Mécanique Chapitre 1 : Cinématique du point matériel

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1 Lycée François Arago Perpignan M.P.S.I Mécanique Chapitre 1 : Cinématique du point matériel On se place dans le cadre de la mécanique classique (newtonienne) qui convient très bien pour expliquer les phénomènes observables à l échelle humaine et que l on applique à des systèmes : de faible vitesse par rapport à la vitesse de la lumière dans le vide ; de faible densité de matière ; Aux échelles astronomique et subatomique, il faut utiliser les lois de la mécanique quantique et la théorie de la relativité. En fonction de la nature du système auquel elle s applique la mécanique peut être divisée en : mécanique du point matériel, mécanique du solide (système de points matériels non déformable), mécanique des fluides (système de points matériels déformable). On appelle cinématique l étude purement descriptive des mouvements indépendamment de leur cause. Elle repose sur les notions d espace et de temps. La dynamique, qui sera étudiée dans le prochain chapitre, a quant à elle pour but de relier les mouvements aux causes qui leur ont donnée naissance, i.e. aux forces. Objectifs : Savoirs : savoir qu un évènement se repère dans l espace et le temps, connaître la notion de référentiel ; connaître parfaitement les différents systèmes de coordonnées (cartésiennes, cylindriques et sphériques) et savoir exprimer le vecteur position dans chaque cas ; connaître et être capable d effectuer la dérivée par rapport au temps d un vecteur unitaire appartenant à une base mobile (ou locale) ; connaître et être capable de démontrer les expressions des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes et en coordonnées cylindriques et polaires. Savoirs faire : pour tout mouvement simple, savoir exprimer dans une base orthormée directe donnée les vecteurs position, vitesse et accélération ; en particulier, savoir paramétrer un mouvement rectiligne (uniforme, uniformément varié ou sinusoïdal) en coordonnées cartésiennes) et un mouvement circulaire (uniforme ou non) en coordonnées polaires. S. Bénet 1

2 1 Généralités 1.1 Notion de point matériel La notion de point matériel n est pas facile à définir car on est tenté de lui attribuer une géométrie mais ceci pose des problèmes car les propriétés du point considéré dépendent alors de sa géométrie. On considèrera donc qu un point matériel est un point géométrique permettant d étudier le mouvement : de particules quasi ponctuelles du centre d inertie d un solide On verra plus loin que sa position et son mouvement sont décrits par la prise en compte de trois coordonnées spatiales en trois dimensions seulement. 1.2 Mesure des distances et des durées La mesure d une grandeur quelconque consiste à compter combien de fois elle contient l étalon associé. L étalon de temps est la seconde, définie comme la durée de périodes de la radiation correspondant à la transition entre deux niveaux hyperfins de l état fondamental du césium 133. Les progrès en métrologie ont permis de rattacher l étalon de longueur à la seconde en postulant que la vitesse de la lumière dans le vide est une constante fondamentale c = m s 1. Cette grandeur ne se mesure plus. Ainsi l étalon de longueur, le mètre, est défini comme la distance parcourue par la lumière dans le vide en seconde. 1.3 Relativité du mouvement et temps absolu Considérons un cycliste qui se déplace en ligne droite devant un spectateur immobile et analysons le mouvement d un point de la roue du vélo. Pour le cycliste ce point décrit un cercle. Pour le spectateur ce point décrit une cycloïde. La notion de mouvement est donc relative au choix de l observateur par rapport auquel on fait l étude. La mécanique classique postule par contre que le temps est une notion absolue donc indépendante de l observateur. Deux observateurs, éventuellement en mouvement relatif, attribueront les mêmes dates aux mêmes évènements. 1.4 Référentiel d étude (d observation) Un référentiel d étude R est constitué par un repère d espace (c.f. 2.1) et un repère de temps ou chronologie liés à un observateur immobile par rapport à R muni d un étalon de longueur et de temps. 1.5 Trajectoire d un point matériel dans un référentiel d étude La trajectoire d un point matériel M dans un référentiel d étude R est la courbe formée par les positions qu a successivement occupées le point M au cours de son déplacement dans R. S. Bénet 2/12

3 2 Repérage d un point 2.1 Repère d espace et vecteur position Définition d une base orthonormée directe Dans un espace à trois dimensions, une base vectorielle orthonormée directe (b.o.n.d.) est constituée d un ensemble de trois vecteurs ( e 1, e 2, e 3 ) non coplanaires orthogonaux 2 à 2 e 1 e 2 = e 2 e 3 = e 1 e 3 = 0 e2 unitaires e 1 = e 2 = e 3 = 1 qui vérifient la «règle des trois doights de la main droite», e1 e 2 = e 3 e1 expression invariante par permutation circulaire e2 e 3 = e 1 e3 e3 e 1 = e 2 Expression d un vecteur dans une base orthormée directe, expression de ses composantes Une base orthonormée directe ( e 1, e 2, e 3 ) ayant était définie un vecteur U quelconque s écrit : U 1 = U e 1 U = U 1 e1 + U 2 e2 + U 3 e3 avec U 2 = U e 2 U 3 = U e 3 U 3 e3 U e2 U 2 e1 U 1 Définition d un repère d espace Un repère d espace (O, e 1, e 2, e 3 ), est constitué d un point origine et d une base vectorielle normée. Ayant défini un repère la donnée des trois coordonnées du point matériel suffisent à le repérer dans l espace. On utilisera pour cela le vecteur position OM. S. Bénet 3/12

4 2.2 Coordonnées cartésiennes Dans un espace à deux ou trois dimensions, lorsque le point matériel étudié a un mouvement quelconque, on choisit préférentiellement d étudier son mouvement en coordonnées cartésiennes. M(x, y, z) Le repère associé aux coordonnées cartésiennes Les coordonnées cartésiennes Le vecteur position de norme Coordonnées cylindriques et coordonées polaires Expression d un angle orienté dans un plan. Définition du sens positif de rotation La mesure d un angle orienté dépend du sens positif de rotation choisi. Pour un problème à deux dimensions, par convention on choisit comme sens positif de rotation le sens trigonométrique (anti-horaire). + M(r, θ) θ O θ = ( e x, OM ) > 0 S. Bénet 4/12

5 Pour définir le sens positif de rotation pour un problème à trois dimensions, on doit orienter le plan contenant l angle orienté à l aide d une normale n. Le sens positif de rotation étant donné par la «règle de la main droite» ou «règle du tire-bouchon» : un «tire-bouchon» qui progresse dans le sens de n tourne dans le sens positif de rotation. n = n = n = O ex ϕ > 0 M Coordonnées cylindriques Dans un espace à trois dimensions, lorsque le point matériel étudié est en rotation autour d un axe, on choisit préférentiellement d étudier son mouvement en coordonnées cylindriques. M(r, θ, z) H Le repère associé aux coordonnées cylindriques Les coordonnées cylindriques S. Bénet 5/12

6 Le vecteur position de norme Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques et vice et versa Dérivée d un vecteur unitaire par rapport à son angle polaire Coordonnées polaires Dans un espace à deux dimensions, lorsque le point matériel étudié est en rotation autour d un point, on choisit préférentiellement d étudier son mouvement en coordonnées polaires. M(r, θ) Le repère associé aux coordonnées polaires Les coordonnées polaires Le vecteur position de norme S. Bénet 6/12

7 Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires et vice et versa Dérivée d un vecteur unitaire par rapport à son angle polaire 2.4 Coordonnées sphériques Dans un espace à trois dimensions, lorsque le point matériel étudié est en rotation autour d un point, on choisit préférentiellement d étudier son mouvement en coordonnées sphériques. M(r, θ, ϕ) M H Le repère associé aux coordonnées sphériques Les coordonnées sphériques Le vecteur position de norme S. Bénet 7/12

8 Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques et vice et versa 3 Vitesse et accélération 3.1 Définitions On se place dans le référentiel d étude R. (Γ) est la trajectoire du point matériel M dans R. O un point fixe de R. O Le vecteur vitesse du point matériel M est défini Le vecteur accélération du point matériel M est défini Vecteurs vitesse et accélération en coordonnées cartésiennes (2D ou 3D) Vecteurs vitesse et accélération en coordonnées cylindriques (3D) et coordonnées polaires (en 2D) S. Bénet 8/12

9 Exemples de mouvements 4.1 Exemples de mouvements rectilignes Mouvement rectiligne Un point matériel M est animé Supposons par exemple que le point matériel M se déplace selon l axe (Ox). Le vecteur position s écrit : Le vecteur vitesse s écrit : Le vecteur accélération s écrit : Ces trois vecteurs ont donc même direction mais pas forcément même sens Mouvement rectiligne uniforme Un point matériel M est animé Considérons un point matériel M se déplaçant selon l axe (Ox) et animé d un mouvement uniforme. L équation différentielle régissant le mouvement du point matériel M s écrit : L équation horaire du point matériel M s écrit : Mouvement rectiligne uniformément varié (accéléré ou retardé) Un point matériel M est animé Considérons un point matériel M se déplaçant selon l axe (Ox) et animé d un mouvement uniformément varié. L équation différentielle régissant le mouvement du point matériel M s écrit : L équation horaire du point matériel M s en déduit : Il existe alors une relation entre la vitesse et la position du point matériel M. On a d où Finalement S. Bénet 9/12

10 4.1.4 Mouvement rectiligne sinusoïdal L équation différentielle régissant le mouvement d un point matériel M animé d un mouvement rectiligne sinusoïdal s écrit : L équation horaire du point matériel M s écrit : Si à t = 0, on a x(0) = x 0 > 0 et ẋ(0) = v 0 > 0, il vient : d où la représentation graphique de x(t) S. Bénet 10/12

11 4.2 Exemples de mouvements circulaires Mouvement circulaire Un point matériel M est animé Considérons un point matériel M se déplaçant sur un cercle C de centre O et de rayon R. Le vecteur position s écrit : Le vecteur vitesse s écrit : En introduisant le vecteur rotation instantané , eθ er il vient M(r, θ) Le vecteur accélération s écrit : R En notant , il vient L accélération comprend deux composantes : une composante tangentielle O θ une composante normale Mouvement circulaire uniforme Considérons un point matériel M se déplaçant sur un cercle C de centre O et de rayon R et animé d un mouvement uniforme. Le vecteur position s écrit encore : Le vecteur vitesse s écrit encore : Le mouvement étant uniforme , la vitesse angulaire de M est constante Le vecteur accélération s écrit alors : Exemple d étude d un mouvement Lancement d un projectile soumis à la seule force de pesanteur. Un trièdre orthonormé (O, e x, e y, e z ) est lié au sol, l axe (Oz) étant dirigé selon la verticale ascendante. z Le champ de pesanteur terrestre, supposé uniforme, est noté g = g e z avec g = g. g A l instant t = 0, un projectile ponctuel de masse m est lancé du point O avec une vitesse initiale v 0. Ce vecteur v 0 est situé dans le plan (O, e x, e z ) et fait un angle α avec l horizontale. Ce projectile n est soumis qu à son poids. Données numériques : m = 1 kg ; v 0 = 100 m s 1 ; g = 10 m s 2. O v0 α x 1. Déterminer les équations différentielles qui régissent le mouvement du projectile. S. Bénet 11/12

12 2. Déterminer l équation de la trajectoire. Quelle est sa nature? 3. Déterminer en fonction de v 0, g et α le temps nécessaire pour que le projectile atteigne son altitude maximale, et les coordonnées du sommet S de la parabole (x S, 0, z S ). 4. Déterminer en fonction de v 0, g et α la portée du projectile (i.e. l abscisse du point où le projectile retombe sur le sol supposé plan et horizontal). Pour une vitesse initiale de module v 0 donné, pour quelle valeur de l angle de tir α la portée est-elle maximale? 5. Pour une vitesse initiale de module v 0 donné, montrer qu il existe deux valeurs de l angle de tir α permettant d atteindre un point A de coordonnées (x A, 0, z A ). La valeur la plus faible correspond au tir tendu tandis que la valeur la plus grande est celle du tir en cloche. 6. Pour une vitesse initiale de module v 0 donné, déterminer l équation de la courbe (Σ) du plan (O, e x, e z ) séparant les points pouvant être atteints par le projectile, de ceux qui ne seront jamais atteints. Cette courbe (Σ) est appelée parabole de sûreté. S. Bénet 12/12