LE CHAMP MAGNETOSTATIQUE*

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1 LE CHAMP MAGNETOSTATIQUE* * On appelle champ magnétostatique un champ magnétique indépendant du temps (programme de PTSI). Beaucoup de livres parlent simplement de champs magnétiques qui peuvent, ou pas, dépendre du temps. Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 1

2 1-Sources et effet d un champ magnétostatique Source: les charges en mouvement Charge libre possédant une vitesse dans un référentiel donné. Courant électrique (écoulement de charges dans un conducteur). Aimant (courant à l échelle atomique). Production: Champ magnétique B (champ vectoriel) en tout point de l'espace. Effet: Une particule de charge q, animée d'une vitesse v, dans un référentiel donné, va subir la force de Lorentz: F = qv B. Un conducteur parcouru par un courant électrique va subir une force car chaque porteur de charge va subir la force de Lorentz. Un aimant va aussi subir une force car il possède des courants à l échelle atomique Remarques: Nous reparlerons en détail de la force de Lorentz dans le prochain chapitre. Les seules sources du champ magnétique au programme de PTSI sont les courants filiformes permanents. Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 2

3 1-Sources et effet d un champ magnétostatique Exemples 1 T = 1 N.s.C-1.m-1 = 1 N.A-1.m-1 Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 3

4 2-Les lignes de champ magnétostatique Il s agit du même concept que dans le cas du champ électrostatique. Les lignes de champ magnétostatique sont des lignes tangentes, dans une région de l espace, au vecteur champ magnétostatique et dirigées suivant ce vecteur. On constate que: Les lignes de champ magnétostatique sont fermées et tournent autour des distributions de courant en suivant la règle de la main droite. Il s agit d un comportement très différent des lignes de champ électrostatique qui divergent des charges plus et convergent vers les charges moins (il n y a pas de charges magnétiques). Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 4

5 3-Champ magnétostatique produit par une distribution filiforme de courant permanent : Loi de Biot et Savart Distribution filiforme de courant d = élément de courant, ""# source du champ élémentaire db u r = SP SP S db d u r (vecteur unitaire) r P db " = champ élémentaire produit par d# Loi de Biot et Savart: " db = µ "d# # u 0 r 4 au point P r 2 µ 0 = perméabilité du vide = 4 " 10 #7 H.m -1 (exactement) (H=Henry) B s'exprime en Tesla (T) (1T représente un champ important) Félix Savart ( ), médecin chirurgien et physicien français. Jean-Baptiste Biot ( , physicien, astronome et mathématicien français. Jean-Baptiste Biot Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 5

6 3-Champ magnétostatique produit par une distribution filiforme de courant permanent : Loi de Biot et Savart Pour avoir le champ magnétique créé total au point P, il faut sommer (intégrer) sur l ensemble de la distribution. En effet, le champ magnétostatique vérifie aussi le principe de superposition. B = µ 0 4 $ distribution de courant Nous verrons comment utiliser cette relation pour calculer le champ créé par des distributions de courant quand nous aurons étudié les symétries de ces distributions et celles du champ magnétostatique. Analogie entre l expression du champ électrostatique (loi de Coulomb) et l expression du champ magnétostatique (loi de Biot et Savart) B = µ 0 4 E = $ distribution de courant " "d# r 2 # u r 1 dq 4 % $$$ u r 0 r 2 distribution de charges " "d# champ sources r 2 constantes # u r E dq 1 4 " 0 B d µ 0 4 Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 6

7 4-Théorème de Gauss pour le champ magnétique Le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est nul. Théorème de Gauss pour E : Q E = # "" E.dA = #int 0 Théorème de Gauss pour B : B = # "" B.dA = 0 Spire de courant Commentaires: Le théorème de Gauss pour le champ magnétique est toujours vrai, même en régime variable (c est pour cela que l on a employé le mot magnétique et pas magnétostatique). Il s agit d une propriété fondamentale du champ magnétique. Le théorème de Gauss constitue de ce fait une des quatre équations de Maxwell. Le fait que le flux du champ magnétique à travers une surface fermée soit toujours nul traduit l absence de charge magnétique (les lignes de champ magnétique sont fermées). Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 7

8 5-Symétrie des distributions filiformes de courant 5.1-Symétrie plane M M ' M et M deux points symétriques par rapport au plan miroir La distribution filiforme de courant possède une symétrie plane par rapport au plan miroir si: " Les circuits orientés sont inchangés par cette symétrie. " # M ( ) = # ( M ') plan miroir Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 8

9 5-Symétrie des distributions filiformes de courants 5.2-Antisymétrie plane M et M deux points symétriques par M M ' rapport au plan anti-miroir * Le plan * est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant filiforme si lors d'une symétrie par rapport à * : " Les circuits non orientés sont inchangés. " L'orientation des circuits change de sens. " # M ( ) = # ( M ') plan anti-miroir * Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 9

10 5-Symétrie des distributions filiformes de courant 5.3-Invariance par translation par rapport à un axe a) Courant parallèle à l axe M ' b) Courant dans un plan perpendiculaire à 1 2 La distribution est invariante par translation suivant si ( ) = " ( M ') pour tout M ' translaté " M * M 3 de M par rapport à. - Une telle symétrie n est possible que si les fils rectilignes sont infinis. Cela est incompatible avec la nécessité de fermer le circuit. - Il s agit d une bonne approximation à faible distance du fil par rapport à sa longueur. d Cette distribution de courant peut être considérée comme invariante par translation selon si: " est très grand par rapport à d. " L'enroulement est très serré. Dans ce cas, un observateur éloigné voit une nappe de courant. Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 10

11 5-Symétrie des distributions filiformes de courant 5.4-Invariance par rotation autour de La distribution de courant est invariante par rotation autour de si elle est constituée par: Un ensemble de spires circulaires d'axe ". Dans ce cas tout plan contenant " est un plan anti-miroir. Un fil confondu avec l'axe ". Dans ce cas, tout plan contenant l'axe " est un plan miroir. 4 Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 11

12 6-Propriétés de symétrie du champ magnétostatique db " M db tot d db M ' d $ M 6.1-Symétrie plane On considère une distribution filiforme de courant possédant une symétrie plane. " " " " suivant Oz suivant Oy ( ) d P B ( P ) # $# d" M ' P db M ' d db tot # = 0 P dbm d M M ' Pour une distribution de courant possédant une symétrie plane: Le champ magnétostatique en un point du plan miroir est perpendiculaire à ce plan. Deux points P et P ' symétriques par rapport à " ont des champs magnétostatiques antisymétriques par rapport à ". db M ' M M ' Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 12 d db tot # = 0 De façon plus général B ( P ) ( ) d P dbm B ( P ') suivant ( Ox) d

13 6-Proriétés de symétrie du champ magnétostatique 6.2-Antisymétrie plane On considère une distribution filiforme de courant possédant une antisymétrie plane. B ( P ) P De façon plus général B ( P ) B ( P ') * * Pour une distribution de courant possédant une antisymétrie plane: Le champ magnétostatique en un point du plan miroir appartient à ce plan. Deux points P et P ' symétriques par rapport à " ont des champs magnétostatiques symétriques par rapport à ". On constate que pour des sources possédant une symétrie ou antisymétrie, les symétries du champ électrostatique et du champ magnétostatique sont contraires. Cela provient du fait que le champ magnétostatique est défini par un produit vectoriel, on dit que c est un pseudo-vecteur. Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 13

14 6-Propriétés de symétrie du champ magnétostatique 6.3-Invariance par translation et rotation b) Invariance par rotation a) Invariance par translation Si une distribution filiforme de courant est invariante par translation le long d un axe, il en est de même du champ magnétostatique d après le principe de Curie. ( ) Si une distribution filiforme de courant est invariante par rotation autour d un axe, il en est de même du champ magnétostatique d après le principe de Curie. ( ) Soit Oz l'axe de translation. Soit Oz l'axe de rotation. En coordonnées cartésiennes, B x,y, z = B x,y, En coordonnées cylindriques, B r,, z = B r, z, indépendant de z. indépendant de. ( ) ( ) ( ) ( ) Le champ créé par un tore est invariant par rotation autour de l axe du tore Le champ créé par un fil infini est invariant par translation (le long du fil) et rotation (autour du fil) Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 14

15 7-Calcul du champ magnétostatique avec la loi de Biot et Savart 7.1-Méthode Etape 1: Utilisation des symétries pour déterminer la direction et le sens de B ainsi que les variables dont il dépend. Etape 2: Exprimer le champ élémentaire db produit par un élément de courant dl. Etape 3: Projection de db sur la direction du champ déterminé grâce aux symétries. Etape 4: Sommation (intégration) pour avoir le champ total B. 7.2-Champ d un fil rectiligne fini et infini Présentation des calculs au tableau Electromagnétisme: Le champ magnétostatique 7.3-Champ sur l axe d une spire circulaire Présentation des calculs au tableau 7.4-Champ d un solénoïde circulaire fini et infini Présentation des calculs au tableau Lycée F.Buisson PTSI page 15

16 8-Théorème d Ampère, la circulation du champ magnétostatique surface S qui s'appuie sur n d 8.1-Enoncé B contour orienté par la règle de la main droite selon le vecteur normal n à la surface. Commentaires: Le théorème d Ampère est une équation globale. Il n est vrai qu en régime permanent. Vous verrez en PT comment le modifier en régime variable. Le théorème d Ampère permet de calculer facilement le champ magnétostatique pour des distributions de courants ayant des symétries. C est l équivalent du théorème de Gauss pour le champ électrostatique. La circulation du champ magnétostatique B le long du contour est égale à la somme des courants enlacés par multipliée par µ 0 : " $ B.d# = µ 0 # " k enlacés. k " k > 0 si même sens que n. " k < 0 si sens opposé à n. Sur l'exemple de la figure: $ # " B.d# = µ 0 ( 2 " 1 ) André-Marie Ampère ( ), mathématicien et physicien français Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 16

17 9-Calcul du champ magnétostatique avec le théorème d Ampère 9.2-Méthode 9.3-Exemple: retour sur le fil infini Etape 1: Utilisation des symétries pour déterminer la direction et le sens de B ainsi que les variables dont il dépend. Il faut choisir un système de coordonnées adapté à la symétrie du problème. Présentation des calculs au tableau. D autres exemples en TD. Etape 2: Choisir un coutour d'ampère qui possède les mêmes propriétés de symétrie que la distribution filiforme de courant. Etape 3: Application du théorème d'ampère. Electromagnétisme: Le champ magnétostatique Lycée F.Buisson PTSI page 17