Voici le recueil des programmes de Mathématiques, de Physique-Chimie, de Sciences Physiques et Chimiques en Laboratoire (SPCL), de Mesure

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1 Voici le recueil des programmes de Mathématiques, de Physique-Chimie, de Sciences Physiques et Chimiques en Laboratoire (SPCL), de Mesure instrumentation et de Chimie-biochimie Sciences du vivant (enseignement partagé entre chimie et SVT, où sont introduites certaines notions essentielles de chimie), pour les classes de Premières et de Terminales des séries technologiques : Sciences et Technologies de l Industrie et du Développement Durable (STI2D) et Sciences et Technologies de Laboratoire (stl). Le programme de Première est entré en application en septembre 2011, le programme de Terminale en septembre Ces textes, publiés au boen Bulletin officiel spécial numéro 3 du 17 mars 2011 pour les classes de Première et Bulletin officiel spécial numéro 8 du 13 octobre 2011 pour les classes de Terminale sont ici rassemblés en un fascicule unique. Ces documents sont aussi disponibles sur le site Vous y trouverez aussi les programmes de la série S.

2 Mathématiques Mathématiques, Premières STI2D et STL (2011) Préambule [1-ST-M1] Programme [1-ST-M2] Mathématiques, Terminales STI2D et STL, spécialité SPCL (2012) Préambule et programme [T-ST-M] Sciences physiques et chimiques Physique-chimie tronc commun, Premières STI2D et STL (2011) Préambule [1-ST-SP1] Programme [1-ST-SP2] Sciences physiques et chimiques en laboratoire, Première STL (2011) Préambule [1-STL-SP3] Programme du module de physique [1-STL-SP4] Programme du module de chimie [1-STL-SP5] Mesure et instrumentation, Première STL (2011) Préambule [1-STL-MI0] Programme du module Mesure et instrumentation [1-STL-MI]. 46 Chimie-biochimie Sciences du vivant, Première STL (2011) Préambule [1-STL-CBSV0] Programme [1-STL-CBSV1] Physique-chimie, T ales STI2D et STL, spécialité SPCL (2012) Préambule et programme [T-ST-SP1] Sciences physiques et chimiques en laboratoire, Terminale STL (2012) Préambule et programme [T-STL-SP2] Chimie-biochimie Sciences du vivant, Terminale STL (2012) Préambule et programme [T-STL-CBSV]

3 Mathématiques, Premières STI2D et STL 2011 MENE A - Ministère de l'éducation nationale 3 29/10/11 11:15 Accueil > Le Bulletin officiel > 2011 > spécial n 3 du 17 mars 2011 Bulletin officiel spécial n 3 du 17 mars 2011 Mathématiques en classe de 1ère des séries STI2D et STL NOR : MENE A arrêté du J.O. du MEN - DGESCO A3-A Vu code de l'éducation ; arrêté du ; avis du comité interprofessionnel consultatif du ; avis du CSE du Article 1 - Le programme de l'enseignement de mathématiques en classe de première des séries technologiques sciences et technologies de l'industrie et du développement durable (STI2D) et sciences et technologies de laboratoire (STL) est fixé conformément à l'annexe du présent arrêté. Article 2 - Les dispositions du présent arrêté entrent en application à la rentrée de l'année scolaire Article 3 - Le directeur général de l'enseignement scolaire est chargé de l'exécution du présent arrêté qui sera publié au Journal officiel de la République française. Fait le 8 février 2011 Pour le ministre de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative et par délégation, Le directeur général de l'enseignement scolaire, Jean-Michel Blanquer Annexe Mathématiques - classe de première des séries technologiques STI2D et STL L'enseignement des mathématiques au collège et au lycée a pour but de donner à chaque élève la culture mathématique indispensable à sa vie de citoyen et les bases nécessaires à son projet de poursuite d'études. Le cycle terminal des séries STI2D et STL permet l'acquisition d'un bagage mathématique qui favorise une adaptation aux différents cursus accessibles aux élèves, en développant leurs capacités à mobiliser des méthodes mathématiques appropriées au traitement de situations scientifiques et technologiques et, plus largement, en les formant à la pratique d'une démarche scientifique. L'apprentissage des mathématiques cultive des compétences qui facilitent une formation tout au long de la vie et aident à mieux appréhender une société en évolution. Au-delà du cadre scolaire, il s'inscrit dans une perspective de formation de l'individu. Objectif général Outre l'apport de nouvelles connaissances, le programme vise le développement des compétences suivantes : - mettre en œuvre une recherche de façon autonome ; - mener des raisonnements ; - avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus ; - communiquer à l'écrit et à l'oral. Mise en œuvre du programme Le programme s'en tient à un cadre et à un vocabulaire théorique modestes, mais suffisamment efficaces pour l'étude de situations usuelles et assez riches pour servir de support à une formation solide. Pour favoriser la progressivité de l'orientation, le programme est commun aux différentes spécialités de STI2D et de STL. C'est au niveau du choix des situations étudiées qu'une diversité s'impose en fonction de chaque spécialité et de ses finalités propres. Page 1 sur 3

4 4 Mathématiques, Premières STI2D et STL 2011 MENE A - Ministère de l'éducation nationale 29/10/11 11:15 Les enseignants de mathématiques doivent avoir régulièrement accès aux laboratoires afin de favoriser l'établissement de liens forts entre la formation mathématique et les formations dispensées dans les enseignements scientifiques et technologiques. Cet accès permet de : - prendre appui sur les situations expérimentales rencontrées dans ces enseignements ; - connaître les logiciels utilisés et l'exploitation qui peut en être faite pour illustrer les concepts mathématiques ; - prendre en compte les besoins mathématiques des autres disciplines. Utilisation d'outils logiciels L'utilisation de logiciels, d'outils de visualisation et de simulation, de calcul (formel ou scientifique) et de programmation change profondément la nature de l'enseignement en favorisant une démarche d'investigation. En particulier, lors de la résolution de problèmes, l'utilisation de logiciels de calcul formel peut limiter le temps consacré à des calculs très techniques afin de se concentrer sur la mise en place de raisonnements. L'utilisation de ces outils intervient selon trois modalités : - par le professeur, en classe, avec un dispositif de visualisation collective ; - par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques ; - dans le cadre du travail personnel des élèves hors de la classe. Raisonnement et langage mathématiques Comme en classe de seconde, les capacités d'argumentation et de logique font partie intégrante des exigences du cycle terminal. Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne font pas l'objet de cours spécifiques mais prennent naturellement leur place dans tous les champs du programme. Il convient cependant de prévoir des temps de synthèse. De même, le vocabulaire et les notations mathématiques ne sont pas fixés d'emblée, mais sont introduits au cours du traitement d'une question en fonction de leur utilité. Diversité de l'activité de l'élève Les activités proposées en classe et hors du temps scolaire prennent appui sur la résolution de problèmes essentiellement en lien avec d'autres disciplines. Il convient de privilégier une approche des notions nouvelles par l'étude de situations concrètes. L'appropriation des concepts se fait d'abord au travers d'exemples avant d'aboutir à des développements théoriques, à effectuer dans un deuxième temps. De nature diverse, les activités doivent entraîner les élèves à : - chercher, expérimenter, modéliser, en particulier à l'aide d'outils logiciels ; - choisir et appliquer des techniques de calcul ; - mettre en œuvre des algorithmes ; - raisonner et interpréter, valider, exploiter des résultats ; - expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou par écrit. Des éléments d'histoire des mathématiques, des sciences et des techniques peuvent s'insérer dans la mise en œuvre du programme. Connaître le nom de quelques scientifiques célèbres, la période à laquelle ils ont vécu et leur contribution fait partie intégrante du bagage culturel de tout élève ayant une formation scientifique. Les travaux hors du temps scolaire sont impératifs pour soutenir les apprentissages des élèves. Fréquents, de longueur raisonnable et de nature variée, ces travaux sont essentiels à la formation des élèves. Ils sont conçus de façon à prendre en compte la diversité des aptitudes des élèves. Les modes d'évaluation prennent également des formes variées, en phase avec les objectifs poursuivis. En particulier, l'aptitude à mobiliser l'outil informatique dans le cadre de la résolution de problèmes est à évaluer. Organisation du programme Le programme fixe les objectifs à atteindre en termes de capacités. Il est conçu pour favoriser une acquisition progressive des notions et leur pérennisation. Son plan n'indique pas la progression à suivre, cette dernière devant s'adapter aux besoins des autres enseignements. Les capacités attendues dans le domaine de l'algorithmique d'une part et du raisonnement d'autre part sont rappelées en fin de programme. Elles doivent être exercées à l'intérieur de divers champs du programme. Les exigences doivent être modestes et conformes à l'esprit des filières concernées. Les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole <>. Programme Page 2 sur 3

5 Mathématiques, Premières STI2D et STL Bulletin officiel spécial n 3 du 17 mars 2011 Mathématiques - classe de 1ère des séries STI2D et STL. 1. Analyse On dote les élèves d outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets. Cette partie est organisée selon trois objectifs principaux : - Consolider l ensemble des fonctions mobilisables. On enrichit cet ensemble de nouvelles fonctions de référence : les fonctions cosinus, sinus et valeur absolue. L emploi régulier de notations variées sur les fonctions est indispensable, notamment pour aider les élèves à faire le lien avec les autres disciplines. - Exploiter l outil «dérivation». L acquisition du concept de dérivée est un point fondamental du programme de première. Les fonctions étudiées sont toutes régulières. Le calcul de dérivées dans des cas simples est un attendu du programme ; dans le cas de situations plus complexes, on sollicite les logiciels de calcul formel. - Découvrir la notion de suite. L étude de phénomènes discrets fournit un moyen d introduire les suites et leurs modes de génération en s appuyant sur des registres différents (algébrique, graphique, numérique, géométrique) et en faisant largement appel à des logiciels. Inversement, les suites sont un outil efficace de modélisation de phénomènes discrets. Les interrogations sur leur comportement amènent à une première approche de la notion de limite qui sera développée en classe de terminale. L étude des suites se prête tout particulièrement à la mise en place d activités algorithmiques. L accent est mis sur les représentations graphiques dont un décodage pertinent, relié aux enseignements des autres disciplines, contribue à l appropriation des concepts mathématiques. Contenus Second degré Équation du second degré, discriminant. Capacités attendues Commentaires - Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème. On fait le lien avec les représentations graphiques étudiées en classe de seconde. Signe du trinôme. La mise sous forme canonique n est pas un attendu du programme. Des activités algorithmiques peuvent être réalisées dans ce cadre. Fonctions circulaires Éléments de trigonométrie : cercle trigonométrique, radian, mesure d un angle orienté, mesure principale. Fonctions de référence : x cos x et x sin x. - Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour :. déterminer les cosinus et sinus d angles associés ;. résoudre dans R les équations d inconnue t : cos t = cos a et sin t = sin a. On fait le lien entre : - les résultats obtenus en utilisant le cercle trigonométrique ; - les représentations graphiques des fonctions x cos x et x sin x. Selon les besoins, on peut introduire les coordonnées polaires pour l étude de certaines situations. - Connaître la représentation graphique de ces fonctions. - Connaître certaines propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité. La lecture graphique est privilégiée. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 1/7

6 6 Mathématiques, Premières STI2D et STL 2011 Bulletin officiel spécial n 3 du 17 mars 2011 Contenus Étude de fonctions Fonction de référence : x x. Représentation graphique des fonctions u + k, t u (t + ) et u, la Capacités attendues - Connaître les variations de cette On se limite à la présentation de la fonction. Aucune technicité dans l utilisation fonction et sa représentation de la valeur absolue n est attendue. graphique. - Obtenir la représentation graphique de ces fonctions à partir de celle de u. fonction u étant connue, k étant une fonction constante et un réel. Il s agit ici de développer une aisance dans la manipulation des représentations graphiques, par exemple lors de la détermination des paramètres d un signal sinusoïdal. L étude générale de la composée de deux fonctions est hors programme. Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction en un point où elle est dérivable. Commentaires Le nombre dérivé est défini comme limite du taux d accroissement - Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé. f ( a h) f ( a ) h quand h tend vers 0. On ne donne pas de définition formelle de la limite en un point ; l approche reste intuitive. L utilisation des outils logiciels facilite l introduction du nombre dérivé. Fonction dérivée. Dérivée des fonctions - Calculer la dérivée de fonctions. On évite tout excès de technicité dans les calculs de dérivation. Si nécessaire, dans le cadre de la résolution de problèmes, le calcul de la dérivée d une fonction est facilité par l utilisation d un logiciel de calcul formel. - Exploiter le tableau de variation d une fonction f pour obtenir : - un éventuel extremum de f ; - le signe de f ; - le nombre de solutions d une équation du type f ( x) k. Pour les fonctions étudiées, le tableau de variation est un outil pertinent pour localiser la ou les solutions éventuelles de l équation f ( x) k. 1 n usuelles : x, x x x (n entier naturel non nul), x cos x et x sin x. Dérivée d une somme, d un produit et d un quotient. Dérivée de t cos ωt et t sin ωt, et étant réels. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation. Extremum d une fonction. Cette partie du programme se prête particulièrement à l étude de situations issues des autres disciplines. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 2/7

7 Mathématiques, Premières STI2D et STL Bulletin officiel spécial n 3 du 17 mars 2011 Contenus Capacités attendues Suites Modes de génération d une - Modéliser et étudier une suite numérique. situation simple à l aide de suites. Approche de la notion de limite d une suite à partir d exemples. Il est important de varier les approches et les outils. Mettre en œuvre un algorithme permettant de calculer un terme de rang donné. L utilisation du tableur et la mise en œuvre d algorithmes sont l occasion d étudier en particulier des suites générées par une relation de récurrence. - Exploiter une représentation graphique des termes d une suite. Suites géométriques. Commentaires On peut utiliser un algorithme ou un tableur pour traiter des problèmes de comparaison d évolutions et de seuils. - Écrire le terme général d une suite géométrique définie par son premier terme et sa raison. Le tableur, les logiciels de géométrie dynamique et de calcul sont des outils adaptés à l étude des suites, en particulier pour l approche expérimentale de la notion de limite. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 3/7

8 8 Mathématiques, Premières STI2D et STL 2011 Bulletin officiel spécial n 3 du 17 mars Géométrie On apporte aux élèves des outils efficaces dans la résolution de problèmes spécifiques rencontrés dans les enseignements scientifiques et technologiques. Cette partie est organisée selon deux objectifs principaux : - Exploiter l outil «produit scalaire». On travaille avec des vecteurs dans des plans repérés ou non et on privilégie des décompositions selon des axes orthogonaux. Il importe que les élèves sachent choisir la forme du produit scalaire la mieux adaptée au problème envisagé. Les problèmes traités sont plans mais on peut avantageusement exploiter des situations de l espace issues de disciplines scientifiques et technologiques. - Découvrir les nombres complexes. Ils sont introduits dès la classe de première pour permettre leur utilisation dans certaines spécialités. Le développement des activités à ce sujet s adapte aux besoins des enseignements scientifiques ou technologiques. Contenus Produit scalaire dans le plan Projection orthogonale d un vecteur sur un axe. Capacités attendues Définition et propriétés du produit scalaire de deux vecteurs dans le plan. - Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes : - projection orthogonale ; - analytiquement ; - à l aide des normes et d un angle. Commentaires - Décomposer un vecteur selon deux axes orthogonaux et exploiter une telle décomposition. Pour toute cette partie sur le produit scalaire, on exploite des situations issues des domaines scientifiques et technologiques, notamment celles nécessitant du calcul vectoriel dans un cadre non repéré. - Choisir la méthode la plus adaptée en vue de la résolution d un problème. Applications du produit scalaire. - Calculer des angles et des longueurs. Nombres complexes Forme algébrique : somme, - Effectuer des calculs produit, quotient, conjugué. algébriques avec des nombres complexes. Représentation géométrique. Affixe d un point, d un vecteur. - Représenter un nombre complexe par un point ou un vecteur. Le plan est muni d un repère orthonormé (O ; u, v ). - Déterminer l affixe d un point ou d un vecteur. Forme trigonométrique : - Passer de la forme algébrique module et argument. à la forme trigonométrique et Interprétation géométrique. inversement. On n effectue pas d opération sur les nombres complexes à partir de la forme trigonométrique. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 4/7

9 Mathématiques, Premières STI2D et STL Bulletin officiel spécial n 3 du 17 mars Statistiques et probabilités Le travail sur les séries statistiques et les probabilités mené en classe de seconde se poursuit avec la mise en place de nouveaux outils. Les sciences et techniques industrielles et du laboratoire fournissent un large éventail de sujets d étude. Cette partie est organisée selon trois objectifs principaux : - Affiner l analyse de séries statistiques. On enrichit les outils de mesure de la dispersion par l introduction de l écart type. On fait réfléchir les élèves sur des données réelles, riches et variées. - Mettre en place la loi binomiale. On s appuie sur l expérimentation et la simulation pour étudier le schéma de Bernoulli. On introduit la notion de variable aléatoire et on installe la loi binomiale dont les utilisations sont nombreuses dans les domaines technologiques. - Expérimenter la notion de différence significative par rapport à une proportion attendue. L acquisition de la loi binomiale permet de poursuivre la formation des élèves dans le domaine de l échantillonnage et des procédures de prise de décision en contexte aléatoire. On fait remarquer que, pour une taille de l échantillon importante, on conforte les résultats vus en classe de seconde. Contenus Statistique descriptive, analyse de données Caractéristiques de dispersion : variance, écart type. Capacités attendues Commentaires - Utiliser de façon appropriée les deux couples usuels qui permettent de résumer une série statistique : (moyenne, écart type) et (médiane, écart interquartile). On utilise la calculatrice ou un logiciel pour déterminer la variance et l écart type d une série statistique. - Étudier une série statistique ou mener une comparaison pertinente de deux séries statistiques à l aide d un logiciel ou d une calculatrice. Probabilités Schéma de Bernoulli. On privilégie l étude d exemples issus de résultats d expériences, de la maîtrise statistique des procédés, du contrôle de qualité, de la fiabilité ou liés au développement durable. Pour la répétition d expériences identiques et indépendantes, la probabilité d une liste de résultats est le produit des probabilités - Simuler un schéma de Bernoulli. de chaque résultat. La notion de probabilité conditionnelle est hors programme. - Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. L étude du schéma de Bernoulli se prête particulièrement à des activités algorithmiques. Aucun développement théorique à propos de la notion de variable aléatoire n est attendu. Variable aléatoire associée au nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 5/7

10 10 Mathématiques, Premières STI2D et STL 2011 Bulletin officiel spécial n 3 du 17 mars 2011 Contenus Capacités attendues Commentaires Loi binomiale. - Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale. Pour introduire la loi binomiale, la représentation à l aide d un arbre est privilégiée : il s agit ici d installer une représentation mentale efficace. Pour n 4, on peut ainsi dénombrer les chemins de l arbre réalisant k succès pour n répétitions et calculer la probabilité d obtenir k succès. Après cette mise en place, on utilise une calculatrice ou un logiciel pour calculer directement des probabilités et représenter graphiquement la loi binomiale. - Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale à l aide de la calculatrice ou du tableur. - Représenter graphiquement la loi binomiale. Espérance, variance et écart type de la loi binomiale. - Interpréter l espérance comme valeur moyenne dans le cas d un grand nombre de répétitions. La formule donnant l espérance de la loi binomiale est conjecturée puis admise, celle de la variance est admise. À l aide de simulations de la loi binomiale et d une approche heuristique de la loi des grands nombres, on conforte expérimentalement les résultats précédents. On peut simuler la loi binomiale avec un algorithme. Échantillonnage Utilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d une fréquence observée sur un échantillon. - Déterminer à l aide de la loi binomiale un intervalle de fluctuation, à environ 95 %, d une fréquence. L intervalle de fluctuation peut être déterminé à l aide d un algorithme ou d un tableur. - Exploiter un tel intervalle pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion. On peut traiter quelques situations liées au contrôle en cours de fabrication ou à la réception d une production. Le vocabulaire des tests (test d hypothèse, hypothèse nulle, risque de première espèce) est hors programme. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 6/7

11 Mathématiques, Premières STI2D et STL Bulletin officiel spécial n 3 du 17 mars 2011 Algorithmique En seconde, les élèves ont conçu et mis en œuvre quelques algorithmes. Cette formation se poursuit tout au long du cycle terminal. Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés à : - décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ; - en réaliser quelques-uns à l aide d un tableur ou d un programme sur calculatrice ou avec un logiciel adapté ; - interpréter des algorithmes plus complexes. Aucun langage, aucun logiciel n est imposé. L algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être en relation avec les autres parties du programme (algèbre et analyse, statistiques et probabilités, logique), mais aussi avec les autres disciplines ou le traitement de problèmes concrets. À l occasion de l écriture d algorithmes et de programmes, il convient de donner aux élèves de bonnes habitudes de rigueur et de les entraîner aux pratiques systématiques de vérification et de contrôle. Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie). Les élèves, dans le cadre d une résolution de problèmes, doivent être capables : - d écrire une formule permettant un calcul ; - d écrire un programme calculant et donnant la valeur d une fonction ; ainsi que les instructions d entrées et sorties nécessaires au traitement. Boucle et itérateur, instruction conditionnelle Les élèves, dans le cadre d une résolution de problèmes, doivent être capables de : - programmer un calcul itératif, le nombre d itérations étant donné ; - programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucle conditionnelle. Notations et raisonnement mathématiques Cette rubrique, consacrée à l apprentissage des notations mathématiques et à la logique, ne doit pas faire l objet de séances de cours spécifiques mais doit être répartie sur toute l année scolaire. Notations mathématiques Les élèves doivent connaître les notions d élément d un ensemble, de sous-ensemble, d appartenance et d inclusion, de réunion, d intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant :,,, ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Pour le complémentaire d un ensemble A, on utilise la notation des probabilités A. Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur des exemples, à : - utiliser correctement les connecteurs logiques «et», «ou» et à distinguer leur sens des sens courants de «et», «ou» dans le langage usuel ; - utiliser à bon escient les quantificateurs universel, existentiel (les symboles, ne sont pas exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et, particulièrement, dans les propositions conditionnelles ; - distinguer, dans le cas d une proposition conditionnelle, la proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ; - utiliser à bon escient les expressions «condition nécessaire», «condition suffisante» ; - formuler la négation d une proposition ; - utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ; - reconnaître et utiliser des types de raisonnement spécifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l absurde. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 7/7

12 12 Mathématiques, Terminales STI2D et STL, spécialité SPCL 2012 Bulletin officiel spécial n 8 du 13 octobre 2011 Annexe Programme d enseignement de mathématiques Classe terminale des séries technologiques STI2D et STL, spécialité SPCL L enseignement des mathématiques au collège et au lycée a pour but de donner à chaque élève la culture mathématique indispensable à sa vie de citoyen et les bases nécessaires à son projet de poursuite d études. Le cycle terminal des séries STI2D et STL permet l acquisition d un bagage mathématique qui favorise une adaptation aux différents cursus accessibles aux élèves, en développant leurs capacités à mobiliser des méthodes mathématiques appropriées au traitement de situations scientifiques et technologiques et, plus largement, en les formant à la pratique d une démarche scientifique. L apprentissage des mathématiques cultive des compétences qui facilitent une formation tout au long de la vie et aident à mieux appréhender une société en évolution. Au-delà du cadre scolaire, il s inscrit dans une perspective de formation de l individu. Objectif général Outre l apport de nouvelles connaissances, le programme vise le développement des compétences suivantes : mettre en œuvre une recherche de façon autonome ; mener des raisonnements ; avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus ; communiquer à l écrit et à l oral. Mise en œuvre du programme Le programme s en tient à un cadre et à un vocabulaire théorique modestes, mais suffisamment efficaces pour l étude de situations usuelles et assez riches pour servir de support à une formation solide. Pour favoriser la progressivité de l orientation, le programme est commun aux différentes spécialités de STI2D et de STL. Toutefois, au niveau de la classe terminale, les programmes de STI2D-STL physique-chimie d une part, de STL biotechnologie d autre part, font l objet de quelques différences afin de les adapter au mieux aux spécificités des filières. C est au niveau du choix des situations étudiées qu une diversité s impose en fonction de chaque spécialité et de ses finalités propres. Les enseignants de mathématiques doivent avoir régulièrement accès aux laboratoires afin de favoriser l établissement de liens forts entre la formation mathématique et les formations dispensées dans les enseignements scientifiques et technologiques. Cet accès permet de : prendre appui sur les situations expérimentales rencontrées dans ces enseignements ; connaître les logiciels utilisés et l exploitation qui peut en être faite pour illustrer les concepts mathématiques ; prendre en compte les besoins mathématiques des autres disciplines. Utilisation d outils logiciels L utilisation de logiciels, d outils de visualisation et de simulation, de calcul (formel ou scientifique) et de programmation change profondément la nature de l enseignement en favorisant une démarche d investigation. En particulier lors de la résolution de problèmes, l utilisation de logiciels de calcul formel peut limiter le temps consacré à des calculs très techniques afin de se concentrer sur la mise en place de raisonnements. L utilisation de ces outils intervient selon trois modalités : par le professeur, en classe, avec un dispositif de visualisation collective ; par les élèves, sous forme de travaux pratiques de mathématiques ; dans le cadre du travail personnel des élèves hors de la classe. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 1 / 11

13 Mathématiques, Terminales STI2D et STL, spécialité SPCL Bulletin officiel spécial n 8 du 13 octobre 2011 Raisonnement et langage mathématiques Comme en classe de seconde, les capacités d argumentation et de logique font partie intégrante des exigences du cycle terminal. Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne font pas l objet de cours spécifiques mais prennent naturellement leur place dans tous les champs du programme. Il convient cependant de prévoir des temps de synthèse. De même, le vocabulaire et les notations mathématiques ne sont pas fixés d emblée, mais sont introduits au cours du traitement d une question en fonction de leur utilité. Diversité de l activité de l élève Les activités proposées en classe et hors du temps scolaire prennent appui sur la résolution de problèmes essentiellement en lien avec d autres disciplines. Il convient de privilégier une approche des notions nouvelles par l étude de situations concrètes. L appropriation des concepts se fait d abord au travers d exemples avant d aboutir à des développements théoriques, à effectuer dans un deuxième temps. De nature diverse, les activités doivent entraîner les élèves à : chercher, expérimenter, modéliser, en particulier à l aide d outils logiciels ; choisir et appliquer des techniques de calcul ; mettre en œuvre des algorithmes ; raisonner et interpréter, valider, exploiter des résultats ; expliquer oralement une démarche, communiquer un résultat par oral ou par écrit. Des éléments d histoire des mathématiques, des sciences et des techniques peuvent s insérer dans la mise en œuvre du programme. Connaître le nom de quelques scientifiques célèbres, la période à laquelle ils ont vécu et leur contribution fait partie intégrante du bagage culturel de tout élève ayant une formation scientifique. Les travaux hors du temps scolaire sont impératifs pour soutenir les apprentissages des élèves. Fréquents, de longueur raisonnable et de nature variée, ces travaux sont essentiels à la formation des élèves. Ils sont conçus de façon à prendre en compte la diversité des aptitudes des élèves. Les modes d évaluation prennent également des formes variées, en phase avec les objectifs poursuivis. En particulier, l aptitude à mobiliser l outil informatique dans le cadre de la résolution de problèmes est à évaluer. Organisation du programme Le programme fixe les objectifs à atteindre en termes de capacités. Il est conçu pour favoriser une acquisition progressive des notions et leur pérennisation. Son plan n indique pas la progression à suivre, cette dernière devant s adapter aux besoins des autres enseignements. À titre indicatif, on pourrait consacrer environ 70 % du temps à l analyse. Les capacités attendues dans le domaine de l algorithmique d une part et du raisonnement d autre part sont rappelées en fin de programme. Elles doivent être exercées à l intérieur de divers champs du programme. Les exigences doivent être modestes et conformes à l esprit des filières concernées. Les activités de type algorithmique sont signalées par le symbole. Les commentaires notés ' distinguent des thèmes pouvant se prêter à des ouvertures interdisciplinaires, en concertation avec les professeurs d autres disciplines scientifiques et technologiques. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 2 / 11

14 14 Mathématiques, Terminales STI2D et STL, spécialité SPCL 2012 Bulletin officiel spécial n 8 du 13 octobre Analyse On poursuit, en classe terminale, l apport d outils permettant de traiter un plus grand nombre de problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets. Le travail sur les suites et les fonctions permet en particulier de s interroger sur le passage du discret au continu et inversement, variant ainsi les approches des problèmes et les modes de résolution. Cette partie est organisée selon quatre objectifs principaux : Consolider l ensemble des fonctions mobilisables. On enrichit cet ensemble de nouvelles fonctions de référence : les fonctions logarithmes et exponentielles. Développer la notion de limite. En classe de première, l étude des suites a été l occasion de découvrir la notion de limite. En classe terminale, la notion de limite d une suite est affinée et sa formalisation demande à être accompagnée d une approche expérimentale, graphique et numérique. Les objectifs essentiels sont la compréhension de cette notion ainsi que la recherche de seuils. L étude des limites de suites se prête tout particulièrement à la mise en place d activités algorithmiques. La notion de limite est ensuite étendue à celle de limite d une fonction. Les attendus en termes de calculs sur les limites de fonctions sont modestes. Introduire le calcul intégral. La notion d intégrale est introduite à partir de celle d aire. Le calcul intégral, bien que modestement développé, se révèle un outil efficace tant en mathématiques que dans les autres disciplines. Découvrir la notion d équation différentielle. La notion d équation différentielle est introduite et travaillée dans le cadre de situations variées, par exemple les circuits électriques, le mouvement d un point matériel ou la cinétique chimique. Le programme propose l étude d équations différentielles simples mais, selon les besoins des autres disciplines, on peut en étudier d autres. L accent est mis sur la diversité des approches numérique, graphique et algorithmique, lesquelles contribuent à l appropriation des concepts mathématiques. Contenus Capacités attendues Suites Limite d une suite définie par Étant donné une suite (u n ), mettre son terme général. en œuvre des algorithmes permettant, lorsque cela est possible, de déterminer : Notation lim u n. - un seuil à partir duquel u n 10 p, n + Commentaires Pour exprimer que la suite (u n ) a pour limite + quand n tend vers +, on dit que, pour tout entier naturel p, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes u n sont supérieurs à 10 p. p étant un entier naturel donné ; - un seuil à partir duquel u n l 10 p, p étant un entier naturel donné. Pour exprimer que la suite (u n ) a pour limite l quand n tend vers +, on dit que, pour tout entier naturel p, on peut trouver un rang à partir duquel tous les termes un sont à une distance de l inférieure à 10 p. Comme en classe de première, il est important de varier les outils et les approches. Suites géométriques : - somme de termes consécutifs d une suite géométrique ; - limite. Reconnaître et justifier la présence d une suite géométrique dans une situation donnée. Connaître et utiliser la formule n On peut introduire la notation qi. i =0 donnant 1 + q q n, où q est un réel différent de 1. Connaître et utiliser lim q n pour On étudie quelques exemples de comportement n + q positif. de (q n ) avec q négatif. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 3 / 11

15 Mathématiques, Terminales STI2D et STL, spécialité SPCL Bulletin officiel spécial n 8 du 13 octobre 2011 Contenus Capacités attendues Limites de fonctions Asymptotes parallèles aux Interpréter une représentation axes : graphique en termes de limite. - limite finie d une fonction à Interpréter graphiquement une l infini ; - limite infinie d une fonction limite en termes d asymptote. en un point. Commentaires Ces notions sont introduites par une approche numérique et graphique à l aide d un logiciel ou d une calculatrice. Limite infinie d une fonction à l infini. Limites et opérations. Déterminer la limite d une fonction simple. On se limite aux fonctions déduites des fonctions de référence par addition, multiplication ou passage à l inverse et on évite tout excès de technicité. Déterminer des limites pour des fonctions de la forme : x a u n (x), n entier naturel non nul ; x a ln(u ( x)) ; La fonction x a f (u ( x)), enchaînement de la fonction u suivie de la fonction f, est introduite pour la recherche de limites. La rédaction attendue est simple et sans aucun formalisme. x a eu ( x). ' Phénomènes amortis. Dérivées et primitives Calcul de dérivées : compléments. Calculer les dérivées des fonctions de la forme : x a u n ( x), n entier relatif non nul ; x a ln(u ( x)) ; À partir de ces exemples, on met en évidence une expression unifiée de la dérivée de la fonction x a f (u ( x)), mais sa connaissance n est pas une capacité attendue. x a eu ( x). Primitives d une fonction sur un intervalle. Connaître et utiliser des primitives des fonctions de référence. Déterminer des primitives de fonctions de la forme u u n, n entier u relatif différent de 1,, u e u. u u, on se limite au cas u où u est une fonction strictement positive. Pour les primitives de ' Mouvement uniformément accéléré, retardé. ' Point de fonctionnement optimal d un système lors d un transfert d énergie. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 4 / 11

16 16 Mathématiques, Terminales STI2D et STL, spécialité SPCL 2012 Bulletin officiel spécial n 8 du 13 octobre 2011 Contenus Fonctions logarithmes Fonction logarithme népérien. Relation fonctionnelle. Nombre e. Capacités attendues Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture. Connaître les variations, les limites et la représentation graphique de la fonction logarithme népérien. Résoudre une inéquation d inconnue n entier naturel, de la forme q n a ou q n a, avec q et a deux réels strictement positifs. Fonction logarithme en base dix ou en base deux, selon les besoins. Fonctions exponentielles Fonction x a exp(x). Relation fonctionnelle. Notation e x. Commentaires En s appuyant sur des situations technologiques ou historiques, on justifie la pertinence de la recherche d une solution à l équation fonctionnelle suivante, notée (E) : pour tous réels a et b strictement positifs, f ( ab) = f ( a) + f (b). On s intéresse aux solutions de l équation (E) dérivables sur ] 0,+ [ (existence admise). On montre que la fonction dérivée d une telle α, où α est un x nombre réel. La fonction logarithme népérien est alors présentée comme la seule solution de l équation (E) dérivable sur ] 0,+ [ dont la 1 fonction dérivée est x a. x On s appuie sur des exemples issus des autres disciplines pour introduire ces fonctions. solution est de la forme x a ' Échelle des ph, intensité sonore, gain et fréquence, traitement de l information. Connaître les variations, les limites et la représentation graphique de la fonction exponentielle. Pour tout nombre réel a, le réel exp(a ) est défini comme unique solution de l équation d inconnue b : ln b = a. Utiliser la relation fonctionnelle On justifie la notation e x. pour transformer une écriture. Passer de ln x = a à x = e a et inversement, a étant un réel et x un réel strictement positif. Exemples de fonctions exponentielles de base a, x a a x, où a est un réel strictement positif, et de fonctions puissances x a xα, avec α réel. Comparaison des Connaître et utiliser les limites de comportements en + de la ln x ex x a n et x a n en +, n fonction exponentielle (de x x base e) et de la fonction étant un entier naturel. logarithme népérien avec les fonctions puissances. En lien avec les autres disciplines, on étudie quelques exemples simples de fonctions exponentielles de base a ou de fonctions puissances, mises sous la forme e u. Aucun résultat théorique n est à connaître. Ces résultats sont conjecturés puis admis. On se limite à des exemples simples d utilisation. L approche, à l aide d un logiciel, de la limite ln x en + de fonctions de la forme x a α, x avec α ]0, 1[, enrichit le point de vue. ' Radioactivité. ' Transmission par courroie. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 5 / 11

17 Mathématiques, Terminales STI2D et STL, spécialité SPCL Bulletin officiel spécial n 8 du 13 octobre 2011 Contenus Intégration Définition de l intégrale d une fonction continue et positive sur [a, b] comme aire sous la courbe. Notation Capacités attendues Pour une fonction monotone positive, mettre en œuvre un algorithme pour déterminer un encadrement d une intégrale. b a f ( x) dx. Dans le cas d une fonction f positive et monotone, on sensibilise les élèves au fait que b a f ( x) dx = F (b) F (a) la fonction x a où F est une primitive de f. Valeur moyenne d une fonction sur un intervalle. x a f (t ) dt est dérivable sur [a, b] et a pour fonction dérivée f. On s approprie le principe de la démonstration par une visualisation à l aide d un logiciel. Calculer une intégrale. La formule b a f ( x)dx = F (b) F (a ), valable pour une fonction continue et positive, est étendue au cas d une fonction continue de signe quelconque. Propriétés de l intégrale : linéarité, positivité, relation de Chasles. Calculs d aires. On se limite à une approche intuitive de la continuité et on admet que les fonctions considérées en classe terminale sont continues sur les intervalles où elles sont intégrées. On s appuie sur la notion intuitive d aire. Formule Intégrale d une fonction continue de signe quelconque. Commentaires Déterminer l aire du domaine défini comme l ensemble des points M ( x, y ) tels que a x b et f ( x) y g ( x), f et g étant deux fonctions. On étudie en particulier le cas où g est la fonction nulle. Il est intéressant de traiter des cas de fonctions changeant de signe. Cette notion est introduite et travaillée en s appuyant sur des situations issues des disciplines technologiques et des sciences physiques. ' Valeur moyenne, valeur efficace dans un transfert énergétique. Équations différentielles Dans cette partie, on propose des exemples en lien avec les autres disciplines. On s appuie sur les outils logiciels pour visualiser la famille des courbes représentatives des solutions d une équation différentielle. On traite tout d abord le cas de l équation Équation y + ay = b, où a et Résoudre une équation différentielle qui peut s écrire sous homogène y + ay = 0. b sont des nombres la forme y + ay = b, où a et b sont réels, avec a 0. des nombres réels, avec a 0. Existence et unicité de la Déterminer la solution satisfaisant solution satisfaisant une une condition initiale donnée. condition initiale donnée. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 6 / 11

18 18 Mathématiques, Terminales STI2D et STL, spécialité SPCL 2012 Bulletin officiel spécial n 8 du 13 octobre 2011 Contenus Capacités attendues Équation y + ω y = 0, où ω Résoudre une équation différentielle qui peut s écrire sous est un nombre réel non nul. la forme y + ω 2 y = 0, où ω est un nombre réel non nul. 2 Existence et unicité de la solution satisfaisant des conditions initiales données. Déterminer la solution satisfaisant des conditions initiales données. Commentaires La forme générale des solutions t a λ cos ω t + μ sin ω t est admise. On met en évidence que les solutions sont de la forme t a A sin(ω t + ϕ ) mais la transformation d expressions de la forme λ cos ω t + μ sin ω t n est pas un attendu du programme. L existence et l unicité de la solution satisfaisant des conditions initiales données sont admises. En liaison avec d autres disciplines, on peut être amené à étudier d autres types d équations différentielles mais ce n est pas un attendu du programme. ' Circuits électriques RC, RL et LC ; résistance des matériaux. 2. Géométrie et nombres complexes Dans la continuité de la classe de première, on apporte aux élèves des outils efficaces pour la résolution de problèmes rencontrés dans les enseignements scientifiques et technologiques. Cette partie est organisée selon deux objectifs principaux : Découvrir et exploiter quelques formules trigonométriques classiques. À cette occasion, on consolide les connaissances sur la trigonométrie et le produit scalaire développées en classe de première. Enrichir les connaissances sur les nombres complexes. Il s agit d introduire et d utiliser la forme exponentielle d un nombre complexe qui s avère très utile pour mener des calculs algébriques, notamment en lien avec les besoins des disciplines technologiques. Contenus Capacités attendues Commentaires Produit scalaire dans le plan Formules d addition et de duplication des sinus et cosinus. Connaître et utiliser ces formules À partir des formules de duplication, on obtient les formules de linéarisation sur des exemples simples. de cos 2 a et sin 2 a. La linéarisation d autres puissances n est pas au programme. Nombres complexes Forme exponentielle re iθ avec Utiliser l écriture exponentielle r 0: pour effectuer des calculs iθ iθ ' i (θ +θ ' ) algébriques avec des nombres ; - relation e e = e complexes. - produit, quotient et conjugué. On fait le lien entre la relation e iθ e iθ ' = e i (θ +θ ') et les formules d addition en trigonométrie. On exploite des situations issues des disciplines technologiques pour illustrer les calculs de produits et de quotients sous forme exponentielle. ' Impédances, admittances complexes. Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 7 / 11

19 Mathématiques, Terminales STI2D et STL, spécialité SPCL Bulletin officiel spécial n 8 du 13 octobre Probabilités et statistique En probabilités et statistique, on approfondit le travail mené les années précédentes en l enrichissant selon deux objectifs principaux : Découvrir et exploiter des exemples de lois à densité. On aborde ici le champ des problèmes à données continues. La loi uniforme fournit un cadre simple pour découvrir le concept de loi à densité et les notions afférentes. Le travail se poursuit dans le cadre des lois exponentielle et normale où le lien entre probabilité et aire est consolidé. La loi normale, fréquemment rencontrée dans les autres disciplines, doit être l occasion d un travail interdisciplinaire. Compléter la problématique de la prise de décision par celle de l estimation par intervalle de confiance. On s appuie sur la loi normale et, en mathématiques, on se limite au cadre d une proportion. Toutefois, la pertinence des méthodes statistiques utilisées dans les disciplines scientifiques et technologiques, en particulier l estimation d une moyenne, peut s observer par simulation. Dans cette partie, le recours aux représentations graphiques et aux simulations est indispensable. Contenus Capacités attendues Toute théorie générale des lois à densité et des intégrales sur un intervalle non borné est exclue. L instruction «nombre aléatoire» d un logiciel ou d une calculatrice permet d introduire la loi uniforme sur [0, 1] puis sur [a, b]. Si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur [a, b] et si I est un intervalle inclus dans [a, b], la probabilité de l événement «X I» est l aire du domaine { M ( x, y ) ; x I et 1 0 y f ( x) } où f : x a est la fonction b a de densité de la loi uniforme sur [a, b]. Exemples de lois à densité Loi uniforme sur [a, b]. Espérance et variance d une variable aléatoire suivant une loi uniforme. Commentaires Concevoir et exploiter une simulation dans le cadre d une loi uniforme. La notion d espérance d une variable aléatoire à densité sur [a, b] est définie à cette occasion par b a t f (t ) dt. On note que cette définition constitue un prolongement dans le cadre continu de l espérance d une variable aléatoire discrète, rencontrée avec la loi binomiale. Par analogie avec la démarche conduisant à la définition de l espérance, on présente une expression sous forme intégrale de la variance d une variable aléatoire à densité sur [a, b]. La simulation vient à l appui de cette démarche. Loi exponentielle. Calculer une probabilité dans le cadre d une loi exponentielle. On s intéresse à des situations concrètes, par exemple la radioactivité ou la durée de fonctionnement d un système non soumis à un phénomène d usure (taux de désintégration ou taux d avarie constant). Ministère de l'éducation nationale, de la Jeunesse et de la Vie associative > 8 / 11