FICHE PÉDAGOGIQUE. Le bouquet. (adapté de CAMI :

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1 FICHE PÉDAGOGIQUE Le bouquet (adapté de CAMI : Ce printemps, Lisa aide souvent son père dans sa boutique de fleurs. Un jour, elle a dû composer un bouquet de 15 fleurs avec des marguerites et des roses pour un client, en s assurant de ne pas dépasser son budget de 50 $. Quels sont tous les arrangements que Lisa peut faire sachant qu une rose coûte 4 $ et une marguerite 2 $? D après vous, quelle combinaison est la plus belle et pourquoi? 1. INFORMATION PERTINENTE SUR LE PROBLÈME Pistes d exploitation du problème avec les élèves a) Liens avec la vie de tous les jours - Tous les cas où nous avons un budget fixe et où plusieurs items (à prix différents) peuvent être achetés. Par exemple : Matériel scolaire au début de l année Morceaux de sushis à acheter au restaurant b) Contextes dans lesquels les contenus touchés peuvent être utilisés - Résolution d équations et d inéquations - Problèmes d optimisation - La dernière question de ce problème est particulière, dans le sens où elle est très ouverte. Les élèves peuvent donc utiliser différents critères pour y répondre (goûts personnels, coût total, etc.). Par conséquent, les solutions peuvent varier d un élève à l autre. c) Sites Internet qui présente de l information supplémentaire Il est possible de voir l analyse d un problème semblable à l adresse suivante : %20Syst%C3%A8me%20%C3%A0%202%20%C3%A9quations.pdf

2 Allo prof Résoudre un problème d optimisation : d) Questions d objectivation Au début de la leçon, il serait important de s assurer que tous les élèves comprennent l énoncé. On peut, entre autres, faire le point sur : - les données (ce qu on sait); Quelles sont les données importantes dans ce problème? De quelles données a-t-on besoin pour résoudre ce problème? - le but du problème (ce qu on cherche). Explique-moi ce que tu comprends du problème. Il serait toutefois préférable, au début de l activité, de ne pas discuter explicitement de la façon de résoudre le problème afin de le garder ouvert le plus longtemps possible. Lors de différentes étapes d exploration, on peut poser des questions de clarification aux élèves : Pourquoi cette solution est-elle correcte? Peux-tu trouver une autre solution? Comment peux-tu valider la solution que tu as trouvée? Peux-tu me «prouver» que tu as raison? À la toute fin, il peut être intéressant d amener les élèves à comparer leurs solutions et à se questionner sur différents éléments : Es-tu d accord avec les solutions proposées par tes pairs? En quoi la stratégie que tu as utilisée diffère-t-elle de celle de tes pairs? 2. CONTENU D APPRENTISSAGE EN JEU Selon le niveau scolaire et les objectifs (résultats) d apprentissage visés, le problème peut mettre en valeur différents contenus dont : - Multiplication de nombres entiers - Addition de nombres entiers - Résolution d une équation algébrique (dépendamment de la solution présentée)

3 3. SOLUTIONS POSSIBLES La première question du problème, soit le nombre d arrangements que Lisa peut faire, a 11 solutions. Pour les trouver, on peut procéder par essais/erreurs ou encore modéliser la situation avec une inéquation. La deuxième question est, par sa nature, beaucoup plus ouverte que la première. Les élèves peuvent répondre en fonction de leur goût, du coût total le moins élevé, etc. Nombre d arrangements Solution 1 15 fleurs au total dans le bouquet Prix d une rose = 4 $ Prix d une marguerite = 2 $ Budget total = 50 $ Les fleurs les plus dispendieuses sont les roses. Puis-je faire un bouquet de 14 roses? 13 roses? Etc? 14 roses x 4 $/rose = 56 $ 13 roses x 4 $/rose = 52 $ 12 roses x 4 $/rose = 48 $ Je dois ajouter 3 marguerites pour avoir 15 roses : 3 marguerites x 2 $/marguerite = 6 $ 48 $ + 6 $ = 54 $ 11 roses x 4 $/rose = 44 $ Je dois ajouter 4 marguerites pour avoir 15 roses : 4 marguerites x 2 $/marguerite = 8 $ 44 $ + 8 $ = 52 $ 10 roses x 4 $/rose = 40 $ Je dois ajouter 5 marguerites pour avoir 15 roses : 5 marguerites x 2 $/marguerite = 10 $ 40 $ + 10 $ = 50 $ Cela fonctionne!!!

4 À partir de cela, je peux déduire que toutes les autres combinaisons de fleurs qui contiennent moins que 10 roses vont me permettre de ne pas dépasser mon budget. Tous les arrangements possibles sont donc : 1) 10 roses et 5 marguerites (50 $) 2) 9 roses et 6 marguerites (48 $) 3) 8 roses et 7 marguerites (46 $) 4) 7 roses et 8 marguerites (44 $) 5) 6 roses et 9 marguerites (42 $) 6) 5 roses et 10 marguerites (40 $) 7) 4 roses et 11 marguerites (38 $) 8) 3 roses et 12 marguerites (36 $) 9) 2 roses et 13 marguerites (34 $) 10) 1 rose et 14 marguerites (32 $) 11) 0 rose et 15 marguerites (30 $) Solution 2 Il est possible de modéliser ce problème avec une inéquation algébrique. 15 fleurs au total dans le bouquet Prix d une rose = 4 $ Prix d une marguerite = 2 $ Budget total = 50 $ Soit x = nombre de roses Alors (15 - x) = nombre de marguerites 4(x) + 2(15 - x) 50 4x x 50 4x - 2x x 20 x 10 Nous pouvons conclure qu il doit y avoir 10 roses ou moins dans le bouquet. À partir de cela, nous pouvons arriver aux 11 arrangements possibles (voir solution 1 pour la liste des arrangements).

5 Combinaison la plus belle Les réponses des élèves à cette question vont varier. Elles peuvent être basées entièrement sur des préférences (par exemple, un élève peut choisir l arrangement qui contient le plus de roses, car ce sont ses fleurs favorites) ou encore sur des éléments plus mathématiques, tel que le coût total du bouquet. Idéalement, il serait bien d amener la discussion vers des éléments mathématiques. Voici quelques exemples : - Choisir le bouquet qui n est composé que de marguerites, car ce bouquet est le moins dispendieux. - Choisir le bouquet qui est composé de 8 roses et 7 marguerites ou encore celui composé de 7 roses et 8 marguerites, car ces deux bouquets sont ceux qui s approchent le plus d un équilibre en ce qui a trait au nombre de fleurs de chaque sorte. - Choisir le bouquet composé d une rose et de 14 marguerites, afin de disposer la rose au centre et les marguerites autour. Nous pouvons alors parler du concept de symétrie. - La combinaison la plus belle peut également être déterminée en fonction de l arrangement des fleurs dans le bouquet (par exemple, si nous utilisons une régularité pour disposer les fleurs dans le bouquet). 4. DIFFÉRENCIATION a. Modification au problème pour les élèves qui éprouvent de la difficulté Modifications au problème initial - Diminuer le nombre de fleurs dans le bouquet. - Diminuer le montant du budget. - Donner un budget fixe et demander aux élèves de trouver une solution pour atteindre ce budget. Le problème est alors plus simple, car il n y a qu une seule bonne réponse.

6 Indices - Préciser le nombre de roses maximum que le bouquet peut contenir. L élève peut alors trouver les autres combinaisons à partir de cette information. - Encourager les élèves à visualiser les compléments suivants : Vidéo : Calcul d un coût avec le tableur Vidéo : Toutes les solutions du problème avec le tableur Outil : Créer son bouquet o Permet de trouver une solution avec la méthode essais/erreurs, tout en observant ce qui se passe avec le nombre de fleurs dans le bouquet et le montant total dépensé. b. Prolongement du problème pour les élèves doués - Modifications au problème initial Donner un budget pour lequel il y aura un reste, peu importe la combinaison choisie (ex. : 55 $). Si le budget doit être respecté, mais qu il n y a pas de contrainte en ce qui a trait au nombre de fleurs à acheter (c est-à-dire que le bouquet n a pas à contenir obligatoirement 15 fleurs), combien y a-t-il d arrangements possibles? Si le nombre de fleurs dans le bouquet doit être respecté, mais qu il n y a pas de contrainte de budget, combien y a-t-il d arrangements possibles? S il n y a pas de contraintes de budget et que le bouquet peut contenir n importe quel nombre de fleurs, combien y a-t-il d arrangements possibles? Il est possible de proposer des problèmes similaires dans un autre contexte : têtes et pattes; véhicules à deux roues et à quatre roues, etc.