VALEUR CRITIQUE DE Z OU DE t DANS LE CAS D UNE VÉRIFICATION BILATÉRALE Seuil de signification de 10 % 0.9 (90 %)

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1 P brincipe des tests d hypothèses sur les moyennes Rappel : vous devez procéder en 5 étapes : 1. Formuler une hypothèse de recherche (H1) 2. Formuler une hypothèse nulle (H0) dont l objectif est de la battre lors du test. Il s agit d une hypothèse d un évènement dont on ne veut pas qu il arrive 3. Choisir un seuil de signification. Celui-ci va donner un seuil à travers lequel on teste l hypothèse nulle. L inverse du seuil de signification est constitué de l intervalle de confiance de notre test 4. Choisir une distribution théorique (distribution normale, t de Student) en fonction de la taille de l échantillon 5. Se prononcer sur la validité de l hypothèse nulle Objectif : Vous avez les résultats d un échantillon de données, et vous souhaitez en tirer des conséquences sur les caractéristiques de la population. Vous savez que vous ne pouvez pas avoir de résultat précis à partir d un échantillon, mais vous pouvez toujours opérer à un certain nombre d estimations. À partir des statistiques de votre échantillon, vous allez tester vos données pour voir ce que le les données ne sont pas, à défaut de pouvoir déterminer ce qu elles sont. Ce que vous ne voulez pas, vous le formulez sous forme d hypothèse nulle (H0). Les données dont vous avez besoin : - Moyenne de l échantillon - Écart-type de l échantillon - Taille de l échantillon - Taille de la population - Une hypothèse de recherche - Une hypothèse nulle VALEUR CRITIQUE DE Z OU DE t DANS LE CAS D UNE VÉRIFICATION BILATÉRALE Seuil de signification de 10 % 0.9 (90 %) Seuil de signification de 5 % 0.95 (95 %) Valeur critique +/ / / Distribution normale bilatérale exemple : seuil de signification de 5% On cherche à tester une «hypothèse nulle égale à» 47,5 % 47,5 % Seuil de signification de 1 % 0.99 (99 %) L aire contenue entre les deux L aire bornes contenue est égale entre à 95 % les des deux cas bornes possibles est égale à 95 % des cas possibles Bilatéral veut dire que l on teste une hypothèse nulle des deux côtés t de Student Voir la table des valeurs de t pour des seuils de signification POUR VÉRIFICATION BILATÉRALE de 0,1 (90 %) ; 0,05 (95 %) et 0,01 (99 %) Rappel : le dl signifie de degré de liberté. Pour choisir la bonne ligne, dites-vous que le degré de liberté est toujours égal à l échantillon moins 1 (n-1). Exemple : pour un échantillon de 25 : dln Si pour cet échantillon de 25 vous cherchez à avoir un seuil de signification de 5 %, alors votre valeur critique de t sera égale à 2,064 1

2 VALEUR CRITIQUE DE Z OU DE t DANS LE CAS D UNE VÉRIFICATION UNILATÉRALE Intervalle (ou niveau) de 0.9 (90 %) 0.95 (95 %) 0.99 (99 %) confiance Cote Soit +1,28 ; soit 1,28 Soit + 1,64, soit 1,64 Soit +2,33, soit -2,33 Distribution normale unilatérale à droite exemple : seuil de signification de 5% On cherche à tester une «hypothèse nulle inférieure à» L aire contenue avant la borne est égale à 95 % des cas possibles 95 % % Unilatéral veut dire que l on teste l hypothèse nulle d un seul côté Distribution normale unilatérale à gauche exemple : seuil de signification de 5% On cherche à tester une «hypothèse nulle supérieure à» L aire contenue après la borne est égale à 95 % des cas possibles 5% -1,64 95 % Unilatéral veut dire que l on teste l hypothèse nulle d un seul côté T de Student Voir la table des valeurs de t pour des seuils de signification POUR VÉRIFICATION UNILATÉRALE de 0,1; 0,05 et 0,01 Rappel : le dl signifie de degré de liberté. Pour choisir la bonne ligne, dites-vous que le degré de liberté est toujours égal à l échantillon moins 1 (n-1). Exemple : pour un échantillon de 25 : dln Si pour cet échantillon de 25 vous cherchez à avoir un seuil de signification de 5 %, alors votre t sera égal à 1,711 2

3 Échantillon/ population (n/n) Taille de l échantillon n < 30 Formule de calcul d une cote Z ou d un t afin de tester une hypothèse nulle n/n<1/20 (erreur type sans correctif) xi - 0 n/n>1/20 (erreur type avec correctif) xi - 0 légende 0 moyenne de la population selon votre hypothèse nulle xi moyenne de l échantillon (On ulitise t) t de Student avec s / n avec s / n * (N-n) (N-1) erreur type xi - 0 xi - 0 s écart-type de l échantillon n > 30 Z Z n taille de l échantillon N taille de la population (On utilise Z) racine avec s / n avec s / n * (N-n) (N-1) Votre Z calculé va devoir être comparé avec la cote Z. 1. Déterminez une hypothèse nulle 2. Calculez la cote Z ou le t de votre donnée d échantillon en fonction de l hypothèse nulle en fonction du tableau ci-dessus. 3. Comparez votre cote Z ou le t calculé avec la valeur critique de Z ou de t en fonction de votre seuil de signification Hypothèse nulle est rejetée si : L hypothèse nulle ne peut pas être rejetée si bilatérale unilatérale à droite unilatérale à gauche Exemple : La valeur calculée de se trouve au-delà des bornes de la valeur critique de Z (ou de t) négatif Ou Z calculé > Z critique positif La valeur calculée de se trouve à l intérieur des bornes de la valeur critique de Z critique négatif < positif Selon un sondage portant sur (n) personnes de la population québécoise (N ), le revenu moyen de l échantillon était de $ avec un écart-type de $ Nous allons faire trois hypothèses nulles successives, afin de comprendre de fonctionnement des trois tests disponible. 1. test bilatéral 3

4 Hypothèse de recherche H1: la population québécoise a un revenu moyen différent de $ Hypothèse nulle H0: La population québécoise a un revenu moyen égal à $ Nous cherchons à tester l hypothèse avec un seuil de signification de 5 %. Calculons d abord le Z à partir de nos données (n/n< à 1/20 ; n>30) xi Z + 4, / Les valeurs critiques de Z sont : - 1,96 et + 1,96 donc le Z calculé plus grand que la borne supérieure de la valeur critique, car 4,51 > 1,96 Dans ces conditions, nous pouvons rejeter l hypothèse nulle selon laquelle les Québécois ont un revenu moyen égal à $, avec un seuil de signification de 5 % (nous pouvons affirmer avec un intervalle de confiance de 95 %, que le revenu moyen des Québécois est différent de $) 2. Test unilatéral à droite Hypothèse de recherche H1: la population québécoise a un revenu moyen supérieur à $ Hypothèse nulle H0: La population québécoise a un revenu inférieur à $ Z calculé + 4,51 +4,51 > +1,64 Z critique unilatéral avec un seuil de 5 % + 1,64 Dans ces conditions, nous pouvons rejeter l hypothèse nulle selon laquelle les Québécois ont un revenu moyen inférieur à $, avec un seuil de signification de 5 % (nous pouvons affirmer avec un intervalle de confiance de 95 %, que le revenu moyen des Québécois est supérieur à $) 3. Test unilatéral à gauche Hypothèse de recherche H1: la population québécoise a un revenu moyen inférieur à $ Hypothèse nulle H0: La population québécoise a un revenu supérieur à $ Z calculé + 4,51 +4,51 > -1,64 Z critique unilatéral avec un seuil de 5 % - 1,64 Dans ces conditions, nous ne pouvons pas rejeter l hypothèse nulle selon laquelle les Québécois ont un revenu moyen supérieur à $, avec un seuil de signification de 5 % (nous ne pouvons donc pas affirmer avec un intervalle de confiance de 95 %, que le revenu moyen des Québécois soit inférieur à $) Variante n 2 Hypothèse de recherche H1: la population québécoise a un revenu moyen inférieur à $ Hypothèse nulle H0: La population québécoise a un revenu supérieur à $ xi Z - 2,25-2,25 <

5 7 000 / Z critique unilatéral avec un seuil de 5 % - 1,64 Dans ces conditions, nous pouvons rejeter l hypothèse nulle selon laquelle les Québécois ont un revenu moyen supérieur à $, avec un seuil de signification de 5 % (nous pouvons donc affirmer avec un intervalle de confiance de 95 %, que le revenu moyen des Québécois est inférieur à $) Principe des tests d hypothèses sur les pourcentages Formule de calcul d une cote Z ou d un t afin de tester une hypothèse nulle pour un pourcentage Échantillon/ population (n/n) Taille de l échantillon n < 30 (On ulitise t) n > 30 (On utilise Z) n/n<1/20 (erreur type sans correctif) p - π avec (p*q / n) Z p - π avec (p*q / n) n/n>1/20 (erreur type avec correctif) p - π avec (p*q / n )* (N-n) (N-1) Z p - π avec (p*q / n )* (N-n) légende π pourcentage concerné de la population selon votre hypothèse nulle p pourcentage concerné de l échantillon t de Student erreur type q inverse du pourcentage de p (100-p) n taille de l échantillon N taille de la population racine (N-1) Votre Z calculé va devoir être comparé avec la cote Z. 1. Déterminez une hypothèse nulle 2. Calculez la cote Z ou le t de votre donnée d échantillon en fonction de l hypothèse nulle en fonction du tableau ci-dessus. 3. Comparez votre cote Z ou le t calculé avec la valeur critique de Z ou de t en fonction de votre seuil de signification bilatérale unilatérale à droite unilatérale à gauche Hypothèse nulle est rejetée si : La valeur calculée de se trouve au-delà des bornes de la valeur critique de Z (ou de t) négatif Ou Z calculé > Z critique positif L hypothèse nulle ne peut pas être rejetée si La valeur calculée de se trouve à l intérieur des bornes de la valeur critique de Z critique négatif < positif 5

6 Exemple : Selon un sondage portant sur (n) 800 personnes des étudiants de l UQAM (N ), 40 % avaient un revenu inférieur à $ Nous allons faire trois hypothèses nulles successives, afin de comprendre de fonctionnement des trois tests disponible. 1. test bilatéral Hypothèse de recherche H1: le % des étudiants de l UQÀM ayant un revenu inférieur à $ est différent de 45 % Hypothèse nulle H0: le % des étudiants de l UQÀM ayant un revenu inférieur à $ est égal à 45 % Nous cherchons à tester l hypothèse avec un seuil de signification de 1 %. Calculons d abord le Z à partir de nos données (n/n< à 1/20 ; n>30) p - π Z - 2,89 (40*60 / 800) Les valeurs critiques de Z sont : - 2,58 et + 2,58 donc le Z calculé plus petit que la borne inférieure de la valeur critique, car -2,89 < -2,58 Dans ces conditions, nous pouvons rejeter l hypothèse nulle selon le % des étudiants de l UQÀM ayant un revenu inférieur à $ est égal à 45 %, avec un seuil de signification de 1 % (nous pouvons affirmer avec un intervalle de confiance de 99 %, le % des étudiants de l UQÀM ayant un revenu inférieur à $ est différent de 45 % 2. Test unilatéral à droite Hypothèse de recherche H1: le % des étudiants de l UQÀM ayant un revenu inférieur à $ est supérieur à 45 % Hypothèse nulle H0: le % des étudiants de l UQÀM ayant un revenu inférieur à $ est inférieur à 45 % Z calculé - 2,89-2,89 < 2,33 Z critique unilatéral avec un seuil de 15 % + 2,33 Dans ces conditions, nous ne pouvons pas rejeter l hypothèse nulle selon laquelle le % des étudiants de l UQÀM ayant un revenu inférieur à $ est inférieur à 45 %, avec un seuil de signification de 1 % (Il est donc impossible d affirmer avec un intervalle de confiance de 99 %, que le % des étudiants de l UQÀM ayant un revenu inférieur à $ est supérieur à 45 %) 3. Test unilatéral à gauche Hypothèse de recherche H1: le % des étudiants de l UQÀM ayant un revenu inférieur à $ est inférieur à 45 % Hypothèse nulle H0: le % des étudiants de l UQÀM ayant un revenu inférieur à $ est supérieur à 45 % Z calculé - 2,89-2,89 > - 2,33 Z critique unilatéral avec un seuil de 1 % -2,33 Dans ces conditions, nous pouvons rejeter l hypothèse nulle selon laquelle le % des étudiants de l UQÀM ayant un revenu inférieur à $ est supérieur à 45 %, avec un seuil de signification de 1 % (nous pouvons donc affirmer avec un intervalle de confiance de 99 %, que le le % des étudiants de l UQÀM ayant un revenu inférieur à $ est inférieur à 45 %) 6

7 Tests relatifs à une différence de moyenne Formule de calcul d une cote Z ou d un t afin de tester une hypothèse nulle Taille de n1 + n2 n1 + n2 l échantillon < 30 > 30 légende (On ulitise t) (On ulitise Z) (x1 x2) - ( 1-2) x1-x2 Z (x1 x2) - ( 1-2) x1-x2 1-2 différence théorique des moyennes selon votre hypothèse nulle x1 x2 différence des moyennes des échantillons x1-x2 avec s1² + s2² erreur type s1 écart-type de l échantillon 1 x1-x2 n1 n2 s2 écart-type de l échantillon 2 n1 taille de l échantillon 1 n2 taille de l échantillon 2 Votre Z calculé va devoir être comparé avec la cote Z. 1. Déterminez une hypothèse nulle qui est : 1 2 (donc 1-2 0) 2 proposez votre hypothèse de recherche H1. 2. Calculez la cote Z ou le t de votre donnée d échantillon en fonction de l hypothèse nulle en fonction du tableau ci-dessus. 3. Comparez votre cote Z ou le t calculé avec la valeur critique de Z ou de t en fonction de votre seuil de signification Hypothèse nulle est rejetée si : L hypothèse nulle ne peut pas être rejetée si La valeur calculée de se trouve La valeur calculée de se trouve à au-delà des bornes de la valeur critique de Z l intérieur des bornes de la valeur critique bilatérale (ou de t) de négatif Z critique négatif < positif Ou Z calculé > Z critique positif unilatérale à droite unilatérale à gauche T de Student Voir la table des valeurs de t pour des seuils de signification POUR VÉRIFICATION UNILATÉRALE ou BILATÉRALE en fonction du groupe de 0,1; 0,05 et 0,01 Rappel : le dl signifie de degré de liberté. Pour choisir la bonne ligne, dites-vous que le degré de liberté est toujours égal à la somme des échantillons échantillon moins 1 (n1+ n2-1). Exemple : pour deux échantillon de 12 et 13 personnes : dl n1+ n Si pour cet échantillon de 25 vous cherchez à avoir un seuil de signification de 5 %, alors votre t sera égal à 2,064 dans le cas d un test bilatéral et 1,711 dans le cas d un test unilatéral 7

8 Vous voulez savoir si la différence de note entre les femmes et les hommes est significative dans une classe donnée. Le groupe de 15 hommes à une moyenne de 82 (écart-type de 12) et le groupe de 17 femmes est de 87 (écart-type de 15). Vous allez donc utiliser la formule : Hypothèse nulle H0: Il n y a pas de différence entre les moyennes 1 2 (donc 1-2 0) Hypothèse de recherche H1: Il n y a pas de différence entre les moyennes 1 2 (donc 1-2 0) (x1 x2) - ( 1-2) Z -1,04 x1-x2 ((12²/15)+ (15²/17)) 4,78 Z critique pour un seul de signification de 1 % (vérification bilatérale) est : +/ Comme le Z calculé est compris entre les deux bornes du Z critique, alors H0 ne peut être rejetée. La différence entre les deux moyennes n est donc pas significative au seuil de signification de 1 %. 8

9 Taille de l échantillon Tests relatifs à une différence de pourcentages Formule de calcul d une cote Z ou d un t afin de tester une hypothèse nulle n < 30 n > 30 légende (On ulitise t*) (On ulitise Z) (p1 p2) - (π1 - π2) p1-p2 Z avec p1*q1 + p2*q2 p1-p2 n1 n2 (p1 p2) - (π1 - π2) p1-p2 π1 - π2 différence théorique des pourcentages selon votre hypothèse nulle p1 p2 différence des pourcentages des échantillons t de Student p1-p2 erreur type q p1 q p2 n1 taille de l échantillon 1 n2 taille de l échantillon 2 Votre Z calculé va devoir être comparé avec la cote Z. 1. Déterminez une hypothèse nulle qui est : π1 π2 (donc π1 - π2 0) 2. Calculez la cote Z ou le t de votre donnée d échantillon en fonction de l hypothèse nulle en fonction du tableau ci-dessus. 3. Comparez votre cote Z ou le t calculé avec la valeur critique de Z ou de t en fonction de votre seuil de signification bilatérale unilatérale à droite unilatérale à gauche T de Student Hypothèse nulle est rejetée si : La valeur calculée de se trouve au-delà des bornes de la valeur critique de Z (ou de t) négatif Ou Z calculé > Z critique positif L hypothèse nulle ne peut pas être rejetée si La valeur calculée de se trouve à l intérieur des bornes de la valeur critique de Z critique négatif < positif Voir la table des valeurs de t pour des seuils de signification POUR VÉRIFICATION UNILATÉRALE ou BILATÉRALE en fonction du groupe de 0,1; 0,05 et 0,01 Rappel : le dl signifie de degré de liberté. Pour choisir la bonne ligne, dites-vous que le degré de liberté est toujours égal à la somme des échantillons échantillon moins 1 (n1+ n2-1). Exemple : pour deux échantillon de 12 et 13 personnes : dl n1+ n Si pour cet échantillon de 25 vous cherchez à avoir un seuil de signification de 5 %, alors votre t sera égal à 2,064 dans le cas d un test bilatéral et 1,711 dans le cas d un test unilatéral 9

10 Un homme politique cherche à savoir si les francophones et les non francophones (anglophones+allophones) ont des intentions de vote significativement différentes dans son comté. 36 % des 48 francophones interrogées voteraient ce politicien tandis que 33 % des 35 non francophones voteraient pour lui. Vous allez donc utiliser la formule : Hypothèse nulle H0: Il n y a pas de différence entre les moyennes π1 π2 (donc π1 - π2 0) Hypothèse de recherche H1: Il n y a pas de différence entre les moyennes π1 π2 (donc π1 - π2 0) (p1 p2) - (π1 - π2) Z + 0,28 p1-p2 ((36*64/48)+ (33*67/35)) 10,54 Z critique pour un seul de signification de 1 % (vérification bilatérale) est : +/ Comme le Z calculé est compris entre les deux bornes du Z critique, alors H0 ne peut être rejetée. La différence entre les deux proportions n est donc pas significative au seuil de signification de 1 %. 10