Système d équations du premier degré à deux inconnues

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1 Système d équations du premier degré à deux inconnues Objectif : Mise en équation d un problème posé. Résolution numérique et/ou graphique du système. Acquis : Equation du premier degré à une inconnue. 1/ Activité : Vie professionnelle. Quel choix un chef d entreprise a t il fait pour présenter sa politique de recrutement dans une publicité? Un chef d entreprise s appuie pour recruter sa nouvelle équipe sur une étude du MEDEF précisant une augmentation du chiffre d affaires hebdomadaire de 100 pour chaque minute de publicité présentant une femme embauchée et 600 pour chaque minute de publicité présentant un homme embauché. On prendra x le nombre de minutes de publicité présentant une femme embauchée et y le nombre de minutes présentant un homme embauché. Ecrire l équation permettant de calculer l augmentation du chiffre d affaires en fonction de x et y. De plus l étude prévoit une augmentation des visites journalières du site Web pour chaque minute présentant une femme embauchée de 20 personnes et de 10 personnes pour chaque minute présentant un homme embauché. Ecrire l équation permettant de prévoir la hausse des visites du site en fonction de x et y. Il voit son chiffre d affaire augmenter de 1500 et la hausse des visites de 80 personnes après une semaine de diffusion. Ecrire le système de deux équations à deux inconnues que doivent vérifier x et y. Vérifier que le couple (3; 2) est solution de ce système. Systèmes d équations Page 1

2 Pour vérifier que cette solution est unique, on fait une recherche graphique. Ecrire chaque équation sous la forme y = f(x).(y en fonction de x) Tracer les droites représentant chaque équation. Déterminer les coordonnées du point d intersection O x Le chef a donc choisi de présenter : les hommes par minutes les femmes par... minutes. Systèmes d équations Page 2

3 2/ Activité : Développement durable. Combien d ampoules la famille Poquelin a t elle changé? Dans le cadre de la prochaine loi sur l économie d énergie, La famille Poquelin décide de changer partiellement ses ampoules à incandescence de puissance 60W par des ampoules basse consommation de puissance 16W. On note x le nombre d ampoules basse consommation et y le nombre d ampoules à incandescence. Exprimer le nombre total d ampoules. Comment calcule t on la puissance totale d éclairage en fonction du nombre de chaque ampoule? En allumant les 12 ampoules en même temps, la maison Poquelin consomme une puissance d éclairage totale de 368W. A l aide des questions précédentes, écrire le système d équations correspondant au problème Dans l expression x + y = 12, exprimer x en fonction de y. Dans l équation 16x + 60y = 368, remplacer y par son expression en x. Résoudre l équation à une inconnue et trouver la valeur de x, puis de y. A partir du nombre total d ampoules, en déduire le nombre d ampoules changées. La famille Poquelin a donc changé ampoules à incandescence pour des basse consommation. Systèmes d équations Page 3

4 Cours système d équation du premier degré à deux inconnues Résoudre une équation du premier degré à une inconnue, c est trouver, si elle existe, la valeur de l inconnue pour laquelle l égalité est vraie. Un système d équations du premier degré à deux inconnues est constitué de deux équations du premier degré à deux inconnues Exemple : x + 6y = 15 Résoudre ce genre de système revient à trouver, si il existe, le couple de valeurs (x; y) qui vérifient les deux égalités. Résolution graphique : Chaque équation a pour représentation graphique une droite ( de la forme y = ax + b ). On dessinera manuellement ou on utilisera un logiciel pour le graphique( ci dessous "Géogébra" ) La solution du système est le couple de coordonnées du point d intersection. Ici, c est donc (3; 2) Systèmes d équations Page 4

5 Résolution algébrique : On choisira la méthode la plus adaptée au problème posé. Méthode par substitution x + 6y = 15 Exprimer une inconnue en fonction de l autre dans la première équation x = 15 6y Remplacer l inconnue par son expression dans la deuxième équation x = 15 6y 2 (15 6y) + y = 8 Résoudre l équation à une inconnue obtenue x = 15 6y 30 12y + y = y = 8 11y = 8 30 y = y = 2 Trouver la valeur de la deuxième inconnue à l aide de la première équation x = y = 2 x = 3 y = 2 Systèmes d équations Page 5

6 Méthode par combinaison x + 6y = 15 A l aide de facteurs multiplicateurs, il s agit d éliminer une des deux inconnues en combinant les équations membre à membre. Multiplier chaque membre de l équation par le nombre voulu pour annuler les termes en x ou y lors de l addition On choisit d annuler les termes en x. On cherche alors un multiple commun à 1et 2. (1 et 2 sont les coefficients devant x) ( 2) 2x 12y = 30 (1) [2] Additionner membre à membre les deux équations obtenues 2x 12y = 30 2x + 2x 12y + y = [2] 11y = 22 Résoudre l équation à une inconnue obtenue 2x 12y = 30 Trouver la valeur de la deuxième inconnue à l aide de la première équation 2x 12 2 = 30 2x 24 = 30 2x = x = x = 3 Systèmes d équations Page 6