Moyenne. Interprétation : Sur 48 jours ouvrables, le nombre de ventes quotidiennes est en moyenne de 3,7 (presque 4) articles.

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Martin Crépeau
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Moyenne - Écart-type Moyenne La moyenne d une série statistique à caractère quantitatif est un indicateur de centralité (valeurs centrales) ou de position.

1 Moyenne - Écart-type Moyenne La moyenne d une série statistique à caractère quantitatif est un indicateur de centralité (valeurs centrales) ou de position. Pour calculer la moyenne, on effectue la somme des valeurs de la variable multipliée par l effectif correspondant. Cette somme est ensuite divisée par l effectif total. La moyenne est définie par la formule : est l effectif total, le i-ème effectif partiel, la i-ème valeur du caractère dans le cas d une variable discrète. Dans le cas d une variable continue, est le centre de la i-ème classe du caractère. On considère ainsi que les individus sont réunis de manière uniforme au centre de la classe. En fonction des fréquences on obtient la formule suivante : Exemple 1 On considère la distribution statistique suivante : Nombre de ventes quotidiennes d un article sur une période de 2 mois soit 48 jours ouvrables. Nombre de ventes Nombre de jours La moyenne est, Interprétation : Sur 48 jours ouvrables, le nombre de ventes quotidiennes est en moyenne de 3,7 (presque 4) articles. Remarque La moyenne n est pas en général une valeur prise par la variable. Exemple 2 Dans une succursale de banque, on a noté le montant des 2000 versements effectués au guichet pendant une journée. On considère ici le cas d un caractère quantitatif continu, on doit donc d abord calculer les centres de classe pour calculer la moyenne. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 1

2 Montant (en ) ]0 ; 500[ [500 ; 750[ [750 ; 1000[ [1000 ; 1500[ [1500 ; 3000[ Centre de classe Effectif Interprétation : Le montant moyen des versements au guichet est de 1035 euros. Utilisation du symbole Ce symbole est utilisé lorsque l on effectue une somme de nombres. On écrit alors : est l indice de cette somme, il apparait dans la formule à droite du symbole. C est une variable muette qui peut être remplacée par n importe quelle autre lettre non utilisée dans la formule. Dans la formule, il faut comprendre que l indice varie entre 1 (car en dessous du symbole ) et (car c est la lettre qui apparaît au dessus du symbole ). Exemple Propriétés de la moyenne 1) Soit un nombre réel et une série statistique de valeurs. On considère la série statistique définie par ayant les valeurs. Alors. Cela signifie que s il y a une augmentation uniforme des valeurs de la variable alors la moyenne est augmentée de la même valeur. 2) On considère la série statistique définie par ayant les valeurs avec. Alors Les propriétés 1) et 2) définissent la linéarité de la moyenne. 3) Moyennes partielles Si une série est partagée en deux séries d effectifs N et P et de moyennes x et y alors la moyenne de la série totale est. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 2

3 Exemple Une classe contient 28 élèves. Il y a 18 filles et 10 garçons. La moyenne au contrôle est 11,5 pour les filles et 10 pour les garçons. 1) Quelle est la moyenne de la classe? La moyenne de la classe est, 2) Au devoir suivant les garçons ont 12 de moyenne et la moyenne de la classe est 11. Quelle est la moyenne des filles? On a. D où,, Interprétation de la moyenne La moyenne est un premier indicateur d une série statistique. Elle est très fréquemment utilisée en économie : salaire moyen, PIB/habitant, PNB/habitant La moyenne correspond à une répartition parfaitement égalitaire de la masse à partager. Si dans une entreprise chaque salarié percevait le salaire moyen, la masse salariale resterait la même. C est un indicateur très sensible aux variations des valeurs extrêmes et qui ne rend pas compte des fluctuations de la variable. Par exemple, si dans une entreprise l ensemble des salariés ont un salaire mensuel égal à euros et le patron a un salaire mensuel de euros, le salaire moyen dans l entreprise est égal à 4091 euros! Écart-type Exemple introductif On a vu que la moyenne est un indicateur de la série statistique qui ne rend pas compte des fluctuations de la variable. On cherche donc un nouvel indicateur qui va mesurer la dispersion des valeurs prises par la variable autour de sa moyenne. Dans le tableau suivant, on a relevé deux listes de 36 notes : Notes liste 1 liste Calculer les moyennes et des listes 1 et 2. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 3

4 On a représenté par un diagramme en bâtons, chacune des deux séries : Liste 1 Liste 2 A l aide des deux diagrammes en bâtons, comparer la dispersion des listes 1 et 2 par rapport à la moyenne. Mesure de la dispersion Pour chaque valeur prise par la variable, on calcule l écart quadratique entre la valeur de la variable et la moyenne, c est-à-dire le carré de la différence entre la valeur considérée et la moyenne. Par exemple, l écart quadratique entre la valeur et la moyenne, est (, ), Notes liste 1 Écart quadratique , 12,25 6,25 2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 12,25 20,25 N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 4

5 On effectue ensuite la moyenne des écarts quadratiques de la série. On obtient : (,,,,,,,,,, ), Le résultat obtenu est une distance au carré. Pour obtenir une mesure de la dispersion dans la même unité que la variable, on prend la racine carrée de la valeur. On obtient une mesure de la dispersion,. Interprétation : L écart quadratique moyen entre les valeurs de la série et sa moyenne est d environ points. On peut donc considérer qu une partie importante des notes obtenues se situe entre, et 13,5. Si on effectue un petit calcul de fréquence, on constate qu entre, et,, il y a notes sur les soit environ, des notes. Calcul de l écart quadratique moyen de la série Notes liste 2 Écart quadratique Interprétation : Définitions Variance et écart-type Pour traduire les fluctuations d une variable autour de sa moyenne, on a recours à la notion de variance et d écart-type. La variance permet de mesurer la dispersion des valeurs du caractère autour de la moyenne. On obtient une valeur exprimée dans l unité de mesure de la série statistique au carré (par exemple, si la variable est exprimée en cm, la variance obtenue est en cm ). Pour pouvoir faire des comparaisons, on préfère donc calculer la racine carrée de la variance, appelée écart-type. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 5

6 L écart-type la formule est une valeur exprimée dans la même unité de mesure que la variable. Il est donné par ( ) où ( ) est la variance de la série statistique. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Propriété de l écart-type Soit un nombre réel et une série statistique de valeurs. On considère la série statistique définie par ayant les valeurs. Alors Cela signifie que l écart-type ne change pas si l on augmente uniformément les valeurs d une série. Exemple Si dans une entreprise, après négociation salariale, les salaires sont augmentés uniformément de 100 euros. Alors, la moyenne des salaires est elle-même augmentée de 100 euros mais la répartition des salaires ne change pas (augmentation uniforme). La dispersion est inchangée donc l écart-type reste le même. Interprétation de l écart-type En général, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne, plus l écart-type est grand. L écart-type est sensible à la variation des valeurs extrêmes du fait de son lien avec la moyenne. La moyenne et l écart-type constituent un premier résumé de la série statistique étudiée. N. Duceux LFIB Année 2014/15 Page 6

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