Cours de mathématiques M.P.S.I.

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1 Cours de mathématiques M.P.S.I. D'après les cours de M. De Granrut Henriet Quentin Ausseil Lucas Perard Arsène Philipp Maxime

2 Arithmétique dans Z 1. Multiples et diviseurs Soient a,b Z. On dit que a divise b ou que b est un multiple de a si k Z tel que a k=b. On écrit a b. On note D a l'ensemble des diviseurs de a et az l'ensemble des multiples de a. Propriétés : La somme de deux multiples de b est un multiple de b. L'opposé d'un multiple de b est un multiple de b. Tout multiple d'un multiple de b est un multiple de b. Si b divise deux entiers, il divise leur somme. Restreintes à N, les relations 'multiplie' et 'divise' sont des relations d'ordre partiel. a, b Z 1. Si d a et d b alors u, v Z, d a u bv 2. Si x 0, a b a x b x 3. a b D a D b bz a Z Tout diviseur d'un diviseur de a est un diviseur de a. 0 est un multiple de tout entier. Tout entier divise 0. Si a divise b et b divise a, alors a=±b. 1. k Z tel que d k=a et k ' Z tel que d k '=b. u,v Z, au b v=u d k v d k' =d u k v k ' Donc d au b v. 2. k Z tel que a k=b a x k=b x et x 0 donc a x b x : k Z tel que a k=b Soit d D a : k ' Z tel que a=d k ' Donc d k k ' =b donc d D b donc D a D b : a D b donc a b donc k' Z tel que a k '=b m b Z, k Z tel que m=bk=a k k ' donc m az donc bz a Z : b az donc k Z tel que b=a k donc a b. Division euclidienne : Soient a,b Z, b 0 alors : Il existe un unique couple q,r Z 2 tel que : a=b q r 0 r b Unicité : Si q',r ' est un autre couple qui convient : a=bq r a=bq' r ' 0=b q q ' r r ' et b r r ' b r r ' est un multiple de b et r r ' b donc r r '=0 donc b q q' =0 et 0 r b 0 r ' b Or b 0 donc q q'=0 Existence : a N, b N, Récurrence sur n : H n : a n, a N, q,r Z 2 tel que a=bq r 0 r b H b est vraie : en effet a b a=b 0 a 0 a b Supposons n N, n b et H n vraie. a n 1 : Si a n H n vraie existence de q,r Sinon a=n b 0 a b n q,r N 2 tel que a b=b q r 0 r b Donc H n 1 Par récurrence, l'existence est prouvée. a=b q 1 r 0 r b

3 2. Diviseurs communs et PGCD 2.1. Définition Soient a,b Z. D a D b est une partie non vide de Z, majorée par a ou b, elle possède donc un plus grand élément appelé pgcd de a et de b noté a b. az bz N est une partie non vide de N. Si a=0 ou b=0 : a Z bz N=0} Sinon cette partie possède un plus petit élément strictement positif appelé ppcm de a et de b noté a b. On convient que : 0 n=0 0 0=0 a N, a 0=a 2.2. Algorithme d'euclide a, b Z, b 0 Si a=b q r, alors D a D b = D b D r. : d D a D b d a d a b q=r d b Donc d D r : d D b D r d b d bq r=a Donc d D a d r Algorithme : On construit une suite de d'entiers naturels ainsi : r 0 =a r 1 =b Si r n 1 0, r n 2 = reste de la division euclidienne de r n par r n 1 Sinon, on s'arrête. D'après la proposition, D r n,r n 1 = D r n 1,r n 2 donc r n r n 1 =r n 1 r n 2 Or, 0 r n 2 r n 1 r n n 1 est une suite d'entiers naturels strictement décroissante. Donc il existe un rang N tel que r N 1 =0 et n N 1, r n 0 a b=r n r n 1 =r N 0=r N : Dernier reste non nul Couple de Bézout a, b Z u, v Z 2 tel que a u bv=a b Ce couple u, v s'appelle couple de Bézout. Prenons b N. Récurrence sur b : H b : a Z, u,v Z 2 tel que au b v=a b Pour b=0 : a 0=a=a 1 b 0 1,0 convient. Supposons b N et H b, H b 1,,H 0 vraies. a a Z, a b 1 = b 1 r où r=reste de b 1 u, v Z 2 tel que b 1 u r v= b 1 r b 1 u a b 1 q v=a b 1 H r Donc H b 1 Par récurrence, la propriété est vraie b N. a v b 1 u q v =a b 1

4 Remarques : Un tel couple n'est pas unique. S'il existe u,v Z 2 tel que au bv=d alors a b d Nombres premiers entre eux On dit que deux entiers a et b sont premiers entre eux si a b=1. Théorème de Bézout : a b=1 u, v Z 2 tel que au bv=1 Théorème de Gauss : a, b,c Z, a b c a b=1 a c : a b=1 : u, v Z 2 tel que au bv=a b=1 : u,v Z 2 tel que au b v=1 a b 1 Donc a b=1 ou a b= 1 Or, a b 0 Donc a b=1. k Z tel que a k=bc, u,v Z 2 tel que a u b v=1. au b v=1 au c b v c=c a u c v k =c a c. Corollaire 1 : a c b c a b=1 a b c k,k ' Z tels que c=a k=b k ' u,v Z 2 tel que au b v=1 ac u bc v=c a bk ' u b a k v=c ab k ' u k v =c ab c. Corollaire 2 : a c=1 b c=1 ab c=1 u,v Z 2 tel que au c v=1, u', v' Z 2 tel que bu' c v' =1 ab uu' c au v' bu' v c v v' =1 Donc a b et c sont premiers entre eux. Caractérisation du PGCD : Soient a, b Z, d N a=d a' d=a b a ', b' Z tels que b=d b ' a' b' =1 : d a : a' Z tel que a=d a' d b : b' Z tel que b=d b' u,v Z 2 tel que au b v=d d a ' u d b' v=d a ' u b' v=1 a' b' =1 : d a et d b d a b u,v Z 2 tel que a' u b' v=1 a' d u b' d v=d au bv=d Donc a b d Donc d=±a b Or, d N donc d=a b. Calcul du PPCM : a, b Z, a b a b = a b Si a=0 ou b=0 : alors a b=0, a b =0 La formule est vérifiée. a=d a' Si a,b Z, d=a b, a', b' Z tels que b=d b' Il faut montrer que a b=d a' b' a' b'=1 d a' b '=a b'=a' b donc d a' b' est un multiple commun de a et de b. Si m est un multiple de a et de b : k,q Z tels que m=a k=bq=d a' k=d b' q a' q Donc q' Z tel que q=a' q ' Donc m=d b' a' q' est un multiple de d b ' a' Donc d b' a' est le ppcm.

5 3. Nombres premiers Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 divisible uniquement par 1 et par lui-même. Crible d'ératosthène : Soit p 1. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. p est premier 2. p est premier avec tout nombre entier qu'il ne divise pas : p n p n=1 3. k 1, p 1, p k= : Par l'absurde, si p k=d, d 1 d p d 1 d = p p k Impossible. p premier : 1 k p 1 p k p k= : p n'a pas de diviseur inférieur à p autre que 1 : p est premier. Corollaire : Si p est premier : p ab p a ou p b. Par contraposition, p a et p b p a=1 p b=1 p ab =1 p ab Remarque : p non premier a, b N 1} tels que q=a b. Théorème fondamental de l'arithmétique : Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près. Théorème : Il y a une infinité de nombres premiers. 1 ère méthode :On suppose qu'il n'existe que N nombres premiers, p 2,, p n Soit q= p 2 p n 1 k 1, N, q p k, donc q n'est pas premier. Donc k 1, N tel que p k q Par différence, p k 1 Impossible. 2 ème méthode : n m F n F m =1 Il existe deux nombres premiers différents, p n et p m tels que p n F n et p m F m Infinité de nombres premiers.

6 Preuve du théorème fondamental : Existence de la décomposition : Par récurrence sur n : H n : n se décompose en produit de nombres premiers. Pour n=2 : 2=2 premier Vrai. Supposons n 2 et H n, H n 1,, H 2 vraies. Si n 1 est premier : n 1=n 1 premier Donc H n 1 vraie. Sinon, a,b N 0,1} tels que n 1=ab a 2 b n 1 n 1 2 et b 2 a 2 2 n H a vraie,, p des nombres premiers tels que a= p H b vraie q 1,, q des nombres premiers tels que b=q 1 q n 1=a b= p q 1 q Donc H n 1 Par récurrence, H n est vraie n 2. Unicité : Par récurrence sur n : H n : La décomposition de n est unique à l'ordre des facteurs près. Pour n=2 : 2=2 Vrai Supposons n 2 et H n, H n 1, H 2 vraies. Si n 1 est premier, n 1=n 1 premier Donc H n 1 Sinon, si n 1= p =q 1 q p premier 1 k 1, tel que p k =q k q 1 q Alors p 2 p =q 1 q k 1 q p 1 q = n 1 n ( n 1 N ) Or, H n 1 est vraie, donc H n 1 Par récurrence, la propriété est vraie n 2. Soit n=2 v 2 3 v 3 p v p v k est appelé valuation de k dans N. Proposition (admise) : Soient n=2 v 2 3 v 3 p v p et m=2 w 2 3 w 3 p w p Alors : n m=2 min v 2,w 2 3 min v 3,w 3 p min v p,w p et n m=2 max v 2,w 2 3 max v 3, w 3 p max v p,w p * * * * * Mis à jour le