Prédiction de la VaR basée sur GARCH et méthode de correction Artic

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1 Prédiction de la VaR basée sur GARCH et méthode de correction Article de Christoph Hartz, Stefan Mittnik, Marc Paolella Université Paris VII April 1, 2013

2 1 Le calcul de la VaR (méthodologie et hypothèses) Value-At-Risk : Définition et Méthode de Calcul Modèle parametrique: AR(1)-GARCH(1,1) 2 Test d adéquation, d indépendance sur nos séries: Méthodologie empirique 3 Bootstrap et distribution empirique Résultat numérique Méthode de correction du biais Algorithme de correction du biais Données simulées 4

3 Value-At-Risk : Définition et Méthode de Calcul Modèle parametrique: AR(1)-GARCH(1,1) 1 Le calcul de la VaR (méthodologie et hypothèses) Value-At-Risk : Définition et Méthode de Calcul Modèle parametrique: AR(1)-GARCH(1,1) 2 Test d adéquation, d indépendance sur nos séries: Méthodologie empirique 3 Bootstrap et distribution empirique Résultat numérique Méthode de correction du biais Algorithme de correction du biais Données simulées 4

4 Value-At-Risk : Définition et Méthode de Calcul Modèle parametrique: AR(1)-GARCH(1,1) Mesure de risque de marché correspondant au montant des pertes qui devrait être dépassé qu avec une probabilité 1 λ fixée et un horizon de temps h donné. Son calcul nécessite une vision du marché qui donne lieu à des méthodes différentes selon les hypothèses retenues

5 Value-At-Risk : Définition et Méthode de Calcul Modèle parametrique: AR(1)-GARCH(1,1) Il existe trois méthodes de calcul: VaR historique à partir des données de marché déja observée (filtre exponentiel, bootstrap) VaR Parametrique, équivaut à poser un modèle sur les données (Théorie des valeurs extrêmes, GARCH sur volatilité) VaR Monte Carlo : simulation de différents scénarii, distribution des rendements futurs. Les hypothèses qui justifient ces différentes méthodes sont différentes

6 Value-At-Risk : Définition et Méthode de Calcul Modèle parametrique: AR(1)-GARCH(1,1) Pourquoi un GARCH? AR(1)-GARCH(1,1) Constatation empirique: r t =a 0 + a 1 r t 1 + ɛ t ɛ t =z t σ t σ 2 t =c 0 + c 1 ɛ 2 t 1 + d 1 σ 2 t 1 L accroissement de volatilité dû à une baisse des prix est généralement supérieur à celui résultant d une hausse de même ampleur. La volatilité est hétéroscédastique et dépend des valeurs passées

7 Value-At-Risk : Définition et Méthode de Calcul Modèle parametrique: AR(1)-GARCH(1,1) Pourquoi un modèle AR(1)-GARCH(1,1)? Figure : Corrélation des return On observe des clusters dans les volatilités d où le GARCH. Faiblesse des autocorrélations dans les rendements. Quelques valeurs significativement différentes de 0 dans les PACF donc un GARCH d ordre faible.

8 Value-At-Risk : Définition et Méthode de Calcul Modèle parametrique: AR(1)-GARCH(1,1) Figure : Effet de clustering des returns

9 Value-At-Risk : Définition et Méthode de Calcul Modèle parametrique: AR(1)-GARCH(1,1) Simplicité à implémenter et à interpréter. Notion de stationnarité facile à verifier La restriction au AR(1)-GARCH(1,1) facilite les justification de stationnarité, coefficient de Lyapunov facile à calculer. [1] Différents type de GARCH: La loi des innovations peut être supposée comme gaussienne, mais aussi student. Nous verrons que cette hypothèse influe sur nos résultats.

10 Test d adéquation, d indépendance sur nos séries: Méthodologie empirique L article se restreint au modele AR(1)-GARCH(1,1), est-ce pertinent? A t-on une distribution iid des innovations?

11 Test d adéquation, d indépendance sur nos séries: Méthodologie empirique Calibration de notre modèle GARCH, estimation des coefficients â 0, â 1, ĉ 0, ĉ 1, ˆd 1 Téléchargement des données et calcul des log-return Définition de notre modèle avec spec On maximise la vraisemblance sur un échantillon de 1000 données in sample et on obtient notre vecteur de paramètres ˆθ = (â 0, â 1, ĉ 0, ĉ 1, ˆd 1 ). on calcule nos résidus ẑ t estimés. On souhaite à présent calculer la VaR à horizon 1 et 2500 jours pour λ (0.01, 0.02,.., 0.1).

12 Test d adéquation, d indépendance sur nos séries: Méthodologie empirique Prédictions ˆκ λ =ˆκ λ (h, T ) = Φ 1 (λ; ˆµ T +h, ˆσ 2 T +h) ˆµ T +h =â 0 + â 1 r T +h 1 + ˆb 1ˆɛ T +h 1 ˆσ 2 T +h =ĉ 0 + ĉ 1ˆɛ 2 T +h 1 + ˆd 1 σ 2 T +h 1 On a alors ˆκ(h, T ) = φ 1 (λ, ˆµ T +h, ˆσ 2 T +h ) avec h l horizon temporel et λ le niveau de risque. Remarque: Ce calcul de VaR repose sur une seule prédiction, pour obtenir une prédiction de VaR robuste il est alors naturel d introduire une méthode de bootstrapping.

13 Bootstrap et distribution empirique Résultat numérique Méthode de correction du biais Algorithme de correction du biais Données simulées [2] On itère B fois la procédure suivante et on construit une distribution empirique sur les VaR prédites. A l étape b: On construit de nouveaux rendements à partir d un échantillon boostrappé de résidus estimés et on calibre ces rendements pour obtenir un nouveau vecteur de paramètres ˆθ (b). On fait des prédictions à partir des rendements initiaux et du nouveaux vecteur de paramètres et on calcule les VaR. On obtient alors un échantillon boostrappé de valeur de VaR et on peut construire une distribution empirique de la façon suivante : ˆFˆκ (x, λ, h, T ) = 1 B+1 B b=0 1 (,x) (ˆκ (b) λ (h, T ))

14 Algorithme de bootstrap Bootstrap et distribution empirique Résultat numérique Méthode de correction du biais Algorithme de correction du biais Données simulées

15 Bootstrap et distribution empirique Résultat numérique Méthode de correction du biais Algorithme de correction du biais Données simulées Pour les VaR à 1 jours et à 2500 jours on obtient les densités suivantes: (a) t=1 (b) t=2500 Figure : Estimations des densités des VaR à t=1, et t=2500 jours

16 Bootstrap et distribution empirique Résultat numérique Méthode de correction du biais Algorithme de correction du biais Données simulées La distribution empirique permet d ajuster la prediction de la VaR grâce au critère de la fréquence de violations observées notée ˆλ η 2 1 ˆλ = η 2 η (,ˆκ(t)] (r t+h ) t=η 1 La VaR sur estime le risque si la fréquence observée est plus petite que le niveau de risque λ. La méthode de correction du biais à pour objectif de trouver le quantile optimal sur la distribution de VaR bootstrappée.

17 Bootstrap et distribution empirique Résultat numérique Méthode de correction du biais Algorithme de correction du biais Données simulées Après avoir effectué les itérations de bootstrap, on se fixe un niveau de risque λ: On commence par trier dans l ordre croissant les prédictions de VaR { } B à λ fixé ˆκ (b) λ b=0 On calcule la fréquence de violations observées pour chaque ligné triée des VaR obtenues par bootstrap On cherche ensuite le b tel que pour ce niveau de VaR la fréquence observée est égale ou juste plus petite que λ b = max b : b {0, 1,..., B} s.t. 1 L T h t=t L h+1 1 (,ˆk[b] (h,t)) (r t+h) λ

18 Bootstrap et distribution empirique Résultat numérique Méthode de correction du biais Algorithme de correction du biais Données simulées (a) B=250 (b) B=500 Figure : Le quantile optimal pour la prédiction de la VaR - DAX, fenêtre L=250 (gauche) et L=500 (droite)

19 Bootstrap et distribution empirique Résultat numérique Méthode de correction du biais Algorithme de correction du biais Données simulées Asymmetric Power ARCH (APARCH) En comparaison au normal-garch, le APARCH permet de capturer l effet asymétrique des chocs de volatilité sur les log-return Ces données simulées nous permettent de juger de manière plus précise de l efficacité de notre algorithme AR(1)-t-A-PARCH(1,1) r t =a 0 + a 1 r t 1 + ɛ t ɛ t =z t σ t, z t t υ σ δ t =c 0 + c 1 ( ɛ t 1 γ i ɛ t 1 ) δ + d 1 σ δ t 1

20 Le calcul de la VaR (méthodologie et hypothèses) On présente une méthode d échantillonage et de correction du biais basée sur le modèle normal-garch pour fournir des prévisions de VaR facilement calculables et optimales méthode très facile à mettre en oeuvre, entièrement guidée par les données les résultats sont robustes à la longueur de la fenêtre de correction de biais choisie, avec une légère préférence pour la longueur plus petite de fenêtre L = 250.

21 Questions? Alexander M. Lindner. Stationarity, mixing, distributional properties and moments of garch(p, q Lorenzo Pascual, Juan Romo, and Esther Ruiz. Bootstrap prediction for returns and volatilities in garch models. Comput. Stat. Data Anal., 50(9): , May 2006.