Numération. IV- Quelques exemples de numérations anciennes (illustrations jointes)

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1 Numération I- A quoi servent les nombres? - désigner, garder en mémoire des quantités (écrit/oral) - comparer des quantités - calculer. La notion de nombre revêt deux aspects complémentaires : l un dit cardinal, et l autre dit ordinal. Exemple : le mois de janvier comporte 31 jours. Le nombre 31 indique le nombre total de jours de ce mois : c est donc ici un nombre cardinal. Si par contre nous considérons une expression comme «le 31 janvier», le nombre 31 n est alors pas employé sous l aspect cardinal. Ce concept désigne plutôt le «trente et unième» jour de janvier : il spécifie le rang d un élément bien déterminé d un ensemble comprenant 31 jours : c est bien d un nombre ordinal (ou comme on le dit souvent d un numéro) qu il s agit ici. II- Un «rappel» mathématique Notre système de numération repose sur trois principes : le groupement, l échange et la valeur positionnelle. - Le groupement (ou base) : notre système est décimal, càd que lorsqu il y a 10 unités, elles sont regroupées en une dizaine. De plus, il est récursif et emboîtable : dans 326, le chiffre 3 désigne trois centaines, trois paquets de 100 unités et trois fois 10 groupes de 10 unités ; le 2 désigne deux groupes de 10 unités et le 6 désigne 6 unités non groupées. On peut également voir 326 comme 32 paquets de 10 unités et 6 unités non groupées ou encore comme 1 centaine, 21 dizaines et 16 unités non groupées. - L échange va de pair avec le groupement : il permet de dire que 10 unités peuvent être échangées pour une dizaine et vice-versa. Cette connaissance amènera les élèves à comprendre que pour enlever 5 unités au nombre 32, il faut échanger une dizaine pour 10 unités et retrancher ensuite les 5 unités. - Le principe de la valeur positionnelle permet d écrire tous les nombres avec seulement 10 chiffres. Le chiffre désignera ainsi tout à tour des unités, des dizaines, des centaines etc. suivant la position qu il occupe dans le nombre. III- Le principe de la base Problème : comment désigner des nombres élevés avec le moins possible de symboles? Solution : privilégier un groupement particulier (comme la dizaine, la douzaine, la vingtaine, la soixantaine par exemple) et d organiser la suite régulière des nombres selon une classification hiérarchisée. C est le principe de la base (nous y reviendrons en détail au V). IV- Quelques exemples de numérations anciennes (illustrations jointes) 1- Numération additive : la numération égyptienne (3000 av. JC) Dans les numérations additives, chaque chiffre a une valeur intrinsèque, qui ne dépend pas de sa place, ces chiffres s ajoutant pour former un nombre. Par exemple, si on écrit, dans une numération additive, 123 ou 231 ou 132, il s agit du même nombre PE1 2004/2005 Numération 1

2 Exemple : la numération égyptienne traduit par écrit une méthode concrète de dénombrement (un nombre est formé par la juxtaposition de symboles). C est un bel exemple de groupement en base dix. Caractéristiques : système d addition ; système à base 10 ; 7 symboles représentant chacun une puissance de la base ; écriture de gauche à droite ou de droite à gauche. Inconvénients : pas de zéro (mais ce n est pas nécessaire) ; écriture longue ; comparaison de nombres difficile. 2- Numération hybride : les Chinois Dans les numérations hybrides, on utilise à la fois l addition et la multiplication pour désigner les nombres. La multiplication intervient pour déterminer la quantité de chacun des groupements. Les systèmes hybrides représentent une économie de symboles dans l écriture des nombres par rapport aux systèmes additifs. Mais pour chaque nouvelle position ou groupement exprimé, un nouveau signe ou symbole s impose. La numération de position va régler cette difficulté. 3- Numération de position Nous utilisons une numération de position (base 10). Dans le système décimal, un chiffre n a pas la même valeur selon sa position : par exemple, dans 123, deux représente 2 dizaines et dans 256, deux représente deux centaines. De plus, on échange 10 unités pour avoir une dizaine, 10 dizaines pour avoir une centaine etc. Dans une numération de position, le nombre de chiffres est réduit. Un signe pour zéro est indispensable pour indiquer les ordres d unité absents. Les Babyloniens ont imaginé, 20 siècles avant notre ère, un système de position fondé sur la base 60. Nous l utilisons encore aujourd hui avec les heures, minutes, secondes! La numération babylonienne Caractéristiques : système sexagésimal (base 60) ; pas de symbole pour zéro ; deux chiffres minimaux (un clou pour 1, un chevron pour 10) ; 60 chiffres ordinaires au total ; possibilité d écriture décimale avec virgule (mais sans écrire la virgule l ordre de grandeur permet de savoir où placer la virgule) Représentation d un nombre entier :.. [soixantaines de soixantaines] [soixantaines] [unités de 0 à 59] c est-à-dire entier = a a ² a 2 + où a 0, a 1, a 2, sont des entiers compris entre 0 et 59. V- Les bases 1- Qu est-ce qu une base? Imaginons que je souhaite connaître le nombre d étoiles de cette ligne : PE1 2004/2005 Numération 2

3 ******************************************************************************** ******************************************************** Faisons des groupements par dix : ********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** ****** On appelle une dizaine un paquet de 10 étoiles, une centaine un paquet de 10 dizaines. Il y a donc une centaine, 3 dizaines et 6 unités : 136 étoiles. Imaginons maintenant que culturellement, on m impose de faire des groupements par sept (7 est nombre mystique!!) ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* ******* *** On appelle septaine un paquet de 7 étoiles, une quarante-neuvaine 7 paquets de 7 septaines. Il y a donc deux quarante-neuvaines, 5 septaines et 3 unités : 7 le nombre d étoiles en base 7 est donc 253. Pour ne pas confondre, on notera 253. De la même façon que l on peut écrire = en base 10 On écrira = en base Ecriture d un entier naturel en base B Soit B un entier naturel fixé. Tout entier naturel a s écrit alors d une seule façon sous la forme : 2 3 n 1 n a = a0 + a1b + a2b + a3b an 1B + anb où les entiers a i sont tous strictement inférieurs à B et a n est non nul (sinon, on n a pas unicité de l écriture). La numération de position revient à représenter le nombre par la liste des a i, écrite dans l ordre correspondant aux puissances décroissantes de B (de a n à a 0 ). 3- Exemples a) Quelle est la valeur en base 10 du nombre qui s écrit 3241 en base 7? b) Quel est le nombre qui précède 1200 en base 7? c) Quel est le nombre qui suit 4126 en base 7? d) Ecrire en base 7 le nombre qui s écrit 442 en base PE1 2004/2005 Numération 3

4 - 1 ère méthode Partager 442 en groupes de 7 : 442 = : le chiffre des unités est donc 1. Partager 63 en groupes de 7 : 63 = : le chiffre des septaines est donc 0. Partager 9 en groupes de 7 : 9 = : le chiffre des 49-aines est donc 2 et le chiffres des 343- aines est 1. Donc 442 s écrit 1201 en base ème méthode En base 7, les groupements auront : 7 éléments 7² = 49 éléments 7 3 = 343 éléments 7 4 = 2401 éléments etc. Or 343 < 442 < 2401 donc le nombre cherché aura 4 chiffres en base 7. Combien de 343-aines? 442 = : le chiffre des 343-aines est 1. Combien de 49-aines? 99 = : le chiffre des 49-aines est 2. Combien de 7-aines? 1 = : le chiffre des 7-aines est 0 et celui des unités est Comparaison de nombres en base B Règle 1 : un nombre qui a le plus de chiffres est le plus grand. Règle 2 : si les nombres à comparer ont le même nombre de chiffres, alors on compare les chiffres de gauche à droite et le classement s effectue aux premiers chiffres différents. Attention : ces deux règles sont valables si les nombres à comparer sont donnés dans la même base. Sinon, il faut se ramener à une base commune. VI- Comparaison entre numération chiffrée et numération orale Ressemblances - systèmes positionnels - recours à l addition et à la multiplication (lire 38, 80, 98) Différences - numération chiffrée en base 10 ; la numération orale fait intervenir d autres bases (bases 20 et 60) - en numération orale, le zéro marquant l absence à une position n est pas utilisé (exemple : cent). - pour comparer des nombres, la longueur du nombre est parfois suffisante en numération chiffrée, ce qui n est pas le cas en numération orale. PE1 2004/2005 Numération 4

5 VII- Quelques mots sur les programmes 1- Cycle 2 - Exprimer, garder en mémoire une quantité, une position dans une liste rangée, le résultat d un mesurage. - Comparer des quantités, des grandeurs. - Prévoir des résultats (augmentation, réunion, partage ). => Aspects : cardinal et ordinal - Maîtrise de comptine orale. - Dénombrement. - Mise en relation oral-écrit. Suites orales et écrites de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100. Suivantprécédent. Ordre. - Groupements par 10, Doubles et moitiés de nombres d usage courant. 2- Cycle 3 - Dénombrement, mesurage, graduation - Décomposition de nombres (/dizaines, centaines). Caractère infini des suites de nombres. - Aspect ordinal : symboles «<,>», ranger des nombres, situer un nombre dans une série ordonnée, encadrements. - Expressions d usage courant (quart, 3/2 etc.) - Multiples de 2, 5, Acquisition de la chaîne numérique verbale - Dès 2 ans ; 6 ans (1-20) ; 8-9ans (maîtrise) - Difficultés - Irrégularités dans le lexique des nb (structure sous-jacente de la base 10 non transparente) - Lors du changement de dizaine. 4- Comptage & dénombrement - Le comptage fournit une suite de nombres ordinaux. - Le dénombrement est le résultat du comptage : il fournit le nombre cardinal de la collection. Le dernier mot prononcé n est pas un simple n, mais représente à lui seul la quantité de tous les objets de la collection. - Subitizing (dès 5 ans) 4.1- Comptage - Récitation du nom des nombres dans l ordre correct avec appariement un à un. - Pointage de chaque élément compté. - Séparation entre ce qui a été compté et ce qui reste à compter - Contrôle de tout ça! 4.2- Dénombrement - Stricte correspondance terme à terme. - Ordre stable (des mots-nombres). - Cardinalité. - Abstraction : l hétérogénéité ou l homogénéité des objets d une collection n a pas d incidence sur le dénombrement d où nécessité de traiter les objets comme des unités abstraites. - Le comptage peut être effectué à partir de n importe quel objet. Le résultat du comptage est invariant PE1 2004/2005 Numération 5