Arbre pondéré. Rappels.

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1 I Arbre pondéré. appels. Une expérience aléatoire est un dispositif expérimental qui permet de reproduire une expérience dont on ne peut prévoir exactement l'issue (ou résultat). La probabilité d'une issue d'une expérience aléatoire est la fréquence d'apparition de cette issue si l'on répétait inniment l'expérience. La probabilité est donc un nombre compris entre 0 et. Les issues sont regroupées en ensembles appelés événements. Si ω, ω et ω sont des issues d'une expérience, alors A = {ω, ω, ω } est un événement qui est réalisé si on obtient ω ou ω ou ω. La probabilité de A est : P (A) = P (ω ) + P (ω ) + P (ω ) Lorsque la probabilité d'un événement égale on dit que l'événement est certain. Lorsque la probabilité d'un événement égale 0 on dit que l'événement est impossible. Dans une situation d'équiprobabilité (chaque issue à la même probabilité), la probabilité d'un événement A est : P (A) = nombre d'issues qui réalisent A nombre d'issues possibles L'ensemble de toutes les issues possibles est appelé l'univers de l'expérience. Si A et sont deux événements alors : A, appelé l'événement contraire de A, est l'ensemble des issues qui ne réalisent pas A, A est l'ensemble des issues qui réalisent A et (les deux à la fois), A est l'ensemble des issues qui réalisent A ou (au moins l'un des deux). Il existe deux formules calculatoires sur les événements qui sont souvent utilisées dans les exercices. Si A et sont des événements alors : P (A) = P (A) P (A ) = P (A) + P () P (A ) -

2 II Arbre pondéré. Considérons l'exemple suivant : une urne contient boules à savoir rouge et bleues. Deux boules sont extraites de l'urne avec remise. Chaque embranchement correspond à un choix aléatoire. Niveau : première étape de l'expérience. Niveau : seconde étape. Issues (,) (,) (,) (,) Au bout de chaque branche se trouve un n ud. Sur chaque branche de l'arbre est inscrite la probabilité d'obtenir le n ud suivant. Sur un arbre probabiliste, un chemin est une succession de branche qui commence à la racine et se termine dans les feuilles de l'arbre. Une issue de l'expérience aléatoire est un chemin. Une issue peut être notée par la succession des n uds de l'arbre (par exemple (,)). Des règles utiles pour les exercices impliquant des arbres pondérés :. La somme des probabilités sur les branches d'un même embranchement vaut.. Principe multiplicatif : la probabilité d'une issue est le produit des probabilités sur le chemin correspondant. III Exercices. Exercice Exercice 47 page 6 du manuel hachette déclic 05 : construction d'un arbre probabiliste obtenu par la répétition d'une expérience aléatoire. Exercice Le supermarché ond-point organise des ventes promotionnelles "ash". Les clients ont quelques minutes pour proter des promotions. Lors d'une de ces ventes un ensemble d'ustensiles de salle de bain composé : -

3 d'une serviette de bain (Grande ou Petite), d'un gant de toilette (Vert, ouge ou Jaune) et d'un rideau de douche (lanc ou Transparent) est proposé. Chaque client prend exactement un gant de toilette, une serviette de bain puis un rideau de douche.. Dessinez un arbre rendant compte de cette situation.. Inquiet de manquer l'ore promotionnelle, un client prend au hasard un gant de toilette, une serviette de bain puis un rideau de douche. Quelle est la probabilité que ce client prenne une grande serviette (G), un gant rouge () et un rideau blanc ()?. On note A l'événement : le client prend un gant de toilette jaune. Énumérer les issues qui réalisent A. En déduire la probabilité de A. 4. Calculer la probabilité qu'un client prenne un gant de toilette Vert ou ouge. 5. On note l'événement le client prend un rideau de douche blanc. Énumérer les issues qui réalisent. En déduire la probabilité de. 6. Déterminer la probabilité que le client prenne une petite serviette et un rideau de douche blanc. 7. Décrire l'événement A par une phrase puis calculer la probabilité de A. Correction exercice. G P V J V J T T T T T T GV G GJ P V P P J GV T GT GJT P V T P T P JT -

4 . Le choix du client correspond au chemin (G,,). D'après le principe multiplicatif la probabilité de ce chemin est : P (G,,) =. A = {(G,J,),(G,J,T ),(P,J,),(P,J,T )}. Donc : = p(a) = p(g,j,) + p(g,j,t ), + p(p,j,) + p(p,j,t ) = = 4. Notons C l'événement le client prend un gant de toilette vert ou rouge. C = {(G,J,),(G,J,T ),(P,J,),(P,JT )}. Donc : p(c) = 4 = p(a) = p(a) = = 5. = {(G,V,),(G,,),(G,J,),(P,V,),(P,,),(P,J,)} p() = 6 = 6. Notons D l'événement le client prend une petite serviette et un rideau de douche blanc. Il y a issues qui réalisent cet événement : ((P,V,),(P,,),(P,J,) donc : p(d) = = 4-4

5 7. A : le client prend un gant de toilette jaune ou un rideau de bain blanc. L'événement le client prend un gant jaune et un gant blanc est réalisé par (G,J,) et (,J,) donc : p(a ) = = 6 p(a ) = p(a) + p() p(a ) = + 6 = 4 6 IV Ce qu'il faut retenir.. Comment construire un arbre : le nombre de niveaux représente le nombre de choix successifs, le nombre de branches sur un n ud représente le nombre de réponses possibles lors d'un choix, indiquer les probabilités correspondants à chaque branche, s'assurer que sur un embranchement la somme des probabilités égale.. Calculer la probabilité d'un chemin : principe multiplicatif.. Calculer la probabilité d'un événement : additionner les probabilités des chemins correspondants à l'événement. 4. Formules calculatoire sur l'événement contraire, les unions et intersections. V Exercices Wims. ieme_es_probabilite_0_00_arbre ieme_es_probabilite_0_00_arbre ieme_es_probabilite_0_00_arbre ieme_es_probabilite_0_004_arbre ieme_es_probabilite_0_005_arbre ieme_es_probabilite_0_006_arbre ieme_es_probabilite_0_007_arbre ieme_es_probabilite_0_008_arbre ieme_es_probabilite_0_009_arbre ieme_es_probabilite_0_00_arbre ieme_es_probabilite_0_0_arbre - 5