PROPRIÉTÉS EFFECTIVES DES MILIEUX HÉTÉROGÈNES AVEC DES INCLUSIONS LIBRES INDÉFORMABLES AU COURS D'ACTIONS VIBRATOIRES FEDOTOVSKII V.S.

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1 fïllwf CEA CEN-SACLAY Service de Documentation Groupe "Traductions" CEA-TR L GIF sur YVETTE CEDEX PROPRIÉTÉS EFFECTIVES DES MILIEUX HÉTÉROGÈNES AVEC DES INCLUSIONS LIBRES INDÉFORMABLES AU COURS D'ACTIONS VIBRATOIRES FEDOTOVSKII V.S. i TRADUCTION DE TRADUIT DU A PARTIR DU 35 pages russe en Février 1988 Rapport FEI-1507, 20 p., 1984 Traducteur M. ZEMSKOFF K» D'ENfltGISIBEBEIT :

2 FEI-1507 INSTITUT DE PHYSIQUE ET D'ENERGÉTIQUE FEDOTOVSKII v.s. PROPRIÉTÉS EFFECTIVES DES MILIEUX HÉTÉROGÈNES AVEC DES INCLUSIONS LIBRES INDÉFORMABLES AU COURS D'ACTIONS VIBRATOIRES OBNINSK, 1984.

3 FEDOTOVSKII v.s. PROPRIÉTÉS EFFECTIVES DES MILIEUX HÉTÉROGÈNES AVEC DES INCLUSIONS LIBRES INDÉFORMABLES AU COURS D'ACTIONS VIBRATOIRES. FE OBNINSK : FEI, PAGES. Dans ce document on présente l'étude du comportement dynamique de milieux hétérogènes formés par des fluides newtoniens et des inclusions indéformables, au cours d'actions vibratoires appliquées au fluide. On examine les faibles oscillations unidimensionnelles progressives des milieux hétérogènes et, de pair avec cet aspect du mouvement, leur propriété effective, la densité de translation et la viscosité. Il est montré que l'introduction de telles propriétés effectives est utile dans W <n le cas où le nombre oscillatoire de Reynolds, déterminé d'après la dimension caractéristique des inclusions, ne s'avère pas être petit. On examine les aspects concrets des milieux hétérogènes avec des inclusions sphériques et cylindriques, modélisant, sous certaines conditions, des fluides à bulles en double phases et des assemblages de oarrei immergés dans un liquide. -On a analysé les cas limites avec des inclusions légères et lourdes, qui donnent des relations plus caractéristiques entre les propriétés effectives des milieux hétérogènes et les propriétés de formation de leurs phases. c) - Institut de Physique et d'energétique (FEI), 19 84

4 INTRODUCTION Le principal problème d'une description mathématique d'un comportement mécanique de milieux hétérogènes consiste, comme on le sait, à former un système fermé d'équations de mouvement avec les propriétés fixées pour chacunes des phases. Ce problème s'avère être extrêmement plus complexe qu'un problème analogue de description des milieux à une phase, par suite d'une apparition de toute une série de nouveaux effets, comme par exemple l'échange d'impulsion et d'énergie entre les phases, le mouvement chaotique ou turbulent de la phase de dispersion ou de la phase totale, les collisions des particules dispersées, etc. Etant donné que les *ï milieux hétérogènes peuvent être très différents, aussi bien par ta ""î les propriétés des phases, les formes géométrigues des inclusions, En M Jj le caractère de leurs mouvements, dans chaque cas concret le rôle essentiel est joué par les divers processus, et à l'heure actuelle o il n'existe pas une approche générale satisfaisante pour leur rn description. Dans l'un des travaux de Brenner ÛJ il est souligné r- J qu'un tel état restera tel qu'il est, tant que ne sera pas atteinte la réunion de 1'hydromécanique, de la mécanique statistique, de la mécanique des milieux continus et de la thermodynamique des processus irréversibles. Il est clair toutefois que le développement de ce programme d'avenir peut être renforcé de manière moins fondamentale mais plus par des études appliquées, englobant les classes déterminées de milieux hétérogènes. Pour les milieux hétérogènes les plus simples, formés avec un fluide visqueux newtonien et comportant des inclusions indéformables pondérées, les équations du mouvement des phases sont les équations de Navier-Stoks et de Newton. Dans un cas général.

5 - 2 - par suite de difficultés connues de solutions des équations de Navier-Stoks, la description du mouvement même de tel milieu hétérogène s'avère être phénoménologique. Ainsi, dans les équations du mouvement du milieu hétérogène, entrent des membres inconnus, décrivant l'interaction des phases. Cependant, avec certaines limitations, les équations de Navier-Stoks se résument aux équations d'un écoulement rampant et la description du mouvement des fluides hétérogènes devient possible sur la base de la solution d'équations microdi-iamiques. Ainsi, en particulier, dans la rhéologie des suspensions, les effets d'interaction entre la phase de dispersion et la phase continue, peuvent être calculés par des microparamètres, prenant en considération la situation hydrodynamique au niveau des J diverses inclusions. Cette voie permet de calculer de telles carac- \ téristiques effectives comme la viscosité de déplacement, volumique et rotative des suspensions. a i o pj m ^ Dans un autre cas précis lorsque le milieu hétérogène est formé d'un fluide peu visqueux et d'inclusions suffisamment grosses, de manière à ce que leur enveloppement s'effectue avec un nombre de Reynolds élevé, (n.d.t. un mot illisible) et très difficile, si l'on introduit pas de quelconques limitations. Si par exemple, l'aspect des actions, appliqué sur un milieu hétérogène, sera tel que les déplacements du fluide et des inclusions s'avéreront être faibles par rapport à la dimension des inclusions, alors l'enveloppement des inclusions sera sans arrachement même avec un nombre de Reynolds élevé et la description sera possible sans faire appel à la mécanique statistique. C'est justement ainsi que se déroulent les choses, lorsque les milieux hétérogènes sont soumis à une action vibratoire. Il existe un nombre innombrable de problêmes sur les oscillations de systêmescontenant des milieux

6 - 3 - hétérogènes ou bienentourées par ses derniers. En qualité d'un de ces exemples de tels systèmes, on peut examiner des milieux à bulles à double phases, se déroulant dans les éléments oscillants des structures d'un équipement de puissance, technologique, ou autre. En qualité de milieux hétérogènes anisotropiques, on peut examiner les systèmes des barres d'éléments combustibles, entourés d'un écran et de la cuve du réacteur ou des faisceaux de tube d'êchangeurs de chaleur enveloppés par le flux de caloporteur. De tels milieux hétérogènes doivent également être examinés comme des milieux anisotropiques homogènes avec quelques propriétés effectives, qui pourraient déterminer les caractéristiques dynamiques des structures différentes élastiques en contact. j ^ A la différence des suspensions pour lesquelles le rôle H principal est joué par les effets de viscosité et que l'on peut m \ examiner dans un sens plus large comme des milieux hétérogènes ' visqueux-élastiques, les milieux hétérogènes examinés par nous o <N serons classifies comme étant inertionellement élasticovisqueux, ^J ayant en vue, que le rôle principal est joué par les effets d'inertie. Pour autant que les inclusions entourées d'un fluide visqueux peuvent être examinées, dans un cas général, comme élasticodéformables (par exemple les bulles dans un milieu double phasesou les barres des assemblages) les propriétés d'inertie et de viscosité de telsmilieu*doivent être, dans un cas général, liées à leur propriété élastique. De cette manière, les propriétés principales des milieux hétérogènes inertionellement élasticovisqueux, seront la densité effective et la viscosité effective. Parfois, à la place de ces termes, on utilise la vibrodensité et la vibroviscosité. Historiquement,

7 - 4 - J les problèmes du mouvement du corps dans un milieu oscillant avec une résistance du type frottement à sec (corps dans un milieu pulvërulant) ont par exemple amené à ses compréhensions. Au cours de vibrations, le frottement à sec se transforme pour les mouvements lents du corps en un mouvement linéairement visqueux, corps qui en présence de vibrations était soit au repos, soit tombait de manière accélérée (emersion), se meut â présent à vitesse constante ~2j. Le secteur de la mécanique qui se développe de manière intense ces temps-ci et qui concerne l'étude du comportement des systèmes sous l'action des vibrations, a été appelé vibrorhéoloaie Dans le travail C^J la vibrorhëologie est déterminée comme étant un secteur de la mécanique dans lequel on étudie les modifi- cationsrnéologiques des propriétés des corps (des milieux) sous -^ l'action de vibrations par rapport aux forces lentes. Les propriétés i» ^ effectives étudiées dans le présent travail doivent être comprises Ç. comme étant des propriétés vibrorhéologiques de milieu hétérogène A i inertionellement élasticovisqueux par rapport aux actions vibrao PJ toires rapides. Apparemment, les travaux de Granat N.L, ont été in ^ les premières tentatives pour examiner les propriétés vibrorhéologiques des milieux hétérogènes avec une faible part volumique d'inclusions sphëriques. Ici, on examine un cas plus général avec une concentration arbitraire d'inclusion, en particulier de forme sphérique et cylindrique. En supposant que, comme dans les milieux homogènes, le mouvement arbitraire peut être présenté par une superposition de mouvements progressif, rotationel et de déformation (théorème de Gel'mgol'ts), à chacun d'entre eux on peut comparer les propriétés effectives correspondantes : propriété de translation, de rotation, de déplacement et 1*; vibrodensité volumique et la vibroviscosité.

8 5 - Dans le présent travail on examine que les faibles oscillations unidimensionnelles de mouvements des milieux hétérogènes et, en accord avec ses aspects du mouvement, leurs propriétés efficaces, la densité de translation p^ T * et la viscosité de trans lation u T. 1. MOUVEMENT DES INCLUSIONS DANS UN FLUIDE OSCILLANT Si le milieu hétérogène est soumis à l'action des forces superficielles, appliqué à la phase totale, alors, au cours d'un mouvement accéléré de l'élément du milieu dv avec une vitesse U (d), apparaîtra dans la phase totale le gradient de pression *î dp/dx = -pdu/dt, créant une force d'expulsion, similaire à celle d'archimède, agissant sur les inclusions dans le sens d'une accéw m ^J se déplaçant avec une accélération du/dt, les forces d'inertie dirigées dans le sens contraire agissent également sur les incluo lération du milieu total. Dans un système non inertial de coordonnées, { sions. Sous l'action de c-es forces, chaque inclusion se déplace par ^ rapport à la phase totale avec une certaine accélération et une certaine vitesse, la phase totale jouant sur les inclusions une action déterminée d'inertie et de viscosité. L'action d'inertie est déterminée par l'accélération relative et la masse adjointe, cependant que la viscosité est déterminée elle par la vitesse et le coefficient de viscosité du frottement. L'équation du mouvement de l'inclusion par rapport à un système immobile de coordonnées, présente de cette manière l'aspect suivant : (M+m) * &= vf -M H_ ç (v. M, (1, où M = puv - représente la propre masse d'inclusion d'un volume V,

9 - 6 - po,p - les densités du matériau des inclusions et du fluide, m=ypv - la masse adjointe, y - le coefficient de la masse adjointe, Ç - le coefficient de frottement visqueux. Il faut souligner ici, qu'à la différence des forces d'expulsion et d'inertie, les forces hydrodynamiques (d'inertie et de viscosité) s'avère' être dans un cas général les fonctions non seulement de l'accélération et de la vitesse, mais dépendent de manière notable de l'historique du mouvement des inclusions. En outre, les forces hydrodynamiques dépendent de la forme des inclusions, de leur orientation par. rapport à la direction du mouvement, de la concentration volumique des inclusions et de leur A position mutuelle. Ici, nous supposons que l'orientation des inns ""ï elusions est telle, qu'au cours de leur déplacement relatif, les lu m moments hydrodynamiques sont égaux à 0 et les inclusions ne tournent ai Jj- pas. Par la suite, nous considérerons toutes les inclusions comme 1 o étant identiques et réparties à l'équilibre dans un milieu total. Et r» quoique leurs actions vibratoires appliquées sur des milieux hétêror~ N' gènes peuvent donner naissance à de divers effets non linéaires, lents, par rapport aux actions vibratoires et aux mouvements dirigés dans un seul sens, nous supposons dans ce travail, que ces effets sont absents par suite de la faiblesse des forces vibratoires et l'action égalisatrice des autres mécanismes, par exemple la turbulence entre la phase dans des flux à double phases. De nombreux travaux l_ 6,7_7 sont consacrés à la mise en évidence et 1'étude des mécanismes d'apparition de diverses formes de mouvements lents et de phénomènes de localisation des inclusions au cours d'actions vibratoires et qui présentent à l'heure actuelle.

10 - 7 - un nouvel axe d'étude dans la dynamique des milieux à phases multiples. Ainsi, lors d'oscillations harmoniques d'un milieu hétérogène/ le paramètre/ prenant en considération l'historique du mouvement/ sera la fréquence des oscillations. Par suite de la linéarité de l'équation (1), les oscillations des inclusions seront également harmoniques. En ayant fixé le mouvement de l'élément d'un milieu hétérogène selon la loi U(t)=U 0 Sinut, nous cherchons la solution de l'équation (1) sous l'aspect suivant : a «(2) H m La substitution (2) dans l'équation (1) donne : U o i + fixrm ^ _ T M+m (M+m) to 1 + y (M+m) a (3) _2 = S \i a (M+m) a pv- M M + m (M+m) 2 0) 2 W

11 - 8 - En outre, introduisons une désignation pour le rapport des densités d'inclusions et du milieu total A=p /p et observons que le paramètre T = (M+m)/Ç (5) s'avère être le temps de relaxation des inclusions. Dans les désignations prises, les relations pour les valeurs d'amplitude Vi et VI ont l'aspact de, \, P (OJT) 2 ^0 = J_ (1-A)/(A+Y) ( 7. U T "o. A 1 (CCI)'' De cette manière, avec une fréquence fixée d'oscillations du milieu hétérogène et des propriétés fixées des phases, la cinétique des inclusions en ce qui concerne leur position à l'équilibre, est connue. Examinons à présent de quelle manière le mouvement oscillatoire apparaissant des inclusions, en ce qui concerne le fluide joue sur l'inertie du milieu hétérogène par rapport aux actions vibratoires.

12 DENSITE DE TRANSLATION EFFECTIVE Si les inclusions étaient immobiles par rapport au milieu total, alors la densité du milieu hétérogène, indépendamment de l'aspect de son mouvement, pourrait être déterminée d'après la règle des impuretés "CM = P U-M") + P 0 4> < < 8 > où U> - représente la concentration volumique des inclusions. Dans le cas examiné par nous, la vitesse des inclusions lors d'oscillations du milieu se différencie de la vitesse du fluide porteur. Avec A > 1 la vitesse oscillatoire des inclusions sera moins élevée, et avec A < 1 plus grande que la vitesse oscillatoire du fluide porteur. Ainsi, le deplajement du centre de la masse d'un certain volume dégagé du milieu hétérogène sera toujours plus petit que le déplacement de la frontière de ce volume (pour simplifier nous considérerons que la frontière du volume dégagé se déroule seulement dans la phase totale). Etant donné que la densité efficace du milieu hétérogène est rapportée par nous aux caractéristiques cinématiques du mouvement de la frontière du volume dégagé dv, c'est-à-dire avec sa vitesse U(t), l'impulsion de cet élément nous l'écrirons sous l'aspect suivant : I(t) = p U(t)dV, (9) T où p ± - représente la densité effective de translation qu'il est indispensable d'exprimer par des paramètres connus du milieu hétérogène. D'un autre côté, l'impulsion (9) se

13 compose de deux composantes : l'impulsion des inclusions Ib et l'impulsion Ig Ib = p 0 ^ V(t)dV (10) Ig = p J Vg(r,t)d 3 r, (11) où la vitesse V(t) est identique pour toutes les inclusions se trouvant dans le volume dv, cependant que la vitesse du fluide Vg(r,t) 9 'avère être la fonction des microcoordonnées dans le volume élémentaire du milieu dv. L'intégration dans (11) doit être effectuée sur le volume du fluide se trouvant dans l'élément dv égal à (l-\f)dv. Une intégration directe de (11) est impossible «sans information sur la microstructure du champ de la vitesse du b. fluide Vg(r,t)*/ m a> \ ^ i o in L'impulsion du fluide peut être cependant facilement trouvée d'après la vitesse du mouvement de son centre de masse V " ig = P v*(i-«{)dv (12) «/Dans un travail déjà relativement ancien de l'auteur l_ 8_7 le calcul de l'impulsion pour un mélange à bulles à double phases a été effectué sur la base d'une schématisation de l'écoulement du fluide au voisinage de chaque bulle selon le modèle des cellules sphériques avec une vitesse connue de répartition Vg(r,t).

14 Avant de déterminer V^ soulignons qu'au cours des oscillations de l'élément du volume av d'après la loi U(t)=U Sinwt, l'impulsion totale et par conséquent ses composantes Ib et Ig doivent également varier selon la loi sinusoïdale. Cela signifie que dans le calcul de l'impulsion des inclusions, doit être prise seulement la composante symphasique de leur vitesse VX (voir la formule 6). A partir de la loi de conservation de l'impulsion, il découle que les valeurs des amplitudes des vitesses Uo, V» et V sont liées par la relation r g (U 0 -V*)p (l->f) - (Vj-Ugjpvf = 0, (13) a. signifiant que dans le système des coordonnées, ce déplaçant à la vitesse du centre de la masse du fluide, son impulsion est égale à 0. Autrement dit, dans ce système de mouvement du fluide il y a une surperposition du transfert du fluide "gelé" dans l'élément dv à une vitesse Ug dans un sens et un transfert du volume du fluide, expulsé par les inclusions, dans une direction contraire avec une vitesse De (13) il s'avère que des impulsions De cette manière nous avons les valeurs des amplitudes Ig = p(o 0 - V «f)dv, (15) I b = PO V Ô ^ d V - ( 1 6 )

15 La valeur d'amplitude de l'impulsion globale de l'élément du milieu hétérogène dv est égal à : I = p U Q dv = p(u 0 -V^)dV + P V^dV (17) d'où il d'écoulé que pt = p ( 1.! ^ + P o ^ (18) j a où p 1 * = 1 + p 1-1 A+Y (10T) 2 1 (A- l)vf (19) (UT)' De cette manière, la relation (19) donne la densité effective de translation recherchée du milieu hétérogène. Cette propriété d'inertie, comme on peut le voir d'après la formule, dépend de toute une série de paramètres (Y. A, T/tf),caractérisant les propriétés aes phases ainsi que de la fréquenceio des actions vibratoires appliquées. 3. ANALYSE DES CAS LIMITES A partir de la relation (19), examinent les divers cas limites, dans lesquels la densité effective se manifeste particulièrement distinctement.

16 Si la phase totale s'avère être un fluide relativement visqueux, cependant que la fréquence des oscillations et les dimensions des inclusions sont relativement petites, de manière à ce que (UIT) >>1, alors les inclusions seront pratiquement immobiles par rapport à la phase totale et la densité effective sera égale â la densité réelle (8). Une telle situation peut avoir lieu dans la rhéologie des suspensions, où le problème de la densité effective n'apparaît pas. Par contre, si le milieu total s'avëre être un fluide peut 05 lu a visqueux et la fréquence des oscillations et des dimensions des _2 inclusions relativement importantes, de manière à ce que (UT) < alors, dans ce cas, la formule (19) prend l'aspect de T = 1 + '"'? '""" ^ (20) p A + y Cette relation limite pour une densité effective possède un domaine d'applications relativement vaste. On peut considérer que cette relation est juste pour des nombres oscillatoires de Reynolds, déterminés d'après la dimension caractéristique des in- 2 elusions nettement plus grande i)0*l (Reo) = aci/j >>l). Pour de nombreux problèmes de vibrations, cette condition est observée. Examinons a présent quelques types de milieux hétérogènes avec des propriétés fixées des inclusions.

17 A. MILIEU HETEROGENE AVEC DES INCLUSIONS SPHERIQUES 1. Admettons que les inclusions sont des particules sphëriques d'une densité nulle (A = 0). Ce cas correspond à un mélange de bulles â double phases. En utilisant pour le coefficient de masse adjointe y par la relation Y ^,,., t 2 1 ) " 2 (1-f)' découlant du modèle des cellules sphëriques équivalentes ^~8_7, nous obtenons à partir de la formule (20) a. s. p T * 1 - ^ f = i«y < 2 2 > Ce résultat particulier a été obtenu précédemment par l'auteur du travail ^~8_7 et expérimentalement confirmé dans C*J A partir de la formule (22), on voit que la densité effective d'un mélange de bulles à double phases et de (l+2»f) fois inférieur à la densité réelle. 2. Examinons le cas lorsque la densité du matériau des inclusions de forme arbitraire est sensiblement plus élevée ^e la densité de la phase totale. Avec A = P n /p > les inclusions seront immobiles cependant que le fluide oscillant sera filtré à travers un "corps" poreux, formé par des inclusions immobiles. A partir de la formule (20), nous avons dans ce cas P^/P = 1 + (Y+lW (23)

18 Cette relation pour la densité effective a été obtenue précédemment dans le travail /_ 10_7 lors de l'analyse de l'écoulement de filtration du fluide â travers un assemblage immobile de barres. Il faut souligner, qu'au cours de l'examen de la dynamique des milieux hétérogènes dans le cadre de la théorie d'un écoulement potentiel d'un fluide non visqueux, les limitations sont enlevées pour le caractère du mouvement. Par contre, pour un liquide visqueux, le caractère du mouvement possède une importance notable. Pour une concrétisation ultérieure de la formule (23), il faut fixer une quelconque relation pour le coefficient d'adjonction de la masse. J \ à Dans le cas des inclusions sphériques, la substitution de (21) dans (23) donne a O p _± * = 1 + U?/2 p ± 1 - ^'~ If (24) "<> I o jq N Cette relation limite est présentée sur la figure 1 par la ligne 5. Sur cette même figure sont montrées également les relations pour la densité dynamique des milieux hétérogènes avec des inclusions sphériques, avec un rapport des densités du matériau des inclusions sphériques et du fluide = à 0,5 ; 1 ; 2 (respectivement courbes 2, 3, 4). B. MILIEU HETEROGENE AVEC DES INCLUSIONS CYLINDRIQUES Si en qualité d'inclusions, on examine des éléments formeide barres, orientés dans un seul sens et formant, de cette manière, un milieu hétérogène anysotrope, alors la densité effective s'exprimera par le tenseur du second rang. Dans le plus simple des

19 cas des barres cylindriques, formant une grille régulière, le milieu hétérogène s'avère être transversalement isotrope, c'està-dire que les écoulements transversaux de l'assemblage en forme de barres, le coefficient d'adjonction de la masse ne dépend pas de ces orientations angulaires / H_7. Pour des faisceaux très serrés (pas relatif X>=1,2), le coefficient de la masse adjointe est exprimé par la relation (_ 12_7- Y = (1 +\f)/(l -^) (25) Dans ce cas, la formule (23) donne courbe 1. p * +^'/ /p = (1 (1 -V < 26 > Cette relation est montrée sur la figure 2 par la Pour des faisceaux serrés de barres (X<l,2) f le coefficient de masse adjointe dépend non seulement de la concentration volumique des inclusions Uj, mais également du type de réseaux (triangulaire ou carré). En appliquant les relations obtenues dans le travail ^A - f /^r arct * i/êï *' il» - ( 2 7 > on peut, d'après la formule (23), calculer la densité effective du milieu hétérogène avec des inclusions cylindriques immobiles, formant un réseau triangulaire et carré. Les résultats des calculs

20 sont présentés sur la figure 2 par les lignes en traits mixtes 3 et 4. L'application des relations (27) et (28) pour les coefficients des masses adjointes, donne une asympto tique exacte pour la densité effective lors de concentration;, volumique» proches des valeurs limites (i{ = 0,905,v^,-, = 0,785). Dans des milieux relativement concentrés, la densité effective se transforme en infinie. Rappelons encore une fois, que ce résultat ne concerne que le cas d'inclusions cylindriques immobiles. P L, est également déterminé d'après la formule (22) en y intro ^ cs Avec les formules (26) ou (23) de pair avec (27) ou bien (28), on a ainsi déterminé deux éléments diagonaux du tenseur de T T la densité effective pj, = P* vv - L e troisième élément diagonal duisant v 1 zz. o Jj m ^ Le coefficient de la masse adjointe y pour les inclusions cylindriques, peut être facilement trouvé dans l'approche de l'écoulement parallèle potentiel /~12_7- Y z z = f /(1 _ V f > (29) A partir de la formule (23) nous avons alors P* /P = V(l -^) (30) Cette relation est présentée sur la figure 2 par la courbe 2. Il faut souligner, que 1'anysotropie des propriétés effectives d'inertie d'un milieu hétérogène avec des inclusions cylindriques, peut être très importante. Par comparaison des

21 formules (26) et (30) on voit que la densité effective "transversale" T T p = p est de 1 +vf fois supérieure a la densité effective T "longitudinale" p. Pour un système de barres plus concentré ixkl,2), le rapport des densités "transversale" et "longitudinale" est encore plus grand, et avec X > 1 tend vers l'infini. Comme conclusion à ce chapitre, soulignons que 1'anisotropic des propriétés d'inertie, analogue mais quelque peut moins exprimée, trouvera sa place même dans le cas d'inclusions libres, c'est-â-dire lorsque la densité du matériau des inclusions n'est pas égale â l'infini. Examinons â présent les propriétés de viscosité de milieu* hétérogènes lors d'oscillations unidimensionnelles sous l'action d'actions vibratoires. t. VISCOSITE EFFECTIVE DE TRANSLATION Au cours d'oscillations d'un milieu hétérogène, les inclusions se déplacent par rapport à leur phase totale porteuse. A la suite d'un tel mouvement relatif dans un milieu hétérogène, apparaissent des pertes dissipatives, provoquées par des écoulements micro-mhomogènes du fluide visqueux au voisinage des inclusions. Ces pertes dissipatives sont liées à la viscosité de la phase totale de même qu'aux caractéristiques d'inertie et géométriques de la phase de dispersion.

22 Lors des oscillations des inclusions, par rapport au fluide, avec une vitesse relative W(t)=WgSin(iot+8), ces oscillations, dans un cas général ne coïncident pas avec la phase de la vitesse U(t)=U QSinu)t, et chacune des inclusions sub^ la force hydrodynamique du frottement visqueux F 0tt) = ÇW(t) (31) Four la période d'oscillations, la vitesse moyenne de dissipation de l'énergie dans le fluide, rapportée à l'une des inclusions, est égale au travail de la force de frottement <de/dt> = ÇW 2 (t) = ÇWJj/2 (32) Etant donne que dans une unité de volume du milieu hétérogène on trouve *f/v inclusions, les pertes dissipatives y représentent alors <de/dt> = EM* <f /2V (33) La force du frottement visqueux, agissant sur un volume unique d'un milieu hétérogène en mouvement avec une vitesse U(t) est alors égale à P l t, = 2 < d f d *> u( t ) = im = T u(t) (34) Le coefficient de proportionnalité entre la force superficielle et la vitesse d'un élément unique du milieu hétérogène et appelé par nous : la viscosité effective de translation = (35, vug

23 La valeur de l'amplitude de la vitesse relative des inclusions W Q sera trouvée par ses composantes Vg et Vjj (voir les relations (6) et (7)). w r 1 - M A + v o = (v ô - v + v ô = u o - r- 1 + THITT 2 En plaçant (36) dans (35) et compte tenu de (5), nous obtiendrons (36)»l = E-H- (1 - à ) 2 (37). T(A+Y)^"1 + ^-5 7 (CUT) 2 " A partir de cette formule on voit que la viscosité &, a a effective de translation, de même que la densité effective, dépend de toute une série de paramètres, caractérisant les propriétés des phases et en particulier des actions vibratoires. La viscosité effective ainsi introduite, possède une dimension de ^~ML~ T~ J, se différenciant de la dimension de la viscosité de déplacement. Examinons à présent quelques types de milieux hétérogènes avec des inclusions de formes sphérique et cylindrique et concrétisons pour ces dernières la formule (38). A. MILIEU HETEROSENE AVEC DES INCLUSIONS SPHERIQUES Limitons nous au cas d'un nombre oscillatoire élevé de Reynolds. On a déjà obtenu dans le travail ^~14_7 l'expression pour le coefficient d'un frottement visqueux pour un mouvement oscillatoire

24 sous l'aspect de où 6= / 2V/u. 2 ç = iaa_, 09) 6U-fr Le temps de la relaxation des inclusions sphériques est égal dans ce cas à 2a6(A+Y) (1 -*?) 2 T = (40) 9V Cependant que la formule pour la viscosité effective de translation prend l'aspect soit de " U T = 9u ^(l-&) 2 *: * 2a«(A+Y) 2 (l-^2 a a où de " ^aô= 9^U-A) 2 ( 4 1 ). u 2U-fr(A+Y) CM in i^ tvj En utilisant l'expression (21) pour le coefficient de la masse adjointe, écrivons la formule (41) sous l'aspect suivant ^ a6 _ imii^aji (42) l~z AU-f) + (1+2^>)_7 Z Si en qualité d'inclusion on examine (n.d.t.l mot illisible) des particules sphériques (û=0), alors à partir de (42) nous obtiendrons la viscosité effective du mélange à bulles double phases

25 La relation (43) est montrée sur la figure 3 par la courbe 1. Dans un autre cas limite d'inclusions relativement lourdes (A >»} la formule (42) prend l'aspect de T - ad = --^ j (44) 2(1 - vf) «tu Cette relation est montrée sur la figure 3 par la courbe 4. Il est intéressant de remarquer ici que les cas limites examinés donnent des valeurs plus élevées de la viscosité effective de translation. Par contre, si les inclusions possèdent une densité intermédiaire, alors la viscosité effective s'avère être très notablement plus petite. Sur la figure 3, on a montré pour une comparaison, les relations pour les cas de A=0,5 et A=2 (courbes 2,3). Avec A=l, c'est-à-dire dans le cas d'inclusions identiquement denses, leur mouvenont relatif est inexistant et la viscosité effective de translation d'un tel milieu est égal à 0. B. MILIEU HETEROGENE AVEC DES INCLUSIONS CYLINDRIQUES Examinons ici également les oscillations avec un nombre élevé de Reynolds. En outre, de même que pour une densité effective de translation, limitons nous su cas d'inclusions cylindriques immobiles c'est-à-dire admettons que A =». En utilisant pour le coefficient de frottement visqueux la formule l_ 12_7 -^^- 2, (45) obtenue pour des faisceaux très serrés de barres et en effectuant les conversions analogues, nous obtiendrons la formule pour la

26 viscosité effective de translation T a6 = ^ j (46) V (1 -i) 2 Il faut souligner, que pour le système composé d'inclusions cylindriques formant des réseaux exacts, la propriété de l'isotropie transversale est juste pour la viscosité effective de translation, de mime que pour l'inertie effective. ^ ^ La formule (46) détermine ainsi deux éléments diagonaux du tenseur de la viscosité effective de translation u^ =u. T T,. xxx 3syy Nous déterminerons le troisième élément diagonal ]ij, à T partir du fait que le coefficient de frottement visqueux pour le mouvement oscillatoire des inclusions cylindriques dans la direction de leurs ffl axes, est égal /_ 12_7 c» «i o. _ 2. a sd-t) 2 dans ce cas nous avons Û&. aô ii-, (47) u (1-if) 2 A partir de la comparaison des relations (46) et (47), on voit que la viscosité effective "transversale" est de 2 fois plus grande que la viscosité "longitudinale" (voir figure 4). Remarquons, que le rapport obtenu plus haut entre les densités "transversale" et "longitudinale" est égal à 1 + *f, c'est-à-dire moins de 2. Cela signifie que l'anisotropie des propriétés visqueuses des milieux hétérogènes comprenant des inclusions cylindriques est plus forte que l'anisotropie des propriétés d'ine-tie.

27 Pour des systèmes plus concentrés de barres (X<1,2), l'expression pour le coefficient de frottement visqueux à l'aspect de <Tl3_7 1 «A-If (X-l)(X-cos ), 3/2,-=- + (gsj.) arctgt/^ tg ) (/X 3/2 1 +(^j) arctgf/^ tg ) ^ (X-l)(X-cos J) pour respectivement un réseau triangulaire et carré. Les résultats du calcul de la viscosité effective de translation, basés sur ces relations, sont indiqués sur la figure 4 par les lignes traits mixtes 3 et 4.

28 CONCLUSION L'approche pour la description de la dynamique des milieux hétérogènes, développée dans le présent travail, est basé sur leur représentation comme étant certaines formes homogènes avec des propriétés effectives. A l'inverse de l'idée connue de la description du mouvement de milieux hétérogènes avec des facultés interpénétrantes et interactives, cette approche s'avère être utile pour la description d'une série de problèmes de dynamique de divers systèmes oscillants contenant des milieux hétérogènes ou entourés par ces milieux. Dans le travail on a examiné le plus simple des modèles de milieux hétérogènes avec des inclusions monodispersëes indéformables au cours d'oscillations progressives. On a ainsi obtenue des relations pour les propriétés effectives, la densité de translation et la viscosité qui permettent de trouver la réaction du milieu hétérogène pour l'accélération vibratoire et la vibrovitesse des oscillants. Les propriétés effectives déterminent de telle manière les caractéristiques dynamiques des systèmes oscillants, en contact avec des milieux hétérogènes. Ainsi, par exemple, pour la détermination des fréquences propres d'oscillation d'une tuyauterie avec un milieu hétérogène, il est suffisant de prendre en considération la masse effective M =Ttp T R 2 pour une unité de longueur de tuyauterie 2 _ 2 M où oog - représente la fréquence propre d'oscillations d'une tuyauterie vide M - sa masse par unité de longueur.

29 L'amortissement des oscillations de la tuyauterie du aux pertes par dissipation dans le milieu hétérogène, est égal à la viscosité T 2 effective p pour le volume TTR 1, et le coefficient de dynamicité lors de la résonance, est déterminé d'après la formule irr M^ / 2 T M

30 BIBLIOGRAPHIE BRENNER G. Rhéologiedes systèmes à double phases. tire du livre : rhéoloçieet suspension. M., Mir, 1975, page BLEKHMAN I.I., DZHANELIDZE G.Yu. Les déplacements vibratoires. M, "Nauka", 1964, page 912. BLEKHMAN 1.1. Méthode de la séparation directe des mouvements dans les problèmes concernant les actions vibratoires sur des systèmes mécaniques non linéaires. "Izvestiya de l'an SSSR, série : mécanique du solide", 1976, n 6, page GRABAT N.L. Oscillations établies des récipients contenant un mélange à double phases. - "Izvestiya de l'an SSSR, série : mécanique et construction de machines", 1964, n 5, page GRANAT N.L. Pertes d'énergie lors d'oscillations d'une sphère dans un mélange à double phases (vibroviscositê et vibrodensitê d'un mélange). - "Izvestiya de l'an SSSR, série : mécanique", 1965, n l, page GANIEV B.F., UKRAINSKII L.E. Dynamique des particules sous l'action des vibrations. Kiev : Naukova Dumka, 1975, page 168.

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33 o.i M v a«m <«i f «w m Figure 1. Densité effective de translation d'un milieu hétérogène avec des inclusions sphêriques. Calculs d'après la formule (20). 1-A =0 : 2-A =0,5 : 3-A =1 : 4-A =2 : 5-A =». i. M It U M 0.S M 0.7 0,1 If Figure 2. Densité effective de translation d'un milieu hétérogène isotrope avec des inclusions cylindriques. Calculs d'après la formule (23). 1,2 - densités "transversale" et "longitudinale" ; 3,4 - densités "transversale" au cours d'une concentration d'inclusions (dans un réseau triangulaire et carré).

34 \/ 1 / y / / 1 1 / -2 -~ a 41 U M 4.l M 9 Figure 3. Viscosité effective de translation d'un milieu hétérogène avec des inclusions sphériques. Calculs d'après la formule (42). 1-A =0 : 2-A =0,5 : 3-A =2 : 4-A =». m ta FIT,_!_, 0 M 02 W 0» O.J 0, (J> Figure 4. viscosité effective de translation d'un milieu hétérogène isotrope transversal, avec des inclusions cylindriques immobiles. 1,2 - Calculs d'après les formules (46), (47) ; 3,4 - Calculs pour le système avec une concentration volumique proche de la limite.

35 PS \ W Rédacteur Technique GERASIMOVA M.P. Reçu à la rédaction le T Format 60x90 1/16. Offset, pour point tirage:78 exemplaires. Prix 14 Kopeck. FEI Index 3624 Imprime sur les rotatives du FEI, Obninsk.

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