Probabilités. () Probabilités 1 / 46

Transcription

1 Probabilités () Probabilités 1 / 46

2 1 Dénombrement 2 Probabilités sur un univers fini 3 Variable aléatoire réelle sur un univers fini 4 Variable aléatoire continue () Probabilités 2 / 46

3 Plan 1 Dénombrement 2 Probabilités sur un univers fini 3 Variable aléatoire réelle sur un univers fini 4 Variable aléatoire continue () Probabilités 3 / 46

4 Ensembles Définition Si A, B sont deux parties de E, alors on définit le complémentaire de A dans E, noté E\A (ou Ā ou CE A), est la partie de E dont les éléments n appartiennent pas à A. On a x E\A x A et x E. () Probabilités 4 / 46

5 Cardinal d un ensemble Définition Si E est un ensemble fini, le cardinal de E est le nombre d élément de E. On le note Card(E) ou #E. () Probabilités 5 / 46

6 Proposition Si E et F sont des ensembles finis, alors E F et E F sont finis et on a Card(E F ) = Card(E) + Card(F ) Card(E F ) Si les ensembles E et F sont disjoints (c est à dire E F = ), alors on a Card(E F ) = Card(E) + Card(F ) Exemple: Dans une classe de 31 élèves, le cours d allemand est suivi par 12 élèves et le cours d anglais par 14 élèves. On sait qu il y a 8 élèves qui étudient à la fois l allemand et l anglais. Combien y a-t-il d élèves dans cette classe qui étudient l une ou l autre de ces deux langues? () Probabilités 6 / 46

7 Proposition Soit E est un ensemble fini et A un sous-ensemble de E. Le cardinal du complémentaire E\A est donné par Card(E\A) = Card(E) Card(A) () Probabilités 7 / 46

8 Proposition Si E et F sont deux ensembles finis, le cardinal du produit cartésien E F est Card(E F ) = Card(E) Card(F ) De même, si Si E 1,..., E p sont p ensembles finis, alors E 1 E p = {(x 1,..., x p ), x 1 E 1,..., x p E p } est un ensemble fini et Card(E 1 E p ) = Card(E 1 ) Card(E p ) En particulier, si E est un ensemble fini, alors E n est l ensemble des n-uplets d éléments de E. E n est fini et Card(E n ) = (Card(E)) n Exemple: Une voiture est fabriquée suivant trois déclinaisons : berline, coupé, break, et elle est disponible en 5 couleurs distinctes. Combien de modèles distincts de voiture existe-t-il? () Probabilités 8 / 46

9 Apprendre à compter Théorème Choix successifs avec remise Calculer le nombre de façon de choisir successivement p éléments avec remise dans un ensemble E revient à dénombrer les p-uplets d éléments de E. Il y a donc (Card(E)) p façons de choisir successivement p éléments avec remise dans un ensemble E Exemples: Combien peut-on écrire de mots de trois lettres minuscules? (qui ne sont pas nécessairement dans le dictionnaire). Un octet est une unité de mémoire informatique constituée d une succession de huit chiffres binaires (0 et 1). Combien peut-on coder de caractères différents avec un octet? () Probabilités 9 / 46

10 Théorème Choix successifs sans remise Calculer le nombre de façon de choisir successivement p éléments sans remise dans un ensemble E revient à dénombrer les arrangements d éléments de E, c est à dire un p-uplet d éléments de E distincts deux à deux. Il y a A p n façons de choisir successivement p éléments sans remise dans un ensemble E avec A p n = n! (n p)! = n(n 1)...(n p + 1) }{{} p facteurs 0 si p > n si 0 p n Pour former un arrangement de p éléments, on a n choix possible pour le premier nombre, puis, (n-1) choix pour le deuxième nombre, puis (n 2) choix pour le troisième nombre... () Probabilités 10 / 46

11 Exemples: Si on prend E = {1, 2, 3, 4, 5}. Les triplets (1,3,5), (5,3,1) et (4,2,3) sont des arrangements distincts de E. Le triplet (1, 3, 1) n est pas un arrangement car le 1 est répété deux fois. 8 athlètes disputent une course de 100 m? Combien y a-t-il de podiums distincts possibles? () Probabilités 11 / 46

12 Cas particulier :Soit E un ensemble fini de cardinal n. Une permutation de E est un arrangement des n éléments de E, c est un n-uplet constitués des n d éléments de E dans un certain ordre. Le nombre de permutation de E est égal à n! ( car A n n = n!). Exemples: Si E est l ensemble { cuillère, couteau, fourchette }, alors ( fourchette, cuillère, couteau) est une permutation de E. Sur un chevalet de scrabble, un jour dispose de 7 lettres distinctes. Combien de mots peut-il former (dans le dictionnaire ou non)? () Probabilités 12 / 46

13 Théorème Choix simultanés Calculer le nombre de façon de choisir simultanément p éléments dans un ensemble E revient à dénombrer les combinaisons de p éléments de E, c est à dire les sous-ensemble de E contenant p éléments. (pas d ordre!) Il y a donc Cn p = ( n p) façons de choisir simultanément p éléments dans E, avec Exemples: Cn p = ( n) n! p = p!(n p)! si p n. C p n = ( n p) = 0 si p > n. Si E est l ensemble { bleu, vert, rouge, noir, blanc }, alors les sous ensembles { bleu, rouge, noir }, { bleu, vert, rouge, noir, blanc } et sont des combinaisons de E de 3, 5 et 0 éléments de E respectivement. On tire 5 jetons dans un sac qui contient 20 jetons numérotés de 1 à 20. Combien de poignée différentes de 5 jetons peut-on obtenir? () Probabilités 13 / 46

14 Remarque: Si 0 p n, on a ( n p) = n! p!(n p)! = Ap n p! Ap n = ( n p) p! Pour obtenir un arrangement à p éléments, on forme un sous-ensemble de p éléments de E ( ( n p) possibilités-, puis on ordonne ces p éléments (p! possibilités). Il n y a qu un seul sous-ensemble de E qui contient 0 éléments (l ensemble vide) et un seul qui contient n éléments (E lui-même). Il y a n sous-ensembles de E qui contiennent 1 éléments (les singletons) et n qui contiennent n 1 éléments. Rappelez-vous du triangle de Pascal. () Probabilités 14 / 46

15 Ensembles des parties d un ensemble Définition Si E est un ensemble, on note P(E) l ensemble formé de tous les sous-ensembles de E. Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors Card(P(E)) = 2 n. Exemple: Si E = {a, b, c}, alors P(E) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, E } Remarque: Le nombre total de sous ensemble de E est le nombre de sous-ensemble à 0 éléménts, plus le nombre de sous ensemble à 1 éléments, plus..., plus le nombre de sous-ensemble à n éléments. Autrement dit : 2 n = Card(P(E)) = n p=0 C p n () Probabilités 15 / 46

16 Conseils pour les dénombrements Passer au complémentaire est parfois plus rapide : pour compter les garçons dans la classe ATS, il est plus rapide de compter le nombre de filles et de le retrancher à l effectif total. Le principe du et Si le dénombrement d un ensemble se décompose en une succession de p étapes offrant respectivement n 1,..., n p possiblités (ou chaque nombre n i ne dépend QUE de l étape i), alors le nombre total de possibilités est n 1 n p. Exemple: Une plaque d immatriculation est constituée d une succession de deux lettres, trois chiffres, deux lettres ( les lettres I, O, U ne sont jamais utilisées). Combien existe-t-il de plaque différentes? () Probabilités 16 / 46

17 Découper pour mieux compter. Quand on veut dénombrer un ensemble, on peut partitionner ( découper ) celui-ci en plusieurs sous-ensembles disjoints plus facile à dénombrer. Le cardinal global est alors la somme des cardinaux de la partition faite. Exemple: Dénombrer le nombre de carré (de toutes tailles) dans le quadrillage Il y a 9 carrés de taille 1, 4 carré de taille 2 et 1 carré de taille 3. Donc au total 9+4+1= 14 carrés. () Probabilités 17 / 46

18 Découper pour mieux compter (2). Lorsqu un ensemble à dénombrer est défini par des expression Au moins... ou Au plus..., il est plus simple de partitionner cet ensemble en sous-ensembles définis à par l expression Exactement.... (N oubliez pas le premier conseil au passage) Exemple: Dénombrer les mots de 5 lettres contenant au moins une fois la lettre A. On peut dénombrer les mots qui contiennent exactement une fois A, puis ceux qui contiennent exactement 2 fois A, exactement 3 fois A, exactement 4 fois A, exactement 5 fois A. Et on additionne les résultats. On peut aussi passer au complémentaire : on compte les mots qui ne contiennent pas la lettre A. Puis retirer ce nombre au nombre total de mots. Ce qui est plus rapide. () Probabilités 18 / 46

19 Avec ou sans ordre? On doit choisir p éléments parmi n, sans ordre et sans remise. Dans les faits, certes, on tire ces éléments un après l autre... Mais on n a pas intérêt à considérer l ordre dans lesquels ces éléments sont tirés pour faire les calculs. On utilise alors les combinaisons, en regardant le résultat d un tirage sans l ordre d obtention des éléments. Exemple: Combien de mains de 5 cartes peut-on obtenir à l aide d un jeu de 23 cartes? () Probabilités 19 / 46

20 Avec ordre! Si l ordre a une importance, ou lors d un tirage avec remise (ou quand c est plus simple) on fait des choix successifs. On utilise alors le principe multiplicatif en décomposant en autant d étapes que de choix à effectuer. Exemple: On dispose de trois urnes. La première contient 8 boules bleues, la deuxième 7 boules blanches et la troisième 5 boules rouges. Combien peut-on faire de tirage sans remise de 6 boules contenant 2 boules bleues, 2 rouges, et 2 blanches? () Probabilités 20 / 46

21 Plan 1 Dénombrement 2 Probabilités sur un univers fini 3 Variable aléatoire réelle sur un univers fini 4 Variable aléatoire continue () Probabilités 21 / 46

22 Univers et événements Définition L ensemble des résultats d une expérience aléatoire est appelé univers des possibles, on le note en général Ω. Chaque sous-ensemble de Ω est appelé un événement. L ensemble P(Ω) des parties de Ω est donc l ensemble des événements. Les événements élémentaires sont les singletons de Ω. Dans cette section, on n étudie que le cas où Ω est un ensemble fini. () Probabilités 22 / 46

23 Exemples: L univers des résultats d un jet de dé est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L univers des résultats d un lancer de pièce est Ω = { Pile, Face }. Le premier jour de panne d une machine depuis sa mise en route est Ω = N. Lors d un lancer de dé, l événement obtenir un nombre pair est le sous -ensemble {2, 4, 6} de Ω. Lors d un lancer de dé, les événements élémentaires sont {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}. () Probabilités 23 / 46

24 Définition Si A et B sont deux événements L événement Ω\A se note A ou non A : c est l évenement contraire de A L événement A B se lit A ou B : A se produit ou B se produit (non exclusif!). L événement A B se lit A et B : A et B se produisent (en même temps). A\B = A B : A se produit, mais pas B. () Probabilités 24 / 46

25 Exemple: Expérience du lancer de dé. On définit A= le résultat est pair ={2, 4, 6} et B= Le résultat est inférieur ou égal à 3 ={1, 2, 3}. L événement contraire de A est A = {1, 3, 5}. L événement le résultat est pair ou inférieur ou égal à 3 est A B = {1, 2, 3, 4, 6}. L événement le résultat est pair et inférieur ou égal à trois est A B = {2}. L événement le résultat est pair, mais pas inférieur ou égal à 3 est A\B = {4, 6}. () Probabilités 25 / 46

26 Définition On dit que deux événements A et B sont incompatibles si A B =. les deux événements ne peuvent pas se réaliser en même temps à l issue de l expérience. On dit que l événement A implique l événement B si A B. Si A se produit, alors B se produit. Exemple: Expérience du lancer de dé : l événement A= obtenir un nombre inférieur à 2 implique B= obtenir un nombre inférieur à 3. () Probabilités 26 / 46

27 Définition Une famille A 1,..., A n d événement de Ω est une partition (ou système complet d événements) si et seulement si 1 Les A i sont incompatibles deux à deux : i, j {1,..., n}, i j A i A j =. 2 A 1 A n = Ω () Probabilités 27 / 46

28 Probabilités sur un univers fini Définition Une probabilité sur un univers fini Ω est une application P : P(Ω) [0, 1] telle que 1 P(Ω) = 1 2 Pour tous événements incompatibles A et B, P(A B) = P(A) + P(B). Exemple: Soit Ω un ensemble fini non vide. Pour toute partie A de Ω, on pose P(A) = Card(A) nombre de cas favorables = Card(Ω) nombre de cas possibles On a bien défini une probabilité, qui s appelle l équiprobabilité. Chaque événement élémentaire a la même chance de se produire, à savoir 1 Card(Ω). () Probabilités 28 / 46

29 Exercice 1 On permute au hasard les n tomes d une encyclopédie. Quelle est la probabilité p que les tomes 1 et 2 se retrouvent côte à côte dans cet ordre? () Probabilités 29 / 46

30 Proposition Soient A et B deux événemens. 1 P(A) = 1 P(A). En particulier P( ) = 0. 2 P(B\A) = P(B) P(A B). En particulier, si A B, alors P(B\A) = P(B) P(A) 3 Si A implique B, alors P(A) P(B). Il est quelque fois plus simple de passer par le contraire pour calculer la probabilité d un événement. Exercice 2 On lance un dé rouge et un dé vert. Quelle est la probabilité qu au moins un des deux donne un résultat pair? () Probabilités 30 / 46

31 Proposition Pour toute collection A 1,..., A n d événements deux à deux incompatibles, on a n P(A 1 A n ) = P(A i ) En particulier, si A 1,..., A n est une partition de Ω, alors n i=1 P(A i) = 1. Exemple: Dans une classe où tous les élèves font une LV (anglais, allemand et espagnol). La probabilité qu un élève fasse anglais est 1/5, celle qui fasse allemand est 3/10. Alors la probabilité qu il fasse espagnol est 1-1/5-3/10= 1/2. i=1 () Probabilités 31 / 46

32 En application de la propriété précédente, si un événement A est réunion d événements élémentaires {a 1 },... {a n }, alors P(A) = P({a 1 }) + + P({a n }) En particulier, pour définir une probabilité sur Ω, il suffit de définir la probabilité de chacun des événements élémentaires : si Ω = {a 1,..., a n }, on définit P en se donnant des éléments p 1,..., p n de l intervalle [0, 1] tels que n i {1,... n}, p i = P({a i }), et p i = 1 Exemples: La loi de probabilité telle que i {1,... n}, P({a i }) = 1 n est l équiprobabilité. i=1 Si Ω = {0, 1}, la probabilité P telle que P({1}) = p et P({0}) = 1 p (avec p [0, 1]) est la loi de Bernoulli. () Probabilités 32 / 46

33 Proposition Si A et B sont deux événements, alors P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) () Probabilités 33 / 46

34 Probabilités conditionnelles Définition Soit E un événement de probabilité non nulle. Pour tout événement A, on appelle la probabilité de A sachant E le nombre, noté P(A E) ou P E (A) défini par P(A E) P(A E) = P E (A) = P(E) () Probabilités 34 / 46

35 Exemple: A la naissance d un enfant, on suppose qu il y a autant de chance qu un garçon ou qu une fille naisse. Vous rencontrez un ami. Vous savez qu il a deux enfants, sans vous souvenir si ce sont des garçons ou des filles ou les deux. Votre ami est accompagné d une fille. Quelle est la probabilité qu il ait deux filles? L univers est Ω = {(F, F ), (F, G), (G, F ), (G, G)} où la première lettre identifie le sexe du premier enfant et la deuxième du second enfant. La probabilité est l équiprobabilité. On note A= L ami a deux filles et E = l ami a au moins une fille. On constate que A E, donc A E = A. La probabilité qu on cherche est P(A E). P(A E) = P(A E) P(E) = P({(F, F )}) P({(F, F ), (F, G), (G, F )} = 1/4 3/4 = 1 3 () Probabilités 35 / 46

36 Proposition La fonction P E : A P(A E) est une probabilité à part entière sur Ω. En particulier, pour tout événements A et B, on a 1 P(A E) = 1 P(A E) 2 P(B\A E) = P(B E) P(A B E) 3 P(A B E) = P(A E) + P(B E) P(A B E) Remarque: Pour calculer la probabilité qu un événement A et un événement B se produisent simultanément, il peut être pratique de conditionner, c est à dire de se ramener à un des deux formules : P(A B) = P(A B)P(B), et P(A B) = P(B A)P(A) () Probabilités 36 / 46

37 Proposition Si des événements E 1,..., E n forment une partition (ou système complet d événements) et si A est un événement, on a P(A) = n P(A E i ) et P(A) = i=1 n P(A E i )P(E i ) i=1 La seconde formule s appelle formule des probabilités totales. Typiquement, les événements E i représentent les différentes causes possibles qui peuvent engendrer A. Cette formule sert souvent quand avec juste est E et E, où E est un événément : P(A) = P(A E) + P(A E) = P(A E)P(E) + P(A E)P(E) () Probabilités 37 / 46

38 Proposition Formule de Bayes Lorsqu un événement A peut être la conséquence d une collection d événements E 1,..., E n (les causes) qui forment une partition, il arrive souvent qu on veuille calculer avec quelle probabilité c est la cause E k qui est à l origine de la réalisation de A, autrement dit P(E k A). On a P(E k A) = P(E k A) P(A) = P(E k A) n i=1 P(A E i) P(E k A) = P(A E k)p(e k ) n i=1 P(A E i) Formule à ne surtout pas apprendre par coeur! Il vaut beaucoup mieux savoir établir et utiliser un arbre de probabilités. () Probabilités 38 / 46

39 Construction d un arbre de probabilité On donne deux partitions : A 1,..., A n ( premier critère ou cause ) et B 1,..., B p ( deuxième critère ou conséquence ) dont on ne connait les probabilités que sachant déjà les A i. On peut alors construire l arbre suivant : () Probabilités 39 / 46

40 Les probabilités sur les flèches sont appelées probabilité de transition. Règles de calcul des arbres la somme des probabilités des flèches partant d un même noeud (point) vaut 1. La probabilité à l extrémité d une branches est le produit des flèches y menant, et ça correspond à l intersection des événements A i et B j. Cette arbre permet de calculer les probabilité d un événement B j, en sommant toutes les probabilités P(A i B j ), i = 1,..., n à l extrémité de l arbre. () Probabilités 40 / 46

41 Exercice 3 Monsieur Z. vient au lycée en train une fois sur deux en moyenne, en voiture deux fois sur cinq et en bus dans les autres cas. Lorsqu il vient en train, il y a une probabilité de 0,1 qu il soit en retard. Lorsqu il vient en voiture, il y a une probabilité de 0,2 qu il soit en retard. Lorsqu il vient en bus, il y a une probabilité de 0,6 qu il soit en retard. Aujourd hui, monsieur Z. est en retard. Quelle est la probabilité qu il soit venu en bus? () Probabilités 41 / 46

42 Indépendance Dans le vocabulaire courant, dire que deux événements sont indépendants signifie qu ils n ont pas de liens entre eux. On parle d indépendance physique. Mais en mathématiques, l indépendance a un sens différent. Définition Soient A, B deux événements. Il revient au même de dire que P(A B) = P(A)P(B) ou P(A B) = P(A) ou P(B A) = P(B) On dit alors que les événements A et B sont indépendants. La réalisation de l un ne change pas la probabilité que l autre se réalise. Remarque: 1 Si A et B sont indépendants, alors A et B sont indépendants et A et B sont indépendants. 2 Si des événements sont physiquement indépendants, alors ils sont mathématiquement indépendants. Mais la réciproque est fausse. () Probabilités 42 / 46

43 Exercice 4 On lance indépendamment deux dés à 6 faces, un rouge et un vert. On considère A= le dé vert affiche 1, B= Le dé rouge affiche 2 et C= les deux dés affichent le même nombre. Montrer que A, B et C sont deux à deux indépendants. () Probabilités 43 / 46

44 Définition On dit que les événements A 1,..., A n sont mutuellement indépendant lorsque, pour tout sous famille d indice i 1,..., i k, on a P(A i1 A ik ) = P(A i1 ) P(A ik ) Exemple: Dans l exercice précédents, A, B, C sont indépendants deux à deux. Par contre P(A B C) = 0 P(A)P(B)P(C), donc ils ne sont pas mutuellement indépendants. Remarque: De même que précédemment, si des événements sont mutuellement indépendant, alors remplacer certains événements par le contraire ne change pas la mutuelle indépendance. Et l indépendance physique entraine la mutuelle indépendance. Exercice 5 Soit p ]0, 1[. on effectue n tirages indépendants à pile ou face avec une pièce. Cette pièce a pour probabilité p de faire pile lors un lancer. Calculer la probabilité que le premier face apparaisse au dernier tirage? () Probabilités 44 / 46

45 Plan 1 Dénombrement 2 Probabilités sur un univers fini 3 Variable aléatoire réelle sur un univers fini 4 Variable aléatoire continue () Probabilités 45 / 46

46 Plan 1 Dénombrement 2 Probabilités sur un univers fini 3 Variable aléatoire réelle sur un univers fini 4 Variable aléatoire continue () Probabilités 46 / 46