"Les trapèzes" de 5 à 14 ans - évolution du concept en rapport avec "les plans du cours"
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- Jean-Jacques Larouche
- il y a 7 ans
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1 "Les trapèzes" de 5 à 14 ans - évolution du concept en rapport avec "les plans du cours" A. Méthodologie utilisée en continu par Danielle POPELER depuis la classe maternelle(5 ans) à la sixième année primaire Evolution verticale (en continuité ) Découpage année par année En Classe maternelle Les trapèzes n'ont pas été rencontrés particulièrement en classe maternelle. "Passages obligés" Etant donné la continuité installée dans tous les travaux "de terrain", se référer à la rubrique"plans du cours" qui donne la succession des thèmes travaillés chaque année à la suite l'un de l'autre avant d'en arriver à l'étude des parallélogrammes. En première année primaire Les trapèzes n'ont pas été "étudiés" pour eux-mêmes. En deuxième année primaire Les trapèzes n'ont pas été "étudiés" pour eux-mêmes. En troisième année Les trapèzes n'ont pas été "étudiés" pour eux-mêmes. Michel DEMAL Danielle POPELER 1
2 En quatrième année Il existe, en quatrième année, une certification de l'étude des trapèzes. Pour ne pas mettre les enfants en difficulté au cours de cette certification, nous avons donc dû amorcer l'étude des trapèzes. Nous pensons cependant que l'étude des trapèzes en quatrième année vient trop tôt. L'étude de la famille des trapèzes est venue après l'étude de la famille des parallélogrammes (voir tous les thèmes précédant l'étude de la famille des trapèzes, dans la rubrique " plan de quatrième année". Avec un matériel constitué de droites libres et de paires de droites (de même écartement et d'écartements différents) tracées sur transparents, création de quadrilatères ayant au moins une paire de côtés parallèles. Par recherches et manipulations, les élèves ont ainsi découvert des trapèzes dits quelconques, ainsi que tous les autres types de trapèzes particuliers englobant la famille des parallélogrammes. Voici les résultats obtenus Trapèzes quelconques Trapèzes particuliers Quelles sont les qualités communes à la famille des trapèzes? Recherche à propos des côtés, des angles, du parallélisme, de la perpendicularité, des transformations (qui superposent une figure à elle-même) Synthèse des qualités communes à tous les trapèzes: 1 paire de côtés parallèles ; superposables à eux-mêmes par une rotation d un tour complet Michel DEMAL Danielle POPELER 2
3 En cinquième année primaire Idem quatrième année En plus Approfondissement à propos des différents types de trapèzes. Observations de tous les trapèzes et constatations: Tous les trapèzes ont au moins une paire de côtés parallèles Trois possibilités: Trapèze tout à fait quelconque Comment sont les trapèzes qui n'ont qu'une seule paire de côtés parallèles? Trapèze rectangle: au moins un angle droit Trapèze isocèle: 2 angles (à la base) de même amplitude Tous les membres de la famille des parallélogrammes Comment sont les trapèzes qui ont au moins une paire de côtés parallèles? (deux paires de côtés parallèles) (voir ci après) Michel DEMAL Danielle POPELER 3
4 Losanges quelconques Carrés Parallélogrammes quelconques Rectangles quelconques Les médianes et les diagonales des membres de la famille des trapèzes sont-elles des axes de symétrie? Utilisation des transparents isométriques aux trapèzes, et des transformations (rotations ou symétries orthogonales) permettant de rechercher, d'argumenter et de prouver. Rappel à propos des trapèzes particuliers: Carrés: 4 axes de symétrie (les 2 médianes et les 2 diagonales) Rectangles: 2 axes de symétrie (les 2 médianes) Losanges: 2 axes de symétrie (les 2 diagonales) Parallélogrammes: zéro axe de symétrie (puisque pas de symétrie orthogonale qui superpose un parallélogramme à luimême) Recherche à propos des trapèzes quelconques Trapèze quelconque: zéro axe de symétrie Trapèze rectangle: zéro axe de symétrie Trapèze isocèle: 1 axe de symétrie (une médiane) Michel DEMAL Danielle POPELER 4
5 Etablissement collectif d'une synthèse des caractéristiques communes associées à tous les membres de la famille des trapèzes (côtés, angles, parallélisme, les rotations qui superposent les trapèzes à eux-mêmes (lesquelles?) ; les symétries orthogonales qui superposent les trapèzes à euxmêmes (médianes et/ou diagonales?). Voir ci-après et à ce sujet, le tableau récapitulatif des propriétés de chaque famille de quadrilatères. En sixième année primaire Idem cinquième année En plus Déterminer si les médianes puis les diagonales de tous les membres de la famille des trapèzes: sont de même longueur (isométriques)? sont perpendiculaires? se coupent en leur milieu? sont des axes de symétrie des trapèzes? A l'aide de manipulations de transparents, recherche, argumentation, preuves orale des propriétés des membres de la famille des trapèzes (voir les vidéos des élèves de sixième année en activité ) Elaboration collective de la synthèse "complète" de toutes les qualités communes à tous les membres de la famille des trapèzes Michel DEMAL Danielle POPELER 5
6 Pour les deux premières années du secondaire, la méthodologie utilisée suit le même fil conducteur (voir les pratiques utilisées par Christine PILAETE) En première année secondaire "Mise à niveau" de tout le groupe d'élèves étant donné leur venue d'écoles différentes. Révision et fixation de la "définition" de trapèzes. Détermination des "propriétés" (qualités communes) à tous les trapèzes. Comprendre les liens de dépendance qui unissent le concept"définition" et le concept "propriétés". En deuxième année du secondaire Avec le matériel adéquat (les transparents) et par manipulations individuelles, utilisation des transformations (automorphismes) pour découvrir et vérifier les propriétés communes à tous les trapèzes: perpendicularité, parallélisme, isométries des côtés, des angles, propriétés des diagonales et des médianes. A terme ( à 14 ans), les enfants devront: - comprendre le classement usuel et découvrir les propriétés communes à tous les membres de cette famille. - comprendre le concept "définition " et le concept "propriété" ainsi que les liens de dépendance qui les unissent. - - découvrir des "conditions déterminantes" pour appartenir à cette famille et démontrer la véracité de ces conditions déterminantes Remarque: Il existe deux types de définitions en mathématique: les définitions créatives les définitions descriptives Michel DEMAL Danielle POPELER 6
7 Synthèse des familles des quadrilatères en cinquième année Familles des quadrilatères connus au moins une paire de côtés parallèles 4 côtés de même longueur côtés opposés de même longueur 4 angles droits Angles opposés de même amplitude Superposables à eux-mêmes par déplacements (rotations) Superposables à eux-mêmes par retournements (symétries orthogonales) r 1/4 r 1/2 r 3/4 r 4/4 S(d 1 ) S(d 2 ) S(m 1 ) S(m 2 ) Famille des carrés Famille des rectangles Famille des losanges Famille des parallélogrammes Famille des trapèzes Michel DEMAL Danielle POPELER 7
8 Synthèse N 6 à retenir (en sixième année primaire) V. La famille des trapèzes 1.Quelles sont les caractéristiques des trapèzes? Les trapèzes sont des quadrilatères ayant au moins une paire de côtés parallèles. 2.Combien de trapèzes existe-t-il? Il existe une infinité de trapèzes. 3. Tous les trapèzes sont-ils semblables? (explique) Non, il existe 7 types de trapèzes: Les 3 types de trapèzes ayant exactement une paire de côtés parallèles. Trapèzes rectangles Trapèzes isocèles Trapèzes quelconques Les 4 types de trapèzes particuliers ayant deux paires de côtés parallèles: les parallélogrammes quelconques, les rectangles quelconques, les losanges "quelconques" et les "carrés". Michel DEMAL Danielle POPELER 8
9 Synthèse N 6 à retenir Suite ATTENTION! Les trapèzes rectangles sont les trapèzes possédant au moins un angle droit: Les trapèzes isocèles sont les trapèzes possédant 2 angles de même amplitude, à la base: Les trapèzes quelconques sont les trapèzes ne possédant qu'une seule paire de côtés parallèles et aucune autre particularité. 4.Quelles sont les transformations qui permettent de superposer les trapèzes à eux-mêmes? Tous les trapèzes se superposent à eux-mêmes par la rotation de 360. Tous les trapèzes ne se superposent pas à eux-mêmes par symétrie orthogonale. Michel DEMAL Danielle POPELER 9
10 Synthèse N 6 à retenir Suite 5. Quelles sont les propriétés des trapèzes isocèles? a)tout trapèze isocèle possède au moins une droite médiane comme axe de symétrie. b)tout trapèze isocèle possède au moins une paire de côtés opposés isométriques. c)tout trapèze isocèle possède au moins deux paires d'angles consécutifs de même amplitude. Michel DEMAL Danielle POPELER 10
11 Synthèse N 6 à retenir Suite 6. Comment représenter la famille des trapèzes parmi la grande famille des quadrilatères? Losanges Quadrilatères Carrés Parallélogrammes Rectangles Trapèzes Michel DEMAL Danielle POPELER 11
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