Lycée la Folie Saint James. Fiche de cours : Généralités sur les suites

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1 Lycée la Folie Saint James T ale S Fiche de cours : Généralités sur les suites Notion de suite. Définitions Une suite numérique réelle est une fonction u définie sur l ensemble N ou sur une partie de N et à valeurs réelles. Notations - Vocabulaire : On note u n l image de l entier n par u : u(n) = u n. on dit que u n est le terme de rang n de la suite. La notation (u n ) n N ou (u n ) désigne la suite en tant qu objet mathématique. Attention aux notations. Il faut être très vigilant quant à leur bonne utilisation Remarque : On peut de la même façon définir une suite de points du plan (M n ) n N. Exemples de suites définies à partir d une certain rang : u n = n définie pour n. On note alors (u n) n la suite considérée. v n = n 3 définie pour n 3. On note alors (v n ) n 3 la suite considérée..2 Comment définir et représenter une suite? Il y a essentiellement deux façons de définir une suite : Cas. Par une formule explicite comme une fonction Exemple : on considère la suite (u n ) n 0 définie pour ton entier n par u n = n n + Pour calculer un terme de la suite (ex. le 00 ème ), il suffit de remplacer n par sa valeur (ici 00). On a alors u 00 = Le comportement est alors identique à celui des fonctions. La représentation graphique est l ensemble des points de coordonnées entières de la courbe représentative de f.

2 Cas 2. Par une relation de récurrence et la donnée d un ou plusieurs termes. u0 = Exemple : on considère la suite défini par :. Pour tout entier n, u n+ = 4 7u n Pour calculer par exemple u 25, il faut calculer u, u 2,..., u 24, i.e. tous les termes qui les précèdent. La suite est du type u n+ = f(u n ) avec f une fonction définie sur un ensemble E et tous les termes u n qui appartiennent à E. On dit que la suite (u n ) est f-récurrente. Exemple : on considère la suite (u n ) définie par u0 = 2 Pour tout entier n, u n+ = u 2 n Pour la représenter, on trace successivement l ensemble des points de coordonnées (u n, f(u n )) en se servant de la droite d équation y = x. La suite (u n ) est alors représentée sur l axe des abscisses. y = x O + 2 La relation de récurrence peut faire intervenir plus de deux termes consécutifs. u0 = 0 et u Exemple : la suite de Fibonnaci définie par =. pour tout entier n, u n+2 = u n+ + u n 2 Le principe de récurrence Il s agit d une méthode de démonstration particulièrement utile dans le cadre des suites. Il faut en connaître la rédaction par coeur. Principe de récurrence : Pour démontrer qu une propriété P(n) dépendant d un entier naturel n est vraie pour tout entier n n 0, on procède en trois étapes :. Initialisation : On démontre que la propriété est vraie pour le premier entier n Hérédité : On considère un entier n supérieur ou égale à n 0. On montre que SI la propriété P(n) est vraie (hypothèse de récurrence), ALORS la propriété P(n + ) est vraie. 3. Conclusion : D après l axiome de récurrence, on conclut alors que pour tout entier n de N tel que n n 0, la propriété P(n) est vraie.

3 Modèle de rédaction : (A apprendre par coeur) Soit P la propriété définie pour n rang de départ par : P(n) : Énoncez ici la propriété à démontrer au rang n. Montrons que la propriété P est initialisée au rang rang de départ : Comme calculs élémentaires à réaliser, la propriété est vraie au rang rang de départ. (Montrons que la propriété P est héréditaire à partir du rang rang de départ) : Soit n rang de départ. Supposons que P(n) est vraie. A-t-on P(n + ) vraie? Établir ici que la propriété est vraie au rang n +. On a donc que P(n + ) est vraie. On a prouvé que la propriété P est initialisée au rang rang de départ et héréditaire à partir du rang rang de départ. Du principe de raisonnement par récurrence, on déduit que la propriété P(n) est vraie pour tout entier n rang de départ. C est à dire : pour tout n rang de départ, P(n). 3 Sens de variations (monotonie) d une suite 3. Définitions Soit (u n ) une suite de nombres réels. On dit que : la suite (u n ) est croissante (à partir du rang n 0 ) lorsque u n u n+ pour tout entier n n 0. la suite (u n ) est strictement croissante (à partir du rang n 0 ) lorsque u n < u n+ pour tout entier n n 0. la suite (u n ) est décroissante (à partir du rang n 0 ) lorsque u n u n+ pour tout entier n n 0. la suite (u n ) est strictement décroissante (à partir du rang n 0 ) lorsque u n > u n+ pour tout entier n n 0. la suite (u n ) est monotone (à partir du rang n 0 ) si elle est croissante ou décroissante à partir du rang n 0. la suite (u n ) est stationnaire s il existe un entier n 0 tel que pour tout n n 0, u n+ = u n la suite (u n ) est constante lorsque u n+ = u n pour tout entier n du domaine de définition.

4 Il faut bien faire la différence entre suite stationnaire et suite constante. On note E la partie entière d un réel (c est-à-dire si x R, E(x) est l entier n tel que n x < n + ; c est donc le plus grand entier inférieur à x). Considérons alors la suite (u n ) n définie par u n = E ( ) n si n. On obtient : u = et si n 2, u n = 0 La suite est stationnaire à partir du rang 2 mais non constante. Remarque : Il existe des suites qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes. Par exemple, la suite u n = ( ) n. 3.2 Méthodes pour étudier la monotonie d une suite i) En général, on calcule u n+ u n et on étudie le signe de cette différence. S il existe n 0 N tel que pour tout n n 0, la quantité u n+ u n est positive (strictement), la suite est croissante (strictement) à partir de n 0. S il existe n 0 N tel que pour tout n n 0, la quantité u n+ u n est négative (strictement), la suite est décroissante (strictement) à partir de n 0. On note dorénavant D u, la partie de N sur laquelle la suite (u n ) est définie. ii) Si tous les termes de la suite sont de même signe et non nuls : strictement positifs ou strictement négatifs, on calcule u n+ u n et on compare le résultat à. Si pour tout entier n D u, u n > 0 et u n+ ( u n+ > ) alors la suite est croissante (strictement) sur D u. Si pour tout entier n D u, u n > 0 et u n+ ( u n+ < ) alors la suite est décroissante (strictement) sur D u. Si pour tout entier n D u, u n < 0 et u n+ ( u n+ > ) alors la suite est décroissante (strictement) sur D u. Si pour tout entier n D u, u n < 0 et u n+ ( u n+ < ) alors la suite est croissante (strictement) sur D u. iii) Si la suite est du type u n = f(n), on étudie le sens de variation de la fonction associée sur R +, à l aide du signe de la dérivée par exemple.

5 4 Suites majorées, minorées, bornées 4. Définitions Une suite (u n ) est majorée lorsqu il existe un réel M tel que u n M pour tout entier n D u. On dit alors que M est un majorant de la suite. Une suite (u n ) est minorée lorsqu il existe un réel m tel que m u n pour tout entier n D u. On dit alors que m est un minorant de la suite. Une suite (u n ) est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée. Remarques Les minorants et les majorants d une suite ne sont pas uniques. Si M est un majorant de (u n ), tout réel p > M est un autre majorant. Si m est un minorant de (u n ), tout réel p < m est un autre minorant. Une suite décroissante est majorée par son premier terme. Une suite croissante est minorée par son premier terme. 4.2 Méthodes pour démontrer qu une suite est bornée i) On conjecture le résultat et on le démontre par récurrence. un+ = 6 + u Exemple : n. Démontrer que la suite est bornée. u 0 = 0 On calcule les premiers termes : u = 6 2, 45 u 2 = , 9 u 3 = , 98 On conjecture que la propriété P(n) : 0 u n 3 est vraie pour tout n N. On la démontre par récurrence. ii) Si (u n ) est du type u n = f(n), on étudie la fonction f sur R + et on regarde si elle est majorée ou minorée. Exemple : On considère la suite (u n ) définie pour tout entier n par u n = sin(n). iii) On manipule des inégalités lorsque la forme de la suite le permet. Exemple : u n = ( )n +sin n n 2 pour n. On a 2 ( ) n + sin n 2 et 0 n 2 D où 2 ( )n +sin n n 2 2