Analyse LR. 1 Rappels 2005/ Le problème

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1 Analyse LR 2005/ Rappels 1.1 Le problème Génératif vers recognitif Rappels du cours précédent : Syntaxe foalisée par une grammaire algébrique G =, Σ, P, S. Construction automatique d un automate à pile A = Q, Σ, R, ϕ s, F, $, pour G. Une solution : l automate à pile récursif descendant. Analyseur descendant Définition 1.1. L analyseur récursif descendant pour une grammaire algébrique G =, Σ, P, S est un automate à pile A desc = Q, Σ, R, ϕ s, F, $, où Q est l ensemble des production pointées de P, notées R est l ensemble des règles [A α α ] si A αα P, (1) [A α Bα ] predict [A αb α ][B β], [A α aα ] a match [A αa α ], [A α ], ϕ s = [S S$], F = {[S S $]}. Analyse descendante 1

2 Exemple 1.2. $[S $] $ = predict $[S $][ S] $ = predict $[S $][ S][ ] $ = match $[S $][ S][ ] $ = match $[S $][ S][ ] $ = $[S $][ S] $ = predict $[S $][ S ][S ] $ = match $[S $][ S ][S ] $ = predict $[S $][ S ][S ][ ] $ = match $[S $][ S ][S ][ ] $ = match $[S $][ S ][S ][ ] $ = $[S $][ S ][S ] $ = $[S $][ S ] $ = $[S $] $ Faiblesses de l analyse descendante 1. L automate à pile est non déteiniste ; il nécessite un backtrack coûteux ; 2. l ensemble de règles R peet des règles de foe [A Aα] predict [A A α][a Aα] si grammaire est récursive gauche. Le non-déteinisme est lié aux conflits entre deux règles predict. Quelles autres possibilités s offrent à nous? 2 Analyse ascendante 2.1 Automate à pile ascendant Dérivations droites Exemple 2.1. Lors d une dérivation droite : 2

3 S S S S 3

4 4

5 S S Et si on inverse retion : si on évalue 1 depuis chaîne teinale? Analyseur ascendant Définition 2.2. L analyseur ascendant pour une grammaire algébrique G =, Σ, P, S est un automate à pile A asc =, Σ, R, ϕ s, F, $, où R est l ensemble des règles α A α A, a shift a, ϕ s = ε, 5

6 F = {S}. Définition 2.3. Le transducteur ascendant A, τ est défini par τ(α A α A ) = A α, τ( a shift a ) = ε. Analyse ascendante Exemple 2.4. $ $ $ $ $ $ = $ $ $ $ $ $ $ $ = $ $ = S $ S $ = S $ $ Exercice Exercice 2.5. Soit grammaire E E + T T, T T F F, F a (E). Donnez les étapes de l analyse de phrase a + a a par un automate à pile ascendant. Un amélioration? L automate ascendant est lui aussi fortement non-déteiniste, avec des conflits shift/reduce dans une configuration α a si production A α existe, reduce/reduce dans une configuration βα si les productions distinctes A α et B βα existent. En revanche, il n a pas de problème avec récursivité d une grammaire acyclique. 2.2 Contexte Exercice Exercice 2.6. Soit grammaire S A B, A ca a, B cb b. Montrez que l automate à pile ascendant pour cette grammaire est déteiniste. Que dire de l automate descendant? La décision de reconnaître une production de grammaire est faite juste avant de reconnaître les constituants de cette production en analyse descendante, et une fois ces constituants reconnus en analyse descendante. 6

7 Poignées Définition 2.7. Une chaîne α est un syntagme (phrase en angis) de foe sententielle ϕασ si il existe A α dans P et si S ϕaσ ϕασ. En d autres tees, réduction d α à A dans ϕασ nous donne bien une foe sententielle. Définition 2.8. Un syntagme d une foe sententielle droite dont réduction donne à nouveau une foe sententielle droite est appelé une poignée (handle en angis) : α est une poignée dans foe sententielle δαx si il existe A α dans P et si S δax δαx. Poignées S Exemple 2.9. (2) S SP Exemple Prep ε S (3) La poignée d une foe sententielle droite est unique pour une grammaire non ambiguë. Contexte d une poignée Définition Soit α une poignée de foe sententielle δαx ; on appelle δα son contexte gauche et x son contexte droit. De nombreuses méthodes d analyse ascendante déteiniste font jouer des retions entre symboles de fin du contexte gauche et symboles du début du contexte droit : analyse par précédence de symboles [Flo63, WW66, IM70], analyse considérant une portion bornée des contextes gauches et droits [Flo64]. Elles sont tombées dans l oubli face à LR... 3 Analyse LR 3.1 Grammaire caractéristique Le principe fondateur de LR est d exploiter totalité du contexte gauche des poignées. ous commençons par donner un autre point de vue sur ce contexte gauche. 7

8 Préfixe viable Exemple 3.1. S aa bb, A cac d, B cbc d. S a A S b B c A c c B c c A c c B c d d La séquence ac n d est un préfixe viable complet de grammaire : Définition 3.2. Si S δax δαβx dans G, alors δα est un préfixe viable de G, et est complet si β = ε. L intérêt de cette notion de préfixe viable est qu elle est reflétée par une notion simiire de pile viable de l analyseur ascendant. Pile viable Définition 3.3. La chaîne ϕ de Q est une pile viable pour l automate à pile A = Q, Σ, R, ϕ s, F, $, si $ϕ s w$ = $ϕ x$ = $ϕ f $ pour ϕ f dans F et w et x dans Σ. Théorème 3.4. Soit G une grammaire et A asc son automate à pile ascendant. Tout préfixe viable de G est une pile viable de A asc et réciproquement. Toute force de méthode LR réside dans le fait que les préfixes viables d une grammaire foent un ngage régulier, et qu ils peuvent donc être reconnus par un automate à états finis déteiniste. Grammaire caractéristique [Knu65] Définition 3.5. Soit une grammaire G =, Σ, P, S. La grammaire caractéristique de G est G 0 = 0,, P 0, [S] où 0 = {[A] A } et P 0 = {[A] α A α P } {[A] α[b] A αbβ P }. Exemple 3.6. La grammaire caractéristique pour est S aa bb, A cac d, B cbc d [S] a[a] aa b[b] bb, [A] c[a] cac d, [B] c[b] cbc d. La grammaire caractéristique d une grammaire G génère tous les préfixes viables complets de G. La grammaire caractéristique est une grammaire linéaire à droite ; le ngage des préfixes viables complet est donc un ngage rationnel. L exercice suivant est l occasion d exploiter cette propriété. 8

9 Exercice Exercice 3.7. Donner un automate à états finis déteiniste qui reconnaît les phrases du générées par grammaire caractéristique 3.2 Items LR(k) [S] a[a] aa b[b] bb, [A] c[a] cac d, B c[b] cbc d. te construction de l automate à états finis est foalisée par notion d items LR. ous utilisons une notion plus forte que le simple préfixe viable complet : nous souhaitons connaître exactement quelles chaînes de longueur k sont acceptables après ce préfixe. Item LR(k) valide [Knu65, AU72] Définition 3.8. Un k-item est un couple de foe [A α β, u] où A αβ est une production de P et u une chaîne de Σ k. Il est LR(k)-valide pour un préfixe γ si S δax δαβx = γβx et k : x = u. (4) Si γ est un préfixe viable de G, alors il existe un item valide pour γ, et réciproquement. Exemple 3.9. Les items [A c Ac, c] et [A d, c] sont valides pour ac n, n > 1 pour grammaire S aa bb, A cac d, B cbc d : S ac n 1 Ac n 1 $ ac n Ac n $ ac n dc n $ et 1 : c n = c. (5) L ensemble des k-items valides pour γ est noté alid k (γ) = {ι ι est un k-item valide pour γ}. (6) Retions entre items LR(k) Lemme Si S σ est une règle de P, alors [S σ, $ k ] est un k-item valide pour ε. Lemme Si [A α Xβ, u] est un k-item valide pour γ, alors [A αx β, u] est un k-item valide pour γx. On note [A α Xβ, u] X [A αx β, u]. Lemme Si [A α Bβ, u] est un k-item valide pour γ, alors [B δ, First k (βu)] est un k-item valide pour γ. On note [A α Bβ, u] ε [B δ, First k (βu)]. Théorème Exercice Exercice Donnez les ensembles alid k pour grammaire Équivalence LR(k) alid k (γ) = {ι [S σ, $ k ] γ ι}. (7) S aa bb, A cac d, B cbc d Définition La chaîne γ 1 est LR(k)-équivalente à chaîne γ 2, dénoté par γ 1 LR(k) γ 2, si et seulement si alid k (γ 1 ) = alid k (γ 2 ). Théorème Pour toute grammaire G =, Σ, P, S et entier naturel k, retion LR(k) est une retion d équivalence sur. De plus, LR(k) a un index fini et borné par 2 G Σ k. (8) Exercice Prouver le théorème précédent. Exercice Refoulez définition d une grammaire caractéristique pour utiliser fenêtre de k symboles. 9

10 3.3 Automate LR(k) L équivalence LR(k) est l équivalence induite par l automate d états finis reconnaissant G k. On note les csses d équivalence de LR(k) par [γ] k où γ est un élément de csse d équivalence, et on note l ensemble des csses d équivalence E k. Automate LR(k) Définition L automate LR(k) de grammaire G est l automate à pile ascendant A LR(k) = E k, Σ, R, [ε], {[S]}, $, où E k est l ensemble des csses d équivalences [δ] k de LR(k), l ensemble des règles R est restreint aux règles [δ] k [δx 1 ] k... [δx 1... X n ] k u A X1... Xn [δ] k[δa] k u, (9) si un item [A X 1... X n, u] est LR(k)-valide pour δ, et [δ] k au shift [δ] k [δa] k u, (10) si un item [A α aβ, v] est LR(k)-valide pour δ et si u First k 1 (βv). Analyse ascendante LR Exemple Soit grammaire S aa bb, A cac d, B cbc d : $[ε] accdcc$ $[ε][a] ccdcc$ $[ε][a][ac] cdcc$ $[ε][a][ac][acc] dcc$ $[ε][a][ac][acc][accd] cc$ $[ε][a][ac][acc][accd] cc$ = A d $[ε][a][ac][acc][acca] cc$ $[ε][a][ac][acc][acca][accac] c$ $[ε][a][ac][acc][acca][accac] c$ = A cac $[ε][a][ac][aca] c$ $[ε][a][ac][aca][acac] $ $[ε][a][ac][aca][acac] $ = A cac $[ε][a][aa] $ = A cac $[ε][a][aa] $ = S aa $[ε][s] $ Grammaires LR(k) Définition Une grammaire est LR(k) si 1. S δax δαx, 2. S γby γβzy = δαzy et 3. k : x = k : zy impliquent δax = γby. Théorème Une grammaire G est LR(k) si et seulement si son automate LR(k) est déteiniste. Théorème Si une grammaire G est LR(k), alors il existe une grammaire G LR(1) équivalente. 10

11 Langages déteinistes Théorème Les ngages générés par les grammaires LR(1) sont exactement les ngages reconnus par un automate à pile déteiniste. On appelle ces ngages les ngages déteinistes. References [AU72] Alfred. Aho and Jeffrey D. Ullman. The Theory of Parsing, Transtion, and Compiling, volume I: Parsing of Series in Automatic Computation. Prentice Hall, Englewood Cliffs, ew Jersey, [Flo63] Robert W. Floyd. Syntactic analysis and operator precedence. Journal of the ACM, 10(3): , [Flo64] [IM70] Robert W. Floyd. Bounded context syntactic analysis. Communications of the ACM, 7(2):62 67, J. D. Ichbiah and S. P. Morse. A technique for generating almost optimal Floyd-Evans productions for precedence grammars. Communications of the ACM, 13(8): , [Knu65] Donald E. Knuth. On the transtion of nguages from left to right. Infoation and Control, 8: , [WW66] ikus Wirth and Helmut Weber. EULER: a generalization of ALGOL and it foal definition. Communications of the ACM, 9(1):Part I: 13 25, and Part II: 89 99,