2. Logarithme exponentielle équation différentielle du premier ordre 2.1. Exponentielle - Logarithme

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1 2. Logarithme exponentielle équation différentielle du premier ordre 2.1. Exponentielle - Logarithme Tracer l allure de y = exp x = e x e = 2,71828 Tracer l allure de : (logarithme népérien base e) x = Ln y Comparez! 14

2 Tracer l allure de y = 10 x Tracer l allure de x = log 10 y Comparez! 15

3 Application à l acoustique : le décibel On définit l intensité acoustique en W m 2 = 2 p ρv p est la valeur efficace de la pression ρ est la masse spécifique du milieu de transmission du son v est la célérité du son dans ce milieu ρv est appelée impédance caractéristique du milieu de propagation 16

4 On définit le niveau d intensité acoustique en décibel L 0 = 10log10 = W/m ntensité acoustique de référence dans l air dans les conditions normales. 17

5 On définit le niveau de pression acoustique en décibel L p p 0 p = 20log10 p = Pa 0 Valeur efficace de la pression au seuil d audition à 2 khz. 18

6 Exercice : A quoi correspond un niveau de pression acoustique de 80 db? p p 80 = 20 log = 10 p p 10 4 On considère deux sources identiques de 80 db chacune. Les niveaux d intensité acoustique s additionnent = avec 1 = 2 et le niveau d intensité acoustique résultant sera : o o L = 10 log 2 = 10 log log o o 19

7 En niveau d intensité acoustique L 1 total = 10 log log o En niveau de pression acoustique L L p total p total = 2 p ρ v = 10 log log p p o log 1 p2 Si on a deux sources de bruit identiques dans un même endroit, il faut ajouter 3dB pour avoir le niveau sonore résultant ici 83 db p 20

8 2.2. Grandeur et variation de la grandeur Evolution de la population mondiale variation grandeur proportionnelle valeur grandeur et temps mesure 21

9 naissances proportionnelles «traduction mathématique» N = A N t couples en âge procréer et temps constante de proportionnalité positive N augmente avec t 22

10 N = A N t variation grandeur grandeur temps mesure passage à la limite t O dn = A N dt reconnaît équation différentielle du 1er ordre à coefficient constant autre forme méthode de séparation des variables dn N = A 23 d t

11 dn N = A intégration d t dn N = A d t Ln N = A t + constante or on veut N(t) d où N(t) = exp (A t + constante) 24

12 N(t) = exp (At + constante) N(t) = exp (constante). exp A t à t = Os la population mondiale en âge de procréer est N o d où N(t) = N o exp A t La population du globe croit exponentiellement La constante A a pour dimension l inverse d un temps 25

13 N = N exp t = τ o t τ τ τ N( t) = N exp = N 2, o 1 donc τ = est le temps au bout duquel la population a été A multipliée par 2,7 environ τ dépend de la constante A qui elle-même est liée à des facteurs comme la santé, la réglementation des naissances etc o 26

14 Elimination d un médicament t = o s injecte Q o substance t Q substance diminution Q de substance dans organisme proportionnelle à Q et t donc Q = K. Q. t constante dépendant de l organisme et du médicament 27

15 en passant à la limite équation différentielle du 1er ordre Q = K. Q. t t o Q o d Q = K. Q. dt on peut écrire dq = K. dt Q 28

16 en passant à l exponentiel dq = K. dt Q en intégrant Ln Q = K. t + constante [ ] ( ) Q = exp(constante). exp K. t condition aux limites finalement à t = o Q = Qo Q = exp (constante). 1 o Q = Q o exp ( K. t ) premier - ordre 29

17 Autres exemples absorption du rayonnement d intensité dans un matériau d épaisseur x (Beer Lambert) d = K dx K coefficient linéaire d absorption (m 1 ) décharge d un condensateur C, de charge q dans une résistance R dq 1 = dt qt R C R C constante de temps du circuit (s) cinétique d une relation chimique de premier ordre et de constante de réaction K 1 K 1 A B da = K 1 dt A 30