Brevet Blanc n 1 Correction

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1 Brevet Blanc n 1 Correction Exercice 1 1) Sans calcul, dire si les nombres et sont premiers entre eux. Justifier la réponse. 2) Calculer le PGCD(1 620 ; 1 260) en détaillant les calculs. 3) Simplifier, en justifiant, la fraction pour qu elle soit irréductible. 4) Pour organiser leur mariage, Pierre et Marie possèdent 18 boîtes contenant chacune 70 dragées bleues et 30 boîtes contenant chacune 54 dragées blanches. Ils veulent réaliser un maximum de lots identiques sans qu il ne leur reste de dragées. a) Combien de lots pourront-ils réaliser? b) Combien y aura-t-il de dragées bleues et de dragées blanches par lot? 1) Les nombres et ne sont pas premiers entre eux car ils se terminent par 0 et sont donc au moins divisibles par 10. 2) On utilise l algorithme d Euclide pour calculer le pgcd de et = = = pgcd(1 620 ; 1 260) = 180 3) 4) a) Nombre de lots qu ils peuvent réaliser : Il y a = dragées bleues et = dragées blanches donc il faut calculer le pgcd de1620 et 1260 d après la question 2), ils pourront réaliser 180 lots. b) Composition des lots = = 9 Par lot, il y aura 7 dragées bleues et 9 dragées blanches.

2 Exercice 2 Lors de sa tournée quotidienne, un facteur part de la ville A. Après être passé par les villes B, C, D et E, il retourne en A. Quelle distance a-t-il parcouru? Donner la valeur exacte du résultat sous la forme a km, avec a et b des entiers, b le plus petit possible. Distance parcourue On cherche à calculer le périmètre de ce polygone. P = AB + BC + CD + DE + EA P = P = P = P = P = P = 24 Le facteur a parcouru 24 km.

3 Exercice 3 Il existe différentes unités de mesure de la température : en France on utilise le degré Celsius ( C), aux Etats- Unis on utilise le degré Fahrenheit ( F). Pour passer des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit, on multiplie le nombre de départ par 1,8 et on ajoute 32 au résultat. 1. Qu indiquerait un thermomètre en degrés Fahrenheit si on le plonge dans une casserole d eau qui gèle? On rappelle que l eau gèle à 0 C. 2. Qu indiquerait un thermomètre en degrés Celsius si on le plonge dans une casserole d eau portée à 212 F? Que se passe t-il? 3. a. Si l on note x la température en degré Celsius et f(x) la température en degré Fahrenheit, exprimer f(x) en fonction de x. b. Quelle est l image de 5 par la fonction f? c. Quel est l antécédent de 5 par la fonction f? d. Traduire en terme de conversion de température la relation f(10) = Température, en degré Fahrenheit, de l eau qui gèle. 0 1, = 32 L eau gèle à 32 F 2. Indication du thermomètre en degré Celsius pour 212 F On appelle x la température en degré Celsius cherchée 1,8x + 32 = ,8x = 180 : 1,8 : 1,8 x = F correspondent à 100 C Si ce thermomètre est plongé dans une casserole d eau, cela signifie que l eau bout. 3. a. Expression de f(x) f(x) = 1,8x + 32 b. Image de 5 par f f(5) = 1, = = 41 L image de 5 par f est 41. c. Antécédent de 5 par f 1,8x + 32 = ,8x = -27 : 1,8 : 1,8 x = -15 L antécédent de 5 par f est -15. d. Interprétation de f(10) = 50 Cela signifie que 10 Celsius correspondent à 50 Fahrenheit.

4 Exercice 4 Un professeur de SVT demande à une classe de sixième de faire germer des graines de blé chez eux. Le professeur donne un protocole expérimental à suivre : mettre en culture sur du coton dans une boîte placée dans une pièce éclairée, de température entre 20 C et 25 C ; arroser une fois par jour ; il est possible de couvrir les graines avec un film transparent pour éviter l évaporation de l eau. On a mesuré la taille des plantules ainsi obtenues 10 jours après la germination. Les résultats ont été regroupés dans un fichier tableur dont voici un extrait : 1. a) Quelle formule faudrait-il saisir dans la cellule M2 pour calculer l effectif total? b) Combien d élèves y a-t-il dans cette classe? 2. Combien de plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm? 3. Donner l étendue de cette série. 4. Calculer la taille moyenne des plantules. Arrondir au dixième près. 5. Déterminer la médiane de cette série. Interpréter le résultat. 6. On considère qu un élève a bien respecté le protocole si la taille de la plantule à 10 jours est supérieure ou égale à 14 cm. Quel pourcentage des élèves de la classe a bien respecté le protocole? 1. a) Pour calculer l effectif il faut saisir la formule : =somme(b2: L2) ou = B2 + C2 + D2 + E2 + F2 + G2 + H2 + I2 + J2 + K2 + L2 b) = 29. Il y a donc 29 élèves dans la classe. 2. Au plus 12 cm c est 12 cm ou moins donc ici, 0 cm, 8 cm ou 12 cm. Il y a donc = 5 plantules qui mesurent 12 cm ou moins L étendue de la série est de 22 cm. 1x 0+2x 8+2x 12+4x 14+2x 16+2x 17+3x18+3x19+4x 20+4x21+2x Moyenne = 29 16,5862 donc la moyenne est d environ 16,6 cm (arrondi au dixième) 5. Il y a 29 valeurs dans cette série Position de la médiane : 2 =30 2 = 15 Donc la médiane est la 15ème valeur de la série rangée en ordre croissant. D après le tableau la médiane est 18 cm. = Interprétation : Il y a au moins la moitié des plantules qui font plus de 18 cm et au moins la moitié qui font moins de 18 cm. 6. Il y a 24 plantules sur 29 au total qui mesurent 14 cm ou plus ,76. Environ 83% des élèves semblent avoir bien respecté le protocole. 29

5 Exercice 5 Pour Noel, un chocolatier fabrique des Pères Noël en chocolat. Il propose 3 tailles diférentes de ses créations. Chaque Père Noël est un 1,5 fois plus grand que le précédent. 1. Sachant que le Père Noël de taille moyenne mesure 12 cm, a. Quelle est la hauteur du grand Père Noël? b. Quelle est la hauteur du petit Père Noël? 2. Il souhaite emballer ses Pères Noël dans du papier coloré. Il a utilisé 226 cm² de papier pour le petit Père Noël. Quelle surface de papier va-t-il utiliser pour le père noel de taille moyenne? 3. Pour les vendre, il les met dans des emballages de forme cylindrique. Pour le grand Père Noël, il utilise un cylindre de hauteur 19,5 cm et de diamètre 14 cm. Chaque emballage est également 1,5 fois plus grand que le précédent. Quelle sera le volume de la boite utilisé pour le Père Noël de taille moyenne? 1) a. Hauteur du grand père Noël h g = h m 1,5 = 12 1,5 = 18 cm b. Hauteur du petit père Noël h p = h m 1,5 = 12 1,5 = 8 cm 2) A m = A p k² = 226 1,5² = 226 2,25 = 508,5 Pour emballer le père Noël de taille moyenne, il va utiliser 508,5 cm² de papier coloré. 3) méthode 1 Volume du grand cylindre r = d 2 = 14 2 = 7 cm V g = r² h = 7² 19,5 = 49 19,5 = 955,5 = 955,5 cm cm 3 Volume du cylindre moyen V g = V m k 3 donc V m = V g k 3 V m = 955,5 1,5 3 V m = 955,5 3,375 V m 889 cm 3 méthode 2 Dimensions du cylindre moyen Hauteur = 19,5 1,5 = 13 Diamètre = 14 1,5 9,3 Rayon = 9,3 2 = 4,65 Volume du cylindre moyen V g = r² h = 4,65² 13 = 21, = 281,0925 = 281,0925 cm cm 3

6 Exercice 6 1. O est le milieu de [AB]. Faire un dessin à l échelle 1/10 de la figure ci-contre. Vous laisserez visibles les traits de construction. 2. Calculer AB. 3. Démontrer que ABD est rectangle. Vous préciserez en quel point. 63 cm 16 cm 1. Faire un dessin à l échelle 1/10 revient à diviser les dimensions par10. ainsi : AC = 6,3 cm CB = 1,6 cm AD = 5,6 cm BD = 3,3 cm 2. Calcul de AB Dans le triangle ABC rectangle en C, l hypoténuse est [AB]. D après le théorème de Pythagore on a : AB² = AC² + CB² AB² = 63² + 16² AB ² = AB ² = AB = AB = 65 cm 3. Montrer que ABD est rectangle Le côté le plus long est [AB]. On calcule : AB² = 65² = 4225 AD² + DB² = 56² + 33² = = donc AB² = AD² + DB² d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABD est rectangle en D.

7 Exercice 7 Pour construire un mur vertical, il faut parfois utiliser un coffrage et un étayage qui maintiendront la structure verticale le temps que le béton sèche. Cet étayage peut se représenter par le schéma suivant. Les poutres de fer sont coupées et fixées de façon que : Les segments [AB] et [AE] sont perpendiculaires; C est situé sur la barre [AB] ; D est situé sur la barre [BE] ; EB = 6,25 m ; EA = 3,75 m et CD = 1,5m. 1. Montrer que AB = 5 m. 2. Les barres [CD] et [AE] doivent être parallèles. À quelle distance de A faut-il placer le point C? 1. Montrer que AB = 5m Dans le triangle ABE rectangle en A, l hypoténuse est [BE]. D après le théorème de Pythagore on a : BE² = AB² + AE² 6,25² = AB² + 3,75² 39,0625 = AB² + 14,0625 AB² = 39, ,0625 AB ² = 25 AB = AB = 5 m 2. Calcul de CB Les droites (AC) et (ED) sont sécantes en B. Les droites (DC) et (AE) sont parallèles D après le théorème de Thalès, on a : BC 3,75 = 1,5 5 BC 3,75 = 7,5 BC = = 2 AC = AB BC = 5 2 = 3 m Pour que les barres [CD] et [AE] soient parallèles, il faut placer C à 3 m de A.

8 Exercice 7 Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40 m, la largeur est 5,20 m et la hauteur sous plafond est 2,80 m. Il comporte une porte de 2 m de haut sur 80 cm de large et trois baies vitrées de 2 m de haut sur 1,60 m de large. Les murs et le plafond doivent être peints. L étiquette suivante est collée sur les pots de la peinture choisie. Peinture pour murs et plafond Séchage rapide Contenance : 5 litres Utilisation recommandée : 1 litre pour 4m 2 Combien de pots l entreprise doit-elle acheter pour ce chantier? Aire du plafond A = 6,40 5,20 = 33,28 m². Nombre de litre de peinture nécessaires pour peindre le plafond 33,28 4 = 8,32 L Calcul de la surface de mur à peindre. Surface des murs : 2 5,20 2, ,40 2,80 = 29, ,84 = 64,96 m² (80 cm = 0,80 m) Surface de la porte : 0,80 2 = 1,60 m² Surfaces des baies vitrées : 3 1,60 2 = 9,60 m² Surface à peindre : 64,96 1,60 9,60 = 53,76 m² La surface à peindre est donc de 53,76 m². Nombre de litre de peinture nécessaires pour peindre les murs 53,76 4 = 13,44 L Nombre de pots de peinture nécessaires pour ce chantier. 8, ,44 = 21,76 L 21,76 5 = 4,352 L entreprise doit donc acheter 5 pots de peinture.