Introduction à la mécanique des solides CIDO Saint-Etienne P. Badel

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1 Introduction à la mécanique des solides CIDO Saint-Etienne P. Badel

2 Ch. 1 Introduction générale 2

3 Notions de système et de modèle Notre environnement est fait de systèmes qui interagissent entre eux Interactions électriques, chimiques, magnétiques, mécaniques Grande complexité! En science, souvent, on ne considère que certaines interactions, on néglige les autres Différentes disciplines de la physique. 3

4 Notions de système et de modèle On est toujours amenés à faire des hypothèses, limiter les études On construit des modèles Il s agit d interprétations physiques de la réalité - fondées sur des hypothèses, - basées sur des lois mathématiques.? Modèle = représentation imparfaite de la réalité 4

5 Objectifs Ce cours est un cours de base à : l étude des interactions mécaniques entre solides rigides (en statique) l étude mécanique des solides déformables Applications typiques Robotique, automobile, biomécanique musculo-squelettique 5

6 Cadre/contenu de ce cours Applications en 2D essentiellement Partie 1 Etude de l équilibre statique des particules (ch. 2) Etude de l équilibre statique des solides rigides (ch. 3 et 4) Etude cinématique des particules et solides (ch. 5) Notions de dynamique (ch. 6) Partie 2 Milieux déformables, notions de comportement des matériaux (ch. 7) Notions de contrainte et déformation en mécanique du solide (ch. 8) 6

7 PARTIE 1 Mécanique des solides rigides 7

8 Hypothèses et limites de la mécanique classique Hypothèses de base Systèmes matériels non variables. Un système matériel est constitué d éléments individualisables : les points matériels. Un ensemble de points matériels dont les distances entre points sont constantes = un solide indéformable (ou rigide). La masse ne dépend que de la nature du matériau. Limitations (on sort du domaine de validité des modèles) Très petits systèmes matériels. Exemple : taille < µm. Vitesses proches de celle de la lumière. Autres interactions physiques qui peuvent être non négligeables. 8

9 Méthodologie générale en mécanique du solide rigide Dans un système, on va s intéresser à chacun des solides : Isoler chaque solide (Analyser ses mouvements) Analyser les actions mécaniques extérieures appliquées sur ce solide Analyser les relations entre actions mécaniques et (non-)mouvement 9

10 Ch. 2 Statique des particules 10

11 Introduction Notion de particule ou de point Notion utilisée en mécanique du point Ne s adresse pas qu à l étude de particules infiniment petites, mais aussi aux cas suivants : La taille et la forme des solides considérés n affecte pas le problème On peut considérer que les forces sont appliquées en un même point Peut s appliquer à de nombreuses situations réelles 11

12 Forces sur une particule Définition force = action d un corps sur un autre Elle est caractérisée par : Un point d application Une direction (droite support + sens) Une intensité ( unité Newton N) Représentation graphique échelle 12

13 Forces sur une particule Résultante de 2 forces 2 forces agissant sur un point peuvent être remplacées par une seule force Elle est obtenue par construction selon un parallélogramme (constat expérimental) Q R P R est la résultante de P et Q 13

14 L outil vecteur La somme de forces n est pas la somme des intensités! La somme de forces suit le principe du parallélogramme. On représente une force par un vecteur Déplacements, vitesses, accélérations (et autres grandeurs physiques) sont aussi représentés par des vecteurs 14

15 L outil vecteur Vecteur : définition Un vecteur est caractérisé par : Une direction (droite support + sens) Une longueur (intensité) Vecteur : propriétés On somme des vecteurs par le principe du parallélogramme On note un vecteur F, F (notation choisie ici) ou F (notation parfois confuse) L intensité donne la longueur du vecteur représenté en construction graphique, celle-ci est notée F F 15

16 L outil vecteur Vecteur force Un vecteur force représente la force appliquée sur un point. Il est caractérisé par Un point d application Un vecteur On parle de vecteur lié Autres types de vecteur Vecteurs dits glissants (on peut les déplacer le long de leur support) Vecteurs libres (on peut les déplacer dans tout l espace) Autres remarques Vecteurs égaux : ont même direction et même intensité Opposé d un vecteur : F est l'opposé de F. Il vérifie F F 0 16

17 L outil vecteur Addition de vecteurs Suivre le principe de construction par parallélogramme Attention, rappel norme de (somme des vecteurs somme des intensités) Commutation : PQ Q P PQ PQ P Q P Q Somme de plusieurs vecteurs : A B C A B C A BC Produit par un scalaire PP 2P Généralisation : np est de même direction et sens que P et d intensité np 17

18 L outil vecteur Application graphique M N P MN NM MN MNP 18

19 Résultante de plusieurs forces Forces concourantes en un point A P Q S R Q S A P La somme peut être exprimée par un seul vecteur : la résultante R des forces 19

20 Composantes d une force vecteurs unitaires Inversement à la somme de forces, on peut décomposer une force en 2 ou plusieurs forces dont la somme a le même effet On parle des composantes d une force En 2D, on s intéresse le plus souvent aux couples de 2 composantes Exemples : On connait une composante on ob ent l autre car la somme vaut F (en représentation graphique, fermeture du triangle) Lignes d ac on de 2 composantes connues on peut projeter la force F 20

21 Composantes d une force vecteurs unitaires Résoudre les problèmes en utilisant un repère orthonormé donné Soit le repère O,i, j. On utilisera toujours un repère orthonormé direct. i et j sont les vecteurs unitaires de base portés par les axes x et y. F Fx Fy Fx ify j F x et F y sont les composantes de F dans cette base. y y F F F j j y y θ F F i x x x i vecteurs unitaires x 21 F x = F cos θ F y = F sin θ tan θ = F y F x F = F x ² + F y ²

22 Résultante de forces somme de composantes R RxiRy j R A B C R x = A x + B x + C x R y = A y + B y + C y R F R x = F x R y = F y y Q S A P x 22

23 Equilibre d une particule 1 ère loi de Newton Une particule est à l équilibre quand la résultante de toutes les forces sur la particule est nulle Alors la particule reste au repos (si initialement au repos), ou se déplace linéairement à vitesse constante (si se déplace initialement) R F 0 F x = 0 F y = 0 23

24 Equilibre d une particule Statique graphique Bien choisir le point à isoler On soulève une caisse de 75 kg. Quelles sont les tensions en AC et AB? (qui force le moins ) 24

25 En 3D Tout peut s étendre en 3D! F F if jf k x y z F = F x ² + F y ² + Fz² Attention, les angles sont moins simples à définir et manipuler 25

26 Ch. 3 Forces sur un solide rigide 26

27 Introduction Rappel : point matériel Portion de l espace pourvue de matière et assez petite pour être considérée ponctuelle. Solide indéformable Domaine contenant un ensemble de points matériels gardant des distances fixes entre eux au cours du temps Remarques : Il s agit d un modèle. Tout solide est déformable! Cf. seconde partie du cours. Modèle idéal pour l étude des forces et mouvements Exemples : mécanismes, squelette 27

28 Introduction Forces internes forces externes 2 types de forces peuvent s appliquer à un solide rigide : Forces externes : par les autres solides sur le solide considéré. Forces internes : maintiennent la cohésion du solide considéré. 28

29 Introduction Rappel Seul effet d une action sur un point = translation (une rotation n a pas de sens) Cette action est une force qui tend à le déplacer. Elle est caractérisée par : Un vecteur Un point d application (ou point de passage) Somme de plusieurs forces = somme vectorielle L action est identique tout le long de la ligne d action (analogie avec la ficelle) Pour un solide rigide, une force est donc caractérisée par : Un vecteur Une ligne d action F P P P P F 29

30 Produit vectoriel Outil indispensable pour comprendre les actions mécaniques sur un solide (qui peut être entrainé en rotation). Définition Le produit vectoriel de P et Q est défini par le vecteur V tel que La direction de V est perpendiculaire à P et Q L'intensité est donnée par : V = PQsinθ La direction est donnée par la règle de la main droite V PQ θ 30

31 Produit vectoriel Propriétés Attention Q P P Q Q P 1 P2 Q P1 Q P2 Q np n Q P 31

32 Produit vectoriel Composantes d un produit vectoriel V P Q P ip j Q i + Q j... x y x y j k i V = Px Q y - Py Q x Règle du gamma Px Q x = P x Q y - P y Q x k Py Q y 32

33 Moment d une force par rapport à un point Effets d une force sur un solide Entrainement en translation Lorsque la somme des actions se résume à une force, tous les points du solide ont tendance à suivre la translation définie par Δ F 2 F 1 R Δ Entrainement en rotation Pour le traduire, on utilise le vecteur moment en P. F Le moment (action d entraînement en rotation) est d autant plus fort que : F est grand Le bras de levier PH est grand M P, F = PH.F = PA sin PA, F F P A H 33 Unité : Newton mètre, noté N.m ou Nm

34 Moment d une force par rapport à un point Le vecteur moment traduit l entrainement en rotation Dans le cas général, il se calcule par : M P, F = PA F P F A H Remarques : Unité : Newton mètre, noté N.m ou Nm. Il ne dépend pas du point d application, si celui-ci est sur la ligne d action de F Le moment en O ne permet pas de connaitre où est appliquée la force. Deux forces sont équivalentes si F = F' et MP, F = MP, F' 34

35 Système force-moment en un point Action mécanique équivalente Action qui a le même effet mécanique sur le solide P F A P F MP A 35

36 Moment d un système de forces par rapport à un point Moment résultant de plusieurs forces M P, F, F,... M P, F M P, F F 1 F 1 A A 1 P F 2 P A 2 F 2 M P,F,F PA F PA F M P,F,F PA F PA F

37 Transport de l action d une force Calcul du moment en un autre point Q MQ,F QA F QPPAF PA FQPF P M, F M P, F + QPF Q Q F A Remarque : TRES utile pour le calculer en un point d intérêt, comme un centre d articulation 37

38 Système force-moment équivalent Bilan des actions sur un solide Entrainement en translation Caractérisé par la somme des forces (peut être écrite en tout point du solide) Entrainement en rotation Caractérisé par la somme des moments (peut être calculée en tout point du solide) La somme des actions mécaniques, en un point, est donnée par : Une résultante : R F Un moment résultant en un point P : MP MP Ce couple suffit à déterminer totalement l action mécanique en un point d un solide. 38

39 Ch 4 Statique des solides rigides 39

40 Introduction : équations d équilibre statique Rappel Le comportement d un solide soumis à n actions est défini, en un point O, par une résultante R F et un moment résultant MP MP F F 3 P A 3 A 2 F 2 A O F M 0 Un solide est en équilibre statique si F 0 et M0 0 En 2D F x = 0 ; F y = 0 M(O) = 0 Un système de plusieurs solides est en équilibre statique si chacune de ses parties est en équilibre 40

41 Bilan des efforts extérieurs au solide Isoler le solide S 1 S S 2 S Lister les efforts extérieurs (forces, moments) connus et inconnus Actions mécaniques à distance écrire force/moment Exemple : gravité Actions mécaniques de contact écrire force/moment Reste plus qu à écrire la condition d équilibre! 41

42 Efforts dans les liaisons extérieurs Principe des actions mutuelles (réciprocité) S 1 S 2 F -F 1/2 2/1 et M1/2 P M 2/1 P 42

43 Efforts dans les liaisons extérieurs Force seule, ligne d action connue : appui simple Appui ponctuel Surface plane sans frottement Roulement parfait Câble Force seule, ligne d action inconnue : pivot ou articulation Articulation Surface rugueuse Force + moment : encastrement Encastrement Liaison fixe 43

44 Efforts dans les liaisons extérieurs 44

45 Equilibre 2D d un solide Principe fondamental de la statique en 2D F x = 0 ; F y = 0 et M(O) = 0 Donc 3 équations à disposition On peut ne déterminer, au plus, que 3 inconnues Exemple : 45

46 Remarque sur l indétermination d un système de forces Isostatisme Si le solide/système ne peut bouger sous aucune charge (totalement contraint) + Si les réactions n ont que 3 inconnues et peuvent être déterminées par le PFS ALORS Le système est isostatique Hyperstatisme Il y a trop d inconnues (problème indéterminé) Il faudrait utiliser la mécanique des milieux déformables pour équations suppl. Hypostatisme On peut résoudre le problème et trouver les inconnues MAIS une charge additionnelle peut faire bouger le solide/système (il est partiellement contraint) 46

47 Remarque sur l indétermination d un système de forces Exemples 47

48 Cas particulier : solide soumis à 2 forces F 1 F 2 B A Ecrire les équations d équilibre en A Solide soumis à 2 forces Forces colinéaires, de sens opposées, de même norme 48

49 Cas particulier : solide soumis à 2 forces Statique graphique Exemple des structures en treillis 49

50 Cas particulier : solide soumis à 3 forces F 1 B I C A F 3 F 2 Ecrire les conditions d équilibre du solide au point I intersection des directions de F 1 et F 2 Solide soumis à 3 forces Forces concourantes, de somme vectorielle nulle 50

51 Cas particulier : solide soumis à 3 forces Statique graphique 51

52 Cas générale d équilibre en 3D Pour un système S, les conditions d équilibre vont se traduire par : Deux équations vectorielles F 0 et M0 0 En 3D 6 équations pour déterminer les paramètres inconnus F x = 0 ; F y = 0 ; F z = 0 M x (O) = 0 ; M y (O) = 0 ; M z (O) = 0 En 2D, Il n y en a plus que trois. F x = 0 ; F y = 0 M(O) = 0 Rappel : on ne peut résoudre le problème que si l on a autant d équations que d inconnues 52

53 Exemple de résolution graphique Effort nécessaire pour couper le boulon 1500 dan Liaisons parfaites Déterminer l effort de compression sur la vis 53

54 F 3 1 F

55 55

56 F F F

57 F 2 3 F 5 3 F

58 F F F

59 F 6 4 F 7 4 F

60 F 4 6 F 6 vis 60

61 Ch 5 Cinématique 61

62 Introduction Rappels Point matériel : portion de l espace pourvue de matière, assez petite pour être considérée comme ponctuelle Solide rigide ou indéformable : domaine D de l espace contenant un ensemble de points matériels gardant des distances constantes entre eux. On peut donc installer un repère sur D Temps : t supposé s écouler de manière identique pour tous les solides Cinématique = étude des mouvements indépendamment de leur causes Préalable à l étude des liens entre forces et mouvements!! Notion relative!! On étudie le mouvement par rapport à un référentiel (ou repère, ou observateur) 62

63 Cinématique du point - Repérage On utilise des repères orthonormés directs (r.o.n.d = 1 point + 1 base o.n.d) Repérage d un point P donné dans le repère R O,i, j,k OP xi yjzk On peut obtenir les coordonnées par projection : y O x R z P On peut noter : OP x, y, z x OP.i y OP.j z OP.k 63

64 Cinématique du point - Vitesse Définition Soit P mobile / repère R. Sa vitesse est définie par : PP' ΔP d VP/ R = lim = lim = OP Δt0 Δt Δt0 Δt dt O R (t) P P (t+δt) Remarque Définition indépendante de O pourvu qu il soit fixe dans R. Expression : OP = xx + yy + zz d VP/ R = OP dt dx dy dz = x + y + k dt dt dt V P/ R = xx + y y + zz 64

65 Cinématique du point - accélération Définition Soit P mobile / repère R. Son accélération est définie par : VP' - VP d AP/ R = lim = V P Δt0 Δt dt O P VP P VP' Expression A P/ R = x x + y y + z z 65

66 Cinématique du solide Repérage d un solide Besoin de 6 paramètres Position de O S : Orientation / R : OO S = xi + yj + zk 3 paramètres d Euler ou 3 autres angles y O x z O S Difficultés Il faut tenir compte des rotations, ce qui complique fortement les calculs 66

67 Cinématique du solide Champ de vitesse d un solide R A 1 Δt B 1 A 2 B 2 = + A 1 B 1 A 2 B B A 2 B 2 Δθ A 2 2 B'B = Δθ AB Observons le déplacement du point B : B B B B' B'B ΔB ΔA BA Δθ V B V A BA ω Champ d accélération à calculer pour les plus courageux 67

68 Ch 6 Notions de dynamique 68

69 Dynamique du point Dynamique : Etude des relations entre les mouvements et leurs causes. Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique (2 nde loi de Newton) (Valable dans un repère absolu ou galiléen, supposé exister) Soit un point P de masse m. Le principe fondamental de la dynamique (PFD) permet d écrire : F ma P F : Résultante des efforts sur P Cas particulier de la (quasi-)statique (1 ère loi de Newton) F 0 69

70 Principe de la dynamique du solide Actions extérieures Actions à distance Actions de contact, (intérieures) et extérieures PFD appliqué à un solide de masse m Une des écritures possibles : F mag M G GP A P dm S Dynamique d un système de solides Idem pour chaque solide + inclure les actions des liaisons C est complexe! 70

71 PARTIE 2 Mécanique du solide déformable 71

72 Ch 7 Introduction à la mécanique des milieux déformables 72

73 Limite de la mécanique du solide rigide La statique ne renseigne pas sur les efforts intérieurs Comment se déforme le solide? Même à résultante d efforts nulle, le solide peut se déformer Casse d un solide est un problème d efforts intérieurs 73

74 Loi de comportement des matériaux Définition Soit un effort, noté, F sur solide donné Soit le changement de forme = déformation, noté D La loi de comportement du matériau permet de décrire l un en fonction de l autre : D = f(f) état déformé F 4 F 1 état initial F 2 F 3 74

75 Loi de comportement des matériaux Solide ou fluide? Solides Fluides Certaine mémoire de la géométrie initiale, retour élastique Résistance au cisaillement Force constante Déformation constante Sur des temps COURTS, pas/peu de réarrangements de molécules Réarrangements irréversibles, pas de retour élastique Prend la forme du récipient Force constante Déformation croissante et vitesse de déformation constante Sur des temps LONGS, réarrangements de molécules En pratique tout matériau est solide et fluide! Tout est question d échelle de temps «caractéristique» : Glace : solide < 1 h ; fluide > 24 h Verre : solide < 1 an ; fluide > 100 ans Pâte à modeler : solide < 1 s ; fluide > 10 s 75

76 Essais mécaniques unidirectionnels Essais de traction simple L 0 S 0 F F F L F rupture ΔL L - L 0 76

77 Essais mécaniques unidirectionnels Essais de traction simple et comparaisons avec un même matériau F L 0 2S 0 2F max L 0 2L 0 S 0 S 0 F max ΔL el 2ΔL el L - L 0 77

78 Essais mécaniques unidirectionnels Essais de traction simple Notion de contrainte On pose σ = F / S = contrainte Unité : N /m² = Pa (pascal) F / S 0 σ max ΔL el 2ΔL el L - L 0 78

79 Essais mécaniques unidirectionnels Essais de traction simple Notion de déformation On pose ε = (L - L 0 ) / L 0 = déformation Sans unité, parfois exprimée en % σ σ max ε el ε 79

80 Notions de comportement des matériaux Elasticité, plasticité σ σ rup σ el Zone élastique Zone plastique Déformations réversibles Déformations irréversibles ε el ε rup ε Module d élasticité ou module de Young En zone élastique, le modèle le plus courant d élasticité linéaire est le modèle de Young : σ = E ε E est le module de Young (Pa, ou souvent Mpa) 80

81 Notions de comportement des matériaux Comportement ductile/fragile σ Matériau ductile ε rup >> ε el σ Matériau fragiles ε rup proche de ε el ε el ε rup ε ε el ε rup ε Exemples? Viscosité, non linéarité 81

82 Notions de comportement des matériaux Non linéarité Elasticité non linéaire σ σ typique des tissus mous biologiques ε polymères ε Viscosité La réponse mécanique (force, contrainte) dépend de la vitesse de déformation (donc du temps). Exemples 82

83 Notions de comportement des matériaux Déformation transverse - Coefficient de Poisson L 0 ε 1 = L L 0 L 0 Déformation longitudinale S 0 S d d 0 ε 2 = d d 0 d 0 = ε 3 Déformation transverse L On constate expérimentalement ε 2, ε 3 ε 2 = -υ ε 1 -υ ε 1 υ est le coefficient de Poisson du matériau (sans unité) 0 < υ < 0,5 83

84 Notions de comportement des matériaux Loi de comportement d un matériau «simple» Matériau élastique Linéaire Isotrope La loi de comportement est entièrement définie par E et υ. Cas plus généraux Anisotrope : plusieurs paramètres pour caractériser les différentes directions Non linéaire : autres paramètres pour caractériser la non linéarité Plasticité, viscosité 84

85 Ch 8 Notion de contrainte et déformation 85

86 Contrainte Effort intérieur sur une surface On suppose la répartition de l effort homogène sur la surface On isole la partie (1) calcul de F 2/1 F (2) F Section S S (1) (1) F F 86

87 Contrainte Vecteur contrainte contraintes normale et tangentielle On définit le vecteur contrainte comme : T F S T τ t σ n On peut le décomposer : F N F T T n t S S T σn τ t (1) F Contrainte normale Contrainte tangentielle (cisaillement) 87

88 Contrainte La contrainte est en fait une grandeur locale Attention, de la surface T TM df ds dépend de l orientation M ds df TM, n df ds M ds n df Il existe un formalisme mathématique pour écrire la contrainte locale 3D (basé sur les matrices et opérations associées) 88

89 Déformation Déformation longitudinale = déformation en 1D x x = 0 x = l 0 ε = Δl l 0 x + u(x) Δl x = 0 x = l 89

90 Déformation La déformation longitudinale peut être non homogène Besoin d une définition locale en x Elle est liée aux déplacements relatifs des particules du matériau Isolons un petite portion autour de x : x x + dx x + u(x) x + dx + u(x+dx) ε(x) = Δl l 0 = u(x+dx) u(x) dx ε(x) = du dx 90

91 Déformation Généralisation, formalisme similaire à la contrainte Allongements et variations d angle (cisaillement) 91