Quadripôles/ Réponse en fréquence et diagramme de Bode

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1 Quadripôles/ Réponse en fréquence et diagramme de Bode Chapitre Dans ce chapitre la définition des quadripôles, leurs différents types ainsi que leurs paramètres sont étudiés. L analyse fréquentielle et le tracé des diagrammes de Bode des fonctions de transfert associées aux quadripôles sont présentés.

2 Faculté des Sciences Rabat

3 Quadripôles Définition Un quadripôle est une partie du réseau qui communique avec l extérieur par deux paires de bornes. Entrée Sortie Le courant qui rentre à chacun des dipôles doit être égal à celui qui en sort. Le quadripôle est caractérisé par les quatre grandeurs : v, v i, i 3

4 Différents types de quadripôles On peut classer les quadripôles linéaires en un certain nombre de catégories : R R v L C R 3 g v m L un quadripôle actif comporte des sources liées à des générateurs internes (Exemple: Cf. figure ci contre) L R R C R3 un quadripôle passif ne contient aucune source (cf. figure ci contre) L 4

5 L C C un quadripôle réactif est composé uniquement de bobines et capacités parfaites (voir exemple ci contre). L Paramètres d un quadripôle v, i, v, i Nous étudions des quadripôles linéaires : les quatre grandeurs sont liées par des relations linéaires. Les coefficients de ces relations sont appelés paramètres du quadripôle. 5

6 Ils permettent d exprimer les tensions en fonction des courants. v = zi + zi v = z i + z i Soit, sous forme matricielle : Z v z z i = v z z i Z est la matrice impédance du quadripôle 6

7 ' vt v v i i i = + = Z + Z ' = Z Z ( + ') ' v T v i v i i Z T 7

8 On les définit en exprimant les courants en fonction des tensions. i = yv + yv i = y v + y v Soit, sous forme matricielle : Y i y y v = i y y v Y= Z est la matrice admittance du quadripôle 8

9 ' it i i v v v = + = Y + Y ' = Y Y ( + ') ' i T i v i v v Y T 9

10 Ils permettent d exprimer la tension d entrée et le courant de sortie en fonction du courant d entrée et de la tension de sortie: v = h i + h v i = h i + h v On peut écrire ces deux équations sous forme matricielle : h v h h i = i h h v h est la matrice hybride du quadripôle 0

11 Une seconde combinaison entre les grandeurs donne fonction de v, i : i = gv + gi v = g v + g i i, v en On peut écrire ces deux équations sous forme matricielle : g i g g v = v g g i g= h Est aussi une matrice hybride du quadripôle

12 v i v i i v T ' T v ' ( ) = + h h' h h' ' = + v = + i T i i v v h

13 ' i ' v T T i i v g g ' v v = v = + ( ) ' = + = g + g ' v T T v v i i i = i g T 3

14 Ils définissent une relation entre les grandeurs d entrées ( de sorties ( v, i ) : v = Av Bi i = Cv Di Sous forme matricielle, on peut écrire : v i, ) et les grandeurs a est matrice chaîne. v A B v = i C D i a 4

15 ' ' v v v v = a = a ' = aa ' ' i i i a T i 5

16 Représentations d un quadripôle Il peut être utile dans un problème donné de remplacer un quadripôle par un schéma simple. On obtient ainsi les schémas suivants : + - i Z Z Z i Zi v i + v - i i + v Y v - Y v Y Y + v - i h i + h v hi v h v 6

17 Transformée de Laplace La transformée de Laplace d une fonction du temps Fréquence complexe : est une fonction de la est la transformée de Laplace de On écrit : La fréquence complexe est habituellement exprimée sous la forme. La transformée de Laplace est définie par : Une fonction admet une transformée de Laplace si : - Elle est continue par sections - Il existe un nombre réel et positif de sorte que l intégrale 7

18 Exemples u ( t ) r( t) Echelon t Rampe t Quelques Propriétés 8

19 9

20 Eléments de circuits et transformée de Laplace Les sources qu elles soient de tension ou de courant sont des fonction du temps. Leurs équivalents dans le domaine de fréquence complexe son leurs transformées de Laplace vs( t) + L + V ( ) s p i ( ) s t L I ( ) s p 0

21 v( t) + i( t) R L + V( p) I( p) R= Z + v( t) i( t ) L L V( p) + I( p) + Lp = Z Li(0) S il n y a pas de courant initial dans la bobine, 0 = 0

22 v( t) + i( t) C L + I( p) Cp = Z Transformation d un circuit V( p) + v(0) p I( p) R J( p) e( t) i( t) R L j() t v( t) C E( p) K( p) Lp V( p) Cp v(0) p kt () Lk(0)

23 Fonction de transfert et réponse en fréquence des réseaux électriques Dans un réseau on isole une source de tension v ( t) branche CD : dans la branche AB, et une On suppose que le reste du circuit ne contient pas de sources indépendantes. On définit les gains de transfert en tension et courant de ce réseau par : V ( p) I( p),, V, ( p) = L( v, ( t)), I, ( p) = L( i, ( t)) V ( p) I ( p) L admittance de transfert est définie par : I( p) V ( p) et l impédance de transfert par : V I ( p) ( p) Ces quatre fonctions sont appelées fonctions de transfert 3

24 Les fonctions de transfert s écrivent généralement sous la forme générale F( p) = m bm p + b p b n a p + a p + + a n m m 0 n n... 0 On peut faire apparaitre les zéros et les pôles de F(p) et la mettre sous la forme : p p p ( + )( + )...( + ) z z z p m j : pôle F( p) = K p p p z ( + )( + )...( + ) j : zéro p p p En régime sinusoïdal permanent, laréponse en fréquence du réseaus obtient remplaçant p par jω, ω = π f, f fréquence (Hz) dans l expression de la fonction du réseau. La fonction de transfert devient : m jω jω jω ( + )( + )...( + ) z z z jω jω jω ( + )( + )...( + ) p p p m F( jω) = K = F( jω ) e n j F ( jω ) 4

25 Il s agit d une représentation logarithmique de la fonction F( jω ). On donne d une part le module F( jω ) exprimé en décibels, d autre part la phase portée sur une échelle linéaire, la pulsation étant portée sur une échelle logarithmique. Décibel : F( jω) = 0log ( F( jω ) ) db 0 z i On sait que si un zéro a une valeur imaginaire (complexe), le conjugué * complexe est aussi zéro de la fonction de transfert et le produit : z i α i jω jω + + * zi zi α i donne un terme de la forme: De même, une paire de pôles complexes * conjugués donne un terme de la forme: ( p, p ) j j Des zéros et des pôles à l origine se traduisent par les termes : γ ( jω ),( j ) λ ω jω jω + ζ i + ωi ω i jω jω + ζ j + ω j ω j 5 α β i j

26 Le tracé du diagramme de Bode de n importe quelle fonction de transfert se ramène donc aux tracés des diagrammes de Bode des sept fonction élémentaires suivantes : K Pole ou zéro à l origine Pole simple ou zéro simple Pôle ou zéro quadratiques, j ω jω, jω + + p jω z jω jω, + ζ + jω jω ω ω + ζ + ω ω 6

27 Gain K : F( jω ) = K, K > F( jω) db K db F( jω) log 0( ω) log 0( ω) Zéro à l origine : F( jω ) = jω Module en db: Phase en Degré : F( jω) db F( jω ) = 0log ( F( jω ) ) = 0log ( ω ) db F( jω ) = F( jω) 0dB 90 ω0 0ω0 Décade log 0( ω) log 0( ω) 0 db / dec 7

28 Pôle à l origine : Module en db: Phase en Radians : F( jω ) = jω F( jω ) = 0log ( F( jω ) ) = 0log ( ω ) db F( jω ) = F( jω) db F( jω) Octave 0 db / dec 6 db / octave ω 0 ω 0 log 0( ω) 90 log 0( ω) -6dB N Dans le cas général où F( jω) = ( jω ) ±, N est un entier, la pente du module F( jω) est ± 0 NdB / dec et la phase vaut : ± 90N 8

29 Zéro/pôle simple : Module en db: Phase en degré: Étude asymptotique : ω F( jω ) = + j, z > 0 z F( jω ) 0log ( ( ) ) 0log db ω F( jω ) = arctan( ) z ω = 0 F jω = 0 + z Module en db/phase: ω F( jω) 0log 0 0 log 0 ( ω ) log 0 ( z ), F( j ω ) arctan( ) 90 db = = ω= z ω= Y X X z C est l équation d une droite de pente Pour ω = z, on a :. Elle passe par le d abscissex z ( ) F ( jω ) 0 log 0 db 0, 0 = ω log0 ( ω Y ) F( jω) arctan(0) = 0 ω 0, log ( ω) 0 F ( jz ) = 0 log () = 3 db, F ( jz ) = 45 db 0 9

30 F( jω) db Tracé Réel F( jω) ω F( jω ) = + j, z > 0 z 3dB 0 db / dec Tracé Réel 90 Diagramme asymptôtique z log 0( ω) Pour le pôle simple, on obtient l opposé : F( jω) db Diagramme asymptôtique Diagramme asymptôtique F( jω) log 0( ω) ω F( jω ) = + j, p > 0 p Tracé Réel p p 3dB log 0( ω) -90 log 0( ω) Tracé Réel 0 db / dec Diagramme asymptôtique 30

31 ± N ω Dans le cas où F( jω ) = + j, z > 0 z N>0 F( jω) db 3NdB Tracé Réel 0 NdB / dec F( jω) Tracé Réel 90N z log 0( ω) z log 0( ω) N<0 Diagramme asymptôtique F( jω) db Diagramme asymptôtique Diagramme asymptôtique F( jω) Tracé Réel z z 3NdB log 0( ω) -90N log 0( ω) Tracé Réel 0 NdB / dec Diagramme asymptôtique 3

32 Zéro/pôle quadratique: F( jω ) = jω jω + ζ + ω ω jω jω Module en db: F( jω ) = 0log 0 ( F( jω ) ) = 0log 0 + ζ db + ω ω Phase en Degré : ζ ω / ω F( jω ) = arctan( ) ω ( ) Étude asymptotique : ω Module en db/phase: ω F( jω ) 0log 0 40 log 0 ( ω ) log 0 ( ω ), F( j ω ) arctan( ) 80 db = = ω= ω ω= Y X X ω C est l équation d une droite de pente 40dB/dec. Elle passe par le d abscisse Pour ω = ω, on a : ( ) F ( jω ) 0 log 0 db 0, 0 = ω log0 ( ω Y ) F( jω ) arctan(0) = 0 ω 0, log ( ω) 0 F ( jω ) = 0 log (/ ζ ), F ( jω ) = 90 db 0 3 X ω

33 F( jω) db 0 0 ζ = 0. ζ = ζ = ω log ( ω) 0 33

34 F( jω) ζ = ζ = 0. ω ζ = log ( ω) 0 34

35 Exemple : Tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert : Sol. 00 jω F( jω) = ( jω + )( jω + 0) F F3 K F F( jω ) = 0 jω ω ω ( j + ) ( j + ) 0 F db ( + ) 6dB F + F + F db db 3 db 0 0 ( ) ( ) F db F 3 db 35

36 K db 0 0 ( + ) Diagramme asymptôtique ( ) F + F + F db db 3 db 6dB F db 3dB 0dB 0 0 ( + ) ( )

37 F 90 0 F 3 90 F F = F + F + F

38 Un exemple de plus 38

39 Exemple : Déterminer la fonction de transfert V F( jω) = V ( jω ) ( jω) du quadripôle suivant et tracer son diagramme de Bode en amplitude. R L v ( t) L R v ( t) On donne : R L L L L = L = L, R = = R, τ =, τ = R R R 39

40 Sol. L pr V ( p) L p R L p + R F( p) = = = V ( p) L L p R + L p R pr L pr + L p + R L p + R LR ( L p + R ) L + τ p F( p) = = L L ( R + R ) p + ( L + L ) R R L + L + τ p L 3 F( jω ) = + τ jω, τ = τ, τ > τ L + L + τ jω 4 F K F F db 4 K db + 0log 0( ) 3 F db K db /τ /τ K db F db /τ /τ F db 40

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