Chapitre I : Résolution de systèmes d équations linéaires par la méthode du pivot de Gauss

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1 Chapitre I : Résolution de systèmes d équations linéaires par la méthode du pivot de Gauss I. Equations linéaires A. Définitions B. Résolution d équations linéaires C. Interprétation géométrique d une équation linéaire à 2 ou 3 inconnues II. Systèmes d équations linéaires A. Définitions B. Interprétation géométrique C. La méthode de résolution du pivot de Gauss D. Cas particuliers 1

2 I Equations linéaires A. Définitions Définition D1: I Equations linéaires Une équation linéaire est une égalité de la forme MG=MD où le membre de gauche (MG) est une combinaison linéaire de variables (ou inconnues) et le membre de droite (MD) un paramètre. Un paramètre est un nombre réel qui est une donnée du problème Une combinaison linéaire des inconnues,,, est de la forme : ù,,, è 2

3 I Equations linéaires B. Résolution d équations linéaires Chercher les valeurs de la ou des inconnue(s) telle(s) que l égalité est vérifiée. C. Interprétation géométrique d une équation linéaire à 2 ou 3 inconnues équation à 2 inconnues : l ensemble des solutions forme une droite équation à 3 inconnues : l ensemble des solutions forme un plan 3

4 II Systèmes d équations linéaires A. Définitions II Systèmes d équations linéaires Définition D2: Un système d équations linéaires est un système composé de plusieurs équations linéaires comportant les mêmes inconnues. Le résoudre consiste à trouver les valeurs des inconnues telles que toutes les égalités du système soient vérifiées simultanément (si une ou plusieurs solutions) ou à démontrer que de telles valeurs n existent pas (si aucune solution) Définition D3: Un système d équations linéaires est dit homogène si tous ses membres de droite sont nuls. 4

5 II Systèmes d équations linéaires B. Interprétations géométrique Système de deux équations à deux inconnues : on cherche l intersection de deux droites En supposant 0 et 0, = + ( + = ( ) + = ( ) " ) = + ( ) Soit les droites se croisent en un point qui est l unique solution du système les droites n ont pas le même coefficient directeur : $ % $ ' & % & ' Soit les droites sont confondues et tous les points de la droite sont solutions les droites ont le même coefficient directeur : $ % = $ ' & % & ' et la même ordonnée à l origine : ( % = ( ' & % & ' Soit les droites sont parallèles et n ont aucun point commun les droites ont le même coefficient directeur : $ % = $ ' & % & ' mais pas la même ordonnée à l origine : ( % ( ' & % & ' 5

6 Système de 3 équations à 3 inconnues : intersection de 3 plans II Systèmes d équations linéaires Intersection des deux premiers plans : 1. Le plus souvent, c est une droite (), ) si les plans se coupent : *+, -*+. On ajoute le 3 ème plan : a. Le plus souvent, l intersection est un point : solution unique si ), n appartient pas au 3 ème plan si b. Aucune solution si ), est parallèle au 3 ème plan si 01 2 = mais 0) 2 0) + 0) c. Infinité de solutions si ), appartient au 3 ème plan si 01 2 = et 0) 2 = 0) + 0) 2. Aucune intersection si les plans sont parallèles : *+, = -*+. mais */, -*/. le système n admet aucune solution 3. C est le plan tout entier si les plans sont confondus : *+, = -*+. et */, = -*/. On raisonne alors avec deux plans : l intersection est soit une droite, soit l ensemble vide, soit le plan tout entier 6

7 C. La méthode du pivot de Gauss 1. Combinaison linéaire de deux équations linéaires II Systèmes d équations linéaires Définition D4 : Soit le système d équations S 01 = 0) 01 = 0) Une combinaison linéaire de et est une équation de la forme 6 = , 6, qui s écrit = 0) + 0) 7

8 II Systèmes d équations linéaires 2. La méthode de résolution Propriété P1 : Le système S admet le même ensemble de solutions que le système S dans lequel on a remplacé une ligne 7 de S par une combinaison linéaire d elle-même, avec un coefficient non nul, et d une autre ligne de S : on remplace 7 par 7 8 = :; 0. On dit que ces deux systèmes sont équivalents et on note < < Principe : exemple pour 3 équations (,, 2 ) et 3 inconnues (,, 2 ) 1. On choisit une équation comme pivot et on la met en premier ( ) est le pivot. On ne touchera pas cette équation 2. On combine et pour obtenir une équation 8 dans la quelle a disparu ; On combine 2 et pour obtenir une équation 2 8 dans la quelle a disparu ; On a donc une équation 6. à 3 inconnues et un sous système (6, 8,6 > 8 ) à deux inconnues 3. L équation 8 devient pivot de ce sous système et on combine pour obtenir une équation 2 88 dans la quelle a disparu On a donc une équation 6. à 3 inconnues (?.,?,,? > ), une équation 6, 8 à deux inconnues (?,,? > ) et une équation 6 > 88 à une seule inconnue (? > ) 8

9 II Systèmes d équations linéaires 3. Exemples 4. A retenir : Résoudre un système c est répondre à 2 questions 1. Existe-t-il au moins une solution? Lorsque le système n admet aucune solution, on note l ensemble des solutions < = {} ou < = 2. Si le système admet au moins une solution : Solution unique : on détermine le point solution Infinité de solutions : on donne le lien entre les inconnues (équation de la droite, du plan ) 9

10 D. Cas particuliers 1. Cas des systèmes homogènes II Systèmes d équations linéaires Propriété P2 : Un système homogène admet toujours au moins une solution : celle où toutes les inconnues prennent la valeur 0. 2.Cas des systèmes rectangulaires : équations et inconnues avec Lorsque le système est rectangulaire haut : plus d équations que d inconnues ( > ) En général : aucune solution (sauf si le système est homogène) b. Lorsque le système est rectangulaire bas : moins d équations que d inconnues ( < ) En général : infinité de solutions 10

11 II Systèmes d équations linéaires 2.Cas des systèmes rectangulaires : équations et inconnues avec a. Lorsque le système est rectangulaire haut : plus d équations que d inconnues ( > ) En général : aucune solution (sauf si le système est homogène) on résout le système formé par les m premières équations, si il a une solution unique, on regarde si la solution de ce sous-système est également solution des équations restantes Sinon, on supprime un des premières équations qui est une combinaison des autres et on la remplace par une des équations pas encore utilisée, etc b. Lorsque le système est rectangulaire bas : moins d équations que d inconnues ( < ) En général : infinité de solutions on manque d information pour déterminer toutes les inconnues. dans de rares cas, les équations sont «incompatibles» et le système n admet aucune solution 11