Le capital économique chez les assureurs : cycle des assurances et catastrophes naturelles (modélisation, évaluation)

Transcription

1 ZEBRET KONAN HAGOUAGN RIN Le capital économique chez les assureurs : cycle des assurances et catastrophes naturelles (modélisation, évaluation) Essai présenté À la Faculté des études supérieures de l Université Laval Dans le cadre du programme de maîtrise en ingénierie financière Pour l obtention du grade de maitre ès sciences (M.Sc) FACULTÉ DES SCIENCES DE L ADMINISTRATION UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC 30 décembre 2011 Zebret Hagouagn rin, 2011

2 ii Avant-propos Cet essai représente la dernière étape de mon parcours académique. Au cours de ces années d étude, j ai reçu le support de plusieurs personnes sans qui je n aurais jamais pu faire des études supérieures et finalement déposer cet essai. Ma famille, mes amis ainsi que mes collègues de classe ont chacun contribué à leur manière à la réalisation de cet essai. Je tiens à les remercier chaleureusement pour leur support. Je tiens également à remercier M. Van Son Lai, mon directeur d essai, ainsi que M. Issouf Soumaré pour leur encadrement dans la réalisation de ce travail. Leur enseignement ainsi que le temps qu ils m ont accordé m auront permis d approfondir mes connaissances en finance et plus précisément sur le sujet de l essai. Finalement, j assume l entière responsabilité des erreurs pouvant se retrouver dans ce document. Bonne lecture!

3 iii À ma mère, Jacqueline.

4 iv Tables des matières Avant-Propos ii Tables des matières iv Liste des tableaux vi Tables des figures vii 1 Introduction 1 2 Le cycle des assurances Théories du cycle des assurances Approches de la modélisation du cycle des assurances..8 3 Le modèle d affaires Modélisation du cycle des assurances Modélisation des actifs et des réclamations de l assureur Illustration du cycle des assurances Solvabilité et rentabilité Mesures de risques et capital économique Analyse du capital économique, de la profitabilité et de la solvabilité d un assureur.. 23

5 v 5 Application aux risques de catastrophes naturelles Modélisation des risques de catastrophes naturelles Effet de la diversification dans le cas des risques de catastrophes naturelles Analyse de l effet du cycle des assurances dans le cas d un risque de catastrophe naturelle (cyclone) Conclusion 38 Bibliographie 40 Annexe A : Démonstration de la solution des EDS (3.4) et (3.6) 44 Annexe B : Analyse des paramètres du cycle d assurance 46 Annexe C : Analyse de la solvabilité et de la rentabilité 47 Annexe D : Calibration du modèle des catastrophes naturelles 50 Annexe E : Diversification dans le cas des catastrophes naturelles 53

6 vi Liste des tableaux Tableau 1 : d affaires...19 Tableau 2 : analyse de la solvabilité et de la rentabilité en fonction de l état initial du cycle.25 Tableau 3 : analyse de la solvabilité et de la rentabilité 25 Tableau 4 : fréquence (annuelle) des catastrophes naturelles Tableau 5 : test d adéquation du Khi deux...29 Tableau 6 : sévérité des catastrophes naturelles...29 Tableau 7 : test d adéquation de Kolmogorov Smirnov..30 Tableau 8 : Statistiques de l échantillon...30 Tableau 9 : Probabilité de dépassement 31 Tableau 10 : signe de la différence des VaR en fonction du nombre d assurés...33 Tableau 11 : analyse de la solvabilité et de la rentabilité en fonction de l état initial du cycle (catastrophe naturelle : cyclone)...36 Tableau 12 : analyse de la solvabilité et de la rentabilité (catastrophe naturelle : cyclone).36

7 vii Table des figures Figure 1 : Taux de chargement sur une période de 15 ans Figure 2 : Taux de réclamation sur une période de 15 ans 18 Figure 3 : Montant des primes encaissées sur une période de 15 ans...19 Figure 4 : probabilité de dépassement...31 Figure 5 : probabilité de ruine en fonction du nombre d assurés..33 Figure 6 : probabilité de ruine en fonction du nombre de portefeuilles de catastrophes naturelles..34

8 1 Chapitre 1 Introduction Le projet Solvabilité II est une réforme réglementaire européenne du monde de l'assurance. Dans la lignée de Bâle II, son objectif est de mieux adapter les fonds propres exigés des compagnies d'assurances et de réassurance avec les risques que celles-ci encourent dans leur activité. Cependant, chaque assureur et réassureur doit être à même de comprendre les risques inhérents à son activité afin de pouvoir allouer suffisamment de capital pour les couvrir. Dans ce cadre, il y a un besoin croissant de développer des modèles internes pour estimer les engagements de l assureur. Dans le contexte des assurances non vie, il est crucial d évaluer correctement les risques provenant de différentes sources tels que le risque de souscription avec une référence particulière à la prime et aux réserves et les risques de catastrophes. Les spécifications techniques dans les «Quantitatives Impact Studies 4» (QIS 4, voir CEIOPS 2007) décrivent le risque de souscription comme le risque spécifique découlant des contrats d assurance. Il se rapporte à l incertitude concernant les résultats techniques de l assureur. Par contre, le QIS4 ne définit aucune exigence de capital supplémentaire pour le cycle d assurance. Aussi, il est à noter que le cycle d assurance contribue à une volatilité artificielle des résultats techniques en dehors du domaine statistique du risque d assurance (Meyers [29]). Par conséquent, le cycle d assurance devrait être considéré pour le développement de modèles internes sous Solvabilité II car la volatilité supplémentaire engendrée par celui-ci pourrait entrainer une exigence de capital plus élevée.

9 2 Le but de cet essai est d évaluer le capital économique d un assureur en présence d un cycle d assurance et d un risque catastrophique. Cependant, les principales questions auxquelles nous répondrons sont les suivantes : comment modéliser le cycle d assurance, les risques et le comportement de l assureur durant le cycle? Quel est l effet de la diversification dans le cas des catastrophes naturelles? Quel est l impact du cycle d assurance sur le capital économique, la solvabilité et la rentabilité d un assureur dans le cas d un risque non catastrophique et d un risque catastrophique? Afin de répondre à ces questions nous présentons un modèle pour analyser l impact du cycle d assurance sur le capital économique, la solvabilité et la rentabilité d un assureur. Le modèle permet à l assureur de varier son taux de chargement (chargement de sécurité) en réponse au cycle d assurance avec un paramètre de stratégie qui indique dans quelle mesure l assureur suit le taux de chargement qui prévaut sur le marché. Le taux de réclamation de l assureur est aussi variable pour refléter les changements d exposition qui résultent de sa stratégie d affaires. Nous n avons pas l intention d étudier ici les causes du cycle d assurance. Plutôt, nous examinerons le comportement de l assureur lorsqu un cycle d assurance se produit. Cet essai est organisé de la manière suivante. Le chapitre 2 présente le cycle des assurances c est-à-dire les différentes théories sur le cycle des assurances et les approches de modélisation du cycle. Dans le chapitre 3, nous présentons notre modèle. Le modèle incorpore le cycle d assurance, l évolution des actifs et des engagements (pertes) de l assureur. Dans le chapitre 4, nous présentons les méthodes de calcul du capital, les mesures de solvabilité et de performance de l assureur. Aussi nous utilisons ces mesures pour analyser l impact du cycle d assurance dans le cas des risques non catastrophiques. Au chapitre 5, nous modélisons les risques de catastrophes naturelles, analysons l effet de la diversification dans le cas de ces risques, ainsi que l impact du cycle d assurance dans le cas d un risque de catastrophe naturelle à l aide de simulations Monte Carlo. Le chapitre 6 conclut l essai.

10 3 Chapitre 2 Le cycle des assurances La tendance pour les assureurs à traverser des périodes rentables et non rentables au cours du temps est communément appelée cycle des assurances ou cycle de souscription. Comme Stewart et al [35] le soulignent, la compétition entre les assureurs se traduit généralement par le prix (prime d assurance) que ceux-ci proposent. Dû au fait que l accès au marché des assurances est facile et au fait que les assureurs ne peuvent pas protéger ni breveter leurs produits, tous les assureurs se retrouvent quasiment avec les mêmes produits. Dès lors, le principal moyen de se démarquer des concurrents est de garantir des services au prix le plus compétitif (faible) possible. Ainsi Stewart et al [35] définissent le cycle des assurances comme la fluctuation récurrente des primes et des profits d assurance dans le temps. Généralement le cycle des assurances se décrit en deux états : «soft market» et «hard market». Le hard market se caractérise par une offre d assurance restreinte, des couvertures (montant maximum couvert) minimales, et des primes à la hausse. Contrairement au hard market, le soft market correspond à une offre abondante, des couvertures élargies et des primes à la baisse. Nous pouvons dire qu un cycle commence lorsque les assureurs resserrent leurs critères de souscription et augmentent leurs primes après une période de pertes sévères. Des critères plus restrictifs et la hausse des primes engendrent des profits qui entrainent plus de capital dans le marché (arrivée de nouveaux acteurs) et augment la capacité de souscription (offre). Comme les assureurs s efforcent à souscrire le maximum de contrats à un haut niveau de profitabilité, les taux de primes peuvent baisser et les critères de souscription peuvent être moins stricts dû à la concurrence pour obtenir de nouvelles parts de marchés. Cependant les profits diminueront et se transformeront en pertes avec le nombre de sinistres reliés à ces contrats plus généreux. La situation est alors fixée pour qu un nouveau cycle commence.

11 4 Toutes les industries expérimentent des cycles de croissance et de déclin, «boom and bust». Ces cycles sont particulièrement important en assurance parce qu ils sont imprévisibles. Stewart et al [35] décrivent l évolution d une ligne d assurance en quatre étapes : emergence, control, breakdown, reorganization : 1. Emergence une nouvelle ligne d affaires se créée, l expérience statistique est inexistante ou insignifiante. La demande grandit rapidement, la guerre des prix a lieu et la tarification est irrégulière. Éventuellement s en suit une crise de solvabilité avec une normalisation de la tarification suivie d un retrait des compétiteurs faibles. Alors vient une période de profitabilité qui va susciter l intérêt de nouveaux compétiteurs et le cycle se répète. 2. Control la stabilisation est atteinte par un contrôle collectif et coercitif. La direction des assurances régule le prix des assurances. 3. Breakdown dû aux changements technologiques et sociaux, le contrôle collectif prend fin. De nouveaux compétiteurs non contrôlés émergent et gagnent des parts de marché. 4. Reorganization cette phase est similaire à un retour aux conditions de la première phase (emergence) comme une nouvelle version d une vieille ligne d affaires ou l émergence d une nouvelle configuration du marché. Chaque étape a sa propre dynamique et ses propres caractéristiques. Les états «emergence» et «reorganization» ont des dynamiques qui sont dirigées par des facteurs liés à la compétition. La dynamique de l état «control» est dirigée par la présence de données statistiques (disponibilité, décalage dans les données). La dynamique de l état «breakdown» est dirigée par un mixte des deux facteurs : compétition et données statistiques. Le cycle des assurances affecte tous les domaines de l assurance sauf l assurance vie. Toutes les lignes d assurance ont le même comportement et ont chacune leur propre cycle. Ceuxci diffèrent par leurs intensités et leurs durées. Il faudrait aussi noté que les chocs économiques et sociaux, ainsi que la prédominance de compagnies diversifiées (plusieurs lignes d assurance) peuvent créer des liens entre les cycles des divers secteurs d activités. Le cycle des assurances

12 5 est un phénomène qui a été reconnu depuis les années Cummins et Outreville [7] suggère que le cycle des assurances tel qu observé aux États-Unis et dans d autres pays développés, serait aussi présent dans les autres parties du monde dû à la prolifération des services de réassurances. De récentes recherches ont montré l existence de cycle dans les pays européens et asiatiques. Bon nombre de chercheurs ont essayé d expliquer et de quantifier ce cycle en travaillent sur des données historiques plus ou moins courtes. À ce jour, aucun modèle mathématique formel n a été créé pour modéliser l évolution d un état du cycle à un autre. La littérature concernant les théories sur le cycle des assurances est vaste et présente plusieurs courants de pensées. 2.1 Théories du cycle des assurances Dans un marché parfait et rationnel, les assureurs déterminent la prime pure par la valeur présente des pertes futures espérées en fonction des informations qu ils possèdent. La prime d assurance est par ailleurs un très bon prédicteur des pertes futures parce qu elle incorpore toutes les informations liées aux pertes futures. Au cours des dernières années, les chercheurs ont énoncé plusieurs théories tentant d expliquer les principales causes du cycle des assurances. La majeure partie de ces théories provient de l expérience en assurance des biens et responsabilité civile (property and liability insurance). Il n y a aucun consensus concernant la cause de l existence du cycle des assurances. Il se dégage trois grands courants de pensées qui sont : le déséquilibre entre l offre et la demande, les chocs externes, l influence des autres activités économiques Déséquilibre entre l offre et la demande Compétition (guerre des prix) Le cycle des assurances est causé par la guerre des prix (compétition pour offrir la prime la plus compétitive) entre les assureurs dû à la standardisation du marché des assurances. Cette

13 6 guerre entraine des comportements irrationnels qui poussent les assureurs à modifier leurs pratiques en matière de tarification pour pouvoir conserver ou gagner des parts de marchés. Ils ont alors tendance à baisser leurs taux de primes (augmentation de l offre d assurance) à cause de la concurrence, suivi d une hausse des primes (diminution de l offre d assurance). Des auteurs comme Feldblum [14], Harrington et Danzon [22] ont travaillé sur ce sujet. Contraintes de capacité D autres chercheurs sont plutôt sceptiques quant à la première assertion. Ils assument que le cycle des assurances est dû à des contraintes de capacité (capacité d offrir des produits d assurances à un moment donné). La prime d assurance dépend non seulement des pertes futures espérées mais aussi des valeurs présentes et passées du capital et du surplus. Par exemple, quand il y a une réduction de surplus, il est difficile pour les assureurs d augmenter le capital externe à cause des coûts de la collecte de nouveaux capitaux. Puisque l assurance a besoin de capitaux pour le soutenir, tout choc qui réduit le capital de l assureur diminuera sa capacité et par conséquent les prix hausseront comme l offre devient plus rare. L on pourra consulter Winter [40] [41], Niehaus et Terry [30], Gron [20], Cummins et Danzon [6], Froot et O'Connell [18]. Tarification naïve L émergence de cycle a aussi été attribuée aux imperfections du processus de tarification. Il existe une forte relation entre les primes et les sinistres non encore reportées. De plus, les méthodes d extrapolation ont toujours tendance à sur ou sous-estimer les sinistres espérés futurs et la présence de nombreuses réclamations peut engendrer des erreurs d estimation signifiantes. À grande échelle, l alternance entre ces périodes de sur ou sous tarification pourrait éventuellement créer un cycle d assurance. L on pourra lire Outreville [31], Venezian [39], Berger [1], Niehaus et Terry [30] pour des informations supplémentaires Chocs externes Taux d intérêt Comme la prime est la valeur présente des pertes futures espérées, des changements dans les taux d intérêt pourraient provoquer des variations de la valeur de la prime créant ainsi un

14 7 cycle. Bien qu il n y ait aucune preuve que les taux d intérêts aient un caractère cyclique, un changement non prévu de la valeur des taux peut créer un choc qui pourrait générer un cycle d assurance. La plupart des auteurs partageant cette vision sont Doherty et Kang [12], Fields et Venezian [15], Doherty et Garven [13], Haley [21], Lamm-Tennant et Weiss [25], Fung, Lai, Patterson et Witt [19]. Facteurs institutionnels Certains articles, notamment Cummins et Outreville [7], Lamm-Tennant et Weiss [25], Chen, Wong and Lee [3], ont étayé l idée que le cycle d assurance n est pas dû à des comportements irrationnels mais est généré par l influence de facteurs externes comme les décalages dans les données historiques, les règles comptables et les délais d application des nouveaux règlements. Pertes catastrophiques Les faits empiriques suggèrent que les primes d assurance peuvent augmenter à la suite d une perte extrême. Cette perte peut être liée à la souscription (sinistre catastrophique) ou au marché financier (grosse perte d investissement). Un choc sur le capital sous la forme de paiements inespérés pourrait épuiser le capital de l assureur. Si un apport de capital ne peut se faire à moindre coût, les assureurs ont le choix de réduire le montant de la couverture pour une prime donnée ou de continuer d exercer avec une plus grande probabilité d insolvabilité. Cette situation est temporaire mais des ajustements pourraient créer des chocs qui génèreraient un cycle d assurance. Cummins, Harrington et Klein [5], Harrington et Niehaus [23] sont les précurseurs de cette théorie Influence des autres activités économiques Cycle économique Chen, Wong and Lee [3], Meier [28] montrent qu il existe une relation entre le cycle des assurances et le cycle économique. Ils affirment que l assurance des biens et responsabilité civile a un rapport avec la performance de l économie nationale et peut être liée à l évolution du produit intérieur brut (PIB) réel.

15 8 Pratiques en affaires Cummins, Harrington et Klein [5] et Winter [40] soulignent que de meilleures pratiques en gestion des risques réduiraient les effets des chocs et des changements de l offre et de la demande responsables du cycle d assurance. Toutefois, une évolution de l environnement réglementaire au niveau national ou international aura un impact sur les affaires, le capital requis et les politiques de tarification, causant éventuellement un cycle d assurance. Fung, Lai, Patterson and Witt [19] ont testé toutes les théories prédominantes du cycle d assurance à l aide de méthodes statistiques sophistiquées et ont constaté qu aucune théorie ne peut expliquer entièrement le cycle d assurance. 2.2 Approches de la modélisation du cycle des assurances Le cycle de souscription est un enjeu majeur pour l industrie de l assurance au moment d évaluer les méthodes de tarification. En effet, un soft market peut contribuer à l insolvabilité des assureurs lorsque ceux-ci baissent leurs primes de manière agressive, tandis que les prix élevés durant le hard market peuvent réduire les flux de biens et services. Bien qu aucun consensus n apparaisse dans la littérature, des recherches ont été effectuées afin de pouvoir modéliser le cycle des assurances. Les principales variables généralement utilisées pour modéliser le cycle des assurances sont la prime d assurance, le taux de chargement, le ratio combiné, le ratio des sinistres et le Rate On Line (ROL). La prime d assurance se définit comme le montant que l on doit payer pour s offrir une assurance. Le taux de chargement est directement lié à la prime; il est un chargement de sécurité que l on ajoute à la prime pour se prémunir contre les sinistres (pertes). La valeur de la prime

16 9 d assurance par rapport à la valeur présente des pertes futures espérées nous indiquera l état du cycle. On parlera de hard market lorsque le montant de la prime est supérieur aux pertes espérées et de soft market dans le cas inverse. Le ratio des sinistres est le ratio des sinistres payés ou à payer sur les primes acquises Le ratio combiné est la somme du ratio des sinistres et du ratio des dépenses (frais de gestion sur prime acquise). Le ratio des sinistres et le ratio combiné nous permettent d évaluer la performance d un assureur. En effet, lorsque ces ratios sont supérieurs à 100%, l assureur réalise une perte technique, c est-à-dire qu il paie plus de sinistres qu il ne reçoit de primes. Cette perte ne prend pas en compte les revenus d investissement. C est le cas inverse lorsque ces ratios sont inférieurs à 100%. Le Rate On Line (ROL) est principalement utilisé en réassurance, il est utilisé pour analyser le niveau des primes de réassurance. Il s obtient en divisant la prime de réassurance par la capacité (montant maximal couvert). L inverse de ce ratio est appelé la période d amortissement. Ainsi, lorsque le ROL est élevé, les primes de réassurance augmentent, l offre de réassurance est restreinte et la capacité diminue. Nous sommes alors dans le cas d un hard market. Lorsque le ROL est faible, les primes de réassurance baissent, l offre de réassurance est abondante et la valeur de la couverture augmente. Nous sommes dans le cas ici d un soft market. Lors de ces dernières années, plusieurs études basées sur des modèles actuariels ont été effectués afin de modéliser le cycle de souscription. Trois approches sont généralement utilisées dans la littérature : les modèles déterministes, les modèles économétriques et les processus à changement de régimes. Modèles déterministes Daykin et al [9] utilisent des modèles déterministes basés sur des fonctions trigonométriques pour modéliser le cycle à travers les variations du coefficient de chargement. Modèles économétriques Ces modèles sont basés sur des régressions linéaires ou sur des séries temporelles. Par exemple, Cummins et Outreville [7], modélisent l inverse du ratio des sinistres à l aide

17 10 d un processus AR(2). Trufin, Albrecher, Denuit [36] utilisent plutôt la prime d assurance comme la variable dans leur processus AR(2). Aux modèles précédents, Pentilkainen et al [33] incorporent des facteurs externes comme les tendances de l économie nationale à l aide de simulation. Processus à changement de régime Sous l hypothèse de contrainte de capacité basée sur l assertion que l assureur a toujours du capital pour pouvoir honorer ses engagements (toujours solvable), Derien [11] utilise des processus à changements de régime pour varier les paramètres d une phase du cycle à une autre. Cummins et Danzon [6] étendent ce modèle en incluant le fait que les assurés sont disposés à payer plus cher si l assureur a une plus petite probabilité de défaut que ses concurrents (les autres assureurs). En outre, D Arcy et al [8] utilisent un processus à changements de régime à trois états basé sur l hypothèse de compétitivité. Le cycle des assurances est un fait réel qu il est important de prendre en compte dans la gestion des risques. Le prochain chapitre sera dédié à la présentation de notre modèle qui servira à analyser l impact du cycle des assurances sur la solvabilité d un assureur.

18 11 Chapitre 3 Le modèle Afin d étudier les questions relatives au capital économique et à la solvabilité d un assureur nous proposons un modèle stochastique prenant en compte l évolution des actifs de l assureur, l évolution des réclamations (sinistres) et le cycle des assurances. Notre modèle n a pas pour but de justifier les théories mentionnées auparavant, il sert juste à capter l impact du cycle des assurances sur la solvabilité d un assureur. Comme nous l avons montré au chapitre précédent, il existe plusieurs théories sur les causes du cycle des assurances. Puisqu aucune de ces théories ne peut expliquer complètement le cycle des assurances, l utilisation d une théorie dépendra de la question de recherche. Notre modèle s inspire de la théorie de la compétition entre les assureurs se traduisant par une guerre des prix. Nous supposons que les assureurs changent leurs niveaux de prime afin de rester compétitif. Dans ce chapitre nous présenterons les différentes stratégies d affaires et détaillerons le modèle qui nous permettra de faire des simulations au chapitre suivant. 3.1 d affaires La structure d une industrie et les caractéristiques de ses produits ont une influence sur les profits espérés et les différentes stratégies possibles. Feldblum [14] affirme que trois considérations sont à prendre en compte pour l industrie de l assurance à savoir la différenciation des produits et les produits de substitution, la structure des coûts et les barrières à l entrée, et la loyauté des clients.

19 12 Différenciation des produits et produits de substitution Lorsque les produits entre des entreprises concurrentes sont identiques, toutes les entreprises sont limitées par le prix du producteur le plus efficace. Avoir des produits différents de la concurrence est donc un bon moyen d augmenter ses profits espérés. Mais il est très difficile dans le domaine des assurances de proposer des produits différents de la concurrence. En effet, il est impossible de protéger ses inventions ou de breveter ses nouveaux produits donc les concurrents ont le droit de copier tous nouveaux produits ou produits qu ils trouvent intéressant. Il existe des produits de substitution dans la plupart des secteurs d activités. Par exemple, l on peut substituer l acier à l aluminium. Puisque les techniques d auto-assurance ne sont faisables que par les larges compagnies développées, dans le cas des assurances, le consommateur n a pas d autre choix que d acheter une assurance. Le manque de différenciation entre les produits d assurance implique qu il est difficile d augmenter les prix et les profits, mais le manque de produits de substitution implique que l industrie d assurance dans son ensemble peut augmenter ou diminuer les primes d assurance sans perdre des clients. Structure des coûts et barrières à l entrée Les barrières traditionnelles concernant l arrivée d un nouvel acteur dans un secteur d activité dépend de la structure des coûts c est-à-dire du capital minimal requis, du temps nécessaire pour entrer, de l apprentissage du processus de production. Ces facteurs peuvent avoir un impact quant à la volonté d un investisseur à entrer sur un marché. Le domaine des assurances a peu de barrières. Presque tous les coûts sont variables (sinistres, taxes, salaires, commissions ) et non fixes. Les primes sont payées en début de période, le capital requis est faible, les équipements requis pour travailler ne sont pas chers et la plupart des coûts sont payés à l émission des polices d assurances (commissions) où pendant la durée de vie du contrat (sinistres). Aussi, les flux monétaires liés à la production d un contrat d assurance sont positifs attirant ainsi de nouveaux acteurs. S il est aisé d entrer le marché des assurances, il est plus difficile d y entrer avec succès. L arrivée de nouveaux assureurs apporte un risque marginal, et les pertes d assurance sont plus grandes dans les premières années. Il faut du temps pour pouvoir obtenir une affaire profitable. Lorsque le marché des assurances est profitable, le

20 13 fort taux d entrée (nouveaux investisseur) diminuera les profits espérés. Par la suite, en fonction des pertes encourues certains acteurs se retireront du marché et ainsi de suite. Loyauté des clients Le prix d un article est un élément important dans la décision d achat d un consommateur. Cependant lorsque le prix d un article augmente, le fait que le consommateur continue d acheter cet article ou décide d acheter un autre est lié au frais que cela pourrait lui coûter. Par exemple, nous payons des frais de mise en service lorsque nous changeons de fournisseurs internet. Des «frais de changements» élevés sont des obstacles à la compétition et permettent d augmenter les profits. Ces frais sont inexistants dans l industrie des assurances. Pendant la période des renouvellements, le client est libre d aller vers l assureur ayant l offre la plus compétitive sans frais additionnels. Un autre point important est que les assurés (clients) comparent rarement les primes proposées par les différents assureurs. Ainsi, un client se met à la recherche d un autre assureur lorsqu il y a une augmentation drastique de la prime d assurance. Dans le long terme, offrir des primes supérieures à la moyenne du marché conduirait à une perte de la part de marché de l assureur qu il sera extrêmement difficile de regagner. Dans le coût terme, un assureur ayant une bonne notoriété peut se permettre d offrir une prime plus chère sans pour autant perdre sa part de marché. Connaissant le comportement des assurés et en réponse au cycle des assurances, les assureurs pourront adopter des stratégies conformément à leurs objectifs. Nous présenterons ici les différentes stratégies telles que énumérées dans Boor [2]. Stratégie 0 : pas de cycle de souscription Il ne s agit pas d une stratégie. Nous supposons ici qu il n y a pas de cycle de souscription et que les assureurs ont un consensus sur la prime d assurance. Cette stratégie initiale nous permettra de mesurer l impact du cycle de souscription sur la profitabilité et la solvabilité d un assureur. Stratégie 1 : maintenir la part de marché Cette stratégie implique que l assureur essaie de maintenir une part de marché constante à travers toutes les phases du cycle. L assureur s accroche à un bloc d affaires en proposant

21 14 toujours le prix du marché aussi faible soit-il. Les compagnies suivant cette stratégie devraient faire attention au fait que son désintérêt pour la rentabilité n affecte pas leur solvabilité ni ne diminue considérablement leurs profits. Stratégie 2 : conserver le capital Cette stratégie se focalise sur la vente des services qui pourraient produire un bénéfice. Cela implique de souscrire le minimum de polices durant le soft market et le maximum possible durant le hard market. Durant le soft market, cette stratégie permettra de conserver le capital de l entreprise. L entreprise devra souscrire suffisamment de contrats pour pouvoir maintenir ses infrastructures dans l attente du hard market. Durant le hard market, l entreprise aura suffisamment de capital pour souscrire le maximum de contrats pendant que ses concurrents auront des contraintes de capital. Les compagnies suivant cette stratégie devraient s assurer d avoir suffisamment de clients pour leur permettre de subsister pendant le soft market. Stratégie 3 : mixte C est une combinaison des deux stratégies mentionnées précédemment. Par exemple des entreprises suivant la stratégie 2 peuvent choisir de maintenir une certaine part de marché durant le soft market même si cela est couteux dans l objectif de maintenir leurs infrastructures. D autre part, les entreprises suivant la stratégie 1 peuvent décider de renoncer à certaines affaires durant le soft market pour rester solvable. 3.2 Modélisation du cycle des assurances Nous nous inspirons des travaux de Daykin et al [9] et modélisons le cycle des assurances en supposant que le coefficient de chargement θ et le taux de réclamation λ suivent une fonction cyclique déterministe. Nous utilisons des fonctions trigonométriques de période 2π. La durée de notre cycle d assurance sera donc de 2π années (environ 6 ans). Nous assumons que les prix varient de façon continue plutôt que de passer d un niveau à un autre en fonction de l état du cycle (processus à changements de régimes, D Arcy et al [8]). De plus, Asmussen and

22 15 Rolski [0] ont montré que lorsque le nombre d états augmente, le modèle markovien converge vers un processus continu, déterministe et périodique Taux de chargement (chargement de sécurité) Un assureur peut ajuster sa prime durant le cycle des assurances en modifiant son taux de chargement. Le coefficient de chargement est donné par la formule suivante : sin I t I t I représente l état initial du cycle des assurances, qui pourra soit être 0 (immature hard market), π/2 (mature hard market), π (immature soft market), 3π/2 (mature soft market). α reflète l intensité du cycle et δ désigne la stratégie de l assureur. Lorsque δ = 0, l assureur conserve son capital (stratégie 2). Quand δ = 1, l assureur maintient sa part de marché (stratégie 1). L assureur utilisera une stratégie mixte lorsque 0 < δ < 1, dans notre cas nous utiliserons δ = 0.5 pour la stratégie mixte (stratégie 3). Pour la stratégie 0, le coefficient de chargement sera θ. t représente le temps. (3.1) La première partie de chaque cycle représente le hard market, et la deuxième partie représente le soft market. Ainsi tout état initial du cycle (I) compris entre 0 et π correspond au hard market et tout état initial compris entre π et 2π correspond au soft market Taux de réclamation Comme décrit dans Feldblum [14], parce que les assureurs cherchent le meilleur prix possible, l exposition de l assureur (part de marché), et par conséquent le taux de réclamation, est inversement relié au coefficient de chargement. Le taux de réclamation est le suivant : 1-1- cos I t I t (3.2) Le coefficient bêta représente la fidélité des assurés. Il mesure la sensibilité du client par rapport à une hausse de la prime d assurance. Pour la stratégie 0, le taux de réclamation sera λ.

23 Modélisation des actifs et des réclamations de l assureur Nous utilisons des processus à la Cummins [4] pour modéliser les actifs et les réclamations de l assureur. Soit A I (t) la valeur des actifs de l assureur au temps t, et S I (t) le montant des réclamations de l assureur au temps t. Nous avons : I N t I k 1 t X,... X ~ log N, k dsi t SS t I I t dt SS t dw I St (3.3) (3.4) γ I(t) est le montant des nouvelles réclamations au temps t où N(λ I(t)) est un processus de poisson non homogène d intensité λ I (t) et la sévérité X de ces réclamations suit une loi log normale de paramètre κ et τ. μ S est le taux d inflation des sinistres et (σ S ) 2 est la variance instantanée des sinistres par unité de temps.w S (t) est un processus de Wiener. Le montant des réclamations S I (t) croît en fonction de l inflation et de l arrivée de nouvelles réclamations. Le processus de la valeur des actifs est défini par : E X e pi t I t E I t I t I t dai t AA t p I I t dt AA t dw I At (3.5) (3.6) P I (t) est le taux de prime au temps t, μ A est le taux de rendement des actifs, (σ A ) 2 est la variance instantanée du rendement des actifs. W A (t) est un processus de Wiener non corrélé avec le processus de Wiener W S (t), nous supposons qu il n y a pas de corrélation entre la valeur de l actif et les réclamations. Les actifs de l assureur A I (t) sont supposés croître en fonction des revenus d investissement et du paiement des primes. Les solutions des équations différentielles stochastiques (3.4, 3.6) sont présentées à l annexe A.

24 Illustration du cycle des assurances Nous utilisons un exemple pour illustrer l impact du cycle des assurances et les stratégies d affaires. Les paramètres utilisés pour notre exemple sont les suivants : θ = 0.2, λ = 1, α = 0.5, β = 1, φ = e 12, δ = 0, 0.5 et 1. Prime d assurance La figure 1 montre le taux de chargement sur une période de 15 ans en fonction de l état initial du cycle. Un assureur suivant la stratégie 2 (conserver le capital) aura un taux de chargement et donc un taux de prime fixe sur toute la durée du cycle. Ceux suivant les stratégies 1 (maintenir la part de marcher) et 3 (mixte) auront des taux de primes variables. La variation du taux de prime est moins aigue dans le cas de la stratégie mixte. Figure 1 : Taux de chargement sur une période de 15 ans Part de marché La figure 2 illustre le taux de réclamation sur une période de 15 ans. Le taux de prime et le taux de réclamation étant intimement liés, un assureur qui augmente son taux de prime verra

25 18 sa part de marché diminuée et par conséquent aura moins de réclamations. Ainsi, les assureurs maintenant leur part de marché (stratégie 1) auront un taux de réclamation fixe, et les assureurs conservant leurs capitaux ou utilisant des stratégies mixtes auront des taux de réclamations variables (part de marché variable). Figure 2 : Taux de réclamation sur une période de 15 ans L intensité du cycle et la fidélité des assurés sont des paramètres qui influencent l amplitude des variations observées dans les figures 1, 2 et 3. Il faudrait noter que sur la durée d un cycle, les assureurs ont les mêmes taux de chargement moyen, taux de réclamation moyen, encaissent le même montant de prime et ce quelle que soit la stratégie utilisée (voir annexe B). La figure 3 illustre le montant des primes encaissées par un assureur sur une période de 15 ans et le tableau 1 résume les différentes stratégies.

26 Part de marché Constante Variable 19 Figure 3 : Montant des primes encaissées sur une période de 15 ans Tableau 1 : stratégies d affaires Stratégie 2 Stratégie 3 Stratégie 0 Stratégie 1 Constant Variable Prime d assurance Une bonne année d exercice dépendra de la stratégie que l assureur appliquera. Ainsi, vu qu il sous-tarifie durant le soft market, l assureur voulant maintenir sa part de marché (stratégie 1) aura-t-il un rendement financier suffisant pour pallier le déficit technique et demeurer solvable? Sachant que l assurance est basée sur la mutualisation des risques, l assureur utilisant la stratégie 3 (conserver le capital) aura-t-il suffisamment de clients durant le soft market pour rendre son activité profitable? Laquelle de ces stratégies est la plus rentable et la plus fiable?

27 20 Chapitre 4 Solvabilité et rentabilité Afin d étudier les questions relatives au capital économique d un assureur, nous avons proposé un modèle stochastique prenant en compte l évolution des actifs, des engagements de l assureur et le cycle d assurance. Par ailleurs, nous classifions les risques encourus par la compagnie d assurance de la manière suivante : Le risque technique : le risque que le montant des sinistres excède les prévisions. - Les réclamations actuelles sont plus chères à régler que prévu ; - Le coût des sinistres générés sur les futures couvertures est plus important que prévu. Le risque financier : le risque que l on ne réalise pas notre objectif de rendement. - la valeur marchande des actifs diminue ; - les actifs investis deviennent moins performants ; - les créances sur les cessionnaires ou la clientèle deviennent irrécouvrables. Le risque de souscription : le risque dû au cycle des assurances. - les compétiteurs forceront une baisse des primes dans le but de conserver leur position ou part du marché ; - les compétiteurs gagneront un avantage compétitif en soutirant la clientèle ; Lorsque le montant des sinistres est supérieur à la valeur des actifs, l assureur réalise une perte. La perte L de l assureur au temps t se définit par l équation suivante : L(t) = S(t) A(t) (4.1)

28 Mesures de risques et capital économique Le capital économique est le montant optimal de capital qu une compagnie devrait avoir afin d assumer les risques auxquels elle s est exposée. Ce montant est un coussin de sécurité qui a pour but de diminuer le risque d insolvabilité et les coûts qui y sont associés. Il ajoute de la valeur à l assureur puisqu il diminue les coûts de détresse financière, améliore la cote de crédit et renforce la confiance des clients et des régulateurs envers les produits d assurance qu il offre. Au final, les produits offerts par l assureur se révèlent plus intéressants sur le marché et cela lui permet ainsi de les vendre à un prix supérieur. Les compagnies d assurance devraient donc détenir un coussin de sécurité pour se protéger des pertes inattendues. La façon la plus commune de quantifier ce capital à risque est : EC = ρ(l).e -rt (4.2) Où ρ(l) est une mesure de risque appliquée aux pertes de l assureur, r le taux d actualisation et T la période sur laquelle l on travaille Mesures de risque Dans cet essai, nous nous limiterons à deux mesures de risque (VaR et CVaR) pour calculer le capital économique. Le lecteur pourra consulter Denuit, Dhaene, Goovaerts, Kaas [10] pour plus d informations sur les mesures de risques. La Valeur à Risque (VaR) La Valeur à Risque est le montant des pertes qui ne devrait être dépassé qu avec une probabilité de (1 ω) sur un horizon de T années. Elle correspond au 100ω ième centile de la distribution des pertes. Soit F L (x), la fonction de répartition de la variable aléatoire L. Pour un niveau de confiance ω, la VaR associée aux pertes de l assureur est définie par : 1,, 0,1 L VaR L F L (4.3)

29 22 La Valeur à Risque Conditionnelle (CVaR) La Valeur à Risque Conditionnelle est l espérance des pertes allant au-delà de la Valeur à Risque. Elle correspond à la moyenne des 100 (1-ω)% pertes les plus élevées. Pour un niveau de confiance ω, la CVaR associée aux pertes de l assureur est définie par l équation suivante: L, CVaR E L L VaR L, 0,1 (4.4) Propriétés des mesures de risques 1. Sous-additivité : ρ (L 1 +L 2 ) ρ(l 1 ) + ρ(l 2 ) 2. Homogénéité : si a est une constante alors ρ (al) = aρ(l) 3. Mono-tonicité : Si P (L 1 L 2 ) = 1 alors ρ (L 1 ) ρ (L 2 ) 4. Invariance à la translation : si a est une constante alors ρ (L + a) = ρ(l) + a 5. Marge de risque non excessive : si L max alors ρ (L) max 6. Marge de risque non négative : ρ(l) 0 7. Marge de risque justifié : si a est une constante alors ρ (a) = a Une mesure de risque est dite cohérente si elle respecte les propriétés 1 à 4. En assurance, il est aussi souhaitable que les mesures de risques respectent les propriétés 5 à 7. La VaR n est pas une mesure de risque cohérente parce qu elle n est pas sous additive. Il peut arriver des cas où VaR (L 1 + L 2 ) > VaR(L 1 ) + VaR (L 2 ). Contrairement à la VaR, la CVaR est une mesure de risque cohérente (respecte toutes les propriétés) et fournit une meilleure indication de la queue de distribution des pertes de l assureur Performance et rendement Nous analyserons la performance de l assureur en fonction de trois mesures : la probabilité de ruine (ou probabilité de défaut), le rendement espéré et l espérance du rendement ajusté au risque. Probabilité de ruine (PR) On parle de ruine lorsqu un assureur ne peut plus honorer ses engagements. Cette mesure nous servira à analyser la solvabilité d un assureur. La probabilité de ruine ou de défaut de

30 23 l assureur est la probabilité que le montant des réclamations soit supérieur à la valeur des actifs. On a : PR P S( t) A t P S( t) A t 0 Rendement espéré E(R) Le profit R de l assureur est le montant des primes reçues auquel on ajoute les revenus d investissement moins les frais pour sinistres payés. Le rendement espéré est donc : ER At S() t Espérance du rendement ajusté au risque (ERAR) L espérance du rendement ajusté au risque (ERAR) est une évaluation des profits en fonction des risques encourus. Un assureur cherchera toujours à maximiser son ERAR. Pour une mesure de risque de niveau de confiance ω, on a : L E R ERARR,, (4.5) (4.6) 4.2 Analyse du capital économique, de la profitabilité et de la solvabilité d un assureur Dans cette partie du travail nous cherchons à étudier le capital économique et la rentabilité d un assureur en fonction de la stratégie qu il utilise durant le cycle des assurances. Notre objectif est d une part de déterminer laquelle des stratégies performe le mieux et d autre part d analyser l impact du cycle des assurances sur les activités de l assureur. L exemple suivant est pour rappeler au lecteur la différence entre les différentes stratégies. Supposons que le montant de prime adéquat pour un risque soit de 100$. L assureur utilisant la stratégie 1 (maintien de la part de marché) aura 10 assurés pour une prime de 80$ durant le soft market et 10 assurés pour une prime de 120$ durant le soft market. L assureur utilisant la stratégie 2 (conservation du capital) aura 8 assurés pour une prime de 100$ durant le soft market et 12 assurés pour une prime de 100$ durant le hard market. S il n y avait pas de

31 24 cycle (stratégie 0) l assureur aurait 10 assurés pour une prime de 100$ en tout temps. En supposant que les durées du hard market et du soft market soient identiques, les trois stratégies ont le même nombre moyen d assurés (10 clients), et le même taux de prime moyen (100$). En présence d un cycle d assurance nous devons donc choisir entre les stratégies 1 et 2, et nous devons aussi vérifier qu une des stratégies 1 et 2 est meilleure que la stratégie 0 pour affirmer que la présence de ce cycle peut être bénéfique à l assureur. Le tableau 2 résume les paramètres utilisés et les principaux résultats obtenus. Nous travaillons sur une période 63 ans soit 10 cycles d assurance. Des résultats supplémentaires ainsi que des graphiques sont disponibles à l annexe C. Comparaison des stratégies Nous évaluons ici les performances des stratégies 1 (maintenir la part de marché), 2 (conserver le capital) et 3 (mixte). Les résultats du tableau 2 nous montrent que la performance des stratégies dépend de l état initial du cycle des assurances. Une bonne performance se traduit par de faibles probabilités de ruine et capital économique, et par de forts rendements espérés et rendements ajustés au risque. Les meilleures performances sont soulignées en gras dans le tableau 2. Ainsi, il est préférable d utiliser la stratégie 1 lorsqu initialement le cycle est en «immature hard market» ou en «mature soft market», et la stratégie 2 lorsqu on débute dans un «mature hard market» ou un «immature soft market». Aussi, nous remarquons que les extremums sont atteints par la stratégie 1. Par exemple, comparativement aux autres stratégies, le maximum de profits et les probabilités de ruines minimales sont atteints lorsqu on utilise la stratégie 1 en «immature hard market». Inversement, les pires performances sont réalisées lorsqu on utilise la stratégie 1 en «immature soft market». Par ailleurs, Il y a une très grande variabilité dans les résultats de la stratégie 1. Par exemple, les rendements ajustés au risque (VaR) de la stratégie 1 oscillent entre 9 et 20 quand ceux de la stratégie 2 sont compris entre 10 et 16. La stabilité dans les résultats de la stratégie 2 montre qu elle est plus adaptée pour les individus averses au risque.

32 25 Tableau 2 : analyse de la solvabilité et de la rentabilité en fonction de l état initial du cycle Paramètres : θ = 0.2, λ = 1, α = 0.5, β = 1, κ = 10, τ = 2, T = 63 Capital économique : basé sur la VaR Capital économique : basé sur lacvar Etat initial du cycle (I) , , , ,854 7,011,879 6,942,813 7,066,490 6,943,304 π/2 410, , , ,775 7,011,879 7,143,385 7,026,681 7,110,696 π 410, , , ,413 7,011,879 7,310,290 6,982,351 7,280,356 3π/2 410, , , ,604 7,011,879 7,052,916 7,139,494 7,051,437 Profits espérés E ( R ) Probabilité de ruine Etat initial du cycle (I) ,541,958 18,967,855 18,721,230 18,832, π/2 18,541,958 18,338,786 18,902,181 18,616, π 18,541,958 18,101,453 18,372,323 18,211, π/2 18,541,958 18,715,518 18,135,172 18,443, Rendement ajusté au risque : basé sur lavar Rendement ajusté au risque : basé sur la CVaR Etat initial du cycle (I) π/ π π/ Le tableau 3 est obtenu en supposant qu il y a autant de chance de débuter dans l un ou l autre état du cycle des assurances. Nous ne pouvons pas déduire à partir du tableau 3 laquelle des stratégies 1 et 2 est la meilleure. Par contre nous remarquons que la stratégie 3 (mixte) performe moins bien que les deux autres stratégies. L assureur choisira sa stratégie en fonction de l état initial du cycle des assurances et de son degré d aversion au risque. La stratégie 1 est idéale pour un assureur débutant dans un «immature hard market» ou un «mature soft market» et qui est très peu averse au risque. Inversement, la stratégie 2 est idéale pour un assureur débutant dans un «hard market» ou un «immature soft market» et qui est averse au risque. Tableau 3 : analyse de la solvabilité et de la rentabilité Mesures Probabilité de ruine Profits espérés 18,541,958 18,530,903 18,532,727 18,526,239 ERAR : VaR ERAR : CVaR

33 26 Impact du cycle des assurances Nous comparons les résultats de la stratégie 0 par rapport à ceux des stratégies 1, 2 et 3. Rappelons que la stratégie 0 représente les résultats que nous aurons obtenus s il n y avait pas un cycle d assurance. Le tableau 2 nous montre que la présence d un cycle d assurance nous permet de réaliser des gains supérieurs à ce qu on aurait dû avoir s il n y avait pas de cycle. Par ailleurs, tous les assureurs ne sont pas capables de réaliser ces gains parce que cela nécessite une intelligence d affaires pour établir une stratégie qui permettra de bénéficier des effets du cycle. Le cycle d assurance apporte donc un risque supplémentaire (risque de souscription) qui est le risque d avoir choisi la mauvaise stratégie d affaires. Nous remarquons aussi qu aucune stratégie performe mieux que la stratégie 0 lorsque nous débutons en «immature soft market». Cela nous montre qu il n est pas toujours aisé de bénéficier des effets du cycle d assurance. Les résultats du tableau 3 nous montrent que l impact du cycle d assurance dans le cas des risques non catastrophiques n est pas nécessairement négatif parce qu il offre à l assureur des opportunités de gains supplémentaires. Mais qu en est-il lorsqu il s agit de risques catastrophiques comme les catastrophes naturelles?