant : Les guides donnent par ailleurs les temps suivants : Marseille-Lyon : 1h50 Lyon-Paris : 2h15 St Pierre des corps-futuroscope : 30min Marseille-Paris : 3h Lyon-St Pierre des corps : 3h Futuroscope-Bordeaux : 2h10 Marseille-Toulouse : 3h Paris-St Pierre des corps : 1h Toulouse-Bordeaux : 2h10 Avec toutes ces informations, quel est le plus court chemin pour le voyageur s il veut aller de Marseille au Futuroscope? 4

5 Exercice 4 : Trouver, en appliquant l algorithme de Dijkstra au graphe suivant, le chemin minimal allant de S à E. Vérifier que le résultat obtenu n est pas correct. Pourquoi? Exercice 5 : Trouver, en appliquant l algorithme de Dijkstra au graphe suivant, le chemin minimal allant de 1 à 11. Exercice 6 : Un voyageur souhaite connaitre les chemins minimaux à partir de Namur vers certaines villes. Pour ce faire, il cherche sur google map la distance en km (sur route) entre les villes qu il souhaite visiter. Appliquer l algorithme de Dijkstra afin de répondre au souhait du voyageur. Namur Bruxelles Charleroi Ciney Andenne Kortrijk Gent Ostende Namur Bruxelles Charleroi Ciney Andenne Kortrijk Gent Ostende

6 Exercice 7 - Janvier 2013 HD : Albert souhaiterait se rendre le plus rapidement possible de Anvers à Kortrijk. Il connait les temps de parcours entre différentes villes et les a repris dans le tableau ci-dessous. Peux-tu lui indiquer le meilleur chemin à suivre? A B C D E F G H I J K Anvers 4 1 Bruxelles Charleroi Damme 5 3 Eeklo Fleurus Gembloux Hasselt Izegem Jodoigne Kortrijk Exercice 8 - Janvier 2013 HJ : Le graphe ci-dessous indique, sans respecter d échelle, les parcours possibles entre les sept bâtiments d une entreprise importante. Un agent de sécurité effectue régulièrement des rondes de surveillance. Ses temps de parcours en minutes entre deux bâtiments sont les suivants : AB = 16 minutes AG = 12 minutes BC = 8 minutes BE = 12 minutes BG = 8 minutes CD = 7 minutes CE = 4 minutes CG = 10 minutes DE = 2 minutes EF = 8 minutes EG = 15 minutes FG = 8 minutes Sur chaque arête, les temps de parcours sont indépendants du sens du parcours. 1) Montrer qu il est possible que l agent de sécurité passe une fois et une seule par tous les chemins de cette usine. Donner un exemple de trajet. 2) L agent de sécurité peut-il revenir à son point de départ après avoir parcouru une fois et une seule tous les chemins? Justifier la réponse. 6

7 3) Tous les matins, l agent de sécurité part du bâtiment A et se rend au bâtiment D. En utilisant un algorithme que l on explicitera, déterminer le chemin qu il doit suivre pour que son temps de parcours soit le plus court possible, et donner ce temps de parcours. Exercice 9 - Aout 2013 HD : La compagnie Europ Air dessert différentes villes. Le tableau ci-contre donne les durées de vol entre ces différentes villes. A B C D E F A 12 5 B C D E F Comment déterminer le trajet le plus rapide entre deux villes? 2. Déterminer le trajet le plus rapide de A à D et donner sa durée. 3. Donner toutes les propriétés du graphe. Exercice 10 - Aout 2013 HJ : La compagnie Europ Air dessert différentes villes. Le tableau ci-contre donne les durées de vol entre ces différentes villes. A B C D E F A 12 5 B C D E F Comment déterminer le trajet le plus rapide entre deux villes? 2. Déterminer le trajet le plus rapide de D à A et donner sa durée. 3. Comment modifier la méthode précédente afin de prendre en compte la durée des escales dans les différentes villes? 7