Exercices sur les algorithmes liés à la divisibilité et à la division euclidienne. TS spé. Deux remarques importantes :

Transcription

1 TS spé Exercices sur les algorithmes liés à la divisibilité et à la division euclidienne Effectuer avec la calculatrice la division euclidienne de : par par par. Dans chaque cas, écrire l égalité de la division euclidienne et une phrase de réponse sur le modèle suivant : «Dans la division euclidienne de par, le quotient est égal à et le reste est égal à.» On considère l algorithme suivant où n est un entier naturel. Initialisation : u prend la valeur n Traitement : Tantque u Faire u prend la valeur u FinTantque Sortie : Afficher u Recopier cet algorithme dans un cadre (sur une même page, on ne doit pas avoir à passer sur une nouvelle page). ) Faire fonctionner cet algorithme «à la main» pour les valeurs de n suivantes saisies en entrée : n 35 ; n 50 ; n 55. Pour chaque valeur de n, on fera un tableau d évolution de la variable u sur le modèle ci-dessous. Deux remarques importantes : Il est inutile de programmer l algorithme sur calculatrice. Pour chaque valeur de n saisie en entrée, faire une phrase réponse sur le modèle suivant (à recopier et compléter) : «Pour n... saisi en entrée, la valeur de u affichée en sortie est». ) Pour un entier naturel n quelconque, quel est le nombre entier naturel fourni par cet algorithme en sortie? 3 Années bissextiles Une année (qui correspond à la durée de révolution de la Terre autour du Soleil) dure 365,4 jours. Afin que notre calendrier coïncide avec cette période, certaines années durent 365 jours et d autres 366 jours. La partie décimale de 365,4 valant presque un quart, on ajoute tous les 4 ans un jour à notre calendrier (le 9 février). Le critère retenu pour déterminer si une année est bissextile ou non est le suivant : Règle N : Si l année est divisible par 4 alors c est une année bissextile. On rappelle ci-dessous le critère de divisibilité par 4 : Un entier naturel est divisible par 4 lorsque les deux chiffres de droite de son écriture en base 0 forment un nombre multiple de 4 : 00, 04, 08,,... 80, 84, 88, 9, 96. Exemples : 48 ; Par exemple, 06 est une année bissextile, car 06 est divisible par 4. En revanche, 07 n est pas une année bissextile. ) Déterminer si les années suivantes sont bissextiles : 04 ; 05 ; 00 ; 06. ) L algorithme ci-dessous détermine selon la règle N si une année N saisie en entrée est bissextile. Saisir N Traitement et sortie : Si 4 N Alors afficher «Année bissextile» Sinon afficher «Année non bissextile» Étape 0 Condition u vraie vraie Valeur de u Recopier cet algorithme dans un cadre bien centré sur une seule page en respectant la présentation. Programmer cet algorithme sur la calculatrice. La règle N n est pas tout à fait correcte, car elle considère qu une année dure 365,5 jours en moyenne au lieu de 365,4. Un léger décalage s introduit au cours du temps. Une seconde règle a donc été établie :

2 Règle N : Parmi les années de début de siècle, seules celles divisibles par 400 sont bissextiles. N.B. : Les années de début de siècle sont : 00, 00,, 00, 300 etc. 3 ) Recopier, en le modifiant, l algorithme donné à la question ) qui détermine selon les règles N et N si une année est bissextile. On gardera la même structure avec une seule instruction conditionnelle mais en écrivant la condition avec les connecteurs logique «et» et «ou». Réaliser le programme correspondant sur calculatrice. Le calendrier julien est introduit par Jules César en 46 av. J.-C. pour remplacer le calendrier romain. Il est utilisé dans la Rome antique à partir de 45 av. J.-C.. Il reste employé en Europe jusqu à son remplacement par le calendrier grégorien à la fin du XVI e siècle. Le calendrier grégorien est un calendrier solaire conçu à la fin du XVI e siècle pour corriger la dérive séculaire du calendrier julien alors en usage. Il porte le nom de son instigateur, le pape Grégoire XIII. Adopté à partir de 58 dans les États catholiques, puis dans les pays protestants, son usage s est progressivement étendu à l ensemble du monde au début du XX e siècle. Le calendrier grégorien s est imposé dans la majeure partie du monde pour les usages civils ; de nombreux autres calendriers sont utilisés pour les usages religieux ou traditionnels. Pour les exercices 4 et 5, on rappelle l algorithme A suivant qui, pour un entier naturel n saisi en entrée, affiche ses diviseurs positifs en sortie. 4 Pour tout entier naturel n, on note Traitement et sorties : Pour i allant de à n Faire Si i n Alors afficher i FinPour ) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : dn le nombre de ses diviseurs positifs. n Les années comptent 365 jours dont 8 en février sauf les années bissextiles à 366 jours dont 9 en février. Les années bissextiles sont : - les années dont le millésime est multiple de 4 mais pas de 00 - et les années dont le millésime est multiple de 000. Ces décisions ont été prises peu à peu au cours des siècles pour ajuster notre calendrier à l année des saisons (365,4 jours). Une année de 365 jours, c est simple mais trop court! Il faut donc rajouter des jours. Le calendrier julien, fondé par Jules César, comporte un jour doublé tous les quatre ans. Il s agit du sixième jour avant les calendes de mars qui devient donc bis-sextus martias d où le nom d année bissextile. Avec une année de 366 jours tous les quatre ans, la durée moyenne de l année est de 365,5 jours. Pas mal par rapport à l année des saisons, mais trop long... Au bout de quatre siècles, le décalage est de trois jours. En 58, il atteint jours ce qui pose des problèmes aux autorités ecclésiastiques pour fixer certaines fêtes religieuses comme celle de Pâques. Le pape Grégoire XIII ordonne alors une réforme du calendrier : le calendrier grégorien est né. Tout d abord, il faut résorber le décalage constaté : 0 jours sont simplement supprimés en 58. Ensuite il faut éliminer les causes du décalage et donc réduire le nombre d années bissextiles : les années séculaires deviennent non bissextiles sauf si leur millésime est multiple de 400. L année grégorienne ne comporte plus en moyenne que 365,45 jours. Elle est encore trop longue de 0,0003 jours par rapport à l année des saisons. Dans ans, notre calendrier aura trois jours de trop! dn ) On admet que l on ne peut pas donner une expression de dn en fonction de n. Pour calculer la valeur de d n pour un entier naturel n fixé, on peut utiliser un programme. a) Reprendre l algorithme valeur de n saisie en entrée, il affiche en sortie la valeur de d n. A et le modifier en introduisant une variable supplémentaire d afin que, pour une b) Réaliser le programme correspondant sur calculatrice. c) À l aide du programme, déterminer : d 000 ; - la valeur de - le plus petit entier naturel qui admet 5 diviseurs positifs. 3 ) Retrouver les résultats de la question précédente en rentrant dans la calculatrice la fonction X X Y restex, K 0 ou Y remainder X, K 0. K K On tape le X avec la touche X, T,,n. 5 Pour tout entier naturel n, on note Sn la somme de ses diviseurs positifs. Sn en fonction de n. On admettra que l on ne peut pas donner une expression de

3 Reprendre l algorithme A et le modifier en introduisant une variable supplémentaire d afin que, pour une valeur de n saisie en entrée, il affiche en sortie la valeur de Réaliser le programme correspondant sur calculatrice. Sn. Exemple : TE mot en clair étape 9 ; 4 étape 3;9 étape 3 NT mot codé Retrouver les résultats de la question précédente en rentrant dans la calculatrice la fonction X X ou Y K reste X, K 0 K On tape le X avec la touche X, T,,n. 6 Chiffrement de Hill Y K remainder X, K 0 K Le but de l exercice est d étudier une méthode de chiffrement publiée en 99 par le mathématicien et cryptologue américain Lester Hill. C est un chiffrement polygraphique, c est-à-dire qu on ne (dé)chiffre pas les lettres les unes après les autres, mais par paquets. Nous étudierons la version bigraphique, c est-à-dire que nous grouperons les lettres deux par deux, mais on peut imaginer des paquets plus grands. On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante : Étape : Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Coder le mot ST en détaillant les étapes. Autre présentation du procédé de chiffrement de Hill avec des matrices : 3 On donne la matrice A (matrice carrée d ordre ). 7 4 Cette matrice est appelée la clef du chiffrage de Hill. x Le mot à coder est remplacé par la matrice colonne X, où x est l entier représentant la première lettre x du mot et x l entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance qui a été donné auparavant. z La matrice X est transformée en la matrice colonne Z telle que Z AX. z y La matrice Z est transformée en la matrice Y, où y est le reste de la division euclidienne de z par 6 y et y le reste de la division euclidienne de z par 6. Les entiers y et y donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance qui a été donné. 7 Déterminer le nombre de chiffres de l écriture en base 0 de 06! (factorielle de 06). 8 Soit A un réel positif ou nul. ) Exprimer en fonction de A le nombre d entiers naturels pairs inférieurs ou égaux à A. ) Exprimer en fonction de A le nombre d entiers naturels impairs inférieurs ou égaux à A. On obtient un couple d entiers x ; x où x correspond à la première lettre du mot et x correspond à la deuxième lettre du mot. Étape : x x est transformé en ; ; y y tel que y est le reste de la division euclidienne de x 3x par 6 et y est le reste de la division euclidienne 7 x 4x par 6. Étape 3 :. ; y y est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l étape

4 Corrigé Dans un certain nombre d exercices, on peut utiliser la notion de fonction en programmation. Division euclidienne de «grands» nombres à l aide de la calculatrice On se débrouille avec la calculatrice. Si on utilise une calculatrice collège, on obtient tout de suite les résultats. Si on utilise une calculatrice lycée, suivant le modèle, on utilise la fonction partie entière (voir un peu plus loin dans le corrigé) ou la fonction «reste» (ou «remainder») de la calculatrice. On peut aussi utiliser un programme de division euclidienne que l on aura réalisé préalablement. dividende diviseur quotient reste par Dans la division euclidienne de par 34, le quotient est égal à 679 et le reste est égal à 69. Dans la division euclidienne de par , le quotient est égal à 79 et le reste est égal à Dans la division euclidienne de par, le quotient est égal à 45 et le reste est égal à 9. Division euclidienne de par 34 On a : , 9... (petits points extrêmement importants : le nombre n est pas décimal et les petits points signifient que l on n a écrit que des décimales exactes) d où E 679. De plus, Donc on a : Dans la division euclidienne de par 34, le quotient est égal à 679 et le reste est égal à 69. Division euclidienne de par On a : , d où E De plus, Donc on a : Dans la division euclidienne de par , le quotient est égal à 79 et le reste est égal à Division euclidienne de par On a : , d où E 45. De plus, Donc on a : Dans la division euclidienne de par, le quotient est égal à 45 et le reste est égal à Version mal présentée et mal rédigée (Tristan Colin, élève de TS, le 4 mercredi 4 octobre 06) : On rappelle que la division euclidienne d un entier relatif a par un entier naturel non nul b s écrit a bq r où q et r sont des entiers relatifs tels que 0 r b. On a : q E a b. Pour chaque question, on peut poser a... et b..... Cela évite d avoir à écrire des très grands nombres! Dans chaque cas, on peut : - soit utiliser le rappel ci-dessus ; - soit utiliser directement le programme de division euclidienne sur calculatrice. Division euclidienne de par 34 q 679 et r 69 Division euclidienne de par q 79 et r Division euclidienne de par q 45 et r 9 Il avait utilisé des lettres majuscules pour q et r (ce qui donnait Q 679 R 69 pour la première division euclidienne). Version sans parler de la partie entière (prise sur la copie de Timothée Savouré élève de TS durant l année scolaire 05-06) : Il s agit d une version non rédigée (q désigne le quotient et r le reste).

5 Division euclidienne de par , q 679 r 69 Division euclidienne de par , q 79 r Division euclidienne de par , (attention à ne pas écrire : , Timothée s était trompé ; les petits points sont très importants) q 45 r 9 Algorithme avec boucle et test d arrêt Initialisation : u prend la valeur n Traitement : Tantque u Faire u prend la valeur u FinTantque Sortie : Afficher u Recopier cet algorithme dans un cadre Dans l exercice, il n est pas nécessaire de faire le programme sur calculatrice. ) On fait fonctionner l algorithme «à la main» pour n 35, n 50, n 55. On doit suivre l algorithme pas à pas. On fait tourner l algorithme pas à pas. On adopte la présentation donnée dans l énoncé grâce à un tableau d évolution des variables (méthode à retenir quand on doit faire tourner «à la main» un algorithme avec une boucle «Pour» ou «Tantque»). On n oublie pas de faire une phrase réponse à chaque fois pour donner la valeur de la variable u qui s affiche en sortie. Pour n 35 Condition Étape u vraie vraie vraie fausse Valeur de u La valeur affichée en sortie est donc. Pour n 50 Condition Étape u vraie vraie vraie vraie fausse Valeur de u La valeur affichée en sortie est donc 6.

6 Pour n 55 Condition Étape u vraie vraie Vraie vraie vraie fausse Valeur de u La valeur affichée en sortie est donc 0. Commentaires :. La première case est barrée car u n existe pas quand l algorithme commence. La condition u n a donc pas lieu d être.. Une fois que la condition est fausse, l algorithme s arrête. La variable u n a plus de valeur. On n écrit donc aucune valeur dans la case. 3. Le tableau se lit de bas en haut. Il faudrait normalement démontrer deux points : - la terminaison de l algorithme (c est-à-dire que l algorithme s arrête) ; - la validation de l algorithme (preuve de l algorithme) c est-à-dire qu il donne bien le reste de la division euclidienne de n par. On peut aussi parler du coût de cet algorithme (comparaison de la performance de cet algorithme par rapport à l algorithme donné dans le cours). Cet algorithme nécessite beaucoup plus d opérations que l algorithme qui consiste à faire une division (et ce, d autant plus que le nombre est plus élevé). On peut réaliser le programme sur calculatrice (mais l intérêt est assez limité car il permet seulement d obtenir le reste de la division euclidienne par donc programme à effacer tout de suite!). À mettre en forme : L algorithme affiche en sortie un nombre x 0 ;0. x n k où n est l entier saisi en entrée et k le nombre de boucles effectuées par l algorithme. On a n k x. Donc x est le reste de la division euclidienne de n par. Étape Condition u vraie vraie vraie Valeur de u 4. On a décidé de dénommer les étapes «étape 0», «étape», «étape»? Peut-être serait-il préférable d appeler les rubriques «avant le premier passage dans la boucle», «après le premier passage dans la boucle» (et donc «avant le deuxième passage dans la boucle»), «après le deuxième passage dans la boucle»,, «après le dernier passage dans la boucle» vraie faux Programme sur calculatrice TI : : Prompt N : N U : While U : U U : End : Disp U Version plus courte de rédaction : Pour n 35, la valeur finale de u affichée en sortie est. Remarque : On n est pas obligé de mettre deux variables dans ce programme (ni dans l algorithme). Cependant il est plus commode d utiliser variables plutôt qu une pour la lisibilité du programme. Pour n 50, la valeur finale de u affichée en sortie est 6. Pour n 55, la valeur finale de u affichée en sortie est 0. Commentaires : Version plus courte mais à éviter (prise sur la feuille de Timothée Savouré, élève de TS, le jeudi er octobre 05) : Pour n 35, u. Pour n 50, u 6. Pour n 55, u 0. Les opérations sont plus simples mais il y a plus de calculs (le coût de l algorithme est plus élevé). Il est possible d obtenir le quotient en introduisant une variable q initialisée à 0 puis en insérant l instruction «q prend la valeur q». Que se passe-t-il si on donne à n la valeur 9 en entrée? La condition n n est pas vérifiée. On sort tout de suite de la boucle. La valeur affichée en sortie est 9. ) Pour un entier naturel n quelconque, le nombre de sortie est égal au reste de la division euclidienne de n par.

7 3 Algorithmes sur les années bissextiles 4 ) L énoncé rappelle le critère de divisibilité par 4 : n * d n Nombre de diviseurs positifs d un entier naturel non nul nombre de diviseurs positifs de n Un entier naturel est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres et divisible par 4. Une autre technique consiste à diviser par puis par. «On reconnaît qu un entier est divisible par 4 grâce aux deux derniers chiffres.» L année 04 est non bissextile. L année 05 est non bissextile. L année 06 est bissextile. L année 00 est bissextile. ) On commence par recopier l algorithme donné dans l énoncé puis on le programme sur calculatrice. On utilise les tests de divisibilité étudiés dans le cours (soit avec les fonctions partie entière ou partie décimale de la calculatrice soit avec la fonction reste de division euclidienne de la calculatrice). 3 ) Une année N est bissextile si et seulement si on est dans l un des deux cas suivants : - N est divisible par 400 ; - N est divisible par 4 mais pas par 00. On peut écrire d n card k / k n. dn est le cardinal de D n nombre de ses éléments. On peut écrire dn n Si p est un nombre premier, d p?. On rappelle que le cardinal d un ensemble fini E, noté card E, désigne le D. Caractériser les entiers naturels n tels que d n n ) Tableau de valeurs. n dn Commentaires sur ce tableau : On peut compléter ce tableau «à la main» ou en utilisant le programme qui est réalisé dans la question ). Saisir N Traitement et sortie : Si 400 N ou (4 N et 00 N )) Alors afficher "année bissextile" Sinon afficher "année non bissextile" On observe que certains entiers ont exactement diviseurs positifs : ce sont les nombres premiers. On observe que certains entiers ont exactement 3 diviseurs positifs : ce sont les carrés des nombres premiers. Question supplémentaire possible : Le Caractériser les entiers naturels qui admettent exactement 4 diviseurs positifs ou nuls. Il y a les nombres qui s écrivent comme produit de deux nombres premiers distincts ou comme cube d un nombre premier.

8 ) a) Initialisation : d prend la valeur 0 Traitement : Pour i allant de à n Faire Si i n FinPour Alors d prend la valeur d 5 * n Sn On peut écrire Sn Somme des diviseurs positifs d un entier naturel non nul somme des diviseurs positifs de n k k n k. Initialisation : S prend la valeur 0 Sortie : Afficher d Il s agit d un algorithme de comptage ou de dénombrement. L algorithme utilise 3 variables : n, d, i (la variable i est une variable interne ou locale ; elle n intervient ni dans l entrée ni dans la sortie). Traitement : Pour i allant de à n Faire Si i n FinPour Sortie : Afficher S Alors S prend la valeur S i b) Réaliser le programme correspondant sur calculatrice. c) Après lancement du programme est affiché le nombre 6. d Donc 000 a 6 diviseurs. Donc On peut gagner du temps en observant que 5 est impair donc que l entier cherché est un carré parfait. On ne peut pas trouver une expression explicite de dn en fonction de n d où l intérêt d avoir un algorithme. On verra plus tard dans le chapitre sur les nombres premiers comment calculer le nombre de diviseurs positifs d un entier naturel non nul à partir de sa décomposition en facteurs premiers. 6 Étape : ST correspond à ; 8 ;9 Étape : x x x x y est alors le reste de la division euclidienne de 55 par 6. Comme et que 0 6, on en déduit que y. x x Comme et que 0 0 6, on en déduit que y 0. Étape 3 : k n On peut utiliser la fonction n associe remainder n, k 0. k Le couple ; 0 correspond au mot VU et donc le mot ST se code en VU. Il est possible de créer un petit programme de codage sur calculatrice.

9 Le 8 octobre 06 Chiffrement de Hill La fonction de codage est la fonction f : ; x ' : reste de la division euclidienne de par y ' : reste de la division euclidienne de par 7 x y ' ; ' x y avec Déterminons le nombre de chiffres de l écriture en base 0 de 06!. Le calcul de 06! dépasse les capacités de la calculatrice. Il faut donc être astucieux pour répondre à la question. On utilise le logarithme décimal (noté log et dont la touche de calculatrice correspondante est log ). Question supplémentaire : L écriture de 06! se termine par 0. Expliquer pourquoi. Nous verrons plus tard comment calculer le nombre de 0 qui termine l écriture en base 0 de 06!. On peut utiliser un outil en ligne ou couper la somme en deux. 8 Soit A un réel positif ou nul. ) Exprimer en fonction de A le nombre d entiers naturels pairs inférieurs ou égaux à A. A E ) Exprimer en fonction de A le nombre d entiers naturels impairs inférieurs ou égaux à A. On utilise la propriété fondamentale du logarithme décimal : le logarithme décimal d un produit est égal au produit des logarithmes décimaux). k 06 log 06! log log log log 06 log k 06. Sur la calculatrice, on tape log K K Au bout de quelques secondes, on obtient l affichage 5788, k Il y a ensuite deux façons : ère façon : On applique la formule du cours. Le nombre de chiffres de l écriture en base 0 de 06! est donné par la formule E log 06!. Comme la partie entière de log 06! est 5788, on en déduit que l écriture en base 0 de 06! comporte 5789 chiffres. e façon : On fait un raisonnement plus simple en disant que 5888 log 06! 5889 ce qui donne ! 0 et l on peut donc en conclure que l écriture en base 0 de 06! comporte 5789 chiffres. On comprend bien pourquoi le calcul de 06! dépasse les capacités de la calculatrice.