Terminale STG Chapitre 8 : probabilités. Page n
|
|
- Marie-Anne Ricard
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Terminale STG Chapitre 8 : probabilités. Page n 1 Les jeux de hasard sont connus depuis l'antiquité. C'est leur étude qui a conduit Pierre de Fermat ( ) et Blaise Pascal ( ) à s'intéresser au calcul des probabilités. Jacques Bernoulli ( ) énonça la loi des grands nombres qui exprime le lien entre la fréquence d'un événement et sa probabilité d'apparition. La publicité nous annonce que le loto ce n'est pas cher et que ça peut rapporter gros. Mais de combien de façon différentes peut-on choisir un numéro parmi 49? En remplissant une grille de loto, combien a-t-on de chances de choisir les 6 bons numéros? Autrement dit quelle est la probabilité de gagner? Celle ci est très faible : 1. Seul l'etat qui prélève 27,2 % du montant des paris est sûr de gagner On rencontre aussi les probabilités dans différents domaines tels les sondages d'opinion, dans les calculs effectués par les compagnies d'assurance, en économie, en démographie, en médecine Autrement dit chaque fois que l'on mesure un risque. 1 Vocabulaire. Lorsqu'on ne sait à l'avance quelle sera l'issue d'une expérience, on dit qu'il s'agit d'une expérience aléatoire. Une expérience aléatoire peut conduire à plusieurs issues notées e 1, e 2,, e n. L'ensemble des issues possibles d'une épreuve ( ou expérience ) aléatoire est appelé l'univers de l'épreuve. On le note souvent Ω. Un événement est un ensemble constitué d'issues de l'univers. Un événement constitué d'une seule issue est un événement élémentaire. Dans la pratique, on assimile un événement élémentaire à son issue. Il existe deux événements particuliers : L'événement impossible, noté, ( dit ensemble vide ), qui ne contient aucune issue. L'événement certain, noté Ω, qui contient toutes les issues possibles. Réunion et intersection de deux événements et événements contraires. Soit E une expérience aléatoire. Soit Ω l'univers associé à cette expérience aléatoire. Soient A et B deux événements de cette expérience aléatoire. Les issues qui sont dans l'événement A ou dans l'événement B constituent l'événement A U B appelé réunion de A et de B. En mathématiques, le ou est inclusif et signifie soit l'un soit l'autre soit les deux. Exemples : voir feuille annexe.
2 Terminale STG Chapitre 8 : probabilités. Page n 2 Les issues qui sont à la fois dans l'événement A et dans l'événement B constituent l'événement A B appelé intersection de A et de B. Deux événements sont dits incompatibles ( ou disjoints ) lorsqu'ils n'ont aucune issue en commun. On note A B =. Deux événements sont dits contraires lorsqu'ils sont incompatibles et s'ils contiennent à eux deux toutes les issues de l'univers. On note A le contraire de A et on a : A A = et A U A = Ω. Loi de probabilité. Soit Ω = { e 1 ; e 2 ; e 3 ; ; e n } l'univers d'une épreuve aléatoire où chaque e i désigne une issue. Définir une loi de probabilité sur l'univers Ω, c'est associer à chaque issue e i une probabilité p i qui vérifie Pour tout i 0 p i 1 et p 1 + p 2 + p p n = 1. Le nombre p i est noté aussi p ( e i ). La probabilité d'un événement A notée p ( A ) est la somme des probabilités de toutes les issues de A. Exemple : voir feuille annexe. Equiprobabilité. Il y a équiprobabilité sur l'univers Ω lorsque toutes les issues ont la même probabilité. Si Ω est constitué de n issues alors la probabilité de chaque issue est 1 n. Soit Ω un univers où il y a équiprobabilité. Soit A un événement de Ω. Alors la probabilité de l'événement A est donnée par les formules : P ( A ) = nombre d'issues de A = nombres d'issues de Ω nombre de cas favorables nombre de cas possibles
3 Terminale STG Chapitre 8 : probabilités. Page n 3 Formules sur les probabilités. Soient A et B deux événements. Alors p ( A U B ) = p ( A ) + p ( B ) p ( A B ). Cas particulier : Si A et B sont incompatibles alors A B = donc p ( A U B ) = p ( A ) + p ( B ). Soient A et A deux événements contraires. Alors p ( A ) = 1 p ( A ). Démonstration : voir feuille annexe. E1 Connaître l'effet d'un événement sur la probabilité d'un autre. N 1 A l'oral du bac, un examinateur interroge le candidat au hasard sur l'un des trois thèmes : statistiques, probabilités, fonctions. On désigne par S l'événement : " le candidat est interrogé sur les statistiques " et par P l'événement : " le candidat est interrogé sur les probabilités ". 1. a ) Quel est l'événement S P? 1. b ) Que peut on dire des événements S et P? 2. a ) Décrire par une phrase l'événement S U P. 2. b ) Décrire par une phrase le contraire de l'événement S U P. N 2 A l'épreuve pratique du permis de conduire, on a observé les résultats suivants sur un échantillon de 500 candidats se présentant pour la première fois. candidats ayant pratiqué la conduite accompagnée n'ayant pas pratiqué la conduite accompagnée ayant réussi à la première présentation ayant échoué à la première présentation Total On choisit au hasard un candidat dans cet échantillon. On considère les événements C : " la candidat a pratiqué la conduite accompagnée " ; R : " la candidat a réussi à la première présentation. " On donnera les résultats sous forme de fraction. 1. Calculer les probabilités p ( C ), p ( R ) et p ( C R ). 2. Antoine déclare qu'il a pratiqué la conduite accompagnée. Déterminer la probabilité qu'il ait obtenu son permis à la première présentation. A quelle fréquence conditionnelle correspond ce résultat? p(c R) Expliquer pourquoi donne le même résultat. p(c) 3. Elisabeth déclare qu'elle a obtenu son permis à la première présentation. Déterminer la probabilité qu'elle ait pratiqué la conduite accompagnée. A quelle fréquence conditionnelle correspond ce résultat? p(c R) Expliquer pourquoi donne le même résultat. p(r) Total
4 Terminale STG Chapitre 8 : probabilités. Page n 4 2 Probabilités conditionnelles. Soit Ω l'univers d'une épreuve aléatoire. Soit B un événement tel que p ( B ) 0. Soit A un événement de l'univers. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B et on la note p B ( A ) le nombre égal à p(a B). p(b) Remarques : 1 ) On peut calculer la probabilité de l'intersection. p B ( A ) = p(a B) pb ( A ) p ( B ) = p ( A B ). p(b) 2 ) La condition " sachant B " définit une nouvelle loi de probabilité p B sur l'univers Ω avec toutes ses propriétés p B ( A ) [ 0 ; 1 ] et p B ( A ) + p B ( A ) = 1. Exemple : on a interrogé des élèves de terminale sur leurs loisirs : 50 % d'entre eux déclarent aimer aller en boîte et 75 % d'entre eux déclarent aimer le sport. De plus 40 % des élèves déclarent aimer aller en boite et le sport. Pour un de ces élèves rencontrés au hasard, on considère les événements suivants B : " l'élève aime aller en boîte. " et S : " l'élève aime le sport ". 1. Donner les probabilités des événements B, S, et B S. 2. Quelle est la probabilité que l'élève aime le sport sachant qu'il aime aller en boîte? 3. Quelle est la probabilité que l'élève aime aller en boîte sachant qu'il aime le sport? E2 Savoir déterminer une probabilité conditionnelle. N 3 Parmi les 360 adhérents d'un club de sport, une enquête a donné les résultats suivants : Pratiquent la compétition Ne pratiquent pas la compétition Total Fumeurs Non fumeurs Total 1. Reproduire et compléter le tableau ci dessus. 2. On rencontre au hasard un adhérent du club. A ) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : F : " la personne fume " et C : " la personne pratique la compétition ". B ) Quelle est la probabilité que la personne fume et pratique la compétition? C ) Quelle est la probabilité que la personne fume sachant qu'elle pratique la compétition? D ) Quelle est la probabilité que la personne fume sachant qu'elle ne pratique pas la compétition?
5 Terminale STG Chapitre 8 : probabilités. Page n 5 N 4 Rémi, agent commercial, se déplace pour rendre visite pendant la journée à deux clients. Il a constaté que : La probabilité que le premier client fasse un achat est égale à 0,3. Si le premier client a fait un achat, alors la probabilité que le deuxième client fasse un achat est égale à 0,4. Si le premier client n'a pas fait d'achat, la probabilité que le deuxième client fasse un achat est égale à 0,25. On note : A : l'événement : " le premier client a fait un achat. " Et B l'événement : " le deuxième client a fait un achat ". 1 ) Déterminer p ( A ), p A ( B ) et 2 ) En déduire p A ( B ) et p ( B ). A E3 Découverte des arbres pondérés. p ( B ). A N 5 Dans un mélange de graines de fleurs roses et de fleurs jaunes, 60 % sont des graines de fleurs roses, 50 % des graines de fleurs roses germent correctement et 80 % des graines de fleurs jaunes germent correctement. On sème une graine prise au hasard dans ce mélange. La situation décrite dans l'énoncé peut être représentée par l'arbre ci dessous, où l'on note les événements : R : " la graine de fleur est rose " J : " la graine de fleur est jaune " G : " la graine germe correctement ". Reproduire l'arbre que l'on va compléter dans les questions suivantes. 0,5 G 0,6 R G 0,8 G J G 1. On considère les branches au premier niveau de l'arbre. a ) Déterminer p ( R ). b ) Quel lien y a t il entre les événements J et R? En déduire p ( J ). c ) Reporter sur l'arbre de probabilité p ( J ). 2. On considère les branches au second niveau de l'arbre. a ) A quelles probabilités conditionnelles correspondent les valeurs 0,5 et 0,8? b ) Compléter l'arbre avec p R ( G ) et p J ( G ). 3. Parcourons maintenant les branches de l'arbre. a ) Décrire par une phrase chacun des événements R G et J G. b ) Calculer p ( R G ) en précisant le résultat du cours utilisé. Comment visualiser ce calcul sur l'arbre? c ) Calculer de même p ( J G ). d ) En déduire la probabilité que la graine prise au hasard germe correctement.
6 Terminale STG Chapitre 8 : probabilités. Page n 6 3 Arbre de probabilités. Soit Ω l'univers d'une épreuve aléatoire. Soit B un événement de probabilité différente de 0 et de 1. Soit A un événement conditionné par l'événement B. Alors on peut visualiser la situation à l'aide d'un arbre de probabilités. Une branche est représentée par un segment ; chacune porte une probabilité. Un nœud est la jonction de deux ou plusieurs branches. Un chemin est réalisé en suivant des branches successives. La somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1. La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités portées sur ses branches. La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des chemins qui y aboutissent. Schéma : voir feuille annexe. Exemple : Dans un lot de chemises soldées, un quart des chemises sont noires et les autres sont blanches. Il ne reste que des tailles S et L. La moitié des chemises noires et un cinquième des blanches sont de taille L. Jérémy choisit au hasard une chemise du lot. On considère les événements N : " la chemise est noire. " B : " la chemise est blanche. " S : " la chemise est de taille S. " L : " la chemise est de taille L. " Calculer la probabilité que Jérémy choisisse une chemise de taille S. E4 Savoir utiliser les arbres de probabilités. N 6 Dans un sac contenant deux billes jaunes et trois billes bleues, on tire successivement deux billes au hasard sans remettre la première avant de tirer la seconde. On note : J 1 l'événement : " la première bille tirée est jaune. " J 2 l'événement : " la deuxième bille tirée est jaune. " B 1 l'événement : " la première bille tirée est bleue. " B 2 l'événement : " la deuxième bille tirée est bleue. " A l'aide d'un arbre de probabilités, calculer A ) la probabilité que les deux billes tirées soient jaunes. B ) la probabilité que les deux billes tirées soient de la même couleur. C ) p ( J 2 ) puis p ( B 2 ).
7 Terminale STG Chapitre 8 : probabilités. Page n 7 E5 Activité pour découvrir l'indépendance de deux événements. N 7 L'agence de tourisme Probas propose 1000 tickets à gratter, tous gagnants. 990 d'entre eux font gagner une paire de lunettes de soleil et 10 font gagner un voyage soit en Asie soit en Afrique. Les tickets sont de deux couleurs jaune ou rouge. Le tableau ci dessous donne la répartition des tickets. Gain Voyages Lunettes de soleil Série Asie Afrique Total Tickets jaunes Tickets rouges Total Mademoiselle Cilla reçoit au hasard un ticket. On note J : " l'événement le ticket reçu est jaune ". Et R l'événement " le ticket reçu est rouge ". Et V " le client gagne un voyage ". 1 ) a ) Calculer p ( V ), p J ( V ) et p J ( V ). b ) La probabilité de gagner un voyage dépend-elle de la couleur du ticket reçu? c ) Calculer p ( J ) et vérifier que p ( V J ) = p ( V ) p ( J ). 2 ) a ) On note A l'événement " le client gagne un voyage en Asie ". Calculer p ( A ), p J ( A ) et p J ( A ). b ) La probabilité de gagner un voyage en Asie dépend-elle de la couleur du ticket reçu? c ) Vérifier que p ( A J ) p ( A ) p ( J ). 4 Indépendance de deux événements. Soit Ω un univers d'une épreuve aléatoire. Soient A et B deux événements de cet univers. On dit que les événements A et B sont indépendants lorsque p ( A B ) = p ( A ) p ( B ). On dit que deux événements sont dépendants lorsqu'ils ne sont pas indépendants. Remarque : Lorsque p ( B ) 0 alors dire que A et B sont indépendants équivaut à dire que p B ( A ) = p ( A ). Autrement dit la probabilité de l'un est la même avec ou sans la condition que l'autre se réalise. Deux événements incompatibles sont en général dépendants. Exemple : dans un sac contenant 24 jetons numérotés de 1 à 24, on tire au hasard un jeton. On considère les événements suivants : T : " obtenir un multiple de trois. ", S " obtenir au moins 15 " et P " obtenir un nombre pair ". 1. Déterminer si les événements S et T sont indépendants. 2. Déterminer si les événements P et T sont indépendants.
8 Terminale STG Chapitre 8 : probabilités. Page n 8 E6 Savoir démontrer ou utiliser l'indépendance de deux événements. N 8 Deux voisins Franck et Thomas font le même trajet après leur journée de travail. Chacun prend si possible le train de 18 h sinon celui de 18 h 30. On considère que leurs contraintes horaires de fin de journée sont indépendantes. La probabilité d'avoir le premier train pour Franck est égale à 0,9 et pour Thomas 0,8. Un soir donné quelle est la probabilité que Franck et Thomas se retrouvent : 1 ) Dans le train de 18 h? 2 ) Dans le train de 18 h 30? N 9 Monsieur Probas lance un dé non pipé à 6 faces numérotées de 1 à 6. 1 ) Déterminer les probabilités des événements : A : " obtenir au plus 3 " B : " obtenir un multiple de trois " C : " obtenir un nombre impair. 2 ) Calculer p B ( A ) ; p A ( C ) et p ( B C ). 3 ) A et B sont-ils indépendants? A et C sont-ils indépendants? B et C sont-ils indépendants? N 10 Dans un jeu classique de 32 cartes, Monsieur Probas en tire une au hasard. 1 ) Les événements R " tirer un roi " et Q " tirer un pique " sont ils indépendants? 2 ) Les événements F " tirer une figure " et Q sont-ils indépendants? 3 ) Les événements F et R sont-ils indépendants? N 11 Une épreuve aléatoire consiste à lancer plusieurs pièces de monnaies. On désigne par A l'événement " toutes les pièces tombent du même côté " et par B l'événement " au plus une pièce donne face ". 1 ) Pour deux pièces lancées, a ) décrire l'univers de l'épreuve. b ) calculer p ( A ), p ( B ) et p ( A B ) c ) les événements A et B sont-ils indépendants? 2 ) Même questions pour trois pièces lancées. N 12 A chaque cours de maths, Monsieur Probas constate que des élèves oublient leur calculatrice et ( ou ) leur livre. Il a constaté que le 29 janvier 2007, 15 élèves ont apporté leur calculatrice et leur manuel et 10 élèves n'ont apporté que leur calculatrice. 3 élèves n'ont apporté que leur manuel et 2 élèves n'ont apporté ni l'un ni l'autre. 1 ) Construire un tableau d'effectifs. 2 ) a ) On choisit au hasard un élève de la classe de Monsieur Probas. Quelle est la probabilité qu'il ait apporté son manuel? 2 ) b ) Quelle est la probabilité qu'il ait apporté son manuel sachant qu'il a apporté sa calculatrice? 2 ) c ) Les événements " l'élève a apporté son manuel "et l'élève a apporté sa calculatrice sont-ils indépendants? E7 Exercice type bac. N 13 Nouvelle Calédonie 2005 ( 5 points et 45 min ). Soient deux dés cubiques notés D 1 et D 2 dont toutes les faces ont la même probabilité d'apparition. Le dé D 1 a une face numérotée 1 et cinq faces numérotées 3. Le dé D 2 a deux faces numérotées 1, une face numérotée 2 et trois faces numérotées 3. On lance le dé D 1 puis on lance le dé D 2 et on regarde le chiffe obtenu par chacun d'eux. On appelle événement élémentaire tout couple ( a ; b ) de deux chiffres, où a est le chiffre apparu sur le dé D 1 et b le chiffre apparu sur le dé D 2. 1 ) Dresser un tableau à double entrée faisant apparaître tous les couples possibles. 1 point 2 ) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : " deux faces portent le même numéro. " B : " deux faces portent des numéros différents. " C : " au moins une face porte le numéro 1. " E : " une des faces et une seule porte le numéro 3." 2 points 3 ) Calculer la probabilité des événements C E et C U E. 1 point 4 ) Déterminer p A ( C ). Les événements A et C sont-ils indépendants? 1 point
Probabilités conditionnelles Loi binomiale
Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard
Plus en détailExercices de dénombrement
Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détailExercices sur le chapitre «Probabilités»
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de
Plus en détailLes probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances
Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce
Plus en détailFluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités
Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille
Plus en détailExemple On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. Calculer la probabilité d obtenir exactement deux fois pile.
Probabilités Définition intuitive Exemple On lance un dé. Quelle est la probabilité d obtenir un multiple de 3? Comme il y a deux multiples de 3 parmi les six issues possibles, on a chances sur 6 d obtenir
Plus en détailProbabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2
Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................
Plus en détailProbabilités (méthodes et objectifs)
Probabilités (méthodes et objectifs) G. Petitjean Lycée de Toucy 10 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Probabilités (méthodes et objectifs) 10 juin 2007 1 / 19 1 Déterminer la loi de probabilité d
Plus en détailAndrey Nikolaevich Kolmogorov
PROBABILITÉS La théorie des probabilités est née de l étude par les mathématiciens des jeux de hasard. D'ailleurs, le mot hasard provient du mot arabe «az-zahr» signifiant dé à jouer. On attribue au mathématicien
Plus en détailCALCUL DES PROBABILITES
CALCUL DES PROBABILITES Exemple On lance une pièce de monnaie une fois. Ensemble des événements élémentaires: E = pile, face. La chance pour obtenir pile vaut 50 %, pour obtenir face vaut aussi 50 %. Les
Plus en détailExercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010
Exercices supplémentaires sur l introduction générale à la notion de probabilité 2009-2010 Exercices fortement conseillés : 6, 10 et 14 1) Un groupe d étudiants est formé de 20 étudiants de première année
Plus en détailMATHÉMATIQUES APPLIQUÉES S4 Exercices
Unité D Probabilité Exercice 1 : Chemins 1. Aline habite la maison illustrée ci-dessous. Le diagramme illustre les murs et les portes. a) Combien existe-t-il de chemins possibles entre la pièce A et la
Plus en détailPROBABILITÉS CONDITIONNELLES
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES A.FORMONS DES COUPLES Pour la fête de l école, les élèves de CE 2 ont préparé une danse qui s exécute par couples : un garçon, une fille. La maîtresse doit faire des essais
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailGEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau
GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision Lionel Darondeau Table des matières Énoncés 4 Corrigés 10 TD 1. Analyse combinatoire 11 TD 2. Probabilités élémentaires 16 TD 3. Probabilités conditionnelles
Plus en détailProbabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110
Plus en détailNOTIONS DE PROBABILITÉS
NOTIONS DE PROBABILITÉS Sommaire 1. Expérience aléatoire... 1 2. Espace échantillonnal... 2 3. Événement... 2 4. Calcul des probabilités... 3 4.1. Ensemble fondamental... 3 4.2. Calcul de la probabilité...
Plus en détailP1 : Corrigés des exercices
P1 : Corrigés des exercices I Exercices du I I.2.a. Poker : Ω est ( l ensemble ) des parties à 5 éléments de l ensemble E des 52 cartes. Cardinal : 5 I.2.b. Bridge : Ω est ( l ensemble ) des parties à
Plus en détailI. Cas de l équiprobabilité
I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus
Plus en détailProbabilités. I - Expérience aléatoire. II - Evénements
Probabilités Voici le premier cours de probabilités de votre vie. N avez-vous jamais eut envie de comprendre les règles des grands joueurs de poker et de les battre en calculant les probabilités d avoir
Plus en détailIndications pour une progression au CM1 et au CM2
Indications pour une progression au CM1 et au CM2 Objectif 1 Construire et utiliser de nouveaux nombres, plus précis que les entiers naturels pour mesurer les grandeurs continues. Introduction : Découvrir
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailProbabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Plus en détailATTENTION AU DÉPART! GUIDE DE QUESTIONS DU MENEUR DE JEU. www.grand-cerf.com
VOCABULAIRE Les questions visent à travailler le vocabulaire matliématique, le repérage... Quelques exemples, à compléter par le meneur de jeu : - Chaque joueur te donne un passager. - Prends 1 passager
Plus en détailSeconde et première Exercices de révision sur les probabilités Corrigé
I_ L'univers. _ On lance simultanément deux dés indiscernables donc il n'y a pas d'ordre. Il y a répétition, les dbles. On note une issue en écrivant le plus grand chiffre puis le plus petit. 32 signifie
Plus en détailDENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES
BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-EXERCICE DE SYNTHESE EXERCICE RECAPITULATIF (DE SYNTHESE) CORRIGE Le jeu au poker fermé DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES On joue
Plus en détailMATH0062-1 ELEMENTS DU CALCUL DES PROBABILITES
MATH0062-1 ELEMENTS DU CALCUL DES PROBABILITES REPETITIONS et PROJETS : INTRODUCTION F. Van Lishout (Février 2015) Pourquoi ce cours? Sciences appliquées Modélisation parfaite vs monde réel Comment réussir
Plus en détailS initier aux probabilités simples «Question de chance!»
«Question de chance!» 29-11 Niveau 1 Entraînement 1 Objectifs - S entraîner à activer la rapidité du balayage visuel. - Réactiver le comptage par addition jusqu à 20. - Développer le raisonnement relatif
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailCalculs de probabilités
Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile
Plus en détailExo7. Probabilité conditionnelle. Exercices : Martine Quinio
Exercices : Martine Quinio Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 Dans la salle des profs 60% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle
Plus en détailProbabilités Loi binomiale Exercices corrigés
Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre
Plus en détailArbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement
Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement Exercice 1 Donner l univers Ω de l expérience aléatoire consistant à tirer deux boules simultanément d une urne qui en contient 10 numérotés puis à lancer
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Fiche BAC ES 05 Terminale ES Probabilités conditionnelles Loi binomiale Cette fiche sera complétée au fur et à mesure Exercice n 1. BAC ES. Centres étrangers 2012. [RÉSOLU] Un sondage a été effectué auprès
Plus en détailBaccalauréat technologique
Baccalauréat technologique Épreuve relative aux enseignements technologiques transversaux, épreuve de projet en enseignement spécifique à la spécialité et épreuve d'enseignement technologique en langue
Plus en détail1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes.
Corrigé du Prétest 1. Déterminer l ensemble U ( univers des possibles) et l ensemble E ( événement) pour les situations suivantes. a) Obtenir un nombre inférieur à 3 lors du lancer d un dé. U= { 1, 2,
Plus en détailProbabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détail9 5 2 5 Espaces probabilisés
BCPST2 9 5 2 5 Espaces probabilisés I Mise en place du cadre A) Tribu Soit Ω un ensemble. On dit qu'un sous ensemble T de P(Ω) est une tribu si et seulement si : Ω T. T est stable par complémentaire, c'est-à-dire
Plus en détailRapidMiner. Data Mining. 1 Introduction. 2 Prise en main. Master Maths Finances 2010/2011. 1.1 Présentation. 1.2 Ressources
Master Maths Finances 2010/2011 Data Mining janvier 2011 RapidMiner 1 Introduction 1.1 Présentation RapidMiner est un logiciel open source et gratuit dédié au data mining. Il contient de nombreux outils
Plus en détailLe chiffre est le signe, le nombre est la valeur.
Extrait de cours de maths de 6e Chapitre 1 : Les nombres et les opérations I) Chiffre et nombre 1.1 La numération décimale En mathématique, un chiffre est un signe utilisé pour l'écriture des nombres.
Plus en détailUniversité Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot. 1 Ensemble fondamental loi de probabilité
Université Paris 8 Introduction aux probabilités 2014 2015 Licence Informatique Exercices Ph. Guillot 1 Ensemble fondamental loi de probabilité Exercice 1. On dispose de deux boîtes. La première contient
Plus en détailQu est-ce qu une probabilité?
Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailPourquoi l apprentissage?
Pourquoi l apprentissage? Les SE sont basés sur la possibilité d extraire la connaissance d un expert sous forme de règles. Dépend fortement de la capacité à extraire et formaliser ces connaissances. Apprentissage
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailCalculs de probabilités conditionelles
Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailGestion d'une billeterie défilé des talents
Jean HENRI Gestion d'une billeterie défilé des talents version 0.3 5 novembre 2013 STS Services Informatiques aux Organisations Lycée St Joseph - Bressuire Sommaire 1 Introduction... 1 2 Présentation
Plus en détailLes probabilités. Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée Les probabilités produite par TFO.
Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée produite par TFO. Le guide Édition 1988 Rédacteur (version anglaise) : Ron Carr Traduction : Translatec Conseil Ltée
Plus en détail4. Exercices et corrigés
4. Exercices et corrigés. N 28p.304 Dans une classe de 3 élèves, le club théâtre (T) compte 0 élèves et la chorale (C) 2 élèves. Dix-huit élèves ne participent à aucune de ces activités. On interroge au
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailLa Formule pour la réussite des satellites de club
La Formule pour la réussite des satellites de club COMMENT LANCER UN SATELLITE Vous voulez rendre votre club encore plus pratique, gratifiant et attrayant pour les membres potentiels et les membres actuels?
Plus en détailFeuille d exercices 2 : Espaces probabilisés
Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un
Plus en détailCRÉER DES LEÇONS AVEC L'ÉDITEUR DU LOGICIEL 1000 MOTS POUR APPRENDRE À LIRE EN FRANÇAIS, ANGLAIS ET ALLEMAND
93 CRÉER DES LEÇONS AVEC L'ÉDITEUR DU LOGICIEL 1000 MOTS POUR APPRENDRE À LIRE EN FRANÇAIS, ANGLAIS ET ALLEMAND 1 - LE LOGICIEL 1000 MOTS 1000 mots est un logiciel destiné aux classes du cycle II en France
Plus en détailAnalyse Combinatoire
Analyse Combinatoire 1) Équipes On dispose d un groupe de cinq personnes. a) Combien d équipes de trois personnes peut-on former? b) Combien d équipes avec un chef, un sous-chef et un adjoint? c) Combien
Plus en détailArtlcle 1:...Règ,lement g,énéral
Amendement n Q 1: au Règlem;e,nt G;énéral des, concours die,pronostics, sportlfa dénommés «' Cate, et Sport» Article 11 Les dispositions des articles 1, 3 et 7 du Règlement général des concours de pronostics
Plus en détailS initier aux probabilités simples «Un jeu de cartes inédit»
«Un jeu de cartes inédit» 29-31 Niveau 3 Entraînement 1 Objectifs S entraîner à estimer une probabilité par déduction. Applications (exemples) En classe : tout ce qui réclame une lecture attentive d une
Plus en détailTrajet d'une recette payée par un tiers (2)
Trajet d'une recette payée par un tiers (2) niveau : confirmé Nous avons vu dans l'article précédent la saisie d'une recette en mode "tierspayant" dans le dossier-patient. Il est déjà possible d'aller
Plus en détailPartie 1 : la construction du nombre chez l'enfant. Page 2. Partie 2 : Des jeux et des nombres Page 8
Partie 1 : la construction du nombre chez l'enfant. Page 2 Partie 2 : Des jeux et des nombres Page 8 1 La construction du nombre Le nombre est invariant : Le nombre ne change pas quelles que soient les
Plus en détailUTILISATION D'UNE PLATEFORME DE TRAVAIL COLLABORATIF AVEC DES ELEVES DE TERMINALE STG
UTILISATION D'UNE PLATEFORME DE TRAVAIL COLLABORATIF AVEC DES ELEVES DE TERMINALE STG LE CONTEXTE Les élèves de terminale STG doivent réaliser pendant leur année de terminale sur une durée de 16 heures,
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailComment bien démarrer avec. NetAirClub GUIDE ADMINISTRATEUR V1.5. Table des matières
Comment bien démarrer avec NetAirClub GUIDE ADMINISTRATEUR V1.5 Table des matières 1 TELECHARGEMENT...3 2 PREMIERE CONNEXION...4 2.1 Paramétrage du temps d'inactivité...4 2.2 Création de votre fiche membre
Plus en détailCOMBINATOIRES ET PROBABILITÉS
COMBINATOIRES ET PROBABILITÉS ème année. Analyse combinatoire.. Outils.. Principe de décomposition.. Permutations.. Arrangements..5 Combinaisons 8.. Développement du binôme 9..7 Ce qu il faut absolument
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailThermodynamique (Échange thermique)
Thermodynamique (Échange thermique) Introduction : Cette activité est mise en ligne sur le site du CNRMAO avec l autorisation de la société ERM Automatismes Industriels, détentrice des droits de publication
Plus en détailVous incarnez un surdoué en informatique qui utilise son ordinateur afin de pirater des comptes bancaires un peu partout dans le monde et s en mettre
Vous incarnez un surdoué en informatique qui utilise son ordinateur afin de pirater des comptes bancaires un peu partout dans le monde et s en mettre plein les poches. Problème : vous n êtes pas seul!
Plus en détailLES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES
LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES 1 Ce travail a deux objectifs : ====================================================================== 1. Comprendre ce que font les générateurs de nombres aléatoires
Plus en détailNotre planète mobile : Canada
Notre planète mobile : Canada Mieux comprendre les utilisateurs de mobiles Mai 2012 1 LES TÉLÉPHONES INTELLIGENTS ONT TRANSFORMÉ LE COMPORTEMENT DES CONSOMMATEURS 2 Le téléphone intelligent représente
Plus en détailGuide du tuteur en entreprise
Brevet de Technicien Supérieur Assistant Gestion PME - PMI Guide du tuteur en entreprise LYCEE LA MENNAIS 2 rue Général Dubreton (site général-technologique) Directeur : Ihsan JAAFAR 3 rue de Guibourg
Plus en détailStatistiques II. Alexandre Caboussat alexandre.caboussat@hesge.ch. Classe : Mardi 11h15-13h00 Salle : C110. http://campus.hesge.
Statistiques II Alexandre Caboussat alexandre.caboussat@hesge.ch Classe : Mardi 11h15-13h00 Salle : C110 http://campus.hesge.ch/caboussata 1 mars 2011 A. Caboussat, HEG STAT II, 2011 1 / 23 Exercice 1.1
Plus en détailMesure de probabilité, indépendance.
MATHEMATIQUES TD N 2 : PROBABILITES ELEMENTAIRES. R&T Saint-Malo - 2nde année - 2011/2012 Mesure de probabilité, indépendance. I. Des boules et des cartes - encore - 1. On tire simultanément 5 cartes d
Plus en détailREGLEMENT DES JEUX PARTOUCHE IMAGES (Serveur vocal et Internet)
REGLEMENT DES JEUX PARTOUCHE IMAGES (Serveur vocal et Internet) Le présent règlement remplacent, à compter du 24 juillet 2013, le précédent règlement Jeux PARTOUCHE IMAGES déposées en l étude de Maître
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailPrincipes de mathématiques 12 SÉRIE DE PROBLÈMES. Septembre 2001. Student Assessment and Program Evaluation Branch
Principes de mathématiques 12 SÉRIE DE PROBLÈMES Septembre 2001 Student Assessment and Program Evaluation Branch REMERCIEMENTS Le Ministère de l Éducation tient à remercier chaleureusement les professionnels
Plus en détailFrançois Émond psychologue 2003 Centre François-Michelle. Liste des 24 catégories de connaissances et compétences à développer
Programme par Cœur François Émond psychologue 2003 Centre François-Michelle Trousse de consolidation des connaissances et compétences scolaires Attention, mémoire, raisonnement, stratégies, habiletés linguistiques
Plus en détailDYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES
A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
Plus en détailJeux mathématiques en maternelle. Activités clés. Jeu des maisons et des jardins (Yvette Denny PEMF)
Activités clés NIVEAU : PS/MS Jeu des maisons et des jardins (Yvette Denny PEMF) Compétences Construire les premiers nombres dans leur aspect cardinal Construire des collections équipotentes Situation
Plus en détailFeuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre.
Université de Nantes Année 2013-2014 L3 Maths-Eco Feuille 6 : Tests Exercice 1 On cherche à connaître la température d ébullition µ, en degrés Celsius, d un certain liquide. On effectue 16 expériences
Plus en détailEn parallèle du travail d équipe
La Certification intermédiaire i Filière maintenance automobile matériel nautique RAPPEL Pour l ensemble des baccalauréats professionnels de la filière automobile, maintenance de matériel, réparation en
Plus en détailBANQUES DE DONNÉES PÉDAGOGIQUES
223 Daniel BURET, Jean-Claude BLANCHARD. HISTORIQUE L'EPI a entrepris en 1989 de créer des bases d'énoncés mathématiques destinées aux enseignants pour la production de documents et accompagnées d'un outil
Plus en détailS initier aux probabilités simples «Question de chance!»
«Question de chance!» 29-11 Niveau 1 Entraînement 1 Objectifs - S entraîner à activer la rapidité du balayage visuel. - Réactiver le comptage par addition jusqu à 20. - Développer le raisonnement relatif
Plus en détailThéorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes
Plus en détailSTG Eco- gestion Par Stéphane GOZE Economie droit Le sujet 2008 d'économie Droit du lycée français de Pondichéry Les élèves du lycée français de
STG Eco- gestion Par Stéphane GOZE Economie droit Le sujet 2008 d'économie Droit du lycée français de Pondichéry Les sujets 2007 d'économie Droit de terminale 2007 d Économie-Droit du premier groupe. 10
Plus en détailJEU BOURSIER 2015. Séance d introduction à la plateforme de trading SaxoWebTrader. - Pour débutants -
JEU BOURSIER 2015 Séance d introduction à la plateforme de trading SaxoWebTrader - Pour débutants - A partir d un ordinateur: a) Rends-toi sur le site suisse de SaxoBank: https://webtrader.saxobank.ch/sim/login/
Plus en détailPlan général du cours
BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE PROBABILITES Plan général du cours 1. Dénombrement et combinatoire (permutations, arrangements, combinaisons). 2. Les probabilités
Plus en détailFiche pédagogique : ma famille et moi
Fiche pédagogique : ma famille et moi Tâche finale de l activité : Jouer au «Cluedo» Niveau(x) Cycle 3 Contenu culturel : - jeux de sociétés Connaissances : Connaissances requises : - cf séquences primlangue
Plus en détailObjets Publicitaires pour salons
Objets Publicitaires pour salons Accessoire Bureau Autoprimo Staff Auto Divers p. 2 p. 4 p. 8 p. 11 p. 12 Dans la limite des stocks disponibles 1 Accessoire Pochette carte grise AD Pochette de protection
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailLA SÉRIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DU MANAGEMENT ET DE LA GESTION
LA SÉRIE SCIENCES ET TECHNOLOGIES DU MANAGEMENT ET DE LA GESTION Les sciences de gestion, une matière de plus en plus reconnue Une place qui a profondément évolué dans l enseignement supérieur : Université,
Plus en détailIUT de Laval Année Universitaire 2008/2009. Fiche 1. - Logique -
IUT de Laval Année Universitaire 2008/2009 Département Informatique, 1ère année Mathématiques Discrètes Fiche 1 - Logique - 1 Logique Propositionnelle 1.1 Introduction Exercice 1 : Le professeur Leblond
Plus en détailNOTRE PERE JESUS ME PARLE DE SON PERE. idees-cate
NOTRE PERE JESUS ME PARLE DE SON PERE idees-cate 16 1 L'EVANGILE DE SAINT LUC: LE FILS PRODIGUE. Luc 15,11-24 TU AS TERMINE LE LIVRET. PEUX-TU DIRE MAINTENANT, QUI EST LE PERE POUR TOI? Un Père partage
Plus en détailApprendre à résoudre des problèmes numériques. Utiliser le nombre pour résoudre des problèmes
Apprendre à résoudre des problèmes numériques Utiliser le nombre pour résoudre des problèmes Ce guide se propose de faire le point sur les différentes pistes pédagogiques, qui visent à construire le nombre,
Plus en détailEbauche Rapport finale
Ebauche Rapport finale Sommaire : 1 - Introduction au C.D.N. 2 - Définition de la problématique 3 - Etat de l'art : Présentatio de 3 Topologies streaming p2p 1) INTRODUCTION au C.D.N. La croissance rapide
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détail