Graphique de la fonction. Droite sécante aux axes x et y et ne passant pas par l origine. parallèle à l axe x. Hyperbole

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1 1) Snthèse des recherches : fonctions de référence s Equations cartésiennes Graphique de la fonction Représentations affine = a + b (a 0 et b 0) Droite sécante au aes et et ne passant pas par l origine linéaire de proportionnalité directe = a (a 0) Droite sécante au aes et et passant par l origine a >0 constante (pas premier d egr é) = b (où b est un réel) Droite parallèle à l ae (b < 0) inverse proportionnalité inverse 1 = où, 0 Hperbole inverse = a où, 0 et a 0 Hperbole CCN s : snthèse étoffée s 1

2 du second degré = a 2 + b + c Parabole du second degré «carrée» = a 2 où a 0 Parabole «racine carrée» = Demiparabole d ae horizontal cubique = a 3 +b 2 +c+d CCN s : snthèse étoffée s 2

3 . Notions 1) Définition Une fonction liant deu variables et est une relation qui, à toute valeur réelle de la variable, fait correspondre au plus (o ou 1) une valeur réelle de. Pas fonction Toute parallèle à coupe le graphique en 0 ou 1 point une parallèle à coupe le graphique en 2 points 2) Vocabulaire. ntécédent Image f est appelée la variable de la fonction. L image du réel par la fonction «f» est notée f () qui se lit «f de». = f () ou f : : = f() E : = 2 ou f () = 2 Lorsque les valeurs prises par et sont des nombres réels, on parle de fonction numérique d une variable réelle. Une fonction est définie en une valeur lorsque cette valeur a une image. 3) Représentation La correspondance entre ces deu gran deurs et peut être décrite par un tableau qui associe les diverses valeurs qui se correspondent : par un graphique (certains parlent de graphique cartésien), qui reprend, sous forme de coordonnées, les couples de valeurs qui se correspondent. par une formule mathématique qui montre le lien qui eiste entre ces deu grandeurs. Cette formule porte aussi le nom d équation du graphe cartésien de la fonction. Elle se note = CCN s : snthèse étoffée s 3

4 4) Graphique cartésien d une fonction Pour construire, point par point, le graphe cartésien d une fonction, il convient de rechercher la coordonnée de beaucoup de points tout en sachant que le résultat peut être approimatif. l aide d une calculatrice graphique, vous pouvez tracer le graphique cartésien de = ³ - D intervalle d abscisses [ 4 ; 4] D intervalle d abscisses [-1 ; 1] L ae des ordonnées est d intervalle [- 60 ; 60 ] L ae des ordonnées est d intervalle [- 1 ; 1 ] 5) Racine(s) d une fonction ou zéro(s) d une fonction Les variations de la fonction sont plus perceptibles. Une racine d une fonction = f () est une valeur de, qui annule est une racine de f ssi f() = 0 Pour trouver, à partir du graphique, les racines d une fonction, on repère l abscisse de chaque point d intersection de ce graphique avec l ae des abscisses. Racines : - 3,4 ; 2,2 ; 7 Coordonnées des racines : Une racine (certains disent un zéro) d une fonction d une variable réelle est un réel dont l image est 0. La coordonnée générale d une racine est (, 0) 6) Ordonnée à l origine (, )? 0 (., 0) L ordonnée à l origine est l ordonnée du point du graphique dont l abscisse égale 0 f (0) = ordonnée à l origine La coordonnée générale de l ordonnée à l origine est (0 ; ). 7) Points Un point appartient au graphique d une fonction lorsque ses coordonnées vérifient l équation du graphique. CCN s : snthèse étoffée s 4

5 C. s du premier degré ou fonctions affines (NM P 311/M P 268) 1) Notions a) Définition Une fonction du premier degré en est une fonction de la forme f : = a + b avec a 0 Sa représentation graphique (G f ) est..une droite dont l équation est = a + b. On écrit d = a + b Remarque : se lit «a pour équation». = a + b est appelée l équation cartésienn e d une fonction du premier degré. b) Ecriture est l'antécédent f est le nom de la fonction indique que les images sont placées sur l'ae des ordonnées = f() = a + b f() est l'image a et b sont deu nombres réels c) Présentation Une for me algébrique f() = 0,5 + 1 f : 0,5 + 1 Une fonction affine f() peut se présenter de différentes manières Un tableau de valeurs (li mité) f() 0,5 1 2,5 Une dr oite dans l e plan d) Classification du premier degré = a + b a 0 a = 0 b 0 b = 0 affine = a + b linéaire Proportionnalité directe = a constante Pas premier degré = b Droite ne passant pas par l origine et sécante au aes et Droite passant par l origine et sécante au aes et Droite parallèle à O CCN s : snthèse étoffée s 5

6 e) Coordonnées à l origine 1 ) Racine ou zéro de la fonction 2 ) Ordonnée à l origine La racine d une fonction du premier degré, appelée aussi zéro de la fonction, est la valeur de qui annule. Graphiquement, c est l abscisse du point d intersection de la droite avec l ae Pour trouver la racin e d une fonction du premier degré, il suffit donc de résoudre l équation cartésienne dans laquelle on a remplacé par zéro. L ordonnée à l origine est la valeur d lorsque vaut zéro. Graphiquement, c est l ordonnée du point d intersection de la droite avec l ae. (= terme indépendant) Pour trouver l ordonnée à l origine, il suffit donc de résoudre l équation cartésienne dans laquelle on a remplacé par zéro. a + b = 0 = a + b = - b/a = b Coordonnée : ( ; 0) (- b/a ; 0) Coordonnée : (0 ; ) (0 ; b) Eemple : = = Si = 0 alors = 0 = 2 = Si = 0 alors = = 4 (2 ; 0) (coordonnées de la racine) ( 0 ; 4) (coordonnées de l ordonnée à l origine) La racine de la fonction = est 2 L ordonnée à l origine est 4. f) Pente d une droite ou coefficient angulaire ou coefficient directeur de la droite La pente p eut se calcu ler p ar la formu le = = = f( ) f( ) N oublions pas que la pente est aussi le coefficient de et donc a = = Nous savons donc maintenant que : = a. + b Coefficient angulaire Coefficient directeur Pente de la droite Terme indépendant Ordonnée à l origine a = = «Ordonnée» où la droite coupe l ae O CCN s : snthèse étoffée s 6

7 g) Représentation graphique La représentation graphique d une fonction du premier degré est une droite. Une droite étant déterminée par 2 points distincts, il suffit de rechercher les coordonnées de 2 points appartenant à cette droite pour pouvoir la dessiner Dans l eemple précédent, la droite étant d équation = , On peut utiliser les points (o ; b) et (-b/a ; 0) Nous obtenons (o ; 4) et (2,0)qui sont des points de la droite. h) Croissance et décroissance En regardant de gauche à droite (sens de lecture), La fonction est croissante si, lorsque les abscisses augmentent, les ordonnées augmentent... La fonction est décroissante si, lorsque les abscisses augmentent, les ordonnées diminuent... Une fonction du premier degré du tpe = a+b est croissante lorsque a (coefficient de ) est positif... Une fonction du premier degré du tpe = a+b est décroissante lorsque a (coefficient de ) est négatif... Tableau de variation Tableau de variation f() f() i) Le point appartient ou n appartient pas? Il est possible de vérifier, de manière algébrique (=par le calcul), si un point appartient ou non à une droite. Il suffit que la coordonnée de ce point vérifie l équation de la droite. Eemple : = 2 1 Le point C (2 ; 3) appartient à la droite car = 3 Le point E (1 ; 1) appartient à la droite car = 1 Le point (3 ; 1) n appartient pas à la droite car CCN s : snthèse étoffée s 7

8 j) Droites parallèles d // d si et seulement si a = a Cas particuliers : droites parallèles au aes j h Si la droite est parallèle à l ae, alors la pente est nulle et l équation s écrit sous la fo rme = b Si la droite est parallèle à l ae alors la pente n eiste pas et l équation s écrit sous la fo rme = k Pente de la droite h = 0... mais ce n est pas une fonction Pente de la droite j = n eiste pas... k) Droites perpendiculaire d d si et seulement si a. a = -1 idée : la médiatrice d un segment est une droi te perpendiculaire au segment passant par le milieu. l) Droites aant le même terme indépendant Les droites aant la même ordonnée à l origine passent par le même point de l ae CCN s : snthèse étoffée s 8

9 m) Remarque : a + b + c = 0 L équation d une droite est donnée par une formule du tpe = a + b. C ependant, il peut arriver que dans l énoncé qui vous est donné, l équation ne soit pas aussi parlante et que vous deviez «l arranger» Eemple : de l équation = 0., on déduit la fonction f d équation = 0-3 = = = CCN s : snthèse étoffée s 9

10 a) Comment tr acer une dr oite en connaissant deu de ses points? Les deu points appartenant à la droite te sont : soit donnés dans l énoncé ; soit donnés à travers le graphique représenté (à toi de relever correctement les coordonnées!) ; soit à calculer au travers de l équation donnée de la fonction. 1 ) Eemple Considérons la droite d passant par le point M (-2 ; 3) et R (1 ;-1). Déterminer l équation de d. a=? L équation générale de (d) est : a. b M ( 2; 3) d et R (1; 1) d, donc a = ( 1) 3 1 ( 2) = 4 3 D où l epression de l équation de (d) : = b b=? M ( 2; 3) d donc les coordonnées du point M vérifient l équation de (d) = -. + b 3 = ( 4 ). ( 2) + b 3 b = = 1 3 L équation de la droite d est donc : ) nalser la démarche. 1- Qu est ce que je ch erche? L équation d une droite 2-Quelle est l epression générale d une équation de droite? = a. + b 3-Quels sont les paramètres inconnus? a et b 4-Quelle relation dois-je connaître pour trouver a? 5-Commen t faire pour trouver b? a = Je résous une équation du 1 er degré en b. 3 ) pprendre à vali der son résu ltat. a- Le graphique b- La calculatrice graphique vérifie la valeur de a sur le graphe vérifie la valeur de b sur le graphe Pour la casio, je lance le programme EQ-DROITE Pour la TI, je lance le programme CCN s : snthèse étoffée s 10

11 b) Tracer une droite en utilisation de l ordonnée à l o rigine et d e la pente (coefficient ang ulaire) Si nous connaissons le point d intersection de la droite avec l ae, il suffit de trouver sa pente pour pouvoir la représenter parfaitement. Or l ordonnée à l origine n est autre que b et la pente est donnée par a dans l équation cartésienne = a+b En pratique : pour représenter une droite dont l équation cartésienne est = a+b a) Partir de l ordonnée à l origine ( ce qui correspond à un point de la droite) b) vancer d une unité parallèlement à l ae et monter ou descendre d une valeur correspondant à la pente, on trouve un second point de la droite. c) Relier les deu points obtenus c) Chercher l équation d une droite en connaissant deu de ses points. (par un sstème d équations) Eemple : f est une fonction affine de la forme : f : =a + b Détermine a et b sachant que : f(3) = 1 et f(5) = 9 (3 ;1) (5 ;9) 1. Soit utilise les deu données du problème pour remplacer 1. Soit utilise les deu données du problème pour calculer a Puisque f(3) = 1 lors f() = a + b devient 1 = a. 3 + b Puisque f(5) = 9 lors f() = a + b devient 9 = a.5 + b a=? a = 1 9 = 3 5 _ 8 2 = 4 + b = 4 2. Résoudre le sstème de deu équations à deu inconnues ainsi obtenu : b=? 2. Remplace dans l équation trouvée par une des coordonnées soustrais les d eu équations pour éliminer b : (-) 5a + b = 9 3a + b = 1 2a = 8 5a + b = 9 3a + b = 1 «Injecte» la valeur d e a dans l une des deu équations pour obtenir b : 1 = 3a + b 1 = b (3 ;1) = 4 + b b = 1 b = 1 12 b = -11 OU (5 ;9) = 4 + b b = 9 b = 9 20 b = -11 a = 8 2 = 4 1 = 12 + b 1 12 = b -11 = b = 4 + (-11) = Conclusion : f : = 4 11 f : = 4 11 CCN s : snthèse étoffée s 11