Introduction. Plan de phase. Introduction. Introduction

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1 Introduction Plan de phase Guy Gauthier École de technologie supérieure Département de génie de la production automatisée 4 septembre 202 Dans mon jeune temps (a very long time ago!!!) lors de mon premier baccalauréat en génie électrique à l Université Laval j ai eu à faire un cours de Calculateurs analogiques. On devait, simuler des systèmes basés sur des équations différentielles ordinaires en utilisant des amplificateurs, des sommateurs, des intégrateurs (ayant des condensateurs), des potentiomètres et une table traçante. Et un spaghetti de fils. Tout cela pour pouvoir étudier le comportement de modèles. C était avant l invention de MATLAB ou Simulink... Introduction Supposons que nous désirions câbler l équation différentielle suivante : ÿ + aẏ + a0y u () avec y(0) 0 et ẏ(0) 0. Il faut obtenir l équation d état de ce système pour pouvoir faire le câblage. Équation d état En définissant x y et x2 ẋ ẏ, on trouve : ÿ ax2 a0x + u (2) Introduction Il faudra prévoir utiliser deux intégrateurs, un sommateur avec trois entrées et deux amplificateurs (l un ayant un gain a0 et l autre ayant un gain a). Ayant accès à la sortie de chaque intégrateur, nous pouvions connecter ces sorties à des tables tracantes. Le graphique tracé est la trajectoire du système dans le plan x/x2. C est ce que l on appelle le plan de phase. Bilan, il faut câbler : ẋ x2 (3) et : ax2 a0x + u (4)

2 Système masse/ressort/ammortisseur Dans le cas d un système masse/ressort/amortisseur, le modèle est une équation du 2e ordre : Mÿ + Bẏ + Ky F (5) avec M la masse (kg), K la raideur du ressort (N/m), B le coefficient de l amortisseur (N s/m) et y la position de la masse par rapport à sa position de repos en l absence d une force extérieure F (N). L équation d état est semblable à celle utilisée en introduction avec les deux gain suivants : et l entrée u du système : a0 K M a B M (6) (7) Système masse/ressort/ammortisseur (suite) L état x correspond à la position y de la masse et l état x2 correspond à la vitesse ẏ de la masse. Le plan de phase représentera donc la trajectoire dans le plan position vitesse. Ainsi, si l amplitude des paramètres sont tous égal à (K B M ), alors l équation d état devient : et : ẋ x2 (9) x2 x + F (0) u F M (8) Système masse/ressort/ammortisseur (suite) Système masse/ressort/ammortisseur (trajectoire) Si l entrée F est un échelon unitaire, alors le système converse vers : ẋ 0 x2 x2 0 () ce qui correspond à une vitesse nulle, et : 0 x2 x + x (2) ce qui correspond a un déplacement de mètre de la masse (par rapport à la position de repos). La masse passe donc dans le plan de phase de x [0 0 T à x [ 0 T. Question Quel sera la trajectoire? L état x2 évolue de la facon suivante : x2 2 ( ) 3 sin 3 2 t e t/2 (3) L état x évolue de la facon suivante : x ( 3 sin ( ) 3 2 t + cos ( )) 3 2 t e t/2 (4)

3 Système masse/ressort/ammortisseur (trajectoire) Exemple # : découplage complet des états Voici visuellement cette trajectoire : 2 0 x 0 5 x2 (5) λ 2 ζ 0 0 λ2 5 ζ2 Système stable. (6) (7) Exemple # : découplage complet des états Exemple # : découplage complet des états 2 0 x 0 5 x2 Noeud stable : Trajectoires x(t) e 2t x(0) (8) x2(t) e 5t x2(0) (9) Les deux états sont indépendants l un de l autre. Toutes les trajectoires convergent vers (0,0).

4 Exemple #2 : découplage complet des états Exemple #2 : découplage complet des états 2 0 x 0 5 x2 λ 2 ζ 0 0 λ2 5 ζ2 Système instable. (20) (2) (22) Trajectoires 2 0 x 0 5 x2 x(t) e 2t x(0) (23) x2(t) e 5t x2(0) (24) Les deux états sont indépendants l un de l autre. Exemple #2 : découplage complet des états Exemple #3 : Point de selle : 2 x 5 x2 (25) λ.6972 ζ λ ζ Système stable. (26) (27)

5 Exemple #3 : Exemple #4 : Noeud stable : 2 x 5 x2 (28) λ 2.40 ζ λ ζ Système instable. (29) (30) Exemple #4 : Exemple #5 : Point de selle : 2 3 x 3 2 x λ 2 + 3j ζ 0.707j λ2 2 3j ζ j Système instable. (3) (32) (33)

6 Exemple #5 : Exemple #6 : Noeud instable : x 4 x2 (34) Spirales divergentes j λ.732j ζ j j λ2.732j ζ j Système marginalement stable. (35) (36) Exemple #6 : Cas non-linéaires Cycles limites : Un système non-linéaire peut avoir plusieurs points d équilibre. Voici deux exemples de systèmes non-linéaires. On tourne autour de (0,0) dans le sens horaire.

7 Cas non-linéaires Cas non-linéaires Système bi-linéaire : {ẋ x2(x + ) x(x2 + 3) (37) Système bi-linéaire linéarisé : [ x2s xs + A x2s + 3 xs (40) Points d équilibre Il y en a deux. ) Cas trivial xs x2s 0 (38) Cas trivial Instable A [ { 0 λ λ ) Cas non trivial : xs x2s 3 (39) Cas non trivial A [ { 3 0 λ 3 0 λ2 Stable Système bi-linéaire - Résultats Tracés : Système bi-linéaire - Résultats (suite) Tracés :

8 Réacteur biologique (Taux de croissance Monod) Réacteur biologique fonction de Monod Modèle mathématique : { ẋ (µ D)x (x2f x2)d µx/y (4) x 0 représente la biomasse (les cellules) en grammes/litres ; x2 0 représente le substrat (nourriture) en grammes/litres ; x2f 4.0 représente le substrat entrant en grammes/litres ; Y 0.4 représente le rendement ; D 0.4 représente le taux de dilution en heure ; µ représente le taux de croissance en heure. Les paramètres du procédé sont tous des nombres positifs. Le taux de croissance µ est défini par la fonction suivante (dite fonction de Monod) : µ µmaxx2 (42) km + x2 µmax 0.53 représente le taux de croissance maximal en heure ; km 0.2 représente la constante de demi-saturation (ou constante de Monod) en grammes/litres. Réacteur biologique En régime permanent : { ẋ 0 (µ 0.4)x 0 (4.0 x2)0.4 µx/0.4 Cas trivial xs 0, x2s 4 Les cellules ont été complètement évacuées du réservoir. Cas non trivial Dans ce cas : µ D 0.4, donc : xs.4523, x2s Point d opération plus intéressant. Réacteur biologique - Version linéarisée Cas trivial A [ µs D xsµs/(x2s(km + x2s)) A µs/y Dxsµs/(Yx2s(km + x2s)) [ λ 0.46, λ Instable : potentiellement si on insère une cellule dans le réservoir, elle va se multiplier et x va croitre. Cas non trivial [ A λ 0.4, λ Stable.

9 Réacteur biologique - Résultats Réacteur biologique - Résultats (suite) Tracés : Tracés : Fin de la présentation Bilan : Les points d équilibre sont trouvés en solutionnant ẋ 0. Un système linéaire possède un seul point d équilibre. Un système nonlinéaire comporte au moins un point d équilibre. Un point d équilibre peut être : Un noeud stable Un noeud instable Un point de selle (instable) Un cycle limite (marginalement stable)