Matrices et Applications linéaires

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1 Matrices et Applications linéaires Matrices d une application linéaire Dans toute cette section, E et F sont deux K ev de dimension finie. Soit B E = ( e,..., e p ) une base de E, et B F = ( ɛ,..., ɛ n ) une base de F.. Soit f L (E, F ). On appelle matrice de f dans les bases B E et B F la matrice de M n,p (K) notée Mat BF,B E (f) f(e ) f(e 2 ) f(e p ) a a 2 a p ɛ a définie par Mat BF,B E (f) = 2 a 22 a 2p ɛ 2 où l on a posé pour tout j [, p], f( e.... j ) = n a ij ɛ i.. i= a n a n2 a np ɛ n Cas particulier des endomorphismes : E = F Soit f L (E). On appelle matrice de f dans la base B E la matrice carrée notée Mat BE (f) M n (K) définie f(e ) f(e 2 ) f(e n ) a a 2 a n e a par Mat BE (f) = 2 a 22 a 2n e 2 où l on a posé pour tout j [, n], f( e.... j ) = n a ij e i.. i= a n a n2 a nn e n Exemples :. Soit f : R 3 R 2 définie par (x, y, z) R 3, f((x, y, z)) = (2x + z, x y). Déterminer la matrice de f dans les bases canoniques de R 3 et R Soit f : R n [X] R n [X] Déterminer la matrice de f dans la base canonique de R n [X] P P 3. soit E un espace vectoriel de dimension n, et B = ( e,..., e n ) une base de E. Déterminer la matrice de l application id E dans la base B. Comme deux applications linéaires sont égales ssi elles ont même image d une base, on obtient : Deux applications linéaires de E dans F sont égales ssi elles ont même matrice dans les bases B E et B F. Cas particulier des formes linéaires : dans ce cas F = K, donc la dimension de F est et la matrice de f est une matrice ligne. En général, on choisira () pour base de F. Exemples :. Donner la matrice de la forme linéaire T r : ( M 2 (R) ) R dans les bases canoniques respectives. a b a + d c d 2. Donner la matrice de la forme linéaire f : K n K dans les bases canoniques respectives. (x,..., x n ) n x k k= Réciproquement, si on fixe deux espaces vectoriels E et F, de dimension finie p et n et munis d une base, toute matrice de M n,p (K) peut être vue comme la matrice d une application linéaire de E dans F dans ces bases.

2 = X +X 2 et f(x 2 ) = X. D où par linéarité 0 0 Exemple : Soit la matrice A =, et soit f : R 2 [X] R 2 [X] l endomorphisme dont la matrice dans la 0 0 base canonique est A. but : déterminer pour tout P R 2 [X], f(p ). f() f(x) f(x 2 ) ( 0 0 ) Donc f() = +X, f(x) On sait A = X 0 0 X 2 de f, si P (X) = ax 2 +bx+c, f(p ) = af(x 2 )+bf(x)+cf() = ax+b(x+x 2 )+c(+x) = bx 2 +(a+b+c)x+c. Finalement : f : ax 2 + bx + c R 2 [X] bx 2 + (a + b + c)x + c R 2 [X]. Soit A M n,p (K) : on appelle application linéaire canoniquement associée à A l application : K p K n définie par A dans les bases canoniques. 0 Exemple :L application linéaire canoniquement associée à A = 2 est l application f L (R 2, R 3 ) définie 0 par f((, 0)) = (, 2, 0) et f((0, )) = (0,, ) càd telle que (x, y) R 2, f(x, y) = (x, 2x + y, y). On en déduit : Si E et F sont deux K-ev de dimension resp. n et p, les espaces L (E, F ) et M n,p (K) sont isomorphes. En particulier la dimension de L (E, F ) est n p = dim(e) dim(f ). 2 Matrices et vecteurs Soit E un espace vectoriel de dimension finie p et B E = ( e,..., e p ) une base de E. Alors tout vecteur x E peut s écrire x = x e x p e p. x La matrice Mat BE ( x) = est appelée matrice des coordonnées du vecteur x dans la base B E. x p Réciproquement, toute matrice colonne définit un vecteur x E à l aide de la relation précédente (donc écrit dans cette base). Exemple : Soit R 2 [X] muni de sa base canonique. Alors le polynôme P (X) = X 2 3 a pour matrice de 3 0 coordonnées 0 et la matrice définit le polynôme Q(X) = X X 2. Interprétation matricielle de l image d un vecteur par une application linéaire : Soit f L (E, F ), E et F munis de leur base respective B E et B F. On introduit M = Mat BF,B E (f), x E, X = Mat BE ( x), y F et Y = Mat BF ( y) Alors y = f( x) Mat BF ( y) = Mat BF,B E (f)mat BE ( x) Y = MX Vient de la définition du produit matriciel (en fait à l origine, les matrices ont été introduites à partir des applications linéaires! donc c est fait pour çà ) Ecrire x = x e x n e n. Alors f( x) = x f( e ) x n f( e n ). Chaque f( e i ) représente une colonne de M, et X =.... x n x 2

3 2 Exemple : Soit A = 0 0 et f l endomorphisme de R 3 canoniquement associé à A. Alors pour tout 2 x x + 2y + z (x, y, z) R 3, A y = z z x + 2y + z donc pour tout (x, y, z) R 3, f((x, y, z)) = (x + 2y + z, z, x + 2y + z). L écriture matricielle permet de gagner en concision dans la rédaction. Par exemple, pour la détermination du noyau, il suffit de résoudre le système MX = 0... exercice : Soit f : R 2 [X] R 2 [X] P XP (X) 2P (X) Après avoir vérifié que f est un endomorphisme de R 2 [X], donner la matrice de f dans la base canonique de R 2 [X]. Déterminer le noyau (de 2 façons différentes), et l image de f. 3 Produit matriciel et composition Soit E, F, G trois K ev de dimension finie, munis resp. des bases B E, B F et B G. Soit f L (E, F ) et g L (F, G). Alors Mat BG,B E (g f) = Mat BG,B F (g) Mat BF,B E (f). introduire x, y = f(x), z = g(y) = g f(x), A, B, X et Y. D après la section précédente on sait que y = f(x) Y = AX, z = g(y) = g f(x) Z = BY = BAX Vrai pour tout x donc pour tout X. : le produit matriciel a justement été défini pour que cette relation soit vraie ( ) Exemple : Soit A = 0 0 et B =, f : R 2 2 R 3 et g : R 3 R 2 les applications linéaires 2 canoniquement associées à ces matrices. Donner la matrice de f g et g f ainsi que leurs expressions analytiques. L énoncé devient un peu plus simple dans le cas des endomorphismes : Soit E un K ev de dimension finie et B une base de E. Soit f, g L (E), et M = Mat B (f), N = Mat B (g) les matrices associées. Alors : Mat B (g f) = Mat B (g) Mat B (f) c est-à-dire Mat B (g f) = N M. En particulier. f et g commutent (càd g f = f g) ssi M et N commutent (càd MN = NM). 2. Par itération, n N, f n = f f... f (n fois) a pour matrice associée M n. Réaliser que la formule du binôme version endomorphisme revient à la formule du binôme version matrices... 4 Isomorphismes et matrices inversibles soit f L (E, F ), avec E et F de même dimension. Alors f est un isomorphisme de E sur F ssi sa matrice M = Mat BF,B E (f) est inversible. Le cas échéant, la matrice de l isomorphisme réciproque f : F E est M : Mat BE,B F (f ) = ( Mat BF,B E (f) ) 3

4 . Dans le chapitre Ev de dimension finie, on a vu qu une application linéaire ne pouvait être un isomorphisme que si E et F étaient de même dimension. 2. Dans le chapitre Matrices, on a défini le caractère inversible que pour des matrices carrées : or il faut dim(f ) = dim(e) pour que la matrice d une application linéaire de E dans F soit carrée... Tout se tient! Posons n = dim(e) = dim(f ), alors M = Mat BF,B E (f) M n (K) (matrice carrée de taille n). Si f est un isomorphisme, alors f : F E existe et f f = id E et f f = id F. Posons N = Mat BE,B F (f ) ; d après les résultats de la section précédente, on sait que la matrice associée à f f est NM, celle associée à f f est MN, et que de plus celle associée à l identité de E ou de F est I n. On a donc trouvé une matrice N M n (K) telle que NM = I n = MN. Donc M est inversible d inverse M = N et f a pour matrice associée M. Réciproquement, si M est inversible, alors il existe une matrice M telle que MM = I n = M M. En posant g l application linéaire F E associée à M, on peut vérifier que g f = id E et f g = id F. Autrement dit f est un isomorphisme, et la matrice associée à g = f est M. L énoncé devient un peu plus simple dans le cas des endomorphismes : Soit E un K ev de dimension finie, f L (E), et M sa matrice associée dans une base de E. Alors f est un automorphisme de E (f GL(E)) ssi M est inversible (M GL n (K)). Le cas échéant, la matrice, dans la base B E de l automorphisme réciproque f est M, l inverse de M. Comme E est de dimension finie : f bijectif ssi f injectif ssi Kerf = {0}. On retrouve le résultat du chapitre Matrices ( point méthode) : M est inversible ssi l équation MX = 0 a pour unique solution X = 0. 5 Rang d une matrice Rappel : on a déjà défini le rang d une famille de vecteurs, ainsi que le rang d une application linéaire. Soit M M n,p (K). On introduit c,..., c p les vecteurs de K n définies par les colonnes de M dans la base canonique. On appelle alors rang de M, le rang de ( c,..., c p ) : rg(m) = rg( c,..., c p ) exemple :déterminer le rang de M = En pratique : penser aux opérations sur les lignes des matrices, pour simplifier les vecteurs colonnes, et deviner la dimension du vect associé... (ou passer par les opérations sur le vect, mais rédaction parfois plus longue). Soit f L (E, F ), et A sa matrice dans des bases fixées de E et F. Alors rg(f) = rg(a). Introduire une base de E : ( e,..., e p ). Alors on sait que rg(f) = dim(imf) = dim(v ect(f( e ),..., f( e p )) = dim(v ect( c,..., c p )) = rg(a). Car justement, A étant la matrice associée de f, ses vecteurs colonnes sont les images des vecteurs de la base choisie de E. : On en déduit. Si A M n,p (K) alors rg(a) min(n, p) (cf cours rg(f)) 4

5 2. Une matrice M M n (K) est inversible ssi son rang est rg(m) = n. (En effet si f est l endomorphisme canoniquement associé à M, alors M est inversible ssi f est bijectif ssi f est surjectif (dimension finie) ssi rg(f) = n ssi rg(m) = n). admis Soit A M n,p (K). Alors A et t A ont même rang. 5