CHAPITRE III INTERFERENCES LUMINEUSES PAR DIVISION D AMPLITUDE

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1 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version : sept. 6 CHAPITRE III INTERFERENCES LUMINEUSES PAR DIVISION D AMPLITUDE III.1- Division d amplitude Il y a division d amplitude dans les dispositifs utilisant le principe de la Fig.III.1. La source S est dans ce cas étendue (surfaces d onde planes) et les interférences sont localisées. Fig.III.1 III.- Franges d égale inclinaison - Lame à faces parallèles Une source S étendue envoie de la lumière monochromatique (λ ) sous une incidence i presque normale sur une lame à faces parallèles d épaisseur e et d indice n (Fig.III.). La lame est supposée placée dans l air d indice égal à l unité. On note r l angle de réfraction. Les faisceaux de lumière considérés étant cylindriques, on va raisonner en employant le langage de rayon lumineux. Fig.III. 3

2 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version : sept. 6 La lame fournit d un rayon incident des rayons réfléchis R 1, R, parallèles entre eux et des rayons transmis T 1, T, parallèles au rayon incident. 1- Interférences par transmission Calculons la différence de marche optique entre les rayons transmis T 1 et T : δ T = (SIJKLT SIJT 1 ) = (IJKL) + LT (IJ)- JT 1 = nij - JH δ T = necos r Les franges d égale d.d.m sont telles que: r = Cte, puisque l épaisseur e est constante. Or sin i = n sin r ; ce sont donc des franges d égale inclinaison i. Ce sont des anneaux localisés à l infini (Fig.III.3), puisque les rayons qui interfèrent sont parallèles. On les appelle: franges de Haidinger. Fig.III.3 On peut ramener ces franges à distance finie en utilisant une lentille convergente de distance focale f comme l indique la Fig.III.. Remarquons que l ordre d interférence au centre O est maximum (i = et r = ): p = ne / λ En limitant l observation au voisinage du centre O, on déduit le rayon du m ième anneau d ordre p m : ρ = OM = f m nλ e P - P m Ainsi, si le centre est supposé brillant, le m ième anneau brillant aura pour rayon : ρ m = f nλ e m 4

3 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version : sept. 6 Si le centre n est ni brillant ni sombre tel que: p = k + ε, fractionnaire, le rayon du m ième anneau brillant devient : k entier, ε étant un excédent nλ ρm = f m + ε -1 e - Interférences par réflexion La d.d.m est donnée par : δ R = necos r + λ La d.d.m λ un milieu plus réfringent. est ajoutée pour tenir compte de la réflexion vitreuse: réflexion du rayon R 1 sur On remarque que les inclinaisons pour lesquelles l intensité est maximale par transmission sont celles pour lesquelles l intensité est minimale par réflexion. Les phénomènes d interférence par transmission et réflexion sont donc complémentaires. III.3- Franges d égale épaisseur 1- Lame coin ou lame prismatique C est une lame mince d indic n, d épaisseur variable, ayant la forme d un coin d angle α petit (Fig.III.4), placée dans l air et éclairée sous une incidence presque normale. R R 1 i M n r α O Fig.III.4 Pour la clarté de la figure, les angle i et α sont grands. Etudions les interférences par réflexion. La d.d.dm en M est : δ R = ne + λ 5

4 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version : sept. 6 Les points d égale intensité sont tels que: δ R = Cte, ou e = Cte. Les franges sont donc des lignes d égale épaisseur ou franges de Fizeau localisées au voisinage de la lame ou pratiquement sur la lame (Fig.III.5.a et Fig.III.5.b). α O Fig.III.5.a Fig.III.5.b Sur l arête O la frange est sombre par réflexion, brillante par transmission.. L interfrange est donné par la relation suivante : λ i = α La lame porte le nom de coin d air si l indice n = 1. En pratique, les franges d égale épaisseur d un coin d air sont utilisées pour: - la vérification de la planéité de surfaces transparentes ; - la mesure de faible épaisseur (méthode de Tolanski) et d indice d une lame. - Dispositif des anneaux de Newton Le dispositif de Newton est une lame d'air constituée par une lentille plan-convexe, de rayon de courbure R grand et une lame de verre (Fig.III.6) ou une lentille concave. Fig.III.6 6

5 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version : sept. 6 Par réflexion, la d.d.m au point M est: δ R = e + Les franges sont telles que e = Cte. Ce sont des anneaux, en raison de la symétrie de révolution du dispositif. Le rayon d un anneau passant par M est donné par la relation suivante : λ ρ R(eM - e ) M = e O étant l épaisseur de lame d air au point O. Si le contact est parfait: e O =, le centre O est sombre et le rayon du m ième anneau sombre devient: ρ m = Rλ m III.4- Interféromètre de Michelson Un interféromètre de Michelson est un appareil constitué essentiellement de (Fig.III.7): - deux miroirs plans: M 1 mobile et M fixe; - une lame à faces parallèles séparatrice L s semi-réfléchissante inclinée à 45 : elle divise l amplitude de l onde incidente; - une lame compensatrice L c de même nature et même épaisseur que L s : elle compense les différences de marche optiques supplémentaires lors des réflexions sur L s. Fig.III.7 L interféromètre de Michelson permet de réaliser aisément une lame d air à faces parallèles ou une lame coin d air. C est l un des instruments les plus importants en optique et en spectroscopie. 7

6 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version : sept. 6 La Fig.III.7 représente le schéma de principe de cet interféromètre travaillant en lame d air à faces parallèles. Cette situation est obtenue lorsque les deux miroirs M 1 et M sont parfaitement perpendiculaires et leur distance à la lame séparatrice est différente, c est-à-dire: OO 1 - OO = e. La lame d air d épaisseur e est limitée par M et l image M 1 de M 1. En effet, la lumière issue de S se sépare par Ls en un rayon transmis (1) et un rayon réfléchi (). Ces deux rayons se réfléchissent sur les miroirs. Les rayons qui sortent de l interféromètre sont parallèles, ils se superposent à l infini: les franges sont des anneaux. Tout se passe donc comme si on a une lame d air à faces parallèles: le rayon R semble provenir de la réflexion sur l image M 1. III.5- Interférences à ondes multiples - Etalon de Fabry-Pérot 1- Principe L interféromètre est constitué d une lame d air à faces parallèles d épaisseur e, comprise entre deux lames de verre F 1 et F d épaisseur négligeable, dont les faces planes en regard sont semi-réfléchissantes. L instrument est éclairé par une source étendue S (Fig.III.8). Fig.III.8 C est un appareil très utilisé comme spectromètre à haute résolution et comme cavité optique résonnante dans les lasers. Dans l étude des phénomènes d interférence par transmission avec une lame à faces parallèles (cf. III.), nous n avons tenu compte que de deux rayons seulement. En réalité, l amplitude résultante est la somme des amplitudes d une infinité de rayons transmis (Fig.III.8). 8

7 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version : sept. 6 On caractérise les lames F 1 et F par deux facteurs: facteur de réflexion R et facteur de transmission T: R = I r / I et R + T = 1 (relation due à la conservation de l énergie) I r et I étant respectivement les intensités réfléchie et incidente. On a supposé que F 1 et F sont transparentes, sinon il faut tenir compte du facteur d absorption A tel que: R + T + A = 1. Ce facteurs sont reliés à ceux relatifs aux amplitudes r et t (cf. Chapitre I) par les relations suivantes: R = r ; T = t Soit a l amplitude de l onde incidente et intéressons-nous aux rayons transmis. On suppose que F 1 et F ont les mêmes pouvoirs de réflexion et de transmission. Nous avons vu (cf. III.) que la d.d.m entre T 1 et T est: δ T = ecos r Le milieu limité par la lame étant l air d indice n = 1, l angle de réfraction r est égal à l angle d incidence i. La différence de phase s écrit : ϕ = π λ δ 4π e cosi = T λ L amplitude complexe résultante de la superposition d une infinité de rayons transmis s écrit: A = a T N N R e -jn φ La vibration résultante s écrit en notation complexe : jωω a Te z = 1- Rcosϕ + jrsinφ On en déduit l intensité résultante : I = (1- R) I T + 4Rsin φ ou I T I = (1 - R) A(φ( R) avec 1 A(φ(R) = et φ 1+ msin m = 4R (1- R) 9

8 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version : sept. 6 A(φ, R) est appelée fonction d Airy. - Etude de l intensité Etudions la variation de l intensité en fonction de la différence de phase φ. I T I max = (1 - R) ; I T I min = (1 + R) Le contraste des franges est: R V = 1 + R Le contraste est d autant meilleur que R est grand (voisin de 1) (Fig.III.9). Fig.III.9 Fig.III.1 La Fig.III.1 représente l intensité pour deux valeurs différentes de R. Les anneaux sont donc mieux contrastés pour R grand. 3- Coefficient de finesse On définit le coefficient de finesse des franges par: π F = φ ϕ est la largeur à mi-hauteur de la portion de la courbe de l intensité (Fig.III.11) comprise entre les minimums (k-1)π et (k+1)π. 3

9 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version : sept. 6 Fig.III.11 La mi-hauteur correspond à : I I max = 1 d où : φ = (1- R) R et F = π R 1- R La Fig.III.1 représente la variation de F en fonction de R. Fig.III.1 Les franges sont fines pour R voisin de Pouvoir de résolution Supposons que nous éclairons l étalon par une lumière polychromatique. Quelle la valeur minimale λ min que peut détecter l interféromètre? Pour une épaisseur de l étalon donnée et pour un angle d inclinaison donné, toute variation λ de la longueur d onde produit automatiquement une variation ϕ de la différence de phase. Soit : ϕ = - 4 π ecos i λ = π δt λ a) Critère de Rayleigh (Fig.III.13) λ λ «Seules les différences de phases ϕ supérieures ou égales à la largeur à mi- hauteur ϕ d un pic sont détectables». 31

10 Prof. H. NAJIB Optique Physique Version : sept. 6 λ min est donc telle que: ϕ = ϕ Fig.III.13 On trouve : λ min = πe λ mcosi On définit le pouvoir séparateur ou le pouvoir de résolution de l appareil par: R = λ λ min = p.f p étant l ordre d interférence correspondant à l angle d incidence i donné. b) Exemple numérique Prenons e = 1 cm ; λ =.5 µm ; R =.9 On en déduit: F = 3 ; R = 1 L intervalle spectrale résolue: λ min =.4 pm 3