Chapitre 8 : La relativité restreinte

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1 Chapitre 8 : La relativité restreinte Exercices E. Aumoyendel éuation8.7,ondéterminelemoduledelavitessedumètre: r Sachant ue 0, soit le rapport de la longueur propre du mètre ( 0) sur sa longueur mesurée dans le référentiel en mouvement (), ona r E. Si r (a) et ue le développement donne (b) + CQFD CQFD (c) On définit, dans le logiciel Maple, l expression correcte de et le résultat de la uestion (a). On résout ensuite en fonction de la condition posée : restart; g:/srt(-v^/c^); g:+v^/(*c^); e:g-g0.00*g; solve(e,v); La seule solution réelle acceptable est 08 (d) Toujours dans le logiciel Maple, on donne une valeur à la vitesse de la lumière et on trace le graphe pour les deux expressions de : c:3e8; plot([g,g],v *c,color[red,blue]); Les deux courbes se séparent de façon maruée lorsu on atteint la moitié de la vitesse de la lumière. E3. La longueur propre de la tige est mesurée dans son référentiel. La théorie de la relativité indiue ue la longueur propre est plus grande ue la longueur mesurée en laboratoire, soit 0 r E4. L éuation 8.9 nous donne (06) 50 m 48 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5

2 0 0 0 a.l. 3 a.l Au moyen de l éuation 8.7, on établit le module de la vitesse la fusée : r 0954 (3333) E5. (a) Avec 0 et, selon l exercice, + on obtient 0 0 0( ) 0 (b) Avec et, selon l exercice, on obtient E6. On cherche 0 le retard de l horloge ayant voyagé. (a)silemoduledesavitesseestde 0 on a r (0) 005 Le retard vaut donc 0 0 ( ) ( a)(005 ) s (b) Si le module de sa vitesse est plutôt de 0998 on a r (0998) 58 Le retard vaut alors 0 0 ( ) ( a)(58 ) s E7. Le module de la vitesse u impliue ce retard est donné par l éuation trouvée en E5a, soit () (3654)(4)(3600) 755 km/s E8. Le délai de s correspond au temps propre 0 dans le référentiel du muon, alors ue la distance de 400 m est la longueur propre 0 du laboratoire. Dans le référentiel du laboratoire, le muon franchit cette distance en un temps 0 r 0 une vitesse de module ue l on détermine ainsi 0 0 r µ+ 0 0 v v u 0 t 0 u t µ r (3 0 8 )( 0 6 ) m/s 0 0 et possède v5 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 49

3 E9. (a) L intervalle de temps de 5 s représente le temps propre de l observateur au repos mesuré à l aide d une seule horloge. La même mesure de passage prise à bord du train nécessite deux horloges ui, selon le tableau 8., indiuent un intervalle dilaté de (5 s) 833 s (b) La longueur propre du train correspond à la distance franchie par l observateur pendant u il passe de l avant à l arrière du train à une vitesse de module dans le référentiel du train 0 (08) m (c) La longueur du train mesurée par l observateur sur le uai se calcule avec le temps propre de l observateur ui se trouve sur le uai : 0 (08) m E0. On cherche 0. On a choisi de mettre en évidence parce ue sa valeur est donnée par 0 Ainsi, si on fait appel au résultat de l exercice, on obtient (00 03 ) s (3 0 8 ) E. On veut ue 0 05 donc p E. (a) Le temps propre dans le vaisseau est égal à la distance 0 mesurée par un observateur dans le vaisseau et divisée par le module de sa vitesse. Lorsu une distance exprimée en année-lumière est divisée par une vitesse exprimée comme une fraction de la vitesse de la lumière, le temps obtenu est en années : a.l. (4 a) 5(098) 5(098) 0857 a (b) Cet intervalle de temps, observé dans le référentiel Terre-étoile vaut 0 5(0857 a) 49 a (c) La distance Terre-étoile observée à bord du vaisseau est de 0 4 a.l a.l. E3. (a) Avec l éuation 8.9, on détermine ue la longueur propre de est de 0 0 r 50 (0) 53 m (b) Pour déterminer le temps ue prend pour défiler devant on n a besoin ue d un seul observateur en ce point et on obtient 50 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5

4 s (c) Mesuré à partir du vaisseau par deux horloges situées aux deux extrémités, le délai en temps est de 0 r 0 (0) s E4. La distance propre entre la Terre et l étoile, mesurée par un observateur sur la Terre est 0 80a.l. (80a) Si le temps propre à bord du vaisseau est de 70 a, le module de la vitesse du vaisseau s exprime par Si, pour cette égalité, on suit le même développement algébriue u à l exercice 8, on arrive à v u t v u t µ (80 a) 70 a µ (80 a) + (70 a) m/s E5. (a) On cherche le temps propre mesuré par un observateur immobile par rapport à l arbre au moyen de la longueur mesurée : s (b) Pour deux observateurs situés aux deux extrémités du train, le délai en temps est plutôt de 0 r 0 (06) E6. (a) Comme 06 on a 5 4 de s selon le tableau 8.. La longueur propre du train est donc (00) 50 km (b) Mesuré dans le référentiel du uai par deux observateurs, le délai en temps est de s (c) Cet intervalle de temps, tel ue mesuré par un seul observateur dans le train, correspond au temps propre, soit s E7. (a) Si la longueur contractée du vaisseau est de 0 m, son passage devant un observateur de la station spatiale durera, pour l observateur s v5 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 5

5 (b) Comme 098 on a 5selon le tableau 8.. À bord du vaisseau, il se sera écoulé s E8. (a) On veut ue 0 a 0 obtient a a 36 a.l. Sachant ue 0 4 a.l., on déduit ue Ainsi, en exprimant a en termes de a comme à l exercice, on (67) 055 (b) On cherche b tel ue 0 4a; donc b 0 0 b 0 b b 0 0 b b 0 0 b b 0 0 Si, pour cette égalité, on suit le même développement algébriue u à l exercice 8, on arrive à v u b t v u t µ (4 a) 4 a µ (4 a) + (4 a) 07 (c) On cherche le temps écoulé sur Terre pendant le voyage des astronautes de la uestion (b). On doit d abord calculer le facteur gamma pour ce module de vitesse : b r b (07) 05 On obtient ensuite le résultat à partir du temps propre ( 0 4a) des astronautes : b 0 (05) (4 a) 44 a E9. (a) La durée du voyage 0 pour le pilote est donnée par 0 0 On calcule d abord : r On obtient ainsi (0) (006)(0) 87 ms (b) Le pilote mesure une distance de km E0. (a) On obtient la durée de vie moyenne mesurée dans un référentiel en mouvement au moyen de l éuation 8.8, en utilisant le tableau 8. : s (b) On mesure la distance parcourue dans le laboratoire, ui correspond à une longueur propre, ce ui donne 0 (08) m (c) Mesurée par les pions, cette longueur est contractée, et sa valeur est de 5 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5

6 m E. (a) Leur durée de vie moyenne paraît plus longue pour un observateur immobile par rapport à la Terre. On obtient sa valeur en utilisant le tableau 8., soit s (b) Selon des observateurs immobiles, les particules mettront, par rapport au laboratoire, un temps pour parvenir au sol : s (c) Cependant, une fraction importante des muons auront le temps de parvenir au sol, car, dans leur propre référentiel, la chute vers le sol dure un temps propre 0 égal à (0995) 335 s E. (a) On calcule au moyen de l éuation 8. dans le cas où le vaisseau s approche de la Terre, donc en inversant les signes, ce ui donne Hz (b) Si le vaisseau s éloigne de la Terre, on obtient plutôt Hz E3. Grâce à l éuation.5c, on sait ue la fréuence radio du détecteur est de Hz La vitesse de la voiture soumise au détecteur est 08 km/h 300 m/s. Comme on utilise l éuation 8.b pour exprimer la fréuence perçue par l automobile et la fréuence perçue par le détecteur au retour. On inverse le signe de l éuation parce ue la voiture s approche du détecteur et on écrit + 0 et +. Ainsi On cherche 0 Si, parce ue on néglige le terme au carré, on obtient (i) Si on insère les données dans l éuation (i), on obtient (300)(00 00 ) 00 khz E4. On note ue Au moyen de l éuation 8., où l on inverse les signes parce ue l automobiliste s approchait de la source, on obtient v5 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 53

7 E5. Au moyen de l éuation 8., u on utilise parce ue la galaxie s éloigne de la Terre, on obtient nm 0 +0 E6. On cherche tel ue + 0 et ;donc Hz E7. (a) On donne Hz. On utilise l éuation (i) de l exercice 3 et on arrive à 0 (40)(5 00 ) 400 khz (b) Comme correspond àlavaleurabsoluede la différence entre les fréuences, la démonstration de l exercice 3 demeure valide même si la source et l observateur s éloignent l un de l autre, et on arrive à 0 (40)(5 00 ) 400 khz E8. On convertit les coordonnées 0 et 0 avec les éuations 8.7 et 8.8, ce ui donne ( ) (06)(00) m µ 5 4 (00) + (06)(4 05 ) 35 0 s E9. On appliue les éuations 8.7 et 8.8 à des intervalles km et 0 0,ceui donne ( ) (06)(0) 600 km µ 5 4 (0) + (06)(48 05 ) 0 ms E30. Comme 098 on a 5selon le tableau 8.. Avec 0 km et 0 0 on trouve grâce à l éuation 8.7 : ( ) (098)(0) 600 km Vue autrement, la distance entre les deux traces d impact sur le uai est simplement le résultat de 0 où 0 est la longueur propre de ce ui apparaît comme mesurant km dans le référentiel du train, donc 0 5( km) 600 km. E3. On cherche Avec l éuation 8.7, on peut écrire, en se rappelant ue Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5

8 ( ) (0 + 0 )((0 0 )+(0 0 )) 5 3 (0 0+(08)(00 0)) m E3. (a) Dans le référentiel 0 du train, les deux impulsions mettront un temps à atteindre les extrémités. Ce temps est égal à (3 0 8 ) s (b) Dans le référentiel l impulsion ui arrive en 0 prend un temps ( 6) 0 4(3 0 ) + (06) s L impulsion ui arrive en 0 prend un temps (6) 0 4(3 0 ) + (06) s E33. Pour rejoindre la Terre ( 0), à partir du vaisseau m,lalumièremetun temps aller 0 0, mesuré dans le référentiel de la Terre. Comme le vaisseau avance vers la Terre ( 08), la lumière n aura u à franchir 0 aller retour pour y retourner. De sorte ue retour est donné par retour 0 aller retour retour 0 aller + retour 0 (08)( 0 ) ms E34. (a) On pose 0 0et on utilise l éuation 8.4, ce ui donne 0 0 (3 08 ) (6 0 4 ) (b) Si la vitesse du vaisseau dépasse 08 l éclair vert arrive avant l éclair rouge. E35. On appliue les éuations 8.3 et 8.4, et on trouve, si 0 0 (0)(0995)(40) s (3 0 8 ) Le signe négatif signifie ue l éclair vert arrive avant l éclair rouge. L espacement entre les éclairs, mesuré en 0, donne 0 ( ) 0 (40) 0 40 km E36. Si l intervalle d espace-temps est un invariant, on doit pouvoir soustraire ( 0 ) de ( ) et obtenir zéro. On élève au carré les uatre termes de, ui sont donnés par les éuations 8.7 et 8.8, les deux autres étant invariants si v i : ( ) ( 0 ) ( ) ( ( )) ( 0 ) ( 0 ) v5 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 55

9 ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) On calcule ensuite ( ) ( 0 ) h ( ) ( ) ( ) ( ) i ( ) ( 0 ) µ ( 0 ) h ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) i + 0 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) +( 0 ) +( 0 ) +( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 0 ( 0 ) ( 0 ) +( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) + ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) +( 0 ) + ( 0 ) ( 0 ) +( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) +( 0 ) + ( ) ( 0 ) ( 0 ) +( 0 ) + ( ) ( 0 ) ( 0 ) +( 0 ) ( +)0 ( ) est donc un invariant CQFD E37. (a) Comme la distance parcourue par l éclair est on a + (b) On cherche la position de deux événements dans 0 avec l éuation 8.3. L émission de la lumière se produit en 0 ( ) puisue l émission de la lumière se produit à l origine de De la même façon, en utilisant le résultat obtenu en (a), l arrivée de la lumière se produit en 0 ( + ) ( + ( ) ) ( ) On trouve donc ( )+ et le délai en temps dans 0 est de 0 0 E38. La vitesse relative d un proton () par rapport à l autre () est donnée par l éuation 8., réécrite comme à l exemple 8., soit 56 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5

10 L+ L + L L 0999 E39. On reprend directement l éuation 8. de l exemple 8. et on obtient (096)(096) AB AT+ TB AT TB + (08)( 06) 0385 E40. La vitesse relative du missile (m) par rapport à la Terre (T) est donnée par l éuation 8., réécrite comme à l exemple 8.. (a) Si mv 0 on obtient mt mv+ VT + mv VT (0)(07) 0748 (b) Si mv 0 on obtient mt mv+ VT + mv VT ( 0)(07) 0645 E4. (a) On calcule d abord la vitesse du vaisseau B par rapport au vaisseau A au moyen de l éuation 8., réécrite comme à l exemple 8., ce ui donne BA BT+ TA + BT TA (08)( 06) 0385 La vitesse du missile par rapport au vaisseau A doit donc être supérieure à 0385, si ce dernier doit atteindre le vaisseau B. Dans l état actuel, non, il n atteindra pas le vaisseau B, puisue ma 03 (b) On doit avoir ma E4. On utilise un axe des parallèle au mouvement des deux fusées. On suppose ue la fusée A se déplace dans le sens positif de cet axe, de sorte ue AT 0. La fusée B avance vers la fusée A et sa vitesse par rapport à la Terre est de même module donc BT AT. On cherche le module de la vitesse de l une ou l autre des deux fusées par rapport à la Terre Avec l éuation 8., on obtient AB AT+ TB + AT TB On résout cette éuation uadratiue en et on trouve 068 et 373 Seule la première réponse est compatible avec la théorie de la relativité, de sorte ue 068. E43. Selon l éuation 8.5 du manuel, si une uantité d énergie est retirée d un corps, la masse de ce corps diminue. Ainsi, l énergie rayonnée par le Soleil diminue la masse de ce dernier. (a) La puissance correspond à l énergie rayonnée par unité de temps. L énergie rayonnée durant seconde est donc v5 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 57

11 W ( s) J s ( s) J Au moyen de l éuation 8.5, on calcule la variation de masse associée à cette énergie : kg (3 0 8 ) (b) Puisu elle représente la variation de masse du Soleil durant seconde, la réponse de la uestion (a) correspond aussi au taux de changement de la masse de dernier. On estime la durée de vie du Soleil en divisant sa masse totale par ce taux : 030 kg kg/s s a s 3 a Notons ue ce résultat n est u une approximation grossière puisu il ne tient pas compte d une modification dans le temps de la puissance rayonnée par le Soleil. E44. Onobtientlemoduledelauantitédemouvementduprotonencombinantleséuations 8.3 et 8.4 : 0 r 0 ( )(0998) (0998) kg m/s E45. (a) On donne 0 4 ev J J. On utilise l éuation 8.6, ui donne l énergie cinétiue relativiste, soit 0 ( ) (9 0 3 ) +095 On calcule ensuite le rapport au moyen de l éuation 8.7, et on obtient 095 (b) Avec 0 7 ev 6 0 J, on obtient plutôt 0 ( ) (9 0 3 ) 0999 E46. (a) Au moyen de l éuation 8.7, on calcule r (0998) 58 On utilise ensuite l éuation 8.6, ui donne l énergie cinétiue relativiste, et on trouve 0 ( ) (58 ) 4 0 J 759 MeV (b) On obtient le module de la uantité de mouvement du proton en combinant les éuations 8.3 et 8.4 : 0 (58) (0998) 43 0 kg m/s E47. On cherche ( ) ( ) Avec l éuation 8.6, on trouve 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) (a) Pour l intervalle allant de 06 à 08 le tableau 8. permet d écrire 58 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5

12 ev J 4 kev (b)pourl intervalleallantde 0995 à 0998 si on utilise le calcul de l exercice 46 et le tableau 8., on obtient (58 0) 98 MeV E48. On combine l éuation 8.6, 0 ( ), avec, ui découle de l éuation 8.7. (a) Si (b) Si E49. On calcule l énergie absorbée au moyen de l éuation 3.9 : (05) J On calcule ensuite la masse ajoutée avec l éuation 8.5 : kg (3 0 8 ) Le poids supplémentaire aura donc pour valeur (98) 7 N E50. Si on modifie l éuation 8.7, on obtient 0 4 Comme le côté droit de cette éuation est toujours constant, on en conclut ue est un invariant CQFD E5. L énergie totale vaut trois fois l énergie au repos, de sorte ue 3 0 (a) On utilise l éuation 8.7 et on obtient (b) On combine 0 avec le résultat obtenue en (a), et on trouve r E5. La masse nécessaire ( n ) est mille fois importante ue la masse effectivement transformée, soit n 000 Comme on obtient n kg (3 0 8 ) E53. Si le rapport est important, le deuxième terme du développement binômial sous l éuation 8.6 est significatif. Dans ce cas-ci, il représente v5 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 59

13 0 3 8 ( ) ( 0 6 ) 4 (3 0 8 ) E54. Oncherchelemoduledelavitesseuifaitensorteue rel cla cla 00 Si on développe cette expression, on obtient On fait ensuite appel à l éuation 8.7 et on arrive à r 040 E55. Oncherchelemoduledelavitesseuifaitensorteue rel cla Si on développe cette expression, on obtient 0 0 On fait ensuite appel à l éuation 8.7 et on arrive à r 0866 E56. En raison de l éuivalence de masse-énergie, on a 0 50MeV (50 06 )(6 0 9 ) 9768 (9 0 3 )(3 0 8 ) E57. (a) En raison de l éuation de la mécaniue classiue, on a (09) J kv (b) Avec la même énergie et l éuation 8.6, on calcule le facteur, ce ui donne (9 0 3 )(3 0 8 ) +405 Avec la valeur de on obtient le module de la vitesse, soit 070 E58. On l utilise l éuation de l exercice 53 en posant ue %et on trouve une vitesse dont le module est de (00) 3 05 E59. (a) On trouve le module de la vitesse au moyen de l éuation 8.6, soit 0 ( ) 0 + r v u t à (40 09 )(6 0 9 ) ( )(3 0 8 ) +! (b) Le module de la uantité de mouvement s exprime par (4358) (09997) kg m/s 60 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5

14 E60. On calcule d abord le facteur de l électron en fonction de l énergie totale u il possède : 0 (a) La longueur du tube est donnée par m 0 (0 09 )(6 0 9 ) 9536 (9 0 3 )(3 0 8 ) (b) Avec une valeur aussi élevée de on peut poser ue le module de la vitesse est pratiuement bien ue, du point de vue théoriue, l électron n atteigne jamais la vitesse de la lumière. Avec on arrive à s (c) Les expérimentateurs dans la station de contrôle enregistreront une durée de voyage égale à 0 (9536) s E6. (a) r (b) km 408 s (c) 0 57 s E r m/s m/s E63. Q 0 + T 0,où Q0 et T0 sont respectivement les longueurs propres du uai et du train. Avec r 5 on trouve 9 s. E64. (a) Selon l éuation 8., la vitesse relative d un train par rapport à l autre est de AB AQ+ QB + AQ QB km (b) (065)(065) 060 s 094 r AB 465 E65. (a) Selon l éuation 8., la vitesse du projectile par rapport au sol est de PS PT+ TS + PS TS r PS (b) 0 0 PS 44 s (06)(04) m/s 69 0 PS s E66. Le résultat est calculé pour un observateur immobile par rapport au train et situé à l endroit où le projectile atteint la cible. Celle-ci avance vers cet observateur à une vitesse CT 04, etleprojectilevaà PT 06 Dans ce système de référence, la distance v5 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 6

15 totale à franchir est de 0 0 TS (0000) (04) 965m TS Cette distance est franchie par le projectile et la cible en un temps ue fournit l éuation suivante : E67. r CT + PT CT + PT s Plus directement, on arrive à ce résultat en rappelant ue le projectile mesure un temps propre 0 entre le départ du train et l arrivée à la cible. Comme le facteur du train est 5 4 le temps mesuré par cet observateur immobile par rapport au train, placé là où le projectile atteint la cible, est s. 08 r (08) (a) 0 0 r (b) 05 r (0) (05) r r (06) 660 E68. (a) r m/s (b) ( ) 0 74 MeV (09) E69. (a) r 005 ( ) J (b) 503 kg E r 0707 E7. (a) MeV (b) 7 MeV 0 05 MeV m/s (c) kg m/s E7. (a) On donne 0GeV MeV et, selon la partie (a) de l exemple 8.3 du manuel, l énergie au repos de l électron correspond à 0 05 MeV. On insère ces deux valeurs dans l éuation 8.6 et on calcule : 0 ( ) MeV 05 MeV Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5

16 (b) Dans cette situation À 0, de sorte ue le deuxième terme de l éuation 8.7 peut Problèmes être négligé. On calcule alors (0 09 ev) µ J ev m/s kg m/s P. On utilise l éuation 8.5 et on l élève au carré, ce ui donne (i) On utilise ensuite l éuation 8.3, on la multiplie par et on l élève au carré : 0 0 (ii) On soustrait l éuation (ii) de l éuation (i), et on obtient CQFD P. On utilise l expression ui associe la force au taux de changement de la uantité de mouvement, et l éuation 8.3, ce ui permet d obtenir le résultat suivant : ( 0) CQFD 3 P3. Dans l éuation 8.3 élevée au carré, on remplace par l expression ui est fonction de, soit et on remplace ensuite par l expression ui dépend de, soit 0 + On trouve ainsi ue µ CQFD P4. On utilise l éuation 8. afin de trouver à uelle vitesse la lumière se déplace par rapport au laboratoire. D une part, la lumière se déplace dans l eau à la vitesse 0,etle milieu, soit l eau, est en mouvement à Ainsi CQFD P5. (a) Si l électron et le proton ont la même uantité de mouvement, on obtient v5 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 63

17 e ( e e ) e e e e et p p p p p p p e p e e e p p p où e 36 et e p 7 0 p p m/s (b) Si l électron et le proton ont la même énergie cinétiue, on trouve plutôt e p e ( e ) p p p 067 p m/s P6. (a) Dans le référentiel du vaisseau, la lumière parcourt deux fois la longueur propre 0 00 m. Pour l observateur ui émet et reçoit la lumière, il s écoule un temps propre de (3 0 8 ) s (b) Comme 0995 on a 0selon le tableau 8.. Dans le référentiel ce délai est dilaté et mesuré par deux horloges, soit 0 (0) s (c) On trouve, la position où l éclair revient à son point de départ dans le vaisseau, au moyen de l éuation 8.7. On note ue 0 0 On obtient donc ( ) (0) 0+(0995) m P7. (a) On représente un rayon lumineux se propageant dans la direction 0 par rapport à l axe des 0 : Dans l un ou l autre des systèmes de référence, la uantité cos correspond au rapport entre la composante de la vitesse de la lumière selon et son module Ainsi, pour et 0 on peut écrire cos l éuation 8. comme suit : cos et cos 0 cos Comme on arrive à cos cos cos 0 CQFD 0 0 On peut ensuite réécrire (b)danslelogicielmapleondéfinit la valeur de l expression pour et on trace le graphe 64 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5

18 demandé pour 0 allant de 0 à 90 : restart; beta:0.9; theta:arccos((cos(t)+beta)/(+beta*cos(t))); plot(theta,t0..pi/); Comme on le voit dans le graphe, les rayons lumineux forment un angle de plus en plus réduit par rapport à l axe des au fur et à mesure ue augmente. C est pouruoi un parle d un effet projecteur. P8. Par définition, on sait ue La différentiation de l éuation 8.8 permet d écrire ue 0 + 0,donc ( ) 0 µ CQFD + 0 µ P9. Comme 098 on a 5selon le tableau 8.. ( ) 0 µ + 0 (a) Dans leur référentiel propre, la distance parcourue par chacun des muons est de m Ils parcourent cette distance en un temps s 098(3 0 8 ) On donne s. Après cet intervalle 0, le nombre de muons restant s élève à 0 0 (000) (b) Dans le référentiel de la Terre, les observateurs mesurent une distance m parcourue par les muons en un temps s 098(3 0 8 ) Selon les observateurs, après cette distance, il reste 0 muons dont la durée de vie moyenne est de 0 s. Ce nombre s élève à (000) P0. La phase étant invariante, on peut écrire 0 où ( ) et 0 ( ) 0 ( ) 0 L invariance est démontrée si 0 0à tout moment et en tout point; donc ( ) 0 ( ) ( 0 0 ) 0 v5 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 65

19 Comme cette expression doit donner zéro uelles ue soient les valeurs de et de on en déduit ue ( ) CQFD P. (a) Dans les deux systèmes de référence, on sait ue les tangentes des angles s expriment par tan et tan 0 0 On sait aussi ue 0 et ue 0 est une longueur propre 0 parce ue mesurée dans le référentiel où la tige est immobile. Ainsi, 0 ou encore 0, et on peut écrire tan tan tan tan 0 CQFD (b) La longueur d une tige en mouvement orientée dans le plan et mesurée dans est donnée par + cos 0 + sin 0 0 cos cos cos + 0 sin 0 0 cos 0 0 +sin µ cos 0 + ( cos 0 ) 0 +cos 0 µ cos 0 ( )+ Avec 0 0 ce résultat devient 0 + cos 0 CQFD P. On cherche une autre expression pour 0 lorsue 0 Au moyen de l éuation 8., on trouve Comme on fait appel au développement du binôme et à son approximation lorsue soit ( + ) + Ainsi Encore une fois, comme on peut négliger le dernier terme et 0 + Finalement, (+ ) 0 0 CQFD P3. Comme 06 on a d une part 5 4 et, comme 08 on a d autre part 5 3 selon le tableau 8.. (a) On trouve les longueurs contractées, telles ue mesurées par l observateur, ce ui donne 66 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5

20 0 4(000) met 0 3(000) m On construit ensuite deux éuations de position ui repèrent la position de l arrière du train et la position de l avant du train Àl instant 0 l avant du train coïncide avec l arrière du train en un point ui correspond à l origine de l axe des utilisé de sorte ue et On cherche l instant pour leuel donc s (b) La vitesse du train par rapport au train est de ce ui impliue ue 08 On calcule donc une longueur du train dans le référentiel du train de m Avec toutes ces données, on peut calculer l intervalle de temps ueprendraletrain à dépasser le train dans le référentiel de, etonobtient P4. (a) On obtient directement 67 s ( ) (098) m µ (098)( 03 ) 367 s (b) On obtient directement (367 s) (93 s) 0734 s P5. (a) Le temps ue mettront les deux trains à se dépasser mutuellement est éuivalent au temps ue mettrait un seul des deux trains pour s installer vis-à-vis du deuxième, immobile dans le référentiel du premier. En tenant compte de la contraction des longueurs des trains pour l observateur immobile par rapport au sol, on obtient 0 0 4(000) 5(06) 444 s (b) La vitesse du train par rapport au train est de v5 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 67

21 En appliuant le même raisonnement u en (a), on trouve (088) 556 s P6. On sait, grâce au problème 8, ue la relation entre les composantes de vitesse selon 0 dans les deux référentiels est de µ et 0 + pour le mouvement selon Dans les deux systèmes de référence, le rapport entre la vitesse selon et correspond àlatangentede Ainsi, tan 0 µ Ã! 0 0 tan tan 0 tan + tan tan CQFD 0 cos 0 P7. On écrit les expressions pour l énergie totale et la composante de uantité de mouvement selon pour les deux systèmes de référence, soit 0 (i) (ii) (iv) (iii) Pour pouvoir établir une relation entre ces termes, on doit avoir l expression de 0 en fonction de On la trouve en utilisant la définition de : 0 (0 ) ( 0 ) ( 0 ) Ã µ! ( ) ( ) 4 ( ) ( ) µ ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) 0 (( ) ( ) ) 0 ( 4 + ( + )) 0 ( 4 + ) (( )( )) 0 ( ) Finalement, avec ( ) et on obtient 68 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte v5

22 0 Si on remplace 0 0 par ce résultat dans l éuation (ii), on obtient 0 D après l éuation (iii), ce résultat devient 0 ( ) Pour la uantité de mouvement, au moyen de l éuation (iv) dans lauelle on remplace aussi 0,ontrouve µ ( ) ( 0 0 ) 0 CQFD v5 Ondes, optiue et physiue moderne, Chapitre 8 : La relativité restreinte 69