Suites arithmétiques et suites géométriques. =5u n. = 2 et u n+1 =... = 2v n

Transcription

1 Suites arithmétiques et suites géométriques 1 On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 2 et u n+1 =5u n +3. Complétez. a) En posant n=0, on obtient u 1 =5u... +3=5...+3=.... b) En posant n=1, on obtient u 2 =5...+3=5...+3=.... c) En posant n=2, calculer u 3. u 3 =... 2 On considère la suite (v n ) définie par v 1 =0 et v n+1 = 2v n +5. Complétez. a) En posant n=1, on obtient v 2 = 2v... +5= =.... b) En posant n=2, on obtient. v 3 = = =... c) En posant n=3, calculer. =... 3 On a représenté quelques termes d'une suite (u n ). Cochez la case correspondant à la réponse exacte. a) Le terme initial de la suite (u n ) est : b) Le terme u 5 est égal à :

2 1 Suites arithmétiques 1. Aborder les suites arithmétiques Exemple : en 2005, un institut de formation a recruté 45 élèves. Depuis, le nombre d'élèves recrutés augmente de 15 par an. On note u 0 le nombre d'élèves recrutés en 2005, u 1 le nombre d'élèves recrutés en 2006, u 2 le nombre d'élèves recrutés en 2007, etc. La suite (u n ) est arithmétique. Cela signifie que, pour passer de n'importe quel terme u n au suivant u n+1, on ajoute toujours le même nombre r, appelé raison de la suite. Ainsi u n+1 =u n +r. Graphiquement, les points représentant une suite arithmétique sont alignés, c'est-à-dire tous situés sur une même droite. Activité 1. Complétez. a) Le nombre d'élèves recrutés en 2005 est : u 0 b) Le nombre d'élèves recrutés en 2006 est : u 1 =u 0 c) Le nombre d'élèves recrutés en 2007 est : u 2 =u 1 d) Le nombre d'élèves recrutés en 2008 est : u 3 =u 2 2. Complétez. Chaque terme de la suite est égal à la somme du terme précédent et de , donc la suite est , de raison et de terme initial u 0 3. a) Placez en rouge les points représentants u 1, u 2 et u 3. b) Rayez l'encadré inexact. Les points en rouge sur le graphique sont / ne sont pas alignés.

3 2. Comment reconnaître par le calcul si une suite est arithmétique ou pas? Étape 1 : calculer les différences entre chaque terme et le terme précédent. lorsque les différences sont toutes égales, la suite est arithmétique ; sinon, la suite n'est pas arithmétique. Énoncé : on donne les nombres successifs u 1 Montrer que u 1 sont des termes d'une suite arithmétique. Étape 1 : complétez le tableau (si on utilise un tableur, on entre la formule =B2-A2 dans la cellule B3, Étape 2 : toutes les différents sont égales à......, donc u 1 sont des termes d'une suite arithmétique, de terme initial u 1 =... et de raison r 3. Comment reconnaître graphiquement si une suite est arithmétique ou pas? Étape 1 : placer sur un graphique les points représentant la suite. Énoncé : lorsque les points sont alignés, la suite est arithmétique ; sinon, la suite n'est pas arithmétique. le graphique ci-contre a été obtenu avec un grapheur. 1. Les points bleus représentent-ils une suite arithmétique? 2. Les points rouges représentent-ils une suite arithmétique? Étape 1 : voir la figure. Étape 2 : les points bleus alignés, donc ils représentent une suite les points rouges alignés, donc ils représentent une suite

4 2 Suites géométriques 1. Aborder les suites géométriques Exemple : une population de 100 bactéries double toutes les heures. On note u 0 le nombre initial de bactéries, u 1 le nombre de bactéries au bout d'une heure, u 2 le nombre de bactéries au bout de deux heures, etc. La suite (u n ) est géométrique. Cela signifie que, pour passer de n'importe quel terme u n au terme suivant u n+1, on multiplie toujours par le même nombre q (q>0), appelé raison de la suite. Ainsi u n+1 =q u n. Graphiquement, les points représentant une suite géométrique sont situés sur une courbe dite exponentielle. Pour q 1, cette courbe n'est pas une droite. Activité 1. Complétez. a) Le nombre de bactérie initial est u 0 b) Le nombre de bactéries au bout d'une heure est u 1 =u 0 2 Le nombre de bactéries au bout de deux heures est u 2 =u 1 2 Le nombre de bactéries au bout de trois heures est u 3 = Complétez. Chaque terme de la suite est égal au produit du terme précédent par , donc la suite est , de raison et de terme initial u 0 3. a) Complétez le graphique pour représenter la suite (u n ). b) Rayez l'encadré inexact. Les points représentant la suite (u n ) sont / ne sont pas alignés.

5 2. Comment reconnaître par le calcul si une suite géométrique ou pas? Étape 1 : calculer les quotients de chaque terme par le terme précédent. lorsque les quotients sont tous égaux, la suite est géométrique ; sinon, la suite n'est pas géométrique. Énoncé n 1 : on donne les nombres successifs u 1 Montrer que u 1 sont des termes d'une suite géométrique. Étape 1 : Complétez le tableau (si on utilise un tableur, on entre la formule =B2/A2 dans la cellule B3, u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 0, Étape 2 : tous les quotient sont égaux à , donc u 1 sont des termes d'une suite , de terme initial u 1 =... de raison q Énoncé n 2 : On donne les nombres successifs v 1,...,v 6 Montrer que v 1,...,v 6 sont des termes d'une suite qui n'est pas géométrique. Étape 1 : Complétez le tableau (si on utilise un tableur, on entre la formule =B2/A2 dans la cellule B3, v 2 v 3 v 6 v 1 v 2 v Étape 2 : on a =... et v 6 =..., donc v 6. Ainsi, v 1,...,v 6 sont des termes d'une suite géométrique.