La multiplication et la division

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1 1. Produit de deux entiers naturels La multiplication et la division La multiplication est l opération qui a deux naturels a et b associe le produit noté a b. On retiendra deux définitions du produit de a par b. Dans la première, le produit de deux entiers naturels est défini à partir d'une opération déjà connue : l'addition. Définition 1 : Le produit du naturel a par le naturel b est égal à la somme de b naturels égaux à a. a b=a1+44a2+4+43a et le produit axb se lit «b fois a» b termes Exemple : 3 5 = Dans la seconde, plus récente, le produit de deux entiers naturels est défini à partir de la notion d'ensemble. Définition 2 : Le produit de a par b est le nombre de couples (x ; y) qui peuvent être réalisés en choisissant x dans un ensemble A contenant a éléments et y dans un ensemble B ayant b éléments. Exemple : A = {1 ; 2 ; 3} et B = {r ; s ; t ; u} On peut former 12 couples différents. On note l'ensemble obtenu A B (on lit A croix B), on l'appelle le produit cartésien de A par B. A B ={(1; r ) ; (1; s) ; (1;t ) ; (1;u) ;(2; r ) ; (2; s) ; (2;t) ; (2;u) ; (3; r ) ; (3; s) ; (3;t) ; (3;u) ;(4; r ) ; (4; s) ; (4;t ) ; (4;u)} Le produit de par b est donc le cardinal(nombre d éléments) du produit cartésien AxB Cette définition est utilisée lorsque l'on calcule le nombre de cases d'un tableau à double entrée : r s t u 1 (1;r) Propriétés de la multiplication Lorsqu on multiplie deux entiers naturels, on trouve un entier naturel : La multiplication est stable dans IN. La multiplication est commutative. Pour tous nombres a et b, a b = b a Exemple 5x4 =20= 4x5 La multiplication est associative. Pour tous nombres a, b, et c, a (b c) = (a b) c = a b c 8x(3x6)=8x18 = 144 et (8x3)x6 = 24x6 144 La multiplication est distributive sur l addition (et la soustraction). Pour tous nombres a, b, et c, a (b ± c) = a b ± a c 24x(10 + 5) = 24x15 = 360 et 24x x5 = = est l élément neutre de la multiplication. 1 a = a 1 = a 0 est l élément absorbant de la multiplication. 0 a = a 0 = 0

2 3. Produit de deux rationnels ou de deux décimaux On peut également définir la multiplication dans d autres ensemble de nombres comme Q ou ID ou IR. a c Le produit de deux rationnels et positifs (a et c étant deux entiers naturels et b et d deux entiers b d a c axc naturels non nuls) est défini par x =, ce qui permet également de définir le produit de deux b d bxd décimaux positifs en les considérant comme des fractions décimales x x3 759 Exemple x = = x = = d où 2,53 x 0,3 = 0, x x Les propriétés de la multiplication de deux entiers naturels s étendent aux autres ensembles cités cidessus. 4. technique opératoire de la multiplication des entiers naturels la définition du produit permet d obtenir les produits de deux nombres à un chiffre qui seront mémorisés et figureront dans une table de multiplication. Pour le produit des nombres a plusieurs chiffres par un nombre à un chiffre, on utilise la distributivité de la multiplication sur l addition et l associativité de la multiplication ainsi que la décomposition canonique offerte par le système de numération décimale ainsi : 478 x 4 = (4 x x ) x x 4 = (4 x 100) x 4 +(7 x 10 ) x4 + 8 x x 4 = (4 x 4 )x (7x4 )x x4 On voit ainsi apparaître les produits 4 x 4, 7 x 4, 8 x 4 dont les résultats sont 16, 28 et 32. D où 478 x 4 = (16 ) x (2 8) x Et enfin 478 x4 = 16 x x x et 478 x4 = 16x (28 +3 )x (addition des dizaines) 478 x4 = 16 x x et 31x10 = 3 x x x4 = (16 + 3) x x (addition des centaines ) 478 x 4 = 19 x x et 19 x 100 = 1 x x x 4 = 1 x x x x Retenues : 3 3 On a donc multiplié les 8 unités de 478 par 4,on a obtenu 32 unités :on a posé les 2 unités de 32 et garder les 3 dizaines(retenue). On a ensuite multiplié les 7 dizaines de 478 par 4, on a obtenu 28 dizaines. Puis on a ajouté les 3 dizaines retenues aux 28 dizaines obtenues ( on barre alors la retenue utilisée),on a donc ainsi obtenu 31 dizaines soit 3 centaines et 1 dizaine. On a posé 1 dizaine et on a gardé en retenue les 3 centaines. On a ensuite multiplié les 4 centaines de 478 par 4, on a obtenu 16 centaines auxquelles on a ajouté les 3 centaines retenues( on barre alors la retenue utilisée).on a ainsi obtenu 19 centaines soit 1 unité de mille et 9 centaines que l on a posé.les 4 chiffres posés nous donnent donc le résultat 1912

3 368 x 207 Le produit de deux nombres à plusieurs chiffres : 2576 résultat du calcul de 368 x résultat du calcul de 368 x x7 se calcule avec les règles vu précédemment 368 x 200 = 368 x (2 x 100) ce qui donne par associativité (368 x 2) x 100. Dans tous les cas la connaissance des tables de multiplication et celle du système décimal sont nécessaires. Pour les propriétés associativité et distributivité, elles sont implicites et ne sont pas accessibles à des élèves de l école élémentaires pour lesquels on introduit la technique opératoire en l expliquant avec d autres moyens. Exercice : On donne le calcul suivant : 247 x Sans poser de multiplication, utiliser les éléments de cette opération et calculer : 247 x 305 ; 247 x 610 ; 358 x 247 ; 24,7 x 5,03 ; 0,247 x Différentes divisions La division euclidienne de deux entiers naturels a par b (b 0) est l opération qui permet de trouver les naturels q et r tels que : a = b q + r avec 0 r < b. Cela revient à situer a entre deux multiples consécutifs de b : b q et b (q +1). a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste = La division dans l ensemble Q des rationnels de a par b (b 0) est l opération qui permet de trouver le nombre x tel que b x = a. x est appelé le quotient de a par b. Dans Q cette équation admet toujours une solution unique. Le quotient de a par b est le rationnel b a Le plus souvent on cherche le quotient décimal exact ou une approximation décimale de ce quotient. On parle dans ce cas de division décimale ( par opposition avec la division euclidienne avec reste).

4 6. Critères de divisibilité Un nombre A est divisible par le nombre B. B 0, si le reste de la division de A par B est 0. C'est à dire si A est un multiple de B. Un caractère de divisibilité par B est un test, moins «coûteux» que la division par B, permettant de déterminer si le reste de la division par B est 0. Les tests présentés donnent le reste de la division par B. Divisibilité par 2... mcdu a le même reste que u dans la division euclidienne par 2. Si le nombre est pair. le reste est O. sinon le reste est 1. Le nombre est donc divisible par 2 si et seulement si u st un nombre divisible par 2, donc si u est égal à 0,2,4,6 ou 8.. Divisibilité par 3... mcdu a le même reste que u + d + c + m +... dans la division euclidienne par 3. Le nombre est donc divisible par 3 si et seulement si u + d + c + m +... est un nombre divisible par 3. Divisibilité par 4... mcdu a le même reste que 2d + u dans la division euclidienne par 4. Le nombre est donc divisible par 4 si et seulement si 2d + u est un nombre divisible par 4. Divisibilité par 5... mcdu a le même reste que u dans la division euclidienne par 5. Le nombre est donc divisible par 5 si et seulement si u st un nombre divisible par 5, donc si u est égal à 0 ou 5.. Divisibilité par 8... mcdu a le même reste que 4c + 2d + u dans la division euclidienne par 8. Le nombre est donc divisible par84 si et seulement si 4c + 2d + u est un nombre divisible par 8. Divisibilité par 9... mcdu a le même reste que u + d + c + m +... dans la division euclidienne par 9. Le nombre est donc divisible par 9 si et seulement si u + d + c + m +... est un nombre divisible par 9. Divisibilité par mcdu est divisible par 11 si et seulement si (u + c +... ) - (d + m +... ) est divisible par 11. Le nombre est donc divisible par 11 si et seulement si (u + c +... ) - (d + m +... ) est un nombre divisible par 11. Le reste de la division par 11 d'un nombre est celui de la division par 11 de la différence entre la somme des (nombre-)chiffres d'ordre pair (unité, centaine... ) et de la somme des (nombre-)chiffres d'ordre impair (dizaine, mille,...) ; si cette différence est négative, on ajoute 11, 22, x k pour obtenir un nombre 0. Exemple: a pour reste 8 dans la division par 11 Divisibilité par 13 Somme des chiffres d'ordre pair: = 7 Somme des chiffres d'ordre impair: = =8... mcdu est divisible par 13 si et seulement si... mcd + 4u est divisible par 13.

5 Exemple : 637 est divisible par 13 car x 7 = 91 et 91 est divisible par 13. D'une manière plus générale il suffit de répéter l'opération ci-dessus jusqu'à obtenir comme résultat final 13, 26 ou 39. Ce qui prouvera que le nombre considéré au départ est divisible par 13. Soit le nombre On a : = = = = = 13 Nous obtenons 13 donc est divisible par 13. Divisibilité par mcdu est divisible par 17 si et seulement si mcd u est divisible par 17. il suffit de répéter l'opération ci-dessus et de vérifier que le résultat final est un multiple de 17. Soit le nombre On a = = 0 Nous trouvons un résultat divisible par 17 donc 3723 est divisible par 17. Divisibilité par mcdu est divisible par 19 si et seulement si... mcd + 2u est divisible par est divisible par 19 car x 7 = 38 et 38 est divisible par 19.

6 7. Multiples et diviseurs

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