PROPORTIONNALITÉ ET FONCTION LINÉAIRE

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1 PROPORTIONNALITÉ ET FONCTION LINÉAIRE Nous avons vu dans les classes précédentes qu'une situation de proportionnalité peut s'exprimer sous la forme d'un tableau ou d'un graphique, dans un tableau de proportionnalité, on multiplie les nombres de la 1ère ligne toujours par le même nombre ( appelé coefficient de proportionnalité) pour obtenir les nombres de la seconde ligne. dans un graphique, les points (dont les coordonnées sont les colonnes du tableau de proportionnalité) sont alignés sur une droite passant par l'origine du repère. Exemple : le périmètre du carré est proportionnel à la longueur du côté du carré (en effet, on multiplie le côté toujours par 4 pour obtenir le périmètre). On obtient le tableau de proportionnalité suivant : Longueur du côté (en cm) Périmètre du carré (en cm) On obtient le graphique suivant : La colonne orange du tableau correspond au point du graphique de coordonnées (3;12). Les points du graphique sont sur une droite passant par l origine. En 3ème, nous allons découvrir une nouvelle façon d'exprimer une situation de proportionnalité à l'aide d'une fonction. J'en profite donc pour rappeler ce que nous avons vu au 1er trimestre sur la notion de fonction. Une fonction est une sorte de calculatrice avec les caractéristiques suivantes : au lieu de s'appeler Casio, Texas Instrument,, on la nomme par une lettre minuscule ( f, ou g, ) elle n'est composée que d'un pavé numérique et d'une touche elle est programmée pour faire un certain calcul. Si on veut faire un autre calcul, il faut changer de calculatrice. Ainsi la fonction f telle que f : x 3x + 5 ou f (x) = 3x + 5 fonctionne de la façon suivante : on tape un nombre sur son pavé numérique (par exemple 4); la calculatrice f multiplie alors ce nombre 4 par 3 puis lui ajoute 5, et quand on appuie sur la touche, la calculatrice f affiche comme résultat 17. On résume cela par l'écriture f : 4 17 ou f (4) = 17 et on dit que l'image de 4 par la fonction f est 17.

2 I Proportionnalité Sur le cahier d exercices : Activité I p 142. Sur le cahier de leçons : Une grandeur B est proportionnelle à une grandeur A si on multiplie la grandeur A par un nombre fixe a pour obtenir la grandeur B. Ce nombre a s'appelle le coefficient de proportionnalité. On traduit cette situation par une fonction f définie par f : x ax ou f (x) = ax. Exemple : Le périmètre P d'un cercle de rayon r est proportionnel à son rayon et le coefficient de proportionnalité est 2π. On a P = 2π r. La fonction traduisant cette situation est p : x 2π x ou p (x) = 2π x.

3 II Fonction linéaire Sur le cahier d exercices : Activité II p 142. Petit rappel : l'image est le résultat affiché par la calculatrice. un antécédent est un nombre tapé sur la calculatrice. Exemple : avec la fonction f : x 3x + 5, si je tape 4 sur le clavier, la calculatrice affiche 17. On dit que 17 est l'image de 4 par f. On dit que 4 est un antécédent de 17 par f. Remarque : un nombre peut avoir plusieurs antécédents avec certaines fonctions. Par exemple avec la fonction g : x x², le nombre 4 a pour antécédents les nombres -2 et 2.

4 Sur le cahier de leçons : Définition : soit a un nombre relatif fixé. Une fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui multiplie toujours par a. On note f : x ax ou f (x) = ax. Exemple : On considère la fonction h : x -6x. Cette fonction multiplie toujours par -6. On dit que h est la fonction linéaire de coefficient -6. Remarque : Soit g une fonction linéaire de coefficient a, alors g(0) = a x 0 = 0 et g(1) = a x 1 = a. Propriété : Soit f une fonction linéaire de coefficient a avec a 0, alors tout nombre admet un seul antécédent par cette fonction. Exemple : soit la fonction linéaire j : x 9x. Pour chercher un antécédent de 45, je résous l'équation j (x) = 45, ce qui donne 9x = 45 d'où x= 45 9 =5. Donc l'antécédent de 45 par f est 5. Propriété : la fonction qui traduit une situation de proportionnalité est une fonction linéaire. Son coefficient est le coefficient de proportionnalité. Exemple : la fonction p : x 2π x qui permet de calculer le périmètre d'un cercle, est la fonction linéaire de coefficient 2π. Sur le cahier d exercices : Exercice 1 p 148.

5 Exercice 9 p 148. La fonction i est la fonction linéaire de coefficient 3 2. III Propriétés des fonctions linéaires Sur le cahier d exercices : Activité On veut faire des crêpes et on donne le tableau de correspondance suivant entre la masse de farine et le nombre de crêpes, sachant que la masse de farine est proportionnelle au nombre de crêpes. Nombre de crêpes Masse de farine (en g) ? Soit f la fonction qui permet de calculer la masse de farine nécessaire, en fonction du nombre de crêpes que l'on veut faire. 1. La fonction f est-elle linéaire? Justifier la réponse. 2. Déterminer f (20) et f (30). 3. En utilisant le tableau, comment obtenir la masse de farine pour 50 crêpes, sans calculer le coefficient de proportionnalité?

6 4. Exprimer alors f (50) à l'aide de f (20) et f (30). 5. En utilisant le tableau, comment obtenir la masse de farine pour 90 crêpes, sans calculer le coefficient de proportionnalité? 6. Exprimer alors f (90) à l'aide de f (30). Sur le cahier de leçons : Propriété: f est une fonction linéaire, b et c sont deux nombres. On a : f (b + c) = f (b) + f (c). Cela signifie que par une fonction linéaire, l'image d'une somme est égale à la somme des images. Exemple : la fonction linéaire g est telle que g (5) = 8 et g (7) = 11,2. On a : g (12) = g (5 + 7) = g (5) + g (7) = ,2 = 19,2 et g (2) = g (7-5) = g (7) - g (5) = 11,2-8 = 3,2. Propriété: f est une fonction linéaire, x est un nombre et k est un nombre fixé. On a : f (k x) = k f (x). Exemple : la fonction linéaire h est telle que h (12) = 20. On a : h (24) = h (2 x 12) = 2 x h (12) = 2 x 20 = 40 et h (3) = h ( 1 4 x 12) = 1 4 x h (12) = 1 4 x 20 = 5. Sur le cahier d exercices : Exercice 10 p 148.

7 Exercice 12 p 148. Déterminer une fonction linéaire, connaissant un nombre et son image. Pour "fabriquer" une fonction linéaire, il faut connaître la valeur du coefficient a. Pour calculer ce coefficient, il suffit d'avoir un nombre et son image. Exemple : g est une fonction linéaire et je sais que g (6) = -15. Comme g est une fonction linéaire, alors g est de la forme g (x) = ax. D'où g (6) = a 6 et g (6) = -15. On en déduit que a 6 = -15 a = 15 6 = 2,5. Donc la fonction g est définie par g : x -2,5x. Exercice 31 p 151. Exercice 35 p 151.

8 Exercice 36 p 151. IV Représentation graphique On a rappelé en début de leçon qu'une situation de proportionnalité peut s'exprimer sous la forme d'un graphique dans lequel les points sont alignés sur une droite passant par l'origine du repère. Comme une fonction linéaire traduit également une situation de proportionnalité, on en conclut que la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. Sur le cahier de leçons : Propriété: dans un repère, la représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient a est une droite (d) qui passe par l'origine du repère. Le nombre a s'appelle le coefficient directeur de la droite (d). Exemple : soit la fonction linéaire j : x 0,5x. On sait que la représentation graphique de j est une droite (d). Pour construire cette droite, il faut connaître deux points. Comme (d) passe par l'origine, on a déjà le point de coordonnées (0 ; 0). Pour déterminer les coordonnées d'un second point, il faut donner une valeur à x et calculer son image. Prenons par exemple x = 2, alors j (2) = 0,5 2 = 1. La droite (d) passe alors par le point A (2 ; 1). 0,5 est le coefficient directeur de la droite (d).

9 Remarques : On a vu dans le paragraphe II que l'image de 1 par une fonction linéaire est a, alors le point de coordonnées (1 ; a) est sur la droite (d). Si M x M ; y M est sur la droite (d), cela signifie que y M est l'image de x M donc y M = a x M Si y M = a x M alors le point M x M ; y M est sur la droite (d). Sur le cahier d exercices : Exercice 55 p 153.

10 Exercice 19 p 149. Sur le cahier de leçons : Interprétation du coefficient directeur d'une droite (d) Le coefficient directeur a de la droite (d) indique la direction de la droite (si elle "monte" ou "descend"). Cas a > 0 La droite (d) "monte" (quand on se déplace dessus de la gauche vers la droite). Cas a = 0 La droite (d) ne "monte" pas et ne "descend" pas, elle est donc horizontale; (d) est confondue avec l'axe des abscisses. Cas a < 0 La droite (d) "descend" (quand on se déplace dessus de la gauche vers la droite).

11 Sur le cahier d'exercices : Exercice 15 p 149. Exercice 37 p 151. Exercice 39 p 151. V Augmentation et diminution en pourcentage Dans les classes précédentes, on a vu que si une quantité augmente (ou diminue) d'un certain pourcentage, il faut d'abord calculer l'augmentation (ou la diminution), puis additionner (ou soustraire) pour trouver la nouvelle valeur de la quantité. En 3ème, on va faire ce travail en une seule étape et on va utiliser pour cela une fonction linéaire. Exemple : en 1 999, il y avait habitants à la Martinique. Entre et le nombre d'habitants a augmenté de 5%. Quelle est la population de la Martinique en 2 008? On a : population = population augmentation d'où population = population = population = = ,05=399903

12 On constate sur cet exemple détaillé (par la suite, on pourra sauter des étapes dans la rédaction), qu'augmenter une quantité de 5%, revient à multiplier cette quantité par Pour trouver le résultat final, on a donc utilisé une fonction linéaire f de coefficient f : x x De même, diminuer une quantité de 5%, revient à multiplier cette quantité par fonction linéaire g de coefficient g : x x et donc à utiliser une Sur le cahier de leçons : Augmenter un nombre positif de p% revient à multiplier ce nombre par 1 p 100. Une augmentation de p% revient à utiliser la fonction linéaire f : x 1 p 100 x. Exemple : Un collège comptait 750 élèves. À la rentrée suivante, son effectif a augmenté de 8%. Le nouvel effectif du collège est = 750 1,08=810 élèves. Soit p un nombre compris entre 0 et 100. Diminuer un nombre positif de p% revient à multiplier ce nombre par 1 p 100. Une diminution de p% revient à utiliser la fonction linéaire f : x 1 p 100 x. Exemple : Le prix d'une machine à laver est de 425, il baisse de 12%. Le nouveau prix est = 425 0,88=374. Remarques : Multiplier une quantité par 1,34 revient à augmenter cette quantité de 34% car 1,34 = 1 + 0,34 = Multiplier une quantité par 0,43 revient à diminuer cette quantité de 57% car 0,43 = 1 0,57 =

13 Sur le cahier d'exercices : Exercice 59 p 153. Exercice 60 p 153.

14 Exercice 62 p 153.