GLM - GEE - GLMM Modèles de régression pour variables réponses discrètes et continues asymétriques

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1 GLM - GEE - GLMM Modèles de régression pour variables réponses discrètes et continues asymétriques Eva Cantoni Department of Econometrics University of Geneva Eva.Cantoni@unige.ch Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

2 Sommaire Sommaire Jeux de données et leur nature (1) Jeux de données et leur nature (2) Jeux de données et leur nature (3) Limitations du modèle linéaire Jeux de données et leur nature : réponses binaires, comptages, réponses positives. (GLM) pour réponses indépendantes Exemples Extension aux données Exemple Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

3 Sommaire Jeux de données et leur nature (1) Jeux de données et leur nature (2) Jeux de données et leur nature (3) Limitations du modèle linéaire Variables réponses Y 1,...,Y n indépendantes continues, covariées x i = (1,x i1,...,x ip ) T. Modèle : Y i = β 0 + β 1 x i β p x ip + ǫ i = x T i β + ǫ i Hypothèses : ǫ i suit une distribution continue avec E(ǫ i ) = 0 et V ar(ǫ i ) = σ 2 (ou ǫ i N(0,σ 2 )). Estimation : par maximum de vraisemblance ou moindres carrés (revient au même si hypothèse de normalité). Inférence basée sur la vraisemblance (distribution asymptotique de l estimateur, differentes statistiques de test). Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

4 Jeux de données et leur nature (1) Sommaire Jeux de données et leur nature (1) Jeux de données et leur nature (2) Jeux de données et leur nature (3) Limitations du modèle linéaire CARDIA study (Coronary Artery Risk Development in young Adults) Réf. : Preisser, Galecki, Lohman and Wagenknecht (2000) Analysis of smoking trends with incomplete longitudinal binary responses, JASA (http ://lib.stat.cmu.edu/) individus (18-30 ans) mesurés sur 4 vagues : 1986, 1988, 1991 et Variable réponse : ne fume pas (0) / fume (1) (binomiale). Covariées : age cohorte de naissance ( , ) niveau d éducation (high school or less, some college, college degree) race-sexe (hommes noirs, femmes noires, hommes blancs, femmes blanches) Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

5 Jeux de données et leur nature (2) Sommaire Jeux de données et leur nature (1) Jeux de données et leur nature (2) Jeux de données et leur nature (3) Limitations du modèle linéaire NMMAPS : National Morbidity, Mortality and Air Pollution Study Database ( ) (Réf. : http :// pour 88 grandes villes des Etats Unis. Variable réponse : nombre de morts par jour (Poisson). Covariées : particules fines en mg/m 3 (moins de 10 µ de diamètre) (moyenne tronquée (10%) sur toutes les stations de la county ) (pm10tmean) temperature moyenne sur 24 heures (tmean) date (day) temperature à l aube (dptp) jour de la semaine (dow : 1=Sat, 2=Sun,...) Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

6 Jeux de données et leur nature (3) Sommaire Jeux de données et leur nature (1) Jeux de données et leur nature (2) Jeux de données et leur nature (3) Limitations du modèle linéaire Hospitalisation pour problèmes de dos (APDRG 243) au Centre Hospitalier Universitaire Vaudois (CHUV) à Lausanne en 1999 (Réf. : Marazzi et Yohai (2004) Adaptively truncated maximum likelihood regression with asymmetric errors, Journal of Stat. Planning and Inference.) 100 patients. Variable réponse : coûts d hospitalisation (). Covariées : durée du séjour (LOS, en jour) type d admission (Typadm : 0=planifiée, 1=urgence) type d assurance (TypAss : 0=base, 1=privée) age en année (age) sexe (Sexe : 0=femme, 1=homme) destination (dest : 1=domicile, 0=autre établissement) Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

7 Limitations du modèle linéaire Sommaire Jeux de données et leur nature (1) Jeux de données et leur nature (2) Jeux de données et leur nature (3) Limitations du modèle linéaire CARDIA : restriction à l intervalle [0, 1], asymétrie. NMMPAS : positif, discret, asymétrie. Coûts hospitaliers : asymétrie, évtl. étalement à droite. Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

8 généralisé (1) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Variables réponses Y 1,...,Y n indépendantes, covariées x i = (1,x i1,...,x ip ) T. Le modèle linéaire peut s écrire : Modèle GLM : Y i = x T i β + ǫ i ou E(Y i ) = µ i = x T i β. g(e(y i )) = β 0 + β 1 x i β p x ip = x T i β où g est appelée fonction lien. Possibilité (comme dans le modèle linéaire) de considérer des transformations dans les covariées (termes quadratiques, p. ex.) Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

9 généralisé (2) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Hypothèses : Y i suit une distribution discrète ou continue dans la famille exponentielle (contient : binomiale, Poisson, exponentielle, ) avec E(Y i ) = µ i et V ar(y i ) = v(µ i ). Estimation : par maximum de vraisemblance. Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

10 généralisé (2) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Hypothèses : Y i suit une distribution discrète ou continue dans la famille exponentielle (contient : binomiale, Poisson, exponentielle, ) avec E(Y i ) = µ i et V ar(y i ) = v(µ i ). Estimation : par maximum de vraisemblance. Validation du modèle : inspection des résidus. Inférence basée sur la vraisemblance (ou déviance) : distribution asymptotique de l estimateur (et donc variance) comparaison de modèles emboîtés (type test de rapport de vraisemblance, distribution χ 2 ) critère d Akaike (AIC) Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

11 binaires généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Si Y i = 0 ou 1, alors E(Y i ) = µ i = p i = P(Y i = 1) et V ar(y i ) = p i (1 p i ). Il y a différentes possibilités pour g : lien logit : log( p i 1 p i ) = x T i β lien probit : Φ(p i ) = x T i β lien c-loglog : log( log(1 p i )) = x T i β Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

12 binaires généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Si Y i = 0 ou 1, alors E(Y i ) = µ i = p i = P(Y i = 1) et V ar(y i ) = p i (1 p i ). Il y a différentes possibilités pour g : lien logit : log( p i 1 p i ) = x T i β lien probit : Φ(p i ) = x T i β lien c-loglog : log( log(1 p i )) = x T i β Si Y i est Bin(n i,p i ), on travaille avec les proportions Y i /n i. Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

13 Poisson et réponses généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Si Y i P(λ i ), alors E(Y i ) = λ i et V ar(y i ) = λ i. Fonction lien logarithmique : log(λ i ) = x T i β Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

14 Poisson et réponses généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Si Y i P(λ i ), alors E(Y i ) = λ i et V ar(y i ) = λ i. Fonction lien logarithmique : log(λ i ) = x T i β Si Y i (µ i,φ), alors E(Y i ) = µ i et V ar(y i ) = µ 2 i /φ. Fonction lien logarithmique : log(λ i ) = x T i β (ou fonction lien inverse : 1/λ i = x T i β). Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

15 Poisson et réponses généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Si Y i P(λ i ), alors E(Y i ) = λ i et V ar(y i ) = λ i. Fonction lien logarithmique : log(λ i ) = x T i β Si Y i (µ i,φ), alors E(Y i ) = µ i et V ar(y i ) = µ 2 i /φ. Fonction lien logarithmique : log(λ i ) = x T i inverse : 1/λ i = x T i β). β (ou fonction lien Attention : pas équivalent à transformer la réponse en log! Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

16 1986 (1) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles glm(formula = smoke ~ age + factor(birth) + factor(education) + factor(racesex), family = binomial, data = CARDIA.wave1) oefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) * age * factor(birth) factor(birth) factor(education) e-14 *** factor(education) < 2e-16 *** factor(racesex) factor(racesex) factor(racesex) Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: on 3692 degrees of freedom Residual deviance: on 3684 degrees of freedom AIC: Number of Fisher Scoring iterations: 4 Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

17 1986 (2) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Résidus : Residuals Std. deviance resid Residuals vs Fitted Predicted values Scale Location Predicted values Std. deviance resid. Std. deviance resid Normal Q Q Theoretical Quantiles Residuals vs Leverage Cook s distance Leverage Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

18 1986 (3) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Interprétation : Effet d une variable (toute chose étant égale par ailleurs) : p i log( ) = x T i 1 p β et donc p i = exp(x T i i 1 p β). i On interprète sur l échelle des cotes (odds). Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

19 1986 (3) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Interprétation : Effet d une variable (toute chose étant égale par ailleurs) : p i log( ) = x T i 1 p β et donc p i = exp(x T i i 1 p β). i On interprète sur l échelle des cotes (odds). Une année (age) supplémentaire augmente la cote de fumer de 6.6% (car exp( ) = 1.066) Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

20 1986 (3) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Interprétation : Effet d une variable (toute chose étant égale par ailleurs) : p i log( ) = x T i 1 p β et donc p i = exp(x T i i 1 p β). i On interprète sur l échelle des cotes (odds). Une année (age) supplémentaire augmente la cote de fumer de 6.6% (car exp( ) = 1.066) Le fait d avoir un diplôme universitaire (education=3, par rapport un niveau de formation non-universitaire) diminue la cote de 86% (car exp( 1.939) = 0.144) Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

21 (n = 1986) (1) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles glm(formula = death ~ pm10tmean + tmean + day + dptp + factor(dow), family = poisson, data = sanf) Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) 2.283e e < 2e-16 *** pm10tmean 1.733e e ** tmean e e * day e e e-05 *** dptp e e factor(dow) e e factor(dow) e e factor(dow) e e factor(dow) e e factor(dow) e e factor(dow) e e Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1) Null deviance: on 1985 degrees of freedom Residual deviance: on 1975 degrees of freedom (13356 observations deleted due to missingness) AIC: Number of Fisher Scoring iterations: 4 Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

22 (n = 1986) (2) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Résidus : Residuals Std. deviance resid Residuals vs Fitted Predicted values Scale Location Predicted values Std. deviance resid. Std. deviance resid Normal Q Q Theoretical Quantiles Residuals vs Leverage Cook s distance Leverage Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

23 (n = 1986) (3) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Interprétation : Effet d une variable (toute chose étant égale par ailleurs) : log(λ i ) = x T i β et donc µ i = λ i = exp(x T i β). Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

24 (n = 1986) (3) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Interprétation : Effet d une variable (toute chose étant égale par ailleurs) : log(λ i ) = x T i β et donc µ i = λ i = exp(x T i β). Une augmentation de 10 mg/m 3 de particules fines augmente le nombre de morts de 1.7% (exp( ) = 1.017). Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

25 (n = 1986) (3) généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles Interprétation : Effet d une variable (toute chose étant égale par ailleurs) : log(λ i ) = x T i β et donc µ i = λ i = exp(x T i β). Une augmentation de 10 mg/m 3 de particules fines augmente le nombre de morts de 1.7% (exp( ) = 1.017). Un degré (temperature) supplémentaire réduit le nombre de morts de 0.5% (car exp( 0.005) = 0.995). Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

26 Problèmes possibles généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles sur/sous dispersion : pour la binomiale et la Poisson, l hypothèse sur la variance n est pas satisfaite. Solution : modèle de type quasi-poisson (Hyp. : V ar(y i ) = φv(µ i ) et estimation par quasi-vraisemblance). Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

27 Problèmes possibles généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles sur/sous dispersion : pour la binomiale et la Poisson, l hypothèse sur la variance n est pas satisfaite. Solution : modèle de type quasi-poisson (Hyp. : V ar(y i ) = φv(µ i ) et estimation par quasi-vraisemblance). pic en zéro : excès de zéros dans les comptages (Poisson) ou pic en zéro pour les données continues. Solution : modèle de type zero-inflated (e.g. ZIP) ou two-step/hurdle. Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

28 Problèmes possibles généralisé (1) généralisé (2) binaires Poisson et réponses 1986 (1) 1986 (2) 1986 (3) (n = 1986) (1) (n = 1986) (2) (n = 1986) (3) Problèmes possibles sur/sous dispersion : pour la binomiale et la Poisson, l hypothèse sur la variance n est pas satisfaite. Solution : modèle de type quasi-poisson (Hyp. : V ar(y i ) = φv(µ i ) et estimation par quasi-vraisemblance). pic en zéro : excès de zéros dans les comptages (Poisson) ou pic en zéro pour les données continues. Solution : modèle de type zero-inflated (e.g. ZIP) ou two-step/hurdle. Valeurs aberrantes : valeurs extrêmes qui influencent grandement l estimation. Solution : statistique robuste. Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

29 Extensions aux données Extensions aux données GEE en détail GLMM en détail GEE vs GLMM CARDIA - GEE (1) CARDIA - GEE (2) CARDIA - GLMM Variables réponses Y 1 = (Y 11,...,Y 1ni ) T,...,Y n = (Y n1,...,y nni ) T, covariées x it = (1,x it1,...,x itp ) T pour t = 1,...,n i. Les Y i sont indépendants, mais pour chaque i, les Y it pour t = 1,...,n i ne le sont pas. Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

30 Extensions aux données Extensions aux données GEE en détail GLMM en détail GEE vs GLMM CARDIA - GEE (1) CARDIA - GEE (2) CARDIA - GLMM Variables réponses Y 1 = (Y 11,...,Y 1ni ) T,...,Y n = (Y n1,...,y nni ) T, covariées x it = (1,x it1,...,x itp ) T pour t = 1,...,n i. Les Y i sont indépendants, mais pour chaque i, les Y it pour t = 1,...,n i ne le sont pas. Deux façons d intégrer cette hypothèse : 1. GEE (generalized estimating equations) : modéliser la corrélation directement. Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

31 Extensions aux données Extensions aux données GEE en détail GLMM en détail GEE vs GLMM CARDIA - GEE (1) CARDIA - GEE (2) CARDIA - GLMM Variables réponses Y 1 = (Y 11,...,Y 1ni ) T,...,Y n = (Y n1,...,y nni ) T, covariées x it = (1,x it1,...,x itp ) T pour t = 1,...,n i. Les Y i sont indépendants, mais pour chaque i, les Y it pour t = 1,...,n i ne le sont pas. Deux façons d intégrer cette hypothèse : 1. GEE (generalized estimating equations) : modéliser la corrélation directement. 2. GLMM (generalized linear mixed models) : ajouter des effets aléatoires au modèle. Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

32 GEE en détail Extensions aux données GEE en détail GLMM en détail GEE vs GLMM CARDIA - GEE (1) CARDIA - GEE (2) CARDIA - GLMM Hypothèses : E(Y it ) = µ it, V ar(y it ) = φv(µ it ) et Corr(Y it,y it ) = r(α). Choix pour r(α) : échangeable, AR(1), libre,... Modèle : g(µ it ) = x T itβ Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

33 GEE en détail Extensions aux données GEE en détail GLMM en détail GEE vs GLMM CARDIA - GEE (1) CARDIA - GEE (2) CARDIA - GLMM Hypothèses : E(Y it ) = µ it, V ar(y it ) = φv(µ it ) et Corr(Y it,y it ) = r(α). Choix pour r(α) : échangeable, AR(1), libre,... Modèle : g(µ it ) = x T itβ Equations d estimation : n i=1 D T i (A 1/2 i R i (α)a 1/2 i ) 1 (Y i µ i ) = 0, avec D i = dµ i /dβ et A i = diag(φv(µ it )). Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

34 GEE en détail Extensions aux données GEE en détail GLMM en détail GEE vs GLMM CARDIA - GEE (1) CARDIA - GEE (2) CARDIA - GLMM Hypothèses : E(Y it ) = µ it, V ar(y it ) = φv(µ it ) et Corr(Y it,y it ) = r(α). Choix pour r(α) : échangeable, AR(1), libre,... Modèle : g(µ it ) = x T itβ Equations d estimation : n i=1 D T i (A 1/2 i R i (α)a 1/2 i ) 1 (Y i µ i ) = 0, avec D i = dµ i /dβ et A i = diag(φv(µ it )). Diagnostic des résidus possible. Inférence : distribution asymptotique connue. Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

35 GLMM en détail Extensions aux données GEE en détail GLMM en détail GEE vs GLMM CARDIA - GEE (1) CARDIA - GEE (2) CARDIA - GLMM Covariées pour les effets aléatoires : z it = (1,z it1,...,z itq ) T pour t = 1,...,n i. Hypothèses : - γ i indépendants selon N(0, Ψ) - Y it γ i, t = 1,...,n i indépendants selon une distribution de la famille exponentielle. - E(Y it γ i ) = µ it et V ar(y it γ i ) = φv(µ it ). Modèle : g(e(y it γ i )) = g(µ it ) = x T itβ + z T itγ i avec fonction lien g. Estimation par maximum de vraisemblance : L(β,φ, Ψ) = n i=1 ni t=1 f(y it γ i,β,φ)f(γ i φ, Ψ)dγ i. Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

36 GEE vs GLMM Extensions aux données GEE en détail GLMM en détail GEE vs GLMM CARDIA - GEE (1) CARDIA - GEE (2) CARDIA - GLMM GEE pas de vraisemblance, mais équations d estimation aujstement facile inference de type population average GLMM vraisemblance calcul de la vraisemblance compliqué inference de type subject-specific Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

37 CARDIA - GEE (1) Extensions aux données GEE en détail GLMM en détail GEE vs GLMM CARDIA - GEE (1) CARDIA - GEE (2) CARDIA - GLMM GEE: GENERALIZED LINEAR MODELS FOR DEPENDENT DATA gee S-function, version 4.13 modified 98/01/27 (1998) Model: Link: Logit Variance to Mean Relation: Binomial Correlation Structure: AR-M, M = 1 Coefficients: Estimate Naive S.E. Naive z Robust S.E. Robust z (Intercept) age factor(birth) factor(birth) factor(education) factor(education) factor(racesex) factor(racesex) factor(racesex) Estimated Scale Parameter: Number of Iterations: 2 Working Correlation [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] [2,] [3,] [4,] Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

38 CARDIA - GEE (2) Résidus : Extensions aux données GEE en détail GLMM en détail GEE vs GLMM CARDIA - GEE (1) CARDIA - GEE (2) CARDIA - GLMM residuals Index Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

39 CARDIA - GLMM Extensions aux données GEE en détail GLMM en détail GEE vs GLMM CARDIA - GEE (1) CARDIA - GEE (2) CARDIA - GLMM Linear mixed-effects model fit by maximum likelihood Random effects: Formula: ~1 id (Intercept) Residual StdDev: Variance function: Structure: fixed weights Formula: ~invwt Fixed effects: smoke ~ age + factor(birth) + factor(education) + factor(racesex) Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) age factor(birth) factor(birth) factor(education) factor(education) factor(racesex) factor(racesex) factor(racesex) Standardized Within-Group Residuals: Min Q1 Med Q3 Max Number of Observations: Number of Groups: 3693 Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

40 Extra CHUV (1) CHUV (2) Extra Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

41 CHUV (1) Extra CHUV (1) CHUV (2) glm(formula = CouTot ~ log(los) + Typadm + Typass + age + Sexe + dest, family = (link = log), data = MYdata) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) < 2e-16 *** log(los) < 2e-16 *** Typadm e-05 *** Typass age Sexe dest Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * (Dispersion parameter for family taken to be ) Null deviance: on 99 degrees of freedom Residual deviance: on 93 degrees of freedom AIC: Number of Fisher Scoring iterations: 5 Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28

42 CHUV (2) Extra CHUV (1) CHUV (2) Residuals Residuals vs Fitted Std. deviance resid Normal Q Q Predicted values Theoretical Quantiles Std. deviance resid Scale Location Std. deviance resid Residuals vs Leverage Cook s 63 distance Predicted values Leverage Eva Cantoni Colloque d Epidémiologie Clinique et Biostatistique (HUG) - 9 juin / 28