PLAN DE COURS Hiver 2011

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1 PLAN DE COURS Hiver 2011 STT Probabilités I Informations générales Crédits : 3 Temps consacré : Mode d'enseignement : Présentiel Site Web : Intranet Pixel : Enseignant(s) : Bélisle, Claude claude.belisle@mat.ulaval.ca Responsable : Bélisle, Claude claude.belisle@mat.ulaval.ca Description sommaire Axiomes de la théorie des probabilités. Probabilité conditionnelle et indépendance. Variable aléatoire discrète et variable aléatoire absolument continue. Vecteur aléatoire. Fonction de répartition. Transformations de variables aléatoires. Moments d'une variable aléatoire. Fonction génératrice. Convergence: en probabilité, presque sûre et en loi. Théorèmes limites sous une forme élémentaire. Horaire et disponibilités Cours en classe : Mercredi 10h30 à 12h20 VCH-3624 Vendredi 10h30 à 12h20 PLT-2765 Disponibilité de l'enseignant : (du 10 janv. au 22 Vendredi 08h30 à 09h20 VCH-1061C avril) Lundi 10h30 à 11h20 (du 10 janv. au 22 VCH-1061C avril) Objectifs À la fin de ce cours, l'étudiant devra être capable 1. de modéliser un phénomène aléatoire simple en utilisant les principaux concepts de la théorie des probabilités; 2. de calculer une probabilité en utilisant les méthodes de l'analyse combinatoire; 1/5

2 3. d'utiliser les notions d'indépendance et de conditionnement et, en particulier, de calculer une probabilité à l'aide de la règle de multiplication, de la loi des probabilités totales ou du théorème de Bayes; 4. de déterminer la distribution de probabilité d'une variable aléatoire ou d'une fonction d'une ou de plusieurs variables aléatoires; 5. de calculer l'espérance d'une variable aléatoire ou d'une fonction d'une ou de plusieurs variables aléatoires; 6. d'utiliser les principales distributions de probabilités classiques et, surtout, de savoir reconnaître les scénarios où elles s'appliquent; 7. d'utiliser les notions de lois conjointes, de lois conditionnelles et de lois marginales et, en particulier, de faire des calculs de probabilité ou d'espérance par conditionnement; 8. d'utiliser la loi des grands nombres et le théorème limite central. Contenu Chapitre 1. Fondement de la théorie des probabilités Expérience aléatoire, ensemble fondamental, événement et probabilité. Les trois axiomes de Kolmogorov. Quelques conséquences des axiomes de Kolmogorov: complémentation, monotonicité, formule de Poincaré, inégalité de Boole, inégalité de Bonferroni. Le cas équiprobable. Chapitre 2. Analyse combinatoire Principe fondamental du dénombrement, permutations, combinaisons, coefficients binomiaux, coefficients multinomiaux. Théorème du binôme. Identités combinatoires. Quelques exemples classiques: mains de poker, mains de bridge, Yahtzee,... Chapitre 3. Probabilité conditionnelle et indépendance Probabilité conditionnelle, règle de multiplication, loi des probabilités totales, théorème de Bayes, événements indépendants. Quelques exemples classiques: le problème de la fiabilité des réseaux, le problème des anniversaires de naissance, le problème des rencontres, le problème de Monty Hall,... Chapitre 4. Variables aléatoires et distributions Variable aléatoire. Distribution d'une variable aléatoire. La fonction de répartition. Le cas discret: fonction de masse. Le cas absolument continu: densité de probabilité. Fonction d'une variable aléatoire. Simulation de variables aléatoires. Chapitre 5. Espérance mathématique Espérance mathématique. Moyenne, écart-type et variance, Moments par rapport à l'origine, moments centraux, moments factoriels. Approximation des moments d'une fonction d'une variable aléatoire. Chapitre 6. Le cas multivarié 2/5

3 Distributions conjointes. Fonction de répartition conjointe. Le cas discret et le cas absolument continu. Distributions marginales. Distributions conditionnelles. Espérance conditionnelle. Covariance et corrélation. Variables aléatoires indépendantes. Espérance et variance d'une somme de variables aléatoires. Calcul de probabilité et d'espérance par conditionnement. Chapitre 7. Les distributions classiques Loi de Bernoulli, loi binomiale, loi géométrique, loi binomiale négative, loi de Poisson, loi hypergéométrique, loi uniforme, loi bêta, loi exponentielle, loi gamma, loi normale. Principales propriétés et principales applications de ces distributions de probabilités. Chapitre 8. La loi des grands nombres et le théorème limite central Convergence en probabilité. Inégalité de Markov, inégalité de Chebyshev, loi faible des grands nombres. Convergence en distribution. Fonction génératrice des moments. Théorème limite central. Modalités d'évaluation Examen Date Heure Pondération de la note finale Examen 1 Mercredi 9 février h30 à 12h % Examen 2 Mercredi 23 mars h30 à 12h % Examen 3 Mercredi 27 avril h30 à 12h % Document(s) autorisé(s) Détails sur les modalités d'évaluation Trois examens comptant respectivement pour 30%, 35% et 35%. Politiques sur les examens Les étudiants qui ont une lettre d'attestation d'accommodations scolaires obtenue auprès d'un conseiller du secteur Accueil et soutien aux étudiants en situation de handicap (ACSESH) doivent rencontrer leur professeur au début de la session afin que des mesures d'accommodation en classe ou lors des évaluations puissent être prévues et planifiés suffisamment à l'avance puis mises en place. Échelle des cotes (cycle 1) Échelle des cotes A+ [ ] A [ ] A- [ ] Réussite 3/5

4 B+ [ ] B [ ] B- [ ] Réussite C+ [ ] C [ ] C- [ ] Réussite D+ [ ] D [ ] Réussite E [ ] X Échec Abandon sans échec (dans les délais prévus) Bibliographie Les notes de cours du professeur Bélisle seront disponibles sur le site web du cours. Politique sur l'utilisation d'appareils électroniques pendant une séance d'évaluation L'utilisation d'appareils électroniques (cellulaire ou autre appareil téléphonique sans fil, pagette, baladeur, agenda électronique, etc.) est interdite au cours d'une séance d'évaluation et de toute autre activité durant laquelle l'enseignant l'interdit. De plus, seuls certains modèles de calculatrices sont autorisés durant les séances d'évaluation. Pour l'année , les modèles suivants sont autorisés : Hewlett Packard HP 20S, HP 30S, HP 32S2, HP 33S, HP 35S Texas Instrument TI-30Xa, TI-30XIIB, TI-30XIIS, TI-36X, BA35 Sharp EL-531*, EL-546*, EL-520* Casio FX-260, FX-300 MS, FX-300W Plus, FX-991MS, FX-991ES * Calculatrices Sharp: sans considération pour les lettres qui suivent le numéro Dans tous ces cas, la calculatrice doit être validée par une vignette autocollante émise par la COOP étudiante ZONE. Information spécifique aux étudiants de l'école d'actuariat Les calculatrices autorisées lors des examens sont uniquement les modèles répondant aux normes de la Society of Actuaries et de la Casualty Actuarial Society pour leurs examens, soit les modèles Texas Instruments suivants : BA-35 (solaire ou à pile) BA II Plus BA II Plus Professional TI-30Xa TI-30X II (IIS ou IIB) TI-30X MultiView (XS ou XB) Politique sur l'utilisation d'appareils électroniques pendant une séance d'évaluation 4/5

5 Aucun appareil électronique n'est autorisé au cours d'une séance d'évaluation et de toute autre activité durant laquelle l'enseignant l'interdit. Politique sur le plagiat et la fraude académique Règles disciplinaires Tout étudiant qui commet une infraction au Règlement disciplinaire à l'intention des étudiants de l'université Laval dans le cadre du présent cours, notamment en matière de plagiat, est passible des sanctions qui sont prévues dans ce règlement. Il est très important pour tout étudiant de prendre connaissance des articles 28 à 32 du Règlement disciplinaire. Celui-ci peut être consulté à l'adresse suivante: Plagiat Tout étudiant est tenu de respecter les règles relatives au plagiat. Constitue notamment du plagiat le fait de: i) copier textuellement un ou plusieurs passages provenant d'un ouvrage sous format papier ou électronique sans mettre ces passages entre guillemets et sans en mentionner la source; ii) résumer l'idée originale d'un auteur en l'exprimant dans ses propres mots (paraphraser) sans en mentionner la source; iii) traduire partiellement ou totalement un texte sans en mentionner la provenance; iv) remettre un travail copié d'un autre étudiant (avec ou sans l'accord de cet autre étudiant); v) remettre un travail téléchargé d'un site d'achat ou d'échange de travaux scolaires. 5/5