Chapitre 4 : Réflexionetréfractiondelalumière

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1 Exercices Chapitre 4 : Réflexionetréfractiondelalumière E. On veut démontrer que lorsqu on tourne un miroir M d un angle, lerayonréfléchi est dévié d un angle. Pour y arriver, on dessine le trajet d un rayon lumineux provenant d une direction fixe avant () et après () que le miroir ait subi une rotation d un angle. Dans les deux figures, on fait appel à la loi de la réflexion et à l équation 4. du manuel pour fixer la direction dans laquelle repart le rayon lumineux : Onnotequelerayonréfléchi subit une déviation correspondant à =.Pour calculer cette déviation on rappelle que, dans la première figure, =.Deplus,sion compare les deux figures, on observe que =, ce qui permet d établir une valeur pour : = =( ) = = Et alors, = = = = CQFD E. Soit le montage suivant, composé de deux miroirs M et M disposés perpendiculairement : Afin d établir que les rayons incident et dévié sont parallèles et de sens opposés, on doit démontrer que = Comme 70 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5

2 = = =90 = = = CQFD E3. Deux des tracés sont obtenus par réflexion directe (, ), deux autres par réflexion sur les deux miroirs (3, 4) et le dernier par une triple réflexion (5). Dans ce dernier cas, les trois réflexions sont rapprochées et il est impossible de les dessiner correctement : E4. Pour trouver de quel angle s écartent les rayons incidents, on fait varier l angle entre les deux miroirs auxquels sont équivalents les côtés du prisme. On pose d abord que =0 de sorte que les rayons incidents effleurent les miroirs sans être déviés de la verticale ( =0 ) Selon l exercice, lorsque l un des miroirs est ensuite tourné d un angle 0 le rayon réfléchi est dévié du double, soit Puisque les côtés du prisme sont disposés symétriquement de part et d autre de la verticale, chacun étant tourné de les rayons incidents s écartent donc, après les réflexions, d un angle = = CQFD E5. On considère trois miroirs perpendiculaires deux à deux, ce qui constitue la cellule élémentaire d un cataphote. On choisit un système d axes tel que les miroirs sont disposés selon les plans et Un rayon lumineux incident de direction quelconque est décrit par r i = i + j + k Quand ce rayon atteint le premier miroir et s y réfléchit, l une des composantes de sa direction est perpendiculaire au plan du miroir et change de signe à cause du changement dans la direction de propagation de la lumière. Les deux autres composantes changent de signe àcausedelaréflexion. Comme le rayon lumineux se réfléchit sur les trois miroirs, le chanv5 Ondes, opt. et physique moderne, Chapitre 4 : Réflex. et réfrac. de la lumière 7

3 gement de signe a lieu trois fois. De sorte qu après trois réflexions, la direction du rayon réfléchi devient r f = i j k ce qui implique que r i = r f = CQFD E6. (a) Au moyen de l équation 4.4, on établit le rapport entre les deux longueurs d onde et les deux valeurs d indice, ce qui donne = 0 0 = = = = 33( ) ( ) = 50 (b) Avec l équation 4., on obtient = = = = = m/s E7. On calcule l angle d incidence avec l équation 4.3 : ³ sin = sin = =arcsin³ sin =arcsin 4sin(3 ) =479 Comme on peut s en rendre compte en combinant les figures 4.5 et 4. du manuel, l angle entre les rayons réfléchi et réfracté correspond à = (90 )=(90 )+(90 ) = = 80 (i) Si on insère les valeurs d angle, on obtient = = 00 E8. L équation (i) de l exercice 7 établit un lien entre l angle de déviation l angle d incidence et l angle de réfraction Pour =90 cette équation donne 90 = 80 = =90 Avec l équation 4.3 et l identité trigonométrique sin ( ) =sin cos cos sin, on obtient sin = sin = sin (90 )= cos = tan = = 567 = 5 = E9. La figure qui suit montre le trajet du rayon lumineux entre sa source et l observateur qui se trouve dans la barque : La distance parcourue dans l eau par le rayon indicent à =30 est et elle dépend de la profondeur, =3m. Comme = cos on calcule la première contribution à 7 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5

4 la distance horizontale qui sépare la source de l observateur : ³ = sin = cos sin = tan =3tan(30 )=73 m On calcule l angle de réfraction avec l équation 4.3 : ³ sin = sin = =arcsin³ sin =arcsin 33 sin(30 ) =47 La deuxième contribution à la distance horizontale se calcule de la même manière que : = tan = () tan (47 )=089 m Finalement, la distance horizontale totale est = + = = 6 m E0. Dans le logiciel Maple, on crée un ensemble pour le sinus des valeurs d angles fournies. Cet ensemble de valeurs (sin sin ) est ensuite porté en graphique : restart; data:=[[.39,.73], [.67,.34], [.38,.500], [.484,.64], [.573,.766], [.649,.866], [.73,.939], [.766,.984]]; with(plots): pointplot(data); Le graphe montre un alignement des points selon une droite. Au moyen de l équation 4.3, on constate que sin = eau sin La pente de la droite correspond donc à l indice de réfraction de l eau. Pour obtenir la pente de cette droite, on charge la librairie "CurveFitting" et on lance la commande qui permet d effectuer une régression linéaire des données : with(curvefitting): LeastSquares(data, x); Selon ces résultats, l indice de réfraction de l eau possède une valeur approximative de 3. E. Un rayon incident à angle sur une plaque de verre est dévié latéralement d une distance On reprend la figure 4.58 du manuel et on y ajoute quelques détails : v5 Ondes, opt. et physique moderne, Chapitre 4 : Réflex. et réfrac. de la lumière 73

5 Selon la figure, = cos quel oninsèredans = sin ( ) = = sin( ) cos = CQFD E. On insère les données de l énoncé dans l équation 4.5 et on trouve i sin c = a = i = a sin c = 33 sin(68 ) =43 Avec l équation 4., on obtient i = i = i = i = = 0 08 m/s E3. On insère les données de l énoncé dans l équation 4.5 et on trouve ³ i sin c = a = c =arcsin³ a i =arcsin 33 =488 Si la profondeur est de =m, le rayon du cercle qui délimite la zone sans réflexion totale interne est déterminé par la composante du trajet lumineux projeté à la surface de l eau. Si on utilise la portion de la figure de la solution de l exercice 9 qui montre le trajet sous l eau, on note que tan c = = = = tan c =tan(488 )= 8 m E4. (a) Si l indice de réfraction du milieu inconnu est supérieur à celui de l hémisphère transparent ( ), tout rayon lumineux, quelle que soit la valeur de, seraréfléchi et réfracté à l interface entre les deux milieux. Il n existe alors aucune manière simple de déterminer, il faut procéder à la mesure des angles d incidence et de réfraction. Toutefois, si,lasituationestdifférente. Lorsqu un rayon se propageant selon l axe de l hémisphère ( =0 ) arriveàl interface,ilestréfléchi et réfracté. Pour toute valeur non-nulle de, l angle du rayon réfracté sera toujours supérieur à.enaugmentant la valeur de, on atteint la situation critique pour laquelle il se produit réflexion totale interne. Ainsi, la valeur de peut être obtenue lorsqu on observe ce phénomène en ne mesurant que la valeur de l angle d incidence. (b) Si la situation décrite au paragraphe précédent se produit, on a = c. Dans l équation 74 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5

6 4.5, i = et a = de sorte que i sin c = a = = sin E5. On insère les données dans l équation 4.5, ce qui donne l angle critique pour l interface entre la fibre et l air : ³ i sin c = a = c =arcsin³ a i =arcsin 5 =48 On considère l angle d incidence le plus élevé à l entrée dans la fibre, soit =90 On calcule l angle du rayon réfracté au moyen de l équation 4.3 : sin = sin = =arcsin³ sin =arcsin ³ sin(90 ) 5 =48 Sur la paroi de la fibre, le rayon fera un angle =90 =90 48 =48 Comme c pour ce cas et pour toute autre valeur de on conclut qu il y aura réflexion totale interne pour toutes les valeurs d angle d incidence = CQFD E6. On reprend la figure 4.60 du manuel et on y dessine le trajet du rayon lumineux jusqu à sa sortie, sur la face inférieure : La géométrie de la figure permet d affirmer que = =30 On calcule ensuite l angle du rayon lumineux à la sortie au moyen de l équation 4.3 : sin = sin = (5) sin =sin = =arcsin((5) sin (30 )) = 486 par rapport à la verticale E7. Pour un prisme dont l angle au sommet est de =60 l angle minimal de déviation est de min =4 On calcule l indice de réfraction du prisme au moyen de l équation obtenue à l exemple 4.7 du manuel, ce qui donne µ µ = sin +min 60 = sin +4 =54 µ sin µ 60 sin Avec l équation 4., on obtient v5 Ondes, opt. et physique moderne, Chapitre 4 : Réflex. et réfrac. de la lumière 75

7 = = = = = m/s E8. L équation 4.3 appliquée à l interface gauche du prisme de la figure 4.9 du manuel permet d écrire que eau sin = prisme sin Toutefois, comme on traite le cas de la déviation minimale, on montre à l exemple 4.7 que = min + et que = Dès lors, avec =60 l équation 4.3 s écrit ³ ³ eau sin min + = prisme sin = sin ³ ³ min + prisme =arcsin eau sin = ³ ³ prisme min =arcsin eau sin =arcsin ³ ³ min + = prisme eau sin ³ 6 33 (05) 60 = 40 E9. On reprend la figure 4.6 du manuel et on y dessine le trajet des rayons lumineux après qu ils ont pénétré dans le prisme, ce qui donne = Les rayons sont intervertis, le montage peut donc servir à inverser une image. E0. Oncalculelepouvoirdispersif d à partir de l équation de la donnée : d = B R J = = E. On constate, à la figure 4.63 du manuel, que le rayon lumineux frappe les deux parois intérieures du prisme à un angle de 45 (a) On trouve la valeur minimale de l indice de réfraction du prisme en posant que c =45 dans l équation 4.5, où a =: i sin c = a = i = a sin c = sin(45 ) = (b) On reprend le même calcul avec a =33 : i = a sin c = 33 sin(45 ) = 88 E. L équation 4.3 appliquée à l interface gauche du prisme de la figure 4.9 du manuel permet 4 d écrire que eau sin = prisme sin Toutefois,commeontraitelecasdeladéviation minimale, on montre à l exemple 4.7 que = Dès lors, avec =60 l équation 4.3 s écrit 76 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5

8 air sin = prisme sin = sin = prisme sin ³ ³ ³ = =arcsin prisme sin = =arcsin((6) sin (30 )) = 53 E3. La figure qui suit définit les angles et montre le trajet du rayon lumineux à travers le prisme : Avec =45 on calcule l angle de réfraction sur la première face au moyen de l équation 4.3 : air sin = prisme sin = sin = sin prisme = ³ =arcsin³ sin prisme =arcsin sin(45 ) 5 =8 Selon la figure qui précède, l angle d incidence sur la deuxième face est de =39 Toujours avec l équation 4.3, on calcule le deuxième angle de réfraction : prisme sin ( ) = air sin = =arcsin( prisme sin ( )) = = arcsin ((5) sin (39 )) = 54 Le rayon lumineux subit une première déviation qui correspond à un angle et une seconde déviation de ( ) La déviation totale estdoncde =( )+( ( )) = (45 8 )+(54 39 )= 374 E4. Pour les petits angles, on a sin On suppose que le rayon incident frappe la face gauche du prisme avec un angle qui se rapproche de la normale à cette face. L équation 4.3 donne alors air sin = prisme sin = = (i) On voit, dans la figure de l exercice précédent, que l angle d incidence sur la deuxième face est de Toujours avec l équation 4.3, si est le deuxième angle de réfraction et que tous les angles sont petits, on note que prisme sin ( ) = air sin = = ( ) (ii) Toujours selon l exercice 3, la déviation totale est donnée par =( )+( ( )) Si on insère les équations (i) et (ii) dans cette équation, on obtient v5 Ondes, opt. et physique moderne, Chapitre 4 : Réflex. et réfrac. de la lumière 77

9 =( )+( ( ) ( )) = =( ) = CQFD E5. La figure qui suit définit les angles et montre le trajet du rayon lumineux dans le cas critique : Comme + =90 on note que cos =sin Ainsi, si on applique l équation 4.3 à la première face du prisme, on obtient air sin = prisme sin = cos = prisme sin (i) Comme on peut le constater pour le triangle formé par et c la relation entre les angles est 80 c = 80 = = c (ii) Si on insère le résultat (ii) dans l équation (i), on obtient cos = prisme sin ( c ) = CQFD E6. On donne =40cm, donc = =0cm. (a) Avec =5cm dans l équation 4.8, on obtient ³ + = = = = 0 cm 5 cm = = 600 cm On calcule le grandissement linéaire avec l équation 4.9 : = 60 cm = 5 cm = =400 Le tracé de deux des rayons principaux donne (b) Avec =60cm dans l équation 4.8, on obtient 78 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5

10 ³ + = = = = 0 cm 60 cm = =300 cm On calcule le grandissement linéaire avec l équation 4.9 : = 30 cm = 60 cm = = 0500 Le tracé de deux des rayons principaux donne E7. On donne = 40 cm, donc = = 0 cm. (a) Avec =5cm dans l équation 4.8, on obtient ³ + = = = ³ = 0 cm 5 cm = = 857 cm On calcule le grandissement linéaire avec l équation 4.9 : = 857 cm = 5 cm = =057 Le tracé de deux des rayons principaux donne (b) Avec =40m dans l équation 4.8, on obtient ³ + = = = ³ = 0 cm 40 cm = = 33 cm On calcule le grandissement linéaire avec l équation 4.9 : = 33 cm = 40 cm = =0333 Le tracé de deux des rayons principaux donne v5 Ondes, opt. et physique moderne, Chapitre 4 : Réflex. et réfrac. de la lumière 79

11 E8. On donne =40cm, O =cm et I =36 cm. Selon l équation 4.9, le grandissement linéaire est = I O = 36 cm cm =8 (a) Un miroir convexe produit toujours une image plus petite que l objet, donc il s agit d un miroir concave. (b) On calcule directement au moyen de l équation 4.9 : = = = = (8) (40 cm) = 70 cm (c) On calcule directement au moyen de l équation 4.8 : = + = 40 cm + 70 cm = = 900 cm E9. On donne =60cm et I =04 O. Comme l image est réelle, 0donc 0 ou encore = 04. La valeur du grandissement linéaire étant connue, on peut calculer la position de l image : = = = = ( 04) (60 cm) =4cm On calcule ensuite le rayon de courbure en combinant les équations 4.7 et 4.8 : = + = 60 cm + 40 cm = = 343 cm E30. On donne =30cm et I =5 O (a) Si l image est droite, on a 0 ou encore =5 et l équation 4.9 s écrit = = = 5 On insère ensuite cette relation dans l équation 4.8 : = + = + 5 = (06) = =(06) =(06) (30 cm) = 80 cm Le tracé de deux des rayons principaux donne 80 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5

12 (b) Si l image est renversée, on a 0 ou encore = 5 et l équation 4.9 s écrit = = =5 On insère ensuite cette relation dans l équation 4.8 : = + = + 5 = (4) = =(4) =(4) (30 cm) = 40 cm Le tracé de deux des rayons principaux donne E3. On donne = 30 cm et =04 L équation 4.9 permet d écrire que = = = 04 On insère ensuite cette relation dans l équation 4.8 : = + = + 04 = ( 5) = =( 5) =( 5) ( 30 cm) = 450 cm E3. On donne =cm et = 3 On peut calculer la position de l image avec l équation 4.9 : = = = = ( 3) ( cm) =704 cm On insère ensuite ces valeurs dans l équation 4.8 : = + = cm cm = = 68 cm Le tracé de deux des rayons principaux donne v5 Ondes, opt. et physique moderne, Chapitre 4 : Réflex. et réfrac. de la lumière 8

13 E33. On donne = 6 cm, donc = = 8 cm, et =0333 (a) L équation 4.9 permet d écrire que = = = 0333 On insère ensuite cette relation dans l équation 4.8 : = + = = ( 00) = =( 00) =( 00) ( 8 cm) = (b) On reprend l équation 4.9, ce qui donne 60 cm = = = 0333 (60 cm) = 533 cm E34. On donne =3 cm et =04 (a) On peut calculer la position de l image avec l équation 4.9 : = = = = (04) (3 cm) = 8 cm (b) On insère ensuite les valeurs obtenues en (a) dans l équation 4.8 : = + = 3 cm + 8 cm E35. On donne =0cm et I =4 O = = 3 cm Si l image est inversée, ona0 ou encore = 4 et l équation 4.9 permet de calculer la position de l image : = = = ( 4) (0 cm) =8cm On insère ensuite ces valeurs dans l équation 4.8 et on trouve la première valeur de la distance focale : = + = 0 cm + 8 cm = = 7 cm Si l image est droite, ona0 ou encore =4 et l équation 4.9 permet de calculer l autre position de l image : = = = (4) (0 cm) = 8 cm On insère ensuite ces valeurs dans l équation 4.8 et on trouve la seconde valeur de la 8 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5

14 distance focale : = + = 0 cm + 8 cm = = 700 cm E36. On donne =60cm et 0 (a) Si 0 et que I =06 O,ona = 06, et l équation 4.9 permet de calculer la position de l image : = = = ( 06) (60 cm) =360 cm On calcule ensuite le rayon de courbure en combinant les équations 4.7 et 4.8 : = + = 60 cm cm = = 450 cm (b) Si 0et que I =5 O,ona = 5, et l équation 4.9 permet de calculer la position de l image : = = = ( 5) (60 cm) =750 cm On calcule ensuite le rayon de courbure en combinant les équations 4.7 et 4.8 : = + = 60 cm cm = = 667 cm (c) Si 0et que I =80 O,ona =80, et l équation 4.9 permet de calculer la position de l image : = = = (80) (60 cm) = 08 cm On calcule ensuite le rayon de courbure en combinant les équations 4.7 et 4.8 : = + = 60 cm + 08 cm = = 70 cm E37. Bien qu il s agisse ici d un miroir et non d une lentille, cette situation est similaire à celle quedécritlafigure 5.30 du manuel et qui traite de l image formée par les télescopes. Si l objet se trouve loin du miroir, la lumière en provenance de tous ses points forment des familles de rayons quasi parallèles entre eux. Pour chaque point et en particulier pour celui qui se trouve au sommet de l objet, ces rayons convergent au foyer du miroir, à une certaine distance au-dessous de l axe optique, et l image réelle y apparaît, comme dans cette figure : v5 Ondes, opt. et physique moderne, Chapitre 4 : Réflex. et réfrac. de la lumière 83

15 (a) Comme on peut s en rendre compte en examinant le rayon lumineux qui frappe le centre du miroir, l angle quesous-tendl imageparrapportaumiroirestlemêmequeceluique sous-tend l objet ( O =) situé à une distance du miroir. Dès lors, comme tan = I et tan = O I = on arrive à = = I = = CQFD (b) On donne =68 met = m. Comme la distance Terre-Lune correspond à = m, on obtient I = = (74 06 )(68) = 5 cm E38. Le délai en temps nécessaire à la lumière pour parcourir une distance équivaut à =,où = m/s. (a) Pour = m, on obtient = = = 8 s (b) Pour =5 0 m, on obtient = = =500s = 833 min E39. (a) Une année-lumière (a.l.) correspond à la distance que franchit la lumière durant an : = = m/s ³ ³ ( an) 3654 j an s j = m (b) En années-lumière, la distance Terre-Soleil correspond à = 5 0 m ³ = a.l. a.l m E40. Selon la méthode Römer, on calcule la vitesse de la lumière en faisant le rapport entre le rayon de l orbite terrestre ( T ) et la moitié du délai ( orb =min) de variation des éclipses, ce qui donne T = = 5 0 = 7 orb ( min) 08 m/s E4. Dans l expérience de Michelson, le temps requis pour un tour complet avec =35km 84 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5

16 est = = (35 04 ) = s 8 Le prisme doit effectuer 8 tour pendant la durée ce qui donne la fréquence = 8 = 536 tr/s E4. Dans l expérience de Fizeau, une roue ayant 360 dents doit effectuer 360 tour en = = (4 03 ) 3 0 = s 8 La fréquence de rotation est alors de = 360 = 04 tours/s E43. sin = sin = 3 sin 3 = () sin (30 )=(33) sin =(5) sin 3 = 3 =95 = = 05 E44. sin (45 )=(5) sin = =306 = = = m/s E45. On calcule d abord l angle eau-v que forme le rayon lumineux par rapport à la verticale, dans l eau : ³ sin (75 )=(33) sin eau-v = eau-v =arcsin sin(75 ) 33 =4657 Commelevaseestcylindrique,toutenormaleàla paroi est perpendiculaire à celle de la surfaceetcemêmerayonformeunangle eau-p =90 eau-v =4343 par rapport à la normale à la paroi. La lumière traverse alors les deux interfaces qui la conduise dans le verre, puis l air. Comme ces deux interfaces sont parallèles, on peut omettre le calcul dans le verre et obtenir directement la valeur de l angle apparaissant à la figure 4.66 du manuel : (33) sin eau-p =()sin air = air =arcsin((33) sin (4343 )) = 66 E46. sin (60 )= = = 5 E47. L angle de réfraction dans la lame de verre est calculé à partir de l équation 4.3. On donne 400 nm =66 et 700 nm =6, desortequ avecsin (40 )= sin, oncalcule 400 nm =78 et 700 nm =353, l angle que font chacun des deux rayons par rapport à la normale après leur entrée dans la lame de verre. Chacun des deux rayons touche la deuxième face à une distance de la première normale qui est donnée par 400 nm =(4) tan 400 nm =0078 cm ou 700 nm =(4) tan 700 nm =0450 cm La distance entre les deux rayons mesurée sur la deuxième face est donc v5 Ondes, opt. et physique moderne, Chapitre 4 : Réflex. et réfrac. de la lumière 85

17 = 700 nm 400 nm =0037 cm. correspond à l hypothénuse du triangle qui contient la distance perpendiculaire entre les deux rayons sortants, telle qu elle apparaît dans la figure On calcule cette distance gràce à = sin (50 )= 0085 cm E48. sin (45 )(55) sin = =7 et 0 =45 7 =79 = (55) sin (79 )=sin = = 85 E49. Au moyen de la figure 4.9, on obtient sin =(6) sin (5 ) = =46 = =( ) = 93 E50. On utilise la technique des miroirs virtuels pour prolonger les miroirs réels M et M De cette façon, on arrive à former toutes les images possibles en les disposant à distance égaledepartetd autredesmiroirs.ontrouvelespremièresimagesi et I puis les images de ces images, respectivement I 3 et I 4 et finalement I 5, qui est à la fois l image de I 4 et de I 3 : Pour un angle de séparation =60 entre les miroirs, on observe qu il y a en effet = 5 images produites. Cette relation se vérifie pour d autres valeurs d angle 360 E5. On utilise la technique des miroirs virtuels. De cette façon, on arrive à former toutes lesimagespossiblesenlesdisposantàdistanceégaledepartetd autredesmiroirs.on 86 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5

18 trouve les premières images I et I puis les images de ces images, respectivement I 3 et I 4 : E5. = =3 = = 3 Avec + = 36 cm = 3 = 36 cm = = 40 cm E53. = = 3 = = 3 Avec + = 4 cm = 3 = 4 cm = = 480 cm E54. = =4 = = 4 Avec + = = = 40 cm E55. 0 cm + 4 cm = = =35cm = 0 cm + = 35 cm L image est virtuelle. = = 476 cm et =34 E56. 7 cm + 59 cm = = =0cm = 5 cm + = 0 cm E57. =tan(05 ) = = tan (05 )= m E58. (a) + 60 cm = 60 cm (b) = = 00 = = 300 cm = = 300 cm Problèmes P. En vertu de la loi de Snell-Descartes, on a pour =0cm, =33 et r =5 : sin r = sin i = sin (5 )=(33) sin i = i =376 v5 Ondes, opt. et physique moderne, Chapitre 4 : Réflex. et réfrac. de la lumière 87

19 Pour trouver la profondeur apparente on observe géométriquement que = cos i et = sin i = = tan i = tan r = = tan r = tan i tan r = = 75 cm P. On cherche la hauteur d eau dans la piscine afin que l image de la pièce parvienne à l observateur. La géométrie du problème est alors déterminée par la position de ce dernier : tan = 4 = = =634 et (33) sin =sin = =43 On observe, au niveau de l interface entre l eau et l air, que tan = 5 4 = = 4 =5 et =tan =tan(43 )=0909 = =5 = ( 0909) = = = 096 m P3. Un rayon incident à angle sur une plaque de verre est dévié latéralement d une distance : 88 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5

20 On établit directement au moyen de cette figure la relation entre et : = sin ( ) où = cos = = cos sin ( ) où la relation entre et correspond à la loi de Snell-Descartes, qui s écrit avec la condition «est petit» selon les approximations suivantes : sin = sin avec sin = = pour et en radians La condition «estpetit»impliquedeplusque est petit aussi (car sin = sin sin ), donc = cos = ( ) = + = = = CQFD P4. On considère une plaque de verre d épaisseur =4 cm et les indices de réfraction pour les lumières rouge et bleu, R =58 et B =6 (a) L angle entre les rayons réfractés dans la plaque pour un angle d incidence =30 est R sin R =sin(30 ) = (58) sin R =05 = R =84487 et (6) sin B =05 = B =79774 = = 047 (b) On utilise l équation obtenue à l exercice et on obtient, avec, R et B = sin( ) cos = R =05066 cm et B =0556 cm = = 090 mm P5. Dans le logiciel Maple, on définit l expression de la loi de Snell-Descartes pour =33 et =, et dans laquelle on isole l angle de réfraction. L équation est modifiée pour que les angles soit fournis et calculés en degrés : restart; eq:=n*sin(i*pi/80)=sin(r*pi/80); r:=solve(eq,r); n:=.33; i:=; evalf(r); On calcule ensuite les angles de réfraction et 0 pour les angles d incidence et + v5 Ondes, opt. et physique moderne, Chapitre 4 : Réflex. et réfrac. de la lumière 89

21 du tableau ci-dessous. On obtient Ce qui donne la figure qui suit si on trace les rayons réfractés en les prolongeant vers l arrière de façon à déterminer les profondeurs apparentes aux points d intersection. La courbe ainsi définie par les points-images est appelée caustique. Partant de la verticale au-dessus de l eau, un observateur qui se déplace verra la position apparente de l objet immergé se déplacer le long de la caustique. P6. Considérant que l équation des miroirs est l expression d une fonction (), on calcule la dérivée de cette équation par rapport à la variable indépendante : ³ ³ ³ ³ ³ + = = =0 = = = CQFD P7. On utilise le résultat de l exercice où l on développe le sinus d une différence : = sin( ) cos = cos (sin cos cos sin ) = cos sin sin cos Avec les relations sin = sin et cos = sin, on obtient directement µ = sin r cos sin = = sin cos sin = CQFD P8. Entre les deux milieux d indices et 0 la réflexion totale interne survient dans le cylindre pour un angle d incidence supérieur ou égal à c Cet angle d incidence c est complémentaire à l angle, qui est lui-même lié à l angle d incidence par la réfraction initiale à l interface entre les milieux d indices 0 et. 90 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5

22 Pour la réflexion totale interne à l interface ( 0 ) on a sin c = 0. Pour la réfraction initiale à l interface ( 0 ) on a 0 sin = sin. Or, =90 c = 0 sin = sin (90 c )= cos c (a) Avec les relations sin c = 0 et cos c = sin c, on obtient directement cos c = p r ³ sin c et sin c = 0 = cos c = 0 = r ³ 0 sin = cos c = 0 = 0 sin = 0 = CQFD (b) Le cas particulier d une fibre optique entourée d air donne sin = sin = cos c = p q sin c = = sin = P9. Le principe de Fermat appliqué à la réflexion sur un miroir stipule que la lumière emprunte le chemin optique qui minimise le temps de parcours entre deux points et On paramétrise tous les chemins optiques possibles avec un point d incidence repéré par la variable sur le miroir. On cherche ensuite l expression du temps de parcours en termes de et, etils agitdemontrerqueletempsminimalcorrespondàlaloideréflexion, = (a) L expression du temps de parcours est = + = = + + ( ) + = CQFD (b) Avec la condition d un délai minimal et au moyen de la figure 4.73, on trouve =0 = = =0 = ( ) + sin sin =0 = sin =sin = = = CQFD P0. Le principe de Fermat appliqué à la réfraction à l interface entre deux milieux stipule que la lumière emprunte le chemin optique qui minimise le temps de parcours entre et. (a) On paramétrise tous les chemins optiques possibles avec un point d incidence repéré par et on exprime le temps de parcours dans chaque milieu par = + = = + ( ) + + = CQFD (b) Avec la condition d un délai minimal et au moyen de la figure 4.74, on trouve =0 = = ( ) + =0 = sin sin =0 = sin = sin = CQFD P. La figure 4.75 décrit la formation de l arc-en-ciel principal, où, après avoir subi une réflexion, la lumière est de nouveau dispersée lorsqu elle sort de la goutte. v5 Ondes, opt. et physique moderne, Chapitre 4 : Réflex. et réfrac. de la lumière 9

23 (a)chaqueréflexion correspond à un changement de direction de ( ), etlaréflexion correspond à un changement de direction de ( ). La déviation totale est donc =( )+( ) = = + 4 = CQFD (b) Pour montrer que possède une valeur minimale, on calcule = 4 =0 = = 4 = En dérivant par rapport à l équation sin = sin, onobtient (sin ) = ( sin ) = cos = cos = cos = cos =4cos Avec sin = sin et l identité sin +cos = applicable aux deux angles, on obtient q cos = 3 où = 4 3 = =594 sin = sin = =40 et ( 4) = 40 = = 80 4 = CQFD P. La figure 4.76 décrit la formation de l arc-en-ciel secondaire, où, après avoir subi deux réflexions, la lumière est de nouveau dispersée lorsqu elle sort de la goutte. (a) Chaque réflexion correspond à un changement de direction de ( ), et les deux réflexions correspondent à un changement de direction de ( ). La déviation totale est donc =( )+( ) = + 6 (b) Pour montrer que possède une valeur minimale, on calcule = 6 =0 = = 6 = 3 En dérivant par rapport à l équation sin = sin, onobtient (sin ) = ( sin ) = cos = cos = cos 3 = cos =9cos Avec sin = sin et l identité sin +cos = applicable aux deux angles, on obtient cos = q 8 = cos = 8 = CQFD 9 Ondes, optique et physique moderne, Chapitre 4 : Réflexion et réfraction de la lumière v5