PROBABILITES 2 : Répétition d'expériences identiques et indépendantes.

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1 PROBABILITES 2 : Répétition d'expériences identiques et indépendantes. 1) Représentation par un arbre d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes Dans le cas d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes représentée par un arbre pondéré. On convient que : - la probabilité d'un événement correspondant à un chemin sur l'arbre est égale au produit des probabilités portées par ses branches. - les événements correspondants à chaque chemin étant incompatibles, la probabilité d'un événement correspondant à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités des événements correspondants à chaque chemin. Exemple 1: une urne contient deux boules rouges, deux boules jaunes et une boule bleue. On tire deux boules successivement et avec remise. Déterminer la probabilité de l'événement A :«'obtenir deux boules rouges et celle de l'événement C : «obtenir une boule rouge et une boule bleue «. p(a)=( 2 5 )( 2 5 )= 4 25 et p (C )=( 2 5 )(1 5 )+( 1 5 )( 2 5 )= 4 25.

2 2) La loi de Bernoulli On considère une expérience aléatoire à deux issues le succès S avec une probabilité p(s)=p et l'échec E=S avec une probabilité 1-p; C'est un schéma de BERNOULLI. Soit la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas d'échec. On a : P ( X =0)=1 p et p( X =1)= p Cette variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre p. Espérance de la loi de Bernoulli : E ( X )= p Variance de la loi de Bernoulli : V ( X )= p p 2 = p(1 p) Ecart type de la loi de Bernoulli : σ( X ) = p p 2 = p(1 p) exemple 2 : une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre Sa loi est : P ( X =0)= 2 3 et P ( X =1)= Son espérance est 3 ; sa variance est 2 9 ; son écart type est 2 3. Exemple 3 : une urne contient 2 boules vertes et 3 boules rouges ; on tire au hasard une boule; si elle est verte on gagne 1 point, si elle est rouge on a 0 point.x est la variable aléatoire correspondant au nombre de point obtenu à l'issue de ce tirage. 2 X suit la loi de Bernoulli de paramètre 5. On a : P ( X =0)= 2 5 et P ( X =1)= Son espérance est 2 5 ; sa variance est 6 25 ; son écart type est 6 5.

3 3) Schéma de Bernoulli a) cas n= 2 On répète 2 fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire qui suit la loi de Bernoulli à deux issues : S (succès) avec une probabilité p et S ( échec ) avec une probabilité 1 p. Arbre représentant ce schéma de 2 épreuves de Bernoulli de paramètre p. X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus. On remarque que : p( X =0)=(1 p) 2 (une liste contenant 0 succès donc 2 échecs successifs) p( X =1)=2 p (1 p) ( 2 listes contenant 1 succès et 1 échec). p( X =2)= p 2 (une liste contenant 2 succès). C'est une loi binomiale de paramètres 2 et p. k p(x=k) (1 p ) 2 2 p (1 p) p 2 E ( X )=0 (1 p) 2 +1(2 p (1 p ))+2 ( p 2 )=0+2 p 2 p 2 +2 p 2 =2 p Et V ( X )=0 2 (1 p) (2 p (1 p))+2 2 ( p 2 ) (E ( X )) 2 =2 p (1 p)

4 Exemple 3: On lance successivement de manière indépendante deux dés identiques ; on dénombre le nombre de fois où le «6» est sorti. On répète 2 fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire qui suit la loi de Bernoulli à deux issues où le succès est d'obtenir «6» avec une probabilité p= 1 6 et l' échec est de ne pas obtenir «6» avec une probabilité 1 p= 5 6. X la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres 2 et 1 6. Loi de X : k p(x=k) ( 5 6) 2 = ( 5 6 ) = = 5 18 ( 1 6) 2 = 1 36 E ( X )=2(1/6)= 1 3 Et V ( X )=2(1 /6)(5/6)= 5 18 b) Cas n=3 On répète 3 fois successivement et de manière indépendante la même expérience aléatoire qui suit la loi de Bernoulli à deux issues : S (succès) avec une probabilité p et S ( échec ) avec une probabilité 1 p. Arbre représentant ce schéma de 3 épreuves de Bernoulli de paramètre p.

5 X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus. On remarque que : p( X =0)=(1 p) 3 (une liste contenant 0 succès donc 3 échecs successifs) p( X =1)=3 p (1 p) 2 ( 3 listes contenant 1 succès et 2 échecs). p( X =1)=3 p 2 (1 p ) ( 3 listes contenant 2succès et 1 échecs). p( X =2)= p 2 (une liste contenant 3succès). C'est une loi binomiale de paramètres 3 et p. k p(x=k) (1 p ) 3 3 p (1 p ) 2 3 p 2 (1 p ) p 3 E ( X )=0 (1 p) 3 +1( 3 p (1 p ) 2 )+2(3 p 2 (1 p) )+3 p 3 E ( X )=3 p 6 p 2 3 p 3 +6 p 2 6 p 3 +3 p 3 =3 p V ( X )=0 2 (1 p) (3 p (1 p) 2 )+2 2 ( 3 p 2 (1 p ))+3 2 p 3 ( E ( X ) 2 )=3p(1 p) Exemple 5: Une urne contient 2 boules vertes et 3 boules rouges. On tire successivement et avec remise 3 boules de l'urne. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules vertes tirées. 2 Chaque tirage d'une boule suit une loi de Bernoulli de paramètre correspondant à la 5 probabilité d'obtenir une boule verte (succès). Cette expérience aléatoire est répétée 3 fois de manière successive et indépendante car le tirage est successif et avec remise. On en déduit que X suit la loi binomiale de paramètres n=3 et p= 2 5. La loi de X est : k p(x=k) ( 3 5) 3 = 27 3 ( 3 5 ) 2 ( 2 5) = 54 3 ( 3 5 )( 2 5) 2 = 36 ( 2 5) 3 = 8 E ( X )=3(2/5 )= 6 5 et V ( X )=3(2/5)(3 /5)= Question : Quelle est la probabilité d'obtenir au plus deux boules vertes dans ce tirage? Cet événement est le contraire d'obtenir 3 boules vertes donc sa probabilité est : p( X 2)=1 P ( X =3)=1 8 = 117

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