PARTIEL DE STATISTIQUES Durée : 2 h sans document --- calculatrice de l'e.s.a.

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1 E.S.A. CANNAVACCIUOLO Mario Promotion 2003 A Nom de l élève : PARTIEL DE STATISTIQUES Durée : 2 h sans document --- calculatrice de l'e.s.a. Exercice 1 : (8 pts) Recommandation pour cet exercice : vous devez compléter le tableau ci-dessous. Le détail des calculs doit figurer dans les cartouches des différentes questions. Soit la série Y des chiffres d affaires (en k ) du rayon d un magasin au cours des douze derniers trimestres. T Y t M t Y t - M t Yc t * * 12,75 * * 15,75 18,5 5,5 25,5 19,75 0, ,25 9,75 20,75 17,25-9,25 17,75 17,5-7,5 11,5 17,25 8, ,25 5,75 16,75 19,25-9,25 19,75 * * 17,5 * * 24 1

2 1. Tracer la série chronologique (t, Y t ) Série chronologique du CA k Yt Mt Yct t 2

3 2. Afin de dégager la tendance, le chef de rayon décide d utiliser la méthode des moyennes mobiles. Calculer la série M t des moyennes mobiles en ayant soin de bien faire apparaître les étapes d obtention du résultat. Représenter les deux courbes (Y t et M t ) sur le même graphique (page 2) Les données sur les ventes du magasin étant trimestrielles, il convient de prendre en considération 4 observations successives car la période de référence est l année. Nous utilisons la méthode des moyennes mobiles pour l analyse de la tendance (Mt). Nous utilisons donc une moyenne mobile d ordre 4. i=+ p-1 Y Y t- p t+ p å Y + + t+ i i=- p M = avec k = 2p = 4 t k t Mt * * 18,5 19,75 18,25 17,25 17,5 17,25 18,25 19,25 * * 3

4 3. Quel modèle peut-on appliquer sur la série chronologique Y t? Justifier votre choix. A partir de la représentation graphique de la série chronologique (page 2) nous observons que le mouvement saisonnier et d amplitude constante. Nous utilisons donc un modèle additif pour décomposer la série chronologique (Yt). modèle additif : Yt = Mt + St + Rt 4. Calculer les coefficients saisonniers et donner la série Yc t corrigée des variations saisonnières. Nous calculons les différences saisonnières puisque le modèle est additif. Nous obtenons le tableau ci-dessous. t Yt - Mt * * 5,5 0,25 9,75-9,25-7,5 8,75 5,75-9,25 * * Nous présentons les coefficients saisonniers (S j) et les coefficients saisonniers corrigés (Sj) dans le tableau ci-dessous. S'j Sj trimestre 1 7,75 7,25 trimestre 2-9,25-9,75 trimestre ,5 trimestre 4 4,5 4 somme 2 0 moyenne 0,5 4

5 1 S ( Y M ) p ' = - j ij ij p i = 1 å et S = S - S j ' j ' La série corrigée des variations saisonnières (Yct) est obtenue en retranchant à chacune des valeurs de la série Yt le coefficient saisonnier correspondant au trimestre. Nous obtenons le tableau suivant : t Yct 12,75 15,75 25, ,75 17,75 11, ,75 19,75 17, Tracer sur le même graphique que dans la question 1 (page 2) la série Yc t corrigée des variations saisonnières 6. Interpréter les résultats La tendance n est pas linéaire La série corrigée des variations saisonnières (Yct) présente des résidus importants. L explication la plus probable est que la valeur Y3 présente une composante accidentelle forte. En effet, toutes les autres valeurs Yt des 3 ème trimestres sont en dessous de la tendance. Le coefficient saisonnier corrigé S3 est donc sous estimé. 5

6 Exercice 2 : (3 pts) Le tableau suivant fournit le prix (en francs) du ticket de restaurant universitaire (RU) et du loyer mensuel d une chambre en cité universitaire (chambre U) en 1990 et en prix en 1990 prix en 1998 Ticket de RU 10 12,5 Chambre U Calculer les indices élémentaires des prix du ticket de RU et de la chambre U en 1998 base 100 en En utilisant une propriété des indices élémentaires qu il conviendra d énoncer, calculer la valeur de ces mêmes indices en 1990 base L indice élémentaire est le rapport des valeurs de la grandeur étudiée de la période courante (1998) à la période de base (1990) : I98/90 (RU) = (12,5/10) *100 = 125 (base 100) I98/90 (U) = (360/300) *100 = 120 (base 100). Pour répondre à la deuxième partie de la question, il convient de faire appel à la propriété de réversibilité : I90/98 (RU) = 10000/ I98/90 = 80 (base 100) I90/98 (U) = 10000/ I98/90 = 83 (base 100). 6

7 2. On considère que le ticket de RU et la chambre U constituent l ensemble de la dépense d un étudiant type. Pour cet étudiant type, le nombre de repas pris au RU est de 20 par mois tout au long de l année et la chambre est louée toute l année. Calculer l'indice de Laspeyres des prix afférent à l'année 1998 base 100 en Il faut calculer les quantités consommées en 1990 : RU : 20*12 = 240 repas U : 12 loyers mensuels L indice de Laspeyres des prix est : L n å i i pq i= * *12 = n = *100 = 122 pq 10* *12 å i= 1 i i Calculer l'indice de Paasche des prix relatif à l'année 1990 base 100 en Il est possible d appliquer la relation suivante : P 0/t = 10000/L t/0 d où P 98/90 = 10000/122 = 82 en base

8 Exercice 3 : (5 pts) Soit une population qui compte autant d'hommes que de femmes. On sait qu il y a une chance sur deux d'être moins vigilant au volant de sa voiture après 1 heure de conduite. Un homme a 30 % de chance d'être moins vigilant au volant de sa voiture après 1 heure de conduite. Répondez aux questions suivantes : 1. La probabilité d'être moins vigilant au volant de sa voiture après 1 heure de conduite dépend-elle du sexe? (Justifier numériquement votre réponse) 2. Quelle est la probabilité de ne pas être moins vigilant au volant de sa voiture après 1 heure de conduite ou d'être un homme? 3. Quelle est la probabilité d'être une femme et que celle-ci ne soit pas moins vigilante au volant de sa voiture après 1 heure de conduite? 4. Quelle est la probabilité de ne pas être moins vigilant au volant de sa voiture après 1 heure de conduite alors qu'on est une femme? 5. Quelle est la probabilité pour un homme de ne pas être moins vigilant au volant de sa voiture après 1 heure de conduite? Nous pouvons d après l'énoncé définir les événements suivants : A = être moins vigilant au volant de sa voiture après 1 heure de conduite A* = ne pas être moins vigilant au volant de sa voiture après 1 heure de conduite B = être un homme B* = être une femme Les probabilités de l'énoncé sont : P(A/B) = 0,3 P(A) = 0,5 P(B) = 0,5... et leurs contraires. P(A*/B) = 0,7 P(A*) = 0,5 P(B*) = 0,5 8

9 Nous construisons un tableau avec les données de l énoncé : A A* B 0,15 0,5 B* 0,5 0,5 0,5 1 Les valeurs des évènements entiers se retrouvent toujours en bout de ligne ou de colonne. Les cases se trouvant à l'intersection d'une ligne et d'une colonne constituent des probabilités d'intersection. Il est possible aussi de déterminer l'intersection entre A et B car nous connaissons P(B) et P(A/B). Elle vaut P(B).P(A/B) = 0,5.0,3 =0,15 Nous pouvons en déduire le reste du tableau : A A* B 0,15 0,35 0,5 B* 0,35 0,15 0,5 0,5 0, La probabilité d'être moins vigilant au volant de sa voiture après 1 heure de conduite dépend-elle du sexe? (Justifier numériquement votre réponse) P(A) = P(A/B)? 0,5 est différent de 0,3 Le sexe influence la probabilité d'être moins vigilant au volant de sa voiture après 1 heure de conduite. Les deux évènements sont donc dépendants. 2. Quelle est la probabilité de ne pas être moins vigilant au volant de sa voiture après 1 heure de conduite ou d'être un homme? P(A*UB)? P(A*UB) = P(A*) + (B) - P(A* B) =0,5+0,5-0,35 = 0,65 3. Quelle est la probabilité d'être une femme et que celle-ci ne soit pas moins vigilante au volant de sa voiture après 1 heure de conduite? P(A* B*) = 0,15 4. Quelle est la probabilité de ne pas être pas moins vigilante au volant de sa voiture après 1 heure de conduite alors qu'on est une femme? P(A*/B*)? P(A*/B*)= P(A* B*) / P(B*) = 0,15 / 0,5 = 0,3 5. Quelle est la probabilité pour un homme de ne pas être moins vigilant au volant de sa voiture après 1 heure de conduite? P(A*/B)? P(A*/B) = 1 - P(A/B) = 1-0,3 = 0,7 9

10 Exercice 4 : (4 pts) Un agriculteur a entreposé dans un local humide 12 doses d un herbicide total et 8 doses d un fongicide. Après plusieurs mois de séjour, les étiquettes sont indifférenciables. Chaque dose a la même probabilité d être tirée. En vue d un traitement, l agriculteur prend 6 doses au hasard. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de doses d herbicides prises parmi ces 6 doses. 1. Déterminer la loi de probabilité de X Les tirages sont équiprobables. La probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur particulière k est calculée de la manière suivante : PX ( = k) = C C k 6 k C20 La loi de probabilité de X xi P(X = x i ) 0,0007 0,0173 0,1192 0,3179 0,3576 0,1635 0,

11 2.. Quelle est la probabilité pour avoir au moins 3 doses d herbicides? P(X = 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) P(X = 3) = 0, , , ,0238= 0, Calculer l espérance mathématique et la variance de X n EX ( ) = xpx ( = x ) E(X) 3,6 å i= 1 i i VX ( ) = EX ( ²) - E²( X) V(X) = 14,02 3,6² 1,06 IMPORTANT : RECOMMANDATIONS POUR LE PARTIEL Faites des réponses CONCISES (dans les cartouches) en répondant précisément aux questions posées. Donnez le détail de vos calculs. BON COURAGE! 11