PROJET D ECONOMETRIE Partie 2

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1 M1 IEF PROJET D ECONOMETRIE Partie 2 LE MODELE DE RENTABILITE A TROIS FACTEURS DE FAMA ET FRENCH(1993) KUNAL TAYLAN

2 Sommaire Seconde partie du projet : 1. EXPLICATION DE LA RENTABILITE DES TITRES AVEC UN MODELE MULTIFACTORIEL Ratio valeur comptable/valeur de marché et rentabilité des titres, capitalisation boursière L effet taille et la rentabilité des titres L effet ratio VC/VM et la rentabilité des titres 2.2. Le modèle Fama et French 3. PRESENTATION DES DONNEES ET CONSTRUCTION DES VARIABLES 3.1. Le méthode de calcul des données financières 3.2. Le méthode de calcul des données comptables 3.3. Les variables explicatives: Rm-Rf, SMB et HML 3.4. Les variables expliquées: Six portefeuilles de titres classés par taille et ratiovc/vm 3.5. Le choix de la variable expliquée pour la Partie 1 du projet 4. LE MODELE DE RENTABILITE A TROIS FACTEURS DE FAMA ET FRENCH 4.1. Données statistiques des variables explicatives 4.2. Données statistiques des variables expliquées 5. Etude de la Stationnarité de VAR 6. Modélisation VAR 7. Test de causalité de Granger 8. Analyse de la dynamique de VAR 9. Prévisions 10. Le modèle à correction d erreur VAR 11. Cointégration des variables 12. Estimation du modèle VECM

3 2. EXPLICATION DE LA RENTABILITE DES TITRES AVEC UN MODELE MULTIFACTORIEL 2.1 Ratio valeur comptable/valeur de marché et rentabilité des titres, capitalisation boursière L effet taille et la rentabilité des titres En 1981, Selon BANZ, la taille de l entreprise, mesurée par sa capitalisation boursière renforce le Beta pour expliquer les rentabilités des titres. En effet, par rapport à l estimation de leur Beta, les rentabilités moyennes des petites capitalisations sont trop élevées par rapport aux celles des grandes capitalisations qui sont trop faibles. Chan et Chen (1988) montrent une très forte corrélation entre la taille moyenne des titres de chaque portefeuille et les estimations des coefficients de Beta de ces mêmes portefeuilles. En France, Hamon (1986) observe une rentabilité des titres de faible capitalisation plus importante. Cette anomalie serait liée à un effet liquidité du marché. En 1992 Girerd Potin confire une plus forte rentabilité de pf de petites firmes. La mesure de la taille par la capitalisation boursière repose sur le cours. L évaluation du cours d un titre reposant sur l actualisation de ces flux futurs et le taux d actualisation étant lié au risque, il est logique d'observer une plus grande rentabilité des titres sous-évalués. Berk met en évidence l'une des difficultés des recherches empiriques sur la rentabilité des titres. La rentabilité des titres dépend directement de leur prix et de son évolution sur une période de référence : Ri (t-1:t) =, avec Ri (t-1; t), rentabilité arithmétique du titre i sur la périodes (t-1,t) et P it, cours du titre i à l instant t L effet ratio valeur comptable/valeur de marché et la rentabilité des titres Fama et French (1991), sur le marché américain identifient le ratio VC/VM comme facteur explicatif important des rentabilités: Les entreprises avec un ratio VC/VM élevée sont associées des rentabilités espérées élevées. Ils démontrent que le ratio VC/VM est une variable explicative plus significative que la variable taille. Pour Daniel et Titman (1997), la rentabilité attendue d'un titre est déterminée par les caractéristiques de la firme et non par des primes de risque. On calcule le ratio VC/VM de la façon suivante: VM= Il existe une relation inverse entre rentabilité attendue et valeur de marché. VM/VC = Relation négative entre la rentabilité et le ratio VM/VC.Inversement une relation positive doit être observée entre le ratio VC/VM, et la rentabilité espérée des titres.

4 2.2 Le modèle à trois facteurs de Fama et French Fama et French (1992, 1993), propose un modèle à trois facteurs qui corrige les défaillances du modèle d évaluation des actifs financiers Medaf. Le modèle à trois facteurs inclut le risque du marché (le bêta utilisé dans le MÉDAF), et utilise également le risque relié à la taille et celui attribué au ratio VC / VM pour mieux expliquer la variabilité des rendements des actions cotée sur le NYSE, l AMEX et le NASDAQ. Selon ces auteurs, on aurait tendance à observer un risque plus élevé dans le cas des petites entreprises et des entreprises de valeur (ratio VC / VM élevé) comparativement aux grandes entreprises et aux entreprises de croissance (ratio VC / VM faible), ce qui amènerait les marchés financiers à requérir un plus fort rendement en compensation. L équation du modèle à trois facteurs de Fama et French est la suivante : : Rendement excédentaire du portefeuille d entreprise observées par rapport au rendement sans risque Rft : Un mois de Bon du Trésor des Etats-Unis. «Eviews : LB(lowbig)» : Rentabilité du portefeuille de marché. «Eviews : MKT» : Rentabilité du portefeuille basé sur la différence entre la rentabilité des titres de petite capitalisation boursière et la rentabilité des titres de capitalisation boursière importante (SMB, small minus big). : Rentabilité du portefeuille basé sur la différence entre la rentabilité des titres avec un ratio valeur comptable sur valeur de marché élevé et la rentabilité des titres avec un ratio valeur comptable sur valeur de marché faible (HML, high minus low).,, : Coefficients des primes de risque, et.

5 3. Présentation des données et construction des variables La méthodologie de cette étude est adaptée de Fama et French (1993). Elle repose sur la construction de portefeuilles de titres tant pour les variables expliquées que pour les variables explicatives fondamentales (SMB, HML) et de marché (RM - Rf) Les données financières 6 portefeuilles formés de taille et Book to market ratio:vc/vm Rendements mensuels: Juillet 1980-Juin 2010 ( 360 obs) Les données sont prises sur le site d internet de Kenneth R. French. Les portefeuilles construits sont l intersection de 2 portefeuilles classée par leurs tailles (Small Capi, Big Capi) et 3 portefeuilles classés par leur ratio de valeur comptable / valeur de marché (High,Neutral,Low). Les portefeuilles construits de juillet de l année t à Juin de l année t+1 inclue tous les titres de NYSE, d AMEX et de NASDAQ. Le placement à taux sans risque utilisé dans le modèle à trois facteurs, Rf, est le placement sur le marché monétaire à 1 mois. Le taux sans risque retenu dans l'équation est donc le taux moyen mensuel de Bon du Trésor Les données comptables La taille de l'entreprise est représentée par sa capitalisation boursière (nombre de titres multiplié par le cours de bourse). Le classement suivant la taille repose sur la capitalisation boursière des titres en juin t. La capitalisation boursière de l'entreprise fin décembre t-1 est utilisée pour calculer le ratio valeur comptable/valeur de marché (VC/VM). Le ratio VC/VM est égal à la valeur comptable des titres en décembre t-1, divisé par la dernière cotation de décembre t-1. La capitalisation boursière correspond ici, au nombre de titres multiplié par le dernier cours de décembre t-1.

6 3.3. Les variables SMB et HML A la fin du mois de juin de l'année t, les titres de l échantillon sont répartis en deux groupes (S pour small et B pour big) suivant que leur valeur de marché en juin t est inférieure ou supérieure à la valeur de marché médiane de l échantillon. Indépendamment, les titres sont classés suivant leur ratio VC/VM en décembre t-1, et répartis en trois groupes correspondant respectivement aux trois premiers déciles (L pour low,), aux quatre déciles médians (M pour medium) et aux trois derniers déciles (H pour high). Six portefeuilles (S/L, S/M, S/H, B/L, B/M, B/H) sont constitués à l'intersection des deux répartitions précédentes. Les rentabilités sont calculées chaque mois de juillet t à juin t+1. a) Le portefeuille SMB construit pour reproduire le facteur de risque associé à la taille correspond à la différence, calculée mensuellement, entre la rentabilité moyenne des trois portefeuilles de valeur de marché faible (S/L, S/M, S/H) et la rentabilité moyenne des trois portefeuilles de valeur de marché élevée (B/L, B/M, B/H). SMB =1/3 (Small Value + Small Neutral + Small Growth) - 1/3 (Big Value + Big Neutral + Big Growth). b) HML correspond à la différence, calculée mensuellement, entre la rentabilité moyenne des deux portefeuilles de ratio VC/VM élevé (S/H, B/H) et la rentabilité moyenne des deux portefeuilles de ratio VC/VM faible (S/L, B/L). HML =1/2 (Small Value + Big Value) - 1/2 (Small Growth + Big Growth) Les variables expliquées: Six portefeuilles de titres classés par taille et ratio VC/VM Six portefeuille sont construits à l intersection de deux répartitions ( taille et ratio VC/VM ) Nous avons six portefeuilles à expliquer, ce sont : SmallHigh,SmallMedium,SmallLow BigHigh,BigMedium,BigLow

7 4. LE MODELE DE RENTABILITE A TROIS FACTEURS DE FAMA ET FRENCH Nous allons utiliser le modèle de régression multiple pour tester le modèle de rentabilité de Fama et French (1993). 4.1 Données statistiques des variables explicatives Tableau 1 : Données statistiques des rentabilités mensuelles des variables Rm-Rf, SMB et HML de 07/1926 à 01/2009, 991 mois Rm-Rf SMB HML Moyenne Ecart-type Commentaire : Le portefeuille de marché enregistre une rentabilité moyenne annuelle de 59% qui est supérieure à celle des autres variables explicatives. Le portefeuille SMB a une rentabilité moyenne de 19%, qui est inférieure à celle de HML 48%: De plus, cette rentabilité moyenne élevée est associée à un écart type des rentabilités plus élevé.

8 4.2. Donnée statistiques des variables expliquées Les portefeuilles de titres de petite capitalisation présentent une rentabilité plus élevée donc cela nous confirme l existance d un effet taille. Les portefeuilles de titres avec une ratio de VC/VM élevé ont une rentabilité également plus élevé. Tableau 3: Données statistiques de portefeuilles classés par taille et ratio VC/VM Elevé Med Faible Taille Ecart-type Grande Petite Elevé Med Faible Taille Moyenne Grande Petite Commentaire : Les écarts-types les plus élevés montrent la plus forte volatilité. Nous allons examiner les effets de ratio VC/VM et de la taille des entreprises sur les écarts-types des six portefeuilles.

9 Graphique 1: Projection des portefeuilles dans l espace espérance de rentabilité mensuelle en excès (Rm-Rf) /écart type des rentabilités en excès ( Rp-Rf ) Commentaire: Le portefeuille SMB associe une rentabilité moyenne avec une variabilité faible. Les deux portefeuilles (SH et SN ) de petits capitalisations ont des rentabilités plus important que les entreprises avec la grande capitalisation. La ligne bleu signifie la Droite de Marché, au dessus de cette droite nous avons des portefeuilles avec fortes rentabilités moyennes et au dessous il se trouve des portefeuilles avec faible rentabilité moyennes. Nous pouvons constater un effet lié au ratio VC/VM, les portefeuilles avec un ratio VC/VM élevé ont également une rentabilités plus élevés et plus ils ont des ratios élevés plus ils sont risqués.

10 4.3. Choix de la variable à expliquée pour la partie 2 du projet : Durant cette partie 1 du projet, Nous allons travailler sur le portefeuille classé des titres de grande capitalisation et une ratio VC/VM faible pour les raisons suivantes : Le portefeuille LB se trouve sur la Droite de Marché, les portefeuilles qui sont en dessus de cette droite ont des rentabilités moyennes plus élevés que les portefeuilles qui se trouve au dessous de cette droite. Le portefeuille (LB) a un écart-type moins élevé que les autres, cela signifie qu il est le moins volatile. Le coefficient de détermination du portefeuille LB représente 97,7%. Le modèle de régression de Fama et French explique 97,7% de la rentabilité du portefeuille classé LB. C est le portefeuille mieux expliqué entre ces 6 portefeuilles. (Selon la régression que j ai faite pour le projet d économétrie 2009.)

11 5. ETUDE DE LA STATIONNARITÉ DES VARIABLES L estimation d un modèle Var se fait sur des données stationnaires. Nous allons vérifier la stationnarité des variables Etude des graphiques : 20 LB 15 HML MKT 30 SMB Les séries de ces quatre variables semblent stationnaires. Les moments d ordre 1 et 2 semblent stationnaires dans le temps donc les moyennes et les variances de ces quatre variables sont constantes au cours du temps. Les processus ne semblent ni des processus DS ni des TS, mais un bruit blanc. Dans cette étape on n a pas pouvoir de dire qu ils sont des bruit blanc car un processus stationnaire n est pas forcement un bruit blanc.

12 5.2. Etude des corrélogrammes : Commentaire : Les p-value associées aux statistiques de Ljung (Q-Stat) sont supérieures à 5%. Le portefeuille classé ( Low Big ) par taille et ratio VC/VM est donc stationnaire. Commentaire : La première probabilité critique est inférieure à 5%, Il ne s agit que d une seule probabilité critique qui est inférieure à 5%. Nous allons quand même vérifier la stationnarité de la rentabilité du portefeuille de marché avec le Test de Phillips Perron.

13 Commentaire : Les cinq premières p-value sont inférieurs à 5%, le corrélogramme ne me permet pas de conclure qu il s agit d un processus stationnaire. Nous allons vérifier la stationnarité par la suite. Commentaire : Le corrélogramme à une forme d un bruit blanc car rien qui dépasse. Ceci est aussi caractéristique d une série stationnaire. Nous vérifions par la suite cette affirmation par l application de test de stationnarité.

14 5.3. Test de Stationnarité Nous avons mis en évidence la stationnarité des séries LB et SMB, les séries MKT et HML peuvent etre stationnaires mais l analyse de corrélogramme de ces deux series n était pas claire. Nous allons vérifier la stationnarité de ces quatre séries par les test de DF ( ou ADF). On pense que les processus sont des processus stationnaires sans constates I(0). Null Hypothesis: LB has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=16) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level Null Hypothesis: MKT has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=16) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level Null Hypothesis: SMB has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=16) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level

15 Null Hypothesis: HML has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=16) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level Commentaire : On rejet l hypothèse nulle de Racine Unitaire pour quatre séries (t-statistique des séries sont inférieures à leurs valeurs critiques.) Donc les processus sont stationnaires. Nous allons faire le test de Dickey Fuller simple par la suite comme le nombre de retards optimal est zéro. La procédure de test : On part du modèle le plus général (le modèle 3) (Trend and intercept). On y teste la racine unitaire puis on vérifie par un test approprié que le modèle retenu est le bon, si on n est pas dans le bon modèle, on recommence dans un modèle contraint (le modèle 2), puis avec le model 1.

16 Modèle 3 : Trend and Intercept On a rejeté l hypothèse nulle de racine unitaire pour les quatre séries par le test de DF. Voici un test de Student sur la tendance pour vérifier si le modèle 3 est bon? Commentaire: On rejette l hypothèse H 0 de la nullité de b, donc les séries n ont pas de tendance. On n est pas dans le bon modèle, nous allons continuer de faire le test DF avec le modèle plus contraint (modèle 2).

17 Modèle 2 : Intercept On rejette l hypothèse nulle de racine unitaire des quatre séries par le test de DF. Voici un test de Student sur la constante pour vérifier si le modèle 2 est le bon modèle? Commentaire: On ne rejette pas l hypothèse H 0 de la nullité de c, pour les séries LB, MKT et SMB donc ces séries n ont pas de constante. On n est pas dans le bon modèle pour ces trois séries, nous allons continuer de faire le test DF avec le modèle plus contraint (modèle 1). Par contre, on rejette l hypothèse nulle de la nullité de constate pour la série HML comme p-value de la statistique de Student est inférieure à 5%. Il s agit d un Processus stationnaire avec la constante.

18 Modèle 1: None On rejette l hypothèse nulle de racine unitaire pour ces trois séries par le test de DF. Commentaire: Les séries LB, MKT et SMB sont des Processus stationnaires sans constats.

19 6. Modélisation VAR 6.1. Détermination du nombre de retards optimal : VAR Lag Order Selection Criteria Endogenous variables: LB MKT SMB HML Exogenous variables: C Date: 01/05/11 Time: 21:08 Sample: 1980M M03 Included observations: 345 Lag LogL LR FPE AIC SC HQ NA * * * * * Nous allons choisir le modèle qui minimise les critères d informations. On hésite entre p=1 (AIC) et p=0(sc). Le modèle VAR que nous allons estimer pour la suite est VAR(1) avec retard 1 1. Par la suite nous allons comparer les prévisions par un retard 0 0 et 1 1 pour voir lequel donne les meilleures prévisions.

20 6.2. Estimation du VAR : Vector Autoregression Estimates Date: 01/05/11 Time: 21:17 Sample (adjusted): 1980M M03 Included observations: 356 after adjustments Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ] LB MKT SMB HML LB(-1) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] MKT(-1) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] SMB(-1) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] HML(-1) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] C ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] R-squared Adj. R-squared Sum sq. resids S.E. equation F-statistic Log likelihood Akaike AIC Schwarz SC Mean dependent S.D. dependent

21 Determinant resid covariance (dof adj.) Determinant resid covariance Log likelihood Akaike information criterion Schwarz criterion Sous forme matricielle le VAR est le suivant :

22 6.3. Etude de la Stationnarité de VAR : Un processus VAR(1,1) est stationnaire si les racines de det(φ(l)) sont strictement supérieures à 1 en module. L inverse des racines de det(φ(l)) doivent etre à l intérieur du disque unité. Inverse Roots of AR Characteristic Polynomial Roots of Characteristic Polynomial Endogenous variables: LB MKT SMB HML Exogenous variables: C Lag specification: 1 1 Date: 01/05/11 Time: 22:08 Root Modulus i i No root lies outside the unit circle. VAR satisfies the stability condition. Commentaire: No root lies outside the unit circle. L inverse des racines associées à la partie AR appartient au cercle unité du plan complexe. La condition de stationnarité est vérifiée. Le modèle VAR est bien stationnaire.

23 6.4. Test sur les résidus : Voici, les corrélogrammes croisés ; ce sont des corrélogrammes des erreurs d une variable par rapport à un autre. On voit bien que les corrélations des erreurs, elles sont globalement à l'intérieur des bornes. Nous allons vérifier par les tests de Ljung-Box (VAR Residual Portmanteau Tests for Autocorrelations et VAR Residual Serial Correlation LM Tests)

24 VAR Residual Portmanteau Tests for Autocorrelations H0: no residual autocorrelations up to lag h Date: 01/05/11 Time: 22:31 Sample: 1980M M03 Included observations: 356 Lags Q-Stat Prob. Adj Q-Stat Prob. df NA* NA* NA* *The test is valid only for lags larger than the VAR lag order. df is degrees of freedom for (approximate) chi-square distribution VAR Residual Serial Correlation LM Tests H0: no serial correlation at lag order h Date: 01/05/11 Time: 22:37 Sample: 1980M M03 Included observations: 356 Lags LM-Stat Prob Probs from chi-square with 16 df. Commentaire : VAR Residual Portmanteau Tests Selon ce test; on rejette l hypothèse nulle de non-auto-corrélation des erreurs car p-value des Q-Stat et Q-Stat ajusté sont inférieurs à 0.05 à partir de lag=3 Pour le test de VAR Residual Serial Correlation LM Tests on accepte l hypothèse nul de non-serial corrélation à 5% comme globalement les p-value dépassent 5%.

25 7. Test de Causalité de Granger : Pairwise Granger Causality Tests Date: 01/05/11 Time: 23:04 Sample: 1980M M06 Lags: 1 Null Hypothesis: Obs F-Statistic Probability MKT does not Granger Cause LB LB does not Granger Cause MKT SMB does not Granger Cause LB LB does not Granger Cause SMB HML does not Granger Cause LB LB does not Granger Cause HML SMB does not Granger Cause MKT MKT does not Granger Cause SMB E-05 HML does not Granger Cause MKT MKT does not Granger Cause HML HML does not Granger Cause SMB SMB does not Granger Cause HML Commentaire : 1. On ne rejette pas l hypothèse nulle (p-value > 5%) : La rentabilité du portefeuille de marché MKT ne cause pas la rentabilité de portefeuille des entreprises observées LB. Donc il n y a pas de causalité au sens de Granger entre ces deux variables.` 2. On rejette l hypothèse nulle (LB does not Granger Cause SMB) à 5%. Il y a donc causalité au sens de Granger de LB vers SMB. 3. Il y a causalité au sens de Granger de LB vers HML. 4. Il y a causalité au sens de Granger de MKT vers SMB. 5. Il y a causalité au sens de Granger de MKT vers HML. 6. Il y a causalité au sens de Granger de SMB vers HML.

26 8. Analyse de la dynamique du VAR 8.1. Choix d un ordre de variables et justification économique et statique : Économiquement le modèle de trois facteurs Fama et French : La méthodologie de cette étude est adaptée de Fama et French. Elle repose sur la construction de portefeuilles de titres tant pour les variables expliquées (LB) que pour les variables explicatives fondamentales (SMB, HML) et de marché (MKT). Selon l Etude la variable endogène est la rentabilité de portefeuille des entreprises classées LB(grande capitalisation et avec un ratio VC/VM petite) et cette variable est expliquée par les variables MKT(pf de marché), SMB( pf construit par la différence des rentabilités des petite capi et grande capi) et HML(pf construit par la différence des rentabilités des entreprises avec le ratio VC/VM élevé et faible). Les résultats de la régression du modèle Fama French : La régression du modèle à trois facteurs de Fama et French sur le portefeuille construit par la taille grande capitalisation et le ratio VC/VM élevé (LB) nous montre que l explication de la rentabilité des portefeuilles dépend essentiellement de la variable de marché Rm-Rf (MKT) et les deux autres variables rendent le modèle plus fort (SMB et HML). La variable de Marché explique LB 75% selon la régression du modèle. En revanche, le test de Granger ne nous montre pas un lien de causalité entre ces deux variables. Cela est contre le modèle de Fama French. Je garde quand même LB dans le modèle pour faire l analyse des fonctions de réponse. Selon le test de Granger LB est la variable plus exogène que HML et SMB. Nous allons supposer que la variable du marché (MKT) est plus exogène que le rendement de pf LB car le pf LB se trouve sur la droite de marché comme on avait montré précédemment sur le graphique 1. L ordre de variable, de plus exogène vers le moins exogène selon le test de Granger et le raisonnement économique est le suivant : «MKT > LB > SMB > HML»

27 8.2. Etude des fonctions de réponse du modèle Fama et French :

28 Commentaires : Un choc sur MKT a un impact instantané positif sur lui-même, sur LB et SMB. La réponse de la variable HML à un choc positif sur le marché est négative. Je pense que c est normal, car la hausse du pf de marché peut être expliquée par une hausse de la valeur de marché d un titre donc une baisse du ratio VC/VM. (une baisse de HML) C est normal que la réponse du pf classé Small Minus Big et LB soit positive à la hausse du pf de marché. Car la rentabilité des titres bouge avec la rentabilité du marché. Un choc sur LB n a pas d impact sur le pf du marché, ce qui vérifie notre hypothèse : la rentabilité du pf de marché est plus exogène que le pf classé par l effet de la taille et l effet de ratio VC/VM. o Les réponses des variables SMB et HML à un choc positif sur LB sont négatives. Cela provient de la construction de ces deux variables. Le coefficient s est corrélé négativement avec la taille de l entreprise. Le coefficient h est en relation positive avec le ratio VC/VM. o Donc la hausse des rentabilités d un pf classé LB (Faible ratio et Grande Capitalisation) provoque une baisse de SMB et HML comme ils sont corrélés négativements avec le portefeuille LB. ( Si on faisait cet étude avec le pf classé SmallHigh on aurait forcement des réponses positives de ces deux variables. ) Voici, les corrélations entre 6 pf classés et les coefficients s et h : Graphique 1: Coefficients s et de la régression

29 Graphique 2: Coefficients h et de la régression Un choc sur les variables SMB et HML n a que des impacts sur elles-mêmes comme elles sont les variables moins exogènes, elles n ont aucun impact sur les variables exogènes LB et MKT. Un choc positif sur le pf SMB a un impact négatif sur le pf HML, ce qui est normal comme la corrélation de ces deux variables est négative (-0,08) selon l étude de Fama et French.

30 8.3. Analyse de la décomposition de la variance : Commentaires : A la période 1, la variance de l erreur de prévision du MKT est due à 100% à ses propres innovations et 0% celles des autres varibles o A la période 10, 99% de la variance de MKT provient du choc sur lui-même. Le pf du marché est vraiment exogène. A la période 1, la variance de l erreur de prévision de LB est due à 94% aux innovations du pf de marché et 6% a ses propres innovations. Cela également confirme que la variable LB est moins exogène que MKT. A la période 1, 88% de la variance de SMB provient du choc sur lui-même et 40% de la variance de HML provient du choc sur lui-même. o Comme un choc sur HML n affecte pas la variance de SMB (0%). Nous pouvons conclure que SMB est plus exogène que HML

31 9. Prévisions : 2010M M06 Résultats : VAR(1) MKT LB SMB HML 2010M M M M M Voici les calculs sous Excel : Les Intervalles de prévisions :

32 Comparaison des prévisions obtenues : M M M M M M M M M M M M06 MKT MKT (Baseline) MKT (Baseline) SMB SMB (Baseline) SMB (Baseline) M M M M M M06 HML HML (Baseline) HML (Baseline) Commentaire : La ligne verte signifie les prévisions faites avec un VAR de retard 1 1 et la ligne rouge de retard 0 0. On constate que les prévisions faites avec un VAR(1) approximent mieux les variables. La spécification la plus parcimonieuse est bien p=1.

33 10. Le modèle à correction d erreur VECM Un VECM se fait sur des séries possédant une racine unitaire. Afin de procéder un VECM, nous avons déstationnarisé nos séries avec la fonction de cumulatif sum sous Eviews. Voici les tests des hypothèses jointes afin de vérifier le type de non-stationnarité de nos séries : n_lb, n_mkt, n_smb, n_hml Commentaire : Suite à des stratégies des tests DF simples (n_lb,n_smb) et DFA (n_mkt, n_hml) appliquées sur nos séries déstationnarisées, nous pouvons conclure que toutes nos séries sont des DS(marché aléatoire) sans dérive.

34 10.1. Analyse descriptive des séries : Précédemment nous avons conclu que le pf des rendements du marché (MKT) et le pf de la rentabilité des entreprises classé (LB) par le facteur de taille et le ratio ne sont pas causés l un à l autre au sens de Granger. Le portefeuille LB étant sur la droite de marché, Il doit suivre de la même tendance que le portefeuille de marché, cela nous fait penser l existence d un potentiel comportement de cointégration entre ces deux séries. Voici l évolution de ces deux séries : N_MKT N_LB Commentaire : Les deux séries ont une évolution constante sur toute la période, nous pouvons supposer que ces deux séries sont cointégrées. Il existe une évolution de long terme constante entre les chroniques. Par la suite nous allons vérifier cette hypothèse par le test de cointégration.

35 11. Cointégration des variables : Le traitement des séries chronologiques longues impose de tester une éventuelle cointégration entre les variables. Nous allons tout d abord faire le test de cointegration et puis estimer le modèle à correction d erreur. Nos séries ont satisfait les deux conditions de cointégration : 1. Toutes nos séries sont intégrées de même ordre : I(1) sans dérive 2. Il existe une relation de long terme entre les variables Choix du nombre de retards : Nous déterminons le nombre de retards en utilisant Lag length criteria : Le retard retenu selon le critère d information AIC étant 2, nous allons estimer un modèle à correction d erreur à 1 retard (2-1). Les données étant mensuelles, nous balayons des retards allant de 1 à 12. VAR Lag Order Selection Criteria Endogenous variables: N_LB N_MKT N_SMB N_HML Exogenous variables: C Date: 01/10/11 Time: 22:16 Sample: 1980M M03 Included observations: 345 Lag LogL LR FPE AIC SC HQ NA 6.49e * * * * * * indicates lag order selected by the criterion

36 11.2. La spécification retenue du modèle : Les séries initiales sont I(0) sans constant sauf HML ( I(0)+C ) donc on a estimé VAR sur les variables X et Y. Suite à la déstationnarisation, on a conclu que tous nous séries sont DS sans dérives. En effet nous choisissons la spécification 2 ( Pas de dérive dans les données, une constante dans la ou les relations de cointégration ) avec 1 retard. Il s agit des DS sans dérive dont au moins une de moyenne non nulle(hml). Vérification de la spécification n 2 : Voici les résultats de test de cointégration en mode «summary» : Date: 01/10/11 Time: 22:46 Sample: 1980M M06 Included observations: 358 Series: N_LB N_MKT N_SMB N_HML Lags interval: 1 to 1 Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Test Type No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No Trend No Trend No Trend Trend Trend Trace Max-Eig *Critical values based on MacKinnon-Haug-Michelis (1999) Suite à la stratégie séquentielle de r=0 à r=n-1, on s arrête à partir du modèle 2 en acceptant l hypothèse nulle de l existence de 2 relations de cointégration. On a bien vérifié la spécification n 2 retenue.

37 Sample (adjusted): 1980M M06 Included observations: 358 after adjustments Trend assumption: No deterministic trend (restricted constant) Series: N_LB N_MKT N_SMB N_HML Lags interval (in first differences): 1 to 1 Unrestricted Cointegration Rank Test (Trace) Hypothesized Trace 0.05 No. of CE(s) Eigenvalue Statistic Critical Value Prob.** None * At most 1 * At most At most Trace test indicates 2 cointegrating eqn(s) at the 0.05 level * denotes rejection of the hypothesis at the 0.05 level **MacKinnon-Haug-Michelis (1999) p-values 1. H0: r = 0 vc H1: r > 0 Trace Stat = 69.8 > On rejette l hypothèse nulle donc on a au moins une relation de cointegration et on continue. 2. H0: r = 1 vs H1: r > 1 Trace Stat = > On rejette H0 et on continue. 3. H0 : r = 2 vs H1 : r > 2 Trace Stat = < On accepte H0, donc il s agit d un VECM avec 2 relations de cointération.

38 12. Estimation du modèle VECM Un VECM a pour but de corriger les éventuelles cointégrations obtenu. Vector Error Correction Estimates Date: 01/10/11 Time: 23:42 Sample (adjusted): 1980M M06 Included observations: 358 after adjustments Standard errors in ( ) & t-statistics in [ ] Cointegrating Eq: CointEq1 CointEq2 N_LB(-1) N_MKT(-1) N_SMB(-1) ( ) ( ) [ ] [ ] N_HML(-1) ( ) ( ) [ ] [ ] C ( ) ( ) [ ] [ ] Error Correction: D(N_LB) D(N_MKT) D(N_SMB) D(N_HML) CointEq ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] CointEq ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] D(N_LB(-1)) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] D(N_MKT(-1)) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]

39 D(N_SMB(-1)) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] D(N_HML(-1)) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] R-squared Adj. R-squared Sum sq. resids S.E. equation F-statistic Log likelihood Akaike AIC Schwarz SC Mean dependent S.D. dependent Determinant resid covariance (dof adj.) Determinant resid covariance Log likelihood Akaike information criterion Schwarz criterion Commentaires : Les derniers coefficient ( D(N_HML) des terme de rappel (noté CointEq1 et CointEq2 das le tableau) sont significatifs à 5% ( ) Il n existe aucune relation proportionnelle entre les variables, sauf le portefeuille HML ne dépend que ses propres variations retardées. Les variations à CT sur HML permettent de revenir vers l équilibre de LT. En revanche les variations des autres variables MKT, LB et SMB sont totalement exogènes. Le VECM vérifie les résultats obtenus par le test de Granger. La variable HML est la variable le moins exogène du modèle. d une relation de cointegration entre MKT et LB. Ces deux portefeuilles de rentabilité sont totalement exogènes.

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