CHAPITRE 3 : LES VARIABLES ALÉATOIRES
|
|
- Guillaume Chabot
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 CHAPITRE 3 : LES VARIABLES ALÉATOIRES Introduction Variable aléatoire X est une application permettant d associer un nombre réel à toute éventualité. On note X(Ω) l ensemble de toutes les valeurs que peut prendre X. X est dite : Discrète lorsque l ensemble des valeurs que peut prendre est dénombrable Continue lorsqu elle peut prendre toutes les valeurs d un intervalle de IR Exemple 1 : On lance 2 dés. On note S l application qui à chaque lancée associe la somme des résultats obtenus. S est une variable aléatoire qui peut prendre toutes les valeurs de l ensemble S(Ω)={2,3,,12} Exemple 2 : Après mise en sachet on pèse les paquets de farine. On note Y l application qui à chaque paquet associe son poids en gramme. On a constaté que les poids varient entre 955 et 1100 gr. Y est une variable aléatoire continu qui peut prendre toutes les valeurs de l intervalle Y(Ω) = [950 ;1100] I) Variable aléatoires discrètes A) Loi de probabilité ou fonctions de distribution. 1. Définition L application qui à chaque valeur possible x d une variable aléatoire X associe la probabilité P(X=x) est appelée loi de probabilité ou fonction de distribution de la variable aléatoire X. X est la variable aléatoire et x est une réalisation / valeur possible de cette variable X. P(X=x) : probabilité de réaliser l événement de variable aléatoire X prend la valeur x (X=x) : désigne l événement «la variable aléatoire X prend la valeur x» 2. Exemple 1
2 Monsieur PLANDO a 3 bateaux à louer à la journée. X désigne le nombre de bateaux loués par jour sur un mois. Il a pu établir la loi suivante X P(X=x) 0,6 0,25 0,1 0,05 Diagramme en Bâtons G1 Remarque : X est définie comme étant le nombre de bateaux loués par jour en mai. C est un abus de langage puisque X n est pas un nombre mais une variable aléatoire. Donc il est sousentendu que X est l application qui à chaque jour de mai associe le nombre de bateaux loués ce jour là. 3. Propriété La somme des P(X=x) vaut 1. P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,6 + 0,25 + 0,1 + 0,05 = 1 B) Fonction de répartition 1. Définition L application F qui, à tout réel x associe la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à x, est, par définition, la fonction de répartition de X. Pour tout x réel, F(X) = P(X x) 2. Propriétés F est une fonction croissante ; Pour tout x, on a 0 F(x) 1 2
3 or (x + ) est l événement certain, donc : l événement impossible, Et surtout : Pour tout a et tout b réels, On a une population d étudiants. 10% sont abonnés à 3 journaux, 20% à 2 journaux et 40% à 1 seul, les autres à aucun. On note X (variable aléatoire) qui associe à chaque étudiant le nombre d abonnement qu il a souscrit. F est la fonction de répartition qui est à chercher. Loi de proba de X : X P(X=x) 0,3 0,4 0,2 0,1 F(0) = P(X 0) = P(X=0) = 0,3 F(1) = P(X 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0,3 + 0,4 = 0,7 F(2) = P(X 2) = 0,3 + 0,4 + 0,2 = 0,9 F(3) = 1 Expression de F sur IR Si x < 0 Si x [0,1[ Si x [1,2[ Si x [2,3[ Si x 3 F(x)=0 F(x)=0,3 F(x)=0,7 F(x)=0,9 F(x)=1 Lorsque X est discrète, F est une fonction en escalier Représentation graphique de F ---G2 3
4 + P(X > 2) = 1 - P(x 2) = 1 - F(2) = 1-0,9 = 0,1 + P(0 < x < 3) = P(1 x 2) = P(1 x < 3) = P(0 < x 2) = F(2) - F(0) = 0,9-0,3 = 0,6 C) Variables aléatoires discrètes indépendantes Définition : Deux variables aléatoires discrètes X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tout couple (x ;y) de valeurs possibles pour X et Y, les événements X=x est Y=y sont indépendants. P(X=x et Y=y)=P(X=x) * P(Y=y) Un assureur a fait une étude sur ses clients qui pratiquent du ski. Il a établi que la loi du nombre annuel X d accidents de voiture de ces clients est : x P(X=x) 0,6 0,3 0,1 Pour les mêmes clients Y désigne le nombre de semaines passées à la montagne au cours de l année y P(Y=y) 0,5 0,45 0,05 Tableau des probabilités des événements (X=x et Y=y) si X et Y indépendants. P(X=x et Y=y) = P(X=x) * P(Y=y) Y X ,3* 0,15 0,05 2 0,27 0,135 0, ,03 0,015 0,005 Tableau de la loi conjointe : O,3 = 0,6*0,5 4
5 Pour savoir si les variables sont indépendantes, alors il faut que les lignes et colonnes aient un rapport de proportionnalité. D) Espérance, variance, covariance 1. Définitions a) Espérance mathématique L espérance mathématique de X qui est notée E(x) ou est définie par C est bien la moyenne arithmétique des valeurs de x pondérée par leur probabilité. E(X) est un paramètre de position ou de tendance de X b) Variance et écart-type La variance de X notée V(X) est l espérance de la variable aléatoire Donc V(X)= Formule de Köenig V(X)=E[x 2 ]-[E(x)] 2 = E(X 2 )- 2 Remarque : V(x) 0 T(X)= Ecart-type V(x) et G(x) = mesure la dispersion des valeurs prises par X autour de son espérance c) Covariance de 2 variables aléatoires La covariance de X et Y, notée cov(x,y) est l espérance de la variable aléatoire 5
6 Formule de Köenig généralisée 2. Propriétés a) Propriétés d espérance X v.a. et a et b 2 constantes, on a : E[aX+b] = ae[x] + b E[X1+X2+ +Xn] = E[X1] + E[X2] + + E[Xn] E[X1-X2] = E[X1] - E[X2] b) Propriétés de la covariance Cov(X,k)=0 et cov(k,y)=0 avec k=constant Cov(X,Y)=cov(Y,X) Cov(aX+b,a Y+b )=aa cov(x,y) a,a,b,b => constant c) Propriétés de la variance V(aX+b)=a 2 V(X) T(aX+b)= a T(x) V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2cov(X,Y) d) Cas particulier des v.a. indépendantes Si X et Y sont indépendantes, on a donc cov(x,y)=0 V(X+Y)=V(X)+V(Y) Cette propriété se généralise à n v.a. indépendantes V(X1+X2+ +Xn)=V(X1)+ +V(Xn) V(X-Y)=V(X)+V(Y)=V(X+(-1)Y)=V(X)+(-1) 2 V(Y) 6
7 Une agence loue des voitures à la journée. Elle a 6 véhicules et la loi du nombre X de voitures louées par jour est donnée par le tableau : x P(X=x) 0,05 0,1 0,37 0,27 0,17 0,03 0,01 E(X)=(0*0,05)+(1*0,10)+(2*0,37)+(3*0,27)+(4*0,17)+(5*0,03)+(6*0,01)=2,54 E(X 2 )= (0 2 *0,05)+(1 2 *0,10)+(2 2 *0,37)+(3 2 *0,27)+(4 2 *0,17)+(5 2 *0,03)+(6 2 *0,01) =7,84 V(X)= E(X 2 )- =7,84-2,54 2 =1,3884 T(x)= =1,18 Le bénéfice B réalisé = 450X-375 E[B]=E[450X-375]=450E[X]-375=768 V(B)=V(450X-375)=450 2 V(X)= T(B)= =530,24 E) Les moments L espérance et la variance ne sont que des cas particuliers de ce que l on appelle les moments d une variable aléatoire. Les expressions E(X k )= En pratique, seuls les moments d ordre 4 sont utilisés (où k 4) F) Lois marginales A partir de la li conjointe du couple aléatoire (X,Y) on détermine les lois marginales des (X,Y) Loi de X : P(X=x i )= Loi de Y : P(Y=y j )= 7
8 Loi du couple (X,Y) ou loi conjointe : Y 1 2 L(X) X 1 0,3 0,4 0,7 2 0,2 0,1 0,3 L(Y) 0,5 0,5 Lois marginales : E(X) = 1*0,7 + 2*0,3 = 1,3 E(Y) = 1,5 V(X) = 0,7* ,3*2 2-1,3 2 = 0,21 V(Y) = 0,5* ,5*2 2-1,5 2 = 0,25 E(XY)=1*1*0,3 + 1*2*0,4 + 2*1*0,2 + 2*2*0,1 = 1,9 = Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 1,9-1,3*1,5 G) Inégalité de Bienaymé - Tchebychev Elle donne la situation concrète en terme de probabilité des valeurs prises par une v.a. Soit a>0, on démontre que la proba de l ensemble des valeurs de la v.a. qui sont à l extérieur de l intervalle [E(X)-aT ;E(X)+aT] est inférieurs à 1/a 2 La proba des valeurs de la v.a. en dehors de [E(x)-2T ;E(x)+2T] est inférieurs à 1/2 2 = ¼, càd qu avec une proba de 0,75, 1 v.a. prend ses valeurs dans 1 intervalle de longueurs 4T centré sur E(X) H) Variable centrée réduite associée à X Soit X une v.a., d espérance m et d écart-type T La v.a. X c =X-m est appelé v.a. centrée associée à X. son espérance est nulle. E[Xc]=E[X-m]=E[X]-m=m-m=0 La variable aléatoire Xr définie par, variable réduite associée à X. Son écart-type vaut 1 : 8
9 Son espérance est nulle et l écart-type vaut 1 Moments : E[(x-N) k ]= (discret) (N=m) E[(x-N) k ]= Ces moments correspondent aux moments centrés d ordre k. Si k=1 => Espérance K=2 => Variance Exercice : Reprise de l exercice précédent. Déterminer la variable centrée réduite T associée à B. Interprétation de P(T>2) et P(T>5) Par définition, : proba que B dépasse son espérance de plus de 2 fois sont écart-type Idem P(T>5) Exprimer en fonction de T la proba que B ne s écarte pas de son espérance de plus de ½ écart type P(E(B)- ½ Donc T évalue la «distance» entre B et son espérance mesurée en nombre d écart types II) Variables aléatoires continues. 9
10 Reprise de l exemple des paquets de farine dont le poids (en grammes) est une variable aléatoire Y : [950,1100]. - Lorsqu on prend un paquet au hasard, la proba d obtenir un poids de farine rigoureusement égale à 978,2g, p.ex., est nulle. - L événement (Y=978,2) est dit quasi impossible. - Plus généralement : Si X est une variable aléatoire continue, on a : P(X=x)=0 pour tout x A) Fonction de répartition 1. Définition L application qui, à tout réel x, associe la proba que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure ou égale à x, est par définition la fonction de répartition de X. Pour tout réel x, F(x)=P(X x) 2. Propriétés F est croissante Pour tout x, 0 F 1 Pour tous réels a et b :P(a X b)=f(b)-f(a) Exemple: Puisque P(X=a)=P(X=b)=0, on a également : P(a<X<b)=P(a X b)=(a X<b)=F(b)-F(a) Dans une banque entre 9h et 10h le temps d attente d un employé entre 2 clients en minutes est une variable aléatoire X dont la fonction de répartition F est défini par F(x)=0 si x<0 et si x 0. Un client vient juste de partir. Déterminer la proba que le client suivant se présente a) dans 5 minutes exactement b) dans moins de 3 minutes c) dans plus de 3 minutes mais moins de 10 Solutions : a) P(X=5)=0 b) P(X<3)=P(X 3)=F(3)=1-e -0,1*3 0,259 P(3<x<10)=F(10)-F(3)=(1-e -0,1*10 )-(1-e -0,1*3 )=0,373 B) Variables aléatoires continues indépendantes 10
11 1. Définition : Deux variables aléatoires continues X et Y sont indépendantes ssi, pour tous réels x et y, les événements (X x) et (Y y) sont indépendants, ce qui signifie que l on a : P(X x et Y y)=p(x x)*p(y y) Si X et Y sont indépendantes : P(X>x et Y>y)=P(X>x et Y>y) = P(X>x)P(Y>y) Un appareil fonctionne grâce à 2 éléments identiques mais indépendants dont les durées de vie T1 et T2 sont telles que P(T1>10)=P(T2>10)=0,04. Il suffit que l un des deux éléments tombe en panne pour que l appareil ne fonctionne plus. Quelle est la proba que cet appareil fonctionne pendant plus de 10 ans? Solution : L appareil fonctionne pendant plus de 10 ans si l événement (T1>10 et T2>10) est réalisé. Or, P(T1>10 et T2>10)=P(T1>10)P(T2>10)=0,04 2 =0,0016 C) Loi ou densité de probabilité d une variable aléatoire continue. 1. Définition SI X est une variable aléatoire continue de fonction de répartition F dérivable, la loi de probabilité de X est définie par la dérivée de F, que l on note f. f est appelé densité de probabilité ou fonction de densité de X. f(x)=f (x) Déterminer la densité de proba de X, F(x)=0 si x<0 F(x)=1-e -0,1x sinon Si x<0, F(x)=0 donc F (x)=0 Si x 0, F(x)= 1-e -0,1x donc F (x)=0 F (x)=0-(-0,1)e -0,1x La densité de proba de X : f(x)=0 si x<0 f(x)= 0,1e -0,1x sinon 2. Propriétés a) La densité est une fonction positive En effet, la fonction de répartition F est décroissante. Donc sa dérivée f est positive ou nulle. Graphiquement, cela signifie que la courbe de f est entièrement située au dessus de l axe des abscisses. 11
12 b) Calcul de P(a<X b)=f(b)-f(a) Or F est une primitive de f, donc c) En effet (- <x + ) est l événement certain. Graphiquement cela signifie que l air de la portion de plan situé entre l axe de l abscisse et la courbe représentative de f vaut 1 en unité d air) d) Expression de F en fonction de f F(x)=P(X x) En prenant a=- et b=x, avec la propriété b), on obtient : F est la primitive de f, mais pas n importe quelle, c est celle qui tend vers 0 en - e) Représentation graphique G4 La quantité de café (en kg) vendu par un torréfacteur est une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans l intervalle X=[10,70] de densité f : f(x)=0 sinon Vérifier que Déterminer et représenter la fonction de répartition de X(F) Calculer la proba qu il vende Moins de 20kg de café (A) Plus de30kg (B) Entre 20 et 30kg (C) 12
3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.
3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailStatistiques Descriptives à une dimension
I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailCouples de variables aléatoires discrètes
Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude
Plus en détailCalculs de probabilités avec la loi normale
Calculs de probabilités avec la loi normale Olivier Torrès 20 janvier 2012 Rappels pour la licence EMO/IIES Ce document au format PDF est conçu pour être visualisé en mode présentation. Sélectionnez ce
Plus en détailQue faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps?
Chapitre 3 Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps? On va la plupart du temps se limiter à l étude de couple de variables aléatoires, on peut bien sûr étendre les notions introduites
Plus en détailVariables Aléatoires. Chapitre 2
Chapitre 2 Variables Aléatoires Après avoir réalisé une expérience, on ne s intéresse bien souvent à une certaine fonction du résultat et non au résultat en lui-même. Lorsqu on regarde une portion d ADN,
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailLois de probabilité. Anita Burgun
Lois de probabilité Anita Burgun Problème posé Le problème posé en statistique: On s intéresse à une population On extrait un échantillon On se demande quelle sera la composition de l échantillon (pourcentage
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailReprésentation d une distribution
5 Représentation d une distribution VARIABLE DISCRÈTE : FRÉQUENCES RELATIVES DES CLASSES Si dans un graphique représentant une distribution, on place en ordonnées le rapport des effectifs n i de chaque
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailI3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300
I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés TD 1 : rappels. Exercice 1 Poker simplié On tire 3 cartes d'un jeu de 52 cartes. Quelles sont les probabilités d'obtenir un brelan, une couleur, une paire, une suite,
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détailProbabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Plus en détailEI - EXERCICES DE PROBABILITES CORRIGES
EI 1 EI - EXERCICES DE PROBABILITES CORRIGES Notations 1 Les coefficients du binôme sont notés ( n p 2 Un arrangement de n objets pris p à p est noté A p n 3 Si A est un ensemble fini, on notera A ou card
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12
ACTUARIAT 1, ACT 2121, AUTOMNE 2013 #12 ARTHUR CHARPENTIER 1 Une compagnie d assurance modélise le montant de la perte lors d un accident par la variable aléatoire continue X uniforme sur l intervalle
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détail1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité
1 TD1 : rappels sur les ensembles et notion de probabilité 1.1 Ensembles et dénombrement Exercice 1 Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. Décrire toutes les parties de Ω, puis vérier que card(p(ω)) = 2 4. Soit k n (
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailEconomie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de
Economie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de l espérance d utilité Olivier Bos olivier.bos@u-paris2.fr
Plus en détailActuariat I ACT2121. septième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.
Actuariat I ACT2121 septième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 En analysant le temps d attente X avant un certain événement
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailLEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.
LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailLicence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7
Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,
Plus en détail(51) Int Cl.: H04L 29/06 (2006.01) G06F 21/55 (2013.01)
(19) TEPZZ 8 8 4_A_T (11) EP 2 838 241 A1 (12) DEMANDE DE BREVET EUROPEEN (43) Date de publication: 18.02.1 Bulletin 1/08 (1) Int Cl.: H04L 29/06 (06.01) G06F 21/ (13.01) (21) Numéro de dépôt: 141781.4
Plus en détailChapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul
DERIVEES ET REGLES DE CALCULS 69 Chapitre 4: Dérivée d'une fonction et règles de calcul Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée Requis pour: Croissance, Optimisation, Études de fct.
Plus en détailMA6.06 : Mesure et Probabilités
Année universitaire 2002-2003 UNIVERSITÉ D ORLÉANS Olivier GARET MA6.06 : Mesure et Probabilités 2 Table des matières Table des matières i 1 Un peu de théorie de la mesure 1 1.1 Tribus...............................
Plus en détailGEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau
GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision Lionel Darondeau Table des matières Énoncés 4 Corrigés 10 TD 1. Analyse combinatoire 11 TD 2. Probabilités élémentaires 16 TD 3. Probabilités conditionnelles
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailM2 IAD UE MODE Notes de cours (3)
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de
Plus en détailCalculs de probabilités conditionelles
Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailLoi d une variable discrète
MATHEMATIQUES TD N : VARIABLES DISCRETES - Corrigé. P[X = k] 0 k point de discontinuité de F et P[X = k] = F(k + ) F(k ) Ainsi, P[X = ] =, P[X = 0] =, P[X = ] = R&T Saint-Malo - nde année - 0/0 Loi d une
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailLa problématique des tests. Cours V. 7 mars 2008. Comment quantifier la performance d un test? Hypothèses simples et composites
La problématique des tests Cours V 7 mars 8 Test d hypothèses [Section 6.1] Soit un modèle statistique P θ ; θ Θ} et des hypothèses H : θ Θ H 1 : θ Θ 1 = Θ \ Θ Un test (pur) est une statistique à valeur
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailProbabilités et statistique. Benjamin JOURDAIN
Probabilités et statistique Benjamin JOURDAIN 11 septembre 2013 2 i ii À Anne Préface Ce livre est issu du polycopié du cours de probabilités et statistique de première année de l École des Ponts ParisTech
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailEstimation et tests statistiques, TD 5. Solutions
ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailCALCUL DES PROBABILITES
CALCUL DES PROBABILITES Exemple On lance une pièce de monnaie une fois. Ensemble des événements élémentaires: E = pile, face. La chance pour obtenir pile vaut 50 %, pour obtenir face vaut aussi 50 %. Les
Plus en détailTD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires
TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailEPREUVES AU CHOIX DU CANDIDAT. Durée : De 09 h 00 à 12 h 00 (Heure de Yaoundé, TU + 1)
1 CYCLE MST-A 30 JUIN 2010 10 ème Promotion 2010 / 2012 CONCOURS D ENTREE A L IIA DROIT EPREUVES AU CHOIX DU CANDIDAT Durée : De 09 h 00 à 12 h 00 (Heure de Yaoundé, TU + 1) Le candidat traitera au choix
Plus en détailPrécision d un résultat et calculs d incertitudes
Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailEXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG
Exploitations pédagogiques du tableur en STG Académie de Créteil 2006 1 EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Commission inter-irem lycées techniques contact : dutarte@club-internet.fr La maquette
Plus en détailCorrection du bac blanc CFE Mercatique
Correction du bac blanc CFE Mercatique Exercice 1 (4,5 points) Le tableau suivant donne l évolution du nombre de bénéficiaires de minima sociaux en milliers : Année 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailDérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailNombre de marches Nombre de facons de les monter 3 3 11 144 4 5 12 233 5 8 13 377 6 13 14 610 7 21 15 987 8 34 16 1597 9 55 17 2584 10 89
Soit un escalier à n marches. On note u_n le nombre de façons de monter ces n marches. Par exemple d'après l'énoncé, u_3=3. Pour monter n marches, il faut d'abord monter la première. Soit on la monte seule,
Plus en détailProbabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détail4. Exercices et corrigés
4. Exercices et corrigés. N 28p.304 Dans une classe de 3 élèves, le club théâtre (T) compte 0 élèves et la chorale (C) 2 élèves. Dix-huit élèves ne participent à aucune de ces activités. On interroge au
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détailSéries Statistiques Simples
1. Collecte et Représentation de l Information 1.1 Définitions 1.2 Tableaux statistiques 1.3 Graphiques 2. Séries statistiques simples 2.1 Moyenne arithmétique 2.2 Mode & Classe modale 2.3 Effectifs &
Plus en détailPlus courts chemins, programmation dynamique
1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique
Plus en détailQuantification Scalaire et Prédictive
Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détail