Exercices sur le volume

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1 Exercices sur le volume Question 1 Aire de polygones Compare l aire des polygones suivants (plus petit au plus grand) Justifie ta réponse. Réponse : Les trois polygones ont la même aire. Pour arriver à ce résultat, on doit constater que les trois polygones ont la même base. Le parallélogramme et le rectangle ont la même hauteur et le triangle a une hauteur deux fois plus grande. Pour les figures 2 et 3, on doit multiplier la mesure de la base par la mesure de la hauteur. Puisqu ils ont la même base et la même hauteur, ils ont nécessairement la même aire. Puis, pour le triangle, on doit prendre la moitié du produit de la base par la hauteur pour trouver l aire. Puisque sa hauteur est deux fois plus grande et qu on doit prendre la moitié du résultat, l aire va être la même que celle des deux autres figures. Question 2 Voici le squelette d un prisme à base rectangulaire. a) Combien de cubes faut-il pour former la première tranche de ce prisme? Pour déterminer le nombre de cubes pour la première tranche, on peut voir la tranche comme étant une somme de barre. Prenons la barre en haut à gauche qui contient 10 petits cubes. Puis pour former la première tranche, on doit prendre 10 barres. On a donc 10 barres de 10 cubes unités ce qui donne un total de 100 cubes unités. b) Combien de cubes faut-il pour obtenir le prisme entier? Pour obtenir le prisme entier, on doit d abord prendre le nombre de cubes unités de la première couche et prendre ce nombre de cubes autant de fois qu on peut mettre de couches. Dans notre exemple, on doit prendre 10 couches. On a donc 10 fois 100 unités, ce qui nous donne 1000 cubes unités.

2 Question 3 Un chariot élévateur peut lever un bloc maximal de 20 briques de hauteur, 28 briques de largeur et 40 briques de longueur. Calcule le nombre maximal de briques qu il peut lever. Comme au numéro précédent, on va calculer le nombre de briques de la première couche. Pour ce faire, on va prendre les 28 briques qu on peut avoir en largeur et les prendre 40 fois puisqu on peut en mettre 40 en longueur. Ce qui revient à faire 28 x 40 = 1120 briques. Notre première couche contient donc 1120 briques. Puisqu on peut mettre 20 briques de hauteur, ça revient à dire qu on peut mettre 20 couches identiques à notre première. Ce qui revient à faire 1120 x 20 = Le chariot peut donc lever briques. Question 4 Calcule la capacité d un congélateur dont les dimensions extérieures sont de 8,5 dm, 15 dm et 11 dm et les dimensions intérieurs de 7 dm, 12 dm et 9 dm. Réponse : D abord, la capacité indique l espace utilisable d un contenant. Dans l exemple, l espace utilisable d un congélateur est l espace à l intérieur de celui-ci, on va donc utiliser les dimensions intérieures de celui-ci. Pour ce faire, on commence par trouver l aire de la base et pour calculer le volume, on doit prendre l aire de la base fois la hauteur. Aire de la base = 7 x 12 = 84 dm 2 Volume = aire de la base x hauteur = 84 x 9 = 756 dm 3 La capacité du congélateur est donc de 756 dm 3

3 Question 5 La base d un podium de béton est un triangle rectangle dont les côtés de l angle droit sont de 4 m et de 8 m. La hauteur est de 0,5 m. Combien ce podium contient-il de mètres cubes de béton? La première étape consiste a trouver l aire de la base du podium. Puisque la base est un triangle rectangle et que les deux mesures connues sont les côtés de l angle droit, une de celles-ci est la base du triangle et la deuxième la hauteur. Pour déterminer l aire d un triangle, on doit faire multiplier la base par la hauteur et diviser par deux. Par la suite, on doit multiplier l aire de la base du podium par la hauteur pour déterminer le volume. Aire de la base = = 16 m2 Volume du podium = Aire de la base x hauteur = 16 x 0,5 = 8 m 3 Attention : les volumes s'expriment en unités 3 et non en unités 2. Question 6 Pourquoi divise-t-on par 3 pour trouver le volume d une pyramide? Puisqu une pyramide entre trois fois dans un prisme qui à la même base et la même hauteur. En multipliant l aire de la base par la hauteur, on obtient le volume du prisme. Alors pour déterminer le volume de la pyramide on divise le volume du prisme par trois. Pourquoi divise-ton par 3 pour trouver le volume d un cône? Puisqu un cône entre trois fois dans un prisme qui à la même base et la même hauteur. En multipliant l aire de la base par la hauteur, on obtient le volume du cylindre. Alors pour déterminer le volume du cube on divise le volume du cylindre par trois.

4 Question 7 Un prisme droit a pour volume 54 cm 3 et pour hauteur 1,5 cm. Sa base est un carré. Calcule la longueur d un côté du carré. La première étape consiste à trouver l aire de la base du prisme. Pour déterminer le volume, on doit multiplier l aire de la base par la hauteur. Dans notre cas, on connait le volume et la hauteur et on cherche l aire de la base. Il suffit de faire l opération inverse et de diviser le volume par la hauteur pour trouver l aire de la base. Une fois qu on connait l aire de la base, on peut déterminer la mesure d un côté. Puisque la base est un carré, on doit faire la racine carrée de l aire de la base pour trouver la valeur d un côté. Étape 1 54 = Aire de la base x 1,5 Aire de la base = ", Aire de la base = 81 cm 2 Étape 2 Aire de la base = (mesure du côté) 2 81 = (mesure du côté) 2 Mesure d un côté = 81 Mesure d un côté = 9 cm 2 Question 8 Trouve le volume d une pyramide à base triangulaire dont l aire de la base est de 43 cm 2 et la hauteur de 15 cm. Comme vu dans le numéro précédant, pour déterminer le volume d une pyramide, on multiplie l aire de la base par la hauteur et on divise le résultat par trois. Volume de la pyramide = = "#$ " " "#$ "#$%#& " " = 215 cm 3

5 Question 9 La compagnie Propane Magique conserve le gaz à l intérieur de réservoirs qui ont la forme et les dimensions suivantes : Calcule le volume d un de ces réservoirs. La première étape consiste à déterminer les solides qui composent le réservoir. Le centre est un cylindre et de chaque côté il y a une demi-sphère. Puisqu on a deux demi-sphères identiques, on peut donc trouver le volume d une sphère. Volume du réservoir = volume du cylindre + volume d une sphère = aire de la base x hauteur + "#$% = π x rayon 2 x hauteur + "#$% = π x 1,2 2 x 8 +, 36,19 + 6,03 42,22 cm 3

6 Questions 10 Voici trois blocs de ciment de formes différentes. Lequel de ces solides possède le plus grand volume? Pour ce faire, nous allons déterminer le volume de chacun des solides. Volume du cylindre = aire de la base x hauteur = π x rayon 2 x hauteur = π x 10 2 x ,2 cm 3 Volume de la pyramide = = "#$ " " "#$ "#$%#& " " " = 4500 cm 3 = 20 x 8 x 40 = 6400 cm 3 Afin de déterminer le solide qui a le plus grand volume, on a plus qu à comparer les volumes. Le prisme à base rectangulaire à le plus grand volume

7 Question 11 Calcule le volume de ce prisme Encore une fois, nous allons utiliser la formule de base : aire de la base x hauteur. En utilisant la formule de base, on peut voir le solide de deux façons. On peut le voir comme si le parallélogramme est la base et on peut également le voir comme étant un solide oblique avec une base rectangulaire. Allons-nous avoir le même résultat? = 6,5 x 3,5 x 5 = 113,75 = 6,5 x 5 x 3,5 = 113,75 Bien sûr, on a le même résultat, le solide est le même