Retour sur le cours #10. Cours #11. Analyse des circuits électriques -GPA /04/2014. Retour sur le cours #10 (1)

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1 Analyse des circuits électriques -GPA220- Cours #: Systèmes de deuxième ordre (2ième partie) Enseignant: Jean-Philippe Roberge Retour sur le cours #0: Système de deuxième ordre: Cours # Circuit RLC en parallèle: réponse naturelle (cas ) Correction du quiz #3 Théorie du cours #: Système de deuxième ordre: Circuit RLC en parallèle: réponse à l échelon (cas 2) Circuit RLC en série: réponse naturelle (cas 3) Circuit RLC en série: réponse à l échelon (cas 4) 2 Retour sur le cours #0 () Retour sur le cours #0 Un système de deuxième ordre est un système dont la dynamique s exprime à l aide d une équation où intervient la dérivée deuxième d une variable. La forme générale: d = ax + bx + cx Les systèmes d ordre 2 sont très répandus dans le domaine du génie! Exemple: Soit u le couple appliqué au bras afin de positionner la tête de lecture et y le déplacement angulaire qui en résulte: u = Iy + by + ky 3 Exemple et image tirés des notes de cours d ELE3202 École Polytechnique de Montréal 4

2 Retour sur le cours #0 (2) Retour sur le cours #0 (3) La réponse d un système d ordre 2 peut prendre plusieurs formes, dépendament du taux d amortissement: Solution générale d une équation différentielle d ordre 2, homogène, linéaire à coefficients constants: st s2t v ( t) = A e + A2e Pour les circuits RLC en parallèle: Image tirée de: mons/4/4f/second_order_transfer_functio n.svg s = α ± α ω 2 2,2 0 0 (Racines) α = 2RC (Coefficient d'amortissement) ω0 = LC (Fréquence naturelle) α ζ = ω (Taux d'amortissement) 5 6 Retour sur le cours #0 (4) Il existe trois types de réponses, dépendamment de la valeur du taux d amortissement: Pour trouver la solution v(t) du système de deuxième ordre, dépendament de ζ 7 8 2

3 Retour sur le cours #0 (5) Retour sur le cours #0 (6) er cas: ζ> (réponse sur-amortie), alors les racines (s et s 2 ) sont réelles et négatives. Pour trouver la valeur de A et de A 2, il suffit alors d utiliser les deux conditions initiales: Or on sait que: 2ième cas: ζ< (réponse sous-amortie), les racines s et s 2 seront alors complexes: Qui peut se ré-écrire sous la forme: Où w d se nomme la fréquence naturelle amortie. À partir d Euler, on obtient: Pour trouver B et B 2 on utilise aussi les conditions initiales: 9 0 Retour sur le cours #0 (7) Retour sur le cours #0 (8) Petit récapitulatif 3ième cas: ζ=, nous sommes dans une situation particulière qui se nomme amortissement critique. Dans cette situation unique, les racines s et s 2 sont réelles et égales: Nous avons trouvé la tension entre les noeuds d un RLC parallèle lorsque l on déconnecte une source et que le circuit possède de l énergie. Prenez garde à la forme! Pour trouver les valeurs de D et D 2 on utilise aussi les conditions initiales: En connaissant v(t), on connait la dynamique du système, c est-à-dire qu il est alors possible de déterminer directement i L (t), i R (t) et i C (t) à partir des formules que nous avons vu précédemment (Inductance, loi d Ohm et capacitance). 2 3

4 Retour sur le cours #0 (8) Petit récapitulatif Sommaire de l expression de v(t) dépendamment du taux d amortissement ζ: Correction du quiz #3 **Tiré du livre, page Réponse à l échelon d un circuit RLC parallèle () Cours # Nous avons trouvé la tension entre les noeuds d un RLC parallèle lorsque l on déconnecte une source et que le circuit possède de l énergie. Étudions maintenant le cas où l on connecte une source. Exprimez v(t) en fonction de C, R et L: 5 6 4

5 Réponse à l échelon d un circuit RLC parallèle (2) Réponse naturelle d un circuit RLC série () En résumé, la réponse à l échelon n est pas bien plus compliqué que la réponse naturelle. La réponse à l échelon possède une forme très similaire: Exprimer v(t) en fonction des paramètres R, L et C du circuit ci-dessous: 7 8 Réponse naturelle d un circuit RLC série (2) Réponse à l échelon d un circuit RLC série () En résumé, la forme des équations est la même que dans le cas des circuits RLC parallèle: st s2t v ( t) = A e + A2e Excepté que pour les circuits RLC en série, α est différent: Ce sont les mêmes équations que montrées précédement: s = α ± α ω 2 2,2 0 0 (Racines) R α = 2L (Coefficient d'amortissement) *** ω0 = (Fréquence naturelle) LC α ζ = ω (Taux d'amortissement)

6 Références [] Présentations PowerPoint du cours GPA220, Vincent Duchaine, Hiver 20 [2] NILSSON, J. W. et S.A. RIEDEL. Introductory Circuits for Electrical and Computer Engineering, Prentice Hall, [3] Wildi, Théodore. Électrotechnique, Les presses de l Université Laval, 3ième édition, 200 [4] Floyd, Thomas L. Fondements d électrotechnique, Les éditions Reynald Goulet inc., 4ième édition,