NOTES SUR LA DISTRIBUTION CONDITIONNEE DU MONTANT D'UN SINISTRE PAR RAPPORT A L'HYPOTHESE QU'IL Y A EU UN SINISTRE DANS L'ASSURANCE AUTOMOBILE

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1 NOTES SUR LA DISTRIBUTION CONDITIONNEE DU MONTANT D'UN SINISTRE PAR RAPPORT A L'HYPOTHESE QU'IL Y A EU UN SINISTRE DANS L'ASSURANCE AUTOMOBILE GUNNAR BENKTANDER, Solna (Suede) Dans un trait6 ant6rieur, l'auteur a examin6, en collaboration avec M. Segerdahl, un certain nombre de fonctions analytiques propres ~ d6finir la distribution du montant d'un sinistre en s'arr~tant tout sp~cialement aux aspects pr6sentant de l'int6r~t du point de vue de l'assurance en exc6dent de sinistres. L'examen a r6v616 que les r6partitions du type Pareto ~taient int6ressantes aussi bien du point de rue th~orique -- en tant que repr6sentant un type de distribution partieuli&rement,,dangereux" -- que du point de vue pratique, le materiel statistique su6dois et norv6gien obtenu lots de l'analyse de diffsrentes branches d'assurances -- telles que Vie, Incendie et Automobile -- semblant bien indiquer que pour de grands intervalles la distribution du type Pareto repr~senterait l'authentique materiel des dommages. Nous nous permettrons par cons6quent de nous arr~ter tant soit peu aux caract~ristiques de la distribution du type Pareto ainsi qu'aux formules d~coulant de la dite distribution pour la prime de risque en exc~dent de sinistres et ses variances. Si P(x) exprime la distribution, I -- P(x) = H(x) = C. x -~ pour a < x < M, M 6rant la valeur la plus grande pour x, en supposant que la probabilit6 d'atteindre la valeur M est H(M) = C. M -~. Si re(x) est la moyenne des portions de sinistres sup6rieures k x Sp~cialement si M =- oo on obtient re(x) x. 0t--I Si nous appelons n(x) le nombre pr6vu de sinistres sup6rieurs ~ x

2 LA DISTRIBUTION CONDITIONNEE DU MONTANT D'UN SINISTRE 2 5 pendant une p6riode donn&, et II (x, M) la prime de risque pour un trait6 d'exc6dent de sinistre correspondant k la dite p6riode avec une priorit6 x, n 6tant mis pour n(o). H(x, M) = n(x). re(x) = n. H(x). re(x), On obtient donc dans le cas Pareto II(x, M) = lli (x) -- H(M) = n. C. x -~'. - - I -- p oh II(x) est mis pour II(x, oo), soit la prime de risque pour la tranche illimit&. Si M = k. x, on obtient IH(x, kx) = II(x). (I -- k- = +1) Sp&.I ~=2 II(x, kx)= II(x). (z --~) Sp&. 2 0 = 3 II(x, kx) = II(x). i -- En supposant des facteurs de risque constants et des sinistres inddpendants l'un de l'autre, la variance de la somme du montant des sinistres venant A frapper la couverture en exc6dent de sinistres (x, M) sera M V(x, M) = 2 ~ II(y)dy -- 2(m -- x). H(M) z En supposaut que V(x)= V(x, o0) existe, c.h.d., dans le cas Pareto, que c > 2, on peut 6crire V(x, M) = V(x) -- V(M) -- 2 (M -- x) II (M) Lorsque 0c = 2 et II(x) = n. C. x -1 = A2. x, on obtient V(x,M)=2A21dog~---(M--x).~l et Par cons6quent, les variances sont ici dgales pour toutes les tranches ayant la m~me longueur relative k. Lorsque ~ = 3 et II(x)= As. x -s, on obtient 3

3 26 LA DISTRIBUTION CONDITIONNEE DU MONTANT D'UN SINISTRE V(x,M)= 2A 3 ~/.~ =2A s.~ I-- et V(x, kx) = 2A3 ~ I-- = 2x. II(x) I-- Dans l'application pratique, les cas pr6sentant un int6r~t plus particulier sont ceux oh 0t > z, c.k.d, oca le r6sultat de la tranche illimit6e a une variance limit6e. Pour iuustrer l'utiut6 des distributions du type Pareto dans la branche Accidents nous avons choisi et remani6 un certain mat6riel provenant d'un pays europ6en non scandinave et relatif ~t l'assurance RC Automobiles couvrant la p6riode Les sinistres particuliers ont 6t6 recalcul6s en tenant compte de rinflation constat6e durant la dire p6riode ainsi que d'une certaine,,inflation clans la jurisprudence" s'ajoutant k la pr6c6dente. Par contre, le remaniement n'a pas tenu compte des diff6rences survenues dans le tarif, de la composition du portefeuille, ainsi que des mesures complexes prises en vue de r6duire le nombre des sinistres dans leur ensemble. Ces mesures repr6sentent tousles facteurs sur les lesquels l'on s'efforce d'agir au moyen de recherches sur la circulation, de construction de routes, de dispositifs de s6curit6 ~t l'int6rieur des voitures, de propagande pour la sfiret6 du trafic, des limites de vitesse, etc. Le mat6riel comprend aussi bien les sinistres r6gl6s que les sinistres en suspens. Les compagnies qui semblent avoir syst6- matiquement sousestim~ leurs r6serves pour sinistres en suspens ont 6t6 61imin6es de l'6tude en question. Dans la table ci-dessous, une comparaison a 6t6 6tablie entre le hombre de sinistres survenus dans les diff6rentes classes de grandeur et le hombre de sinistres pr6vus selon la distribution du type Pareto lorsque ~ = 2.7. Intervalle de sirfistres nombre de sinistres en milliers d'unit~s mon~taires survenus th6oriques 175-2oo lo ioi

4 LA DISTRIBUTION CONDITIONNEE DU MONTANT D'UN SINISTRE 2 7 IntervaUe de mnistres nombre de mnistres en miuiers d'unit~s mon~taires survenus th~oriques Io I oo A part le troisi~me intervalle de sinistres, la correspondance est excellente. Z 2 ~- Io.3 et le nombre de degr~s de libert~ est 8. La bonne correspondance est ~galement illustr~e par le diagramme ci-dessous, dans lequel on a compare les valeurs observ~es de la foncfion avec les valeurs th~oriques de la m~me fonction. NOMBR O[ ~ NISTRE5,,~,UPERIEUR6 A i 1 2O0 to0 50 k'--...e... t00,100 ~O too PRIORITE EN MILLIERS D'UNITES MONETAIRES Mais ~ la priorit6 x la prime en exc~dent est 6gale au produit du nombre pr6vu de sinistres n(x) et du chiffre moyen pr~vu des sinistres en excsdent re(x). Dans la table ci-apr~s, on a donc compare

5 28 LA DISTRIBUTION CONDITIONNEE DU MONTANT D'UN SINISTRE le chiffre moyen des sinistres en exc6dent survenus avec les valeurs th6oriques bas6es sur la distribution du type Pareto lorsque x -~ 2.7. IntervaUe de sinistres moyenne de sinistres en exc6dent en miuiers d'unit~s mon6taires valeurs valeurs observ6es th6oriques oo-7oo lo5 lo oo-7oo o o 5oo-7oo o-7oo 125 lo9 Pour les intervaues sup6rieurs k 7o0.000 unit6s mon6taires oh les sinistres sont rares, la correspondance est moins bonne, ce qui peut toutefois ~tre attribu6 au hazard. Pour la prime de risque en exc6dent de sinistres, finalement, on obtient les r6sultats-norrnes suivants: Tranches enmiuiers Primes en exc6dent de risque d'unit~s mon~taires valeur observ~e valeur th~ofique 175-7oo IOO IOO oo-7oo o-7oo oo-7oo IZ Les r~sultats obtenus sont avant tout valables pour l'intervalle qu'ils repr~sentent, soit I75.ooo k 7oo.ooo. Un extension de la validit~ de la fonction hors de cet intervalle doit ~tre envisag~e avec la plus grande prudence. Toutefois, une extension vers le haut, soit vers les tranches sup~rieures, particuli~rement faibles en sinistres,

6 LA DISTRIBUTION CONDITIONNEE DU MONTANT D~UN SINISTRE 2 9 peut gtre consid6rde comme permise et reprfisenterait mgme la meilleure 6valuation possible du risque. Une extension vers le bas, c'est-~t dire vers les tranches inf~rieures ~t I75.ooo, riches en sinistres, ne peut ~tre effectu6e sans plus. En lieu et place, il convient d'~tudier les tranches en question en fonction des statistiques y relatives, mais celles-ci n'ont pas 6t6 k la dispositio~a de l'auteur. RI~FERENCE : "On the Analytical Representation of Claim Distributions with Special References to Excess of Loss Reinsurance (by Gunnar Benktander and Carl- Otto Segerdahl, Sweden). -- The XVIth International Congress of Actuaries, Brussels, I96o."