Soutenue le 13 décembre 2011 par. Rémi Manceau. Chargé de recherche CNRS. devant le jury suivant :

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1 Institut PPRIME Département fluides, thermique, combustion Axe ATAC (Aérodynamique, Turbulence, Acoustique, Contrôle) CNRS, université de Poitiers, ENSMA Habilitation à diriger les recherches Section cnu 60 Modélisation de la turbulence Soutenue le 13 décembre 2011 par Rémi Manceau Chargé de recherche CNRS devant le jury suivant : Pr. B.E. Launder University of Manchester, UK (rapporteur) Pr. M. Germano Politecnico di Torino, Italia (rapporteur) Dr. B. Aupoix ONERA, Toulouse (rapporteur) Dr. P. Le Quéré LIMSI, CNRS, universités UPMC et Paris-Sud (président du jury) Pr. P. Chassaing IMFT, CNRS, INP Toulouse, Université de Toulouse 3 Pr. D. Laurence University of Manchester, UK et EDF R&D, Chatou Dr. T.B. Gatski Institut PPrime, CNRS, université de Poitiers, ENSMA Pr. J. Borée Institut PPrime, CNRS, université de Poitiers, ENSMA Version 2.0

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3 À ma fille, Lise

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5 Sommaire A Activités de recherche 1 1 Introduction 3 2 Modélisation aux moyennes de Reynolds Les effets de paroi La relaxation elliptique La pondération elliptique : modèle EB-RSM Versions algébriques explicites du modèle EB-RSM Extension à la modélisation des flux thermiques turbulents Modélisation instationnaire de la turbulence Génération de conditions d entrées pour la LES Extension à la génération de fluctuations de température Étude de la pertinence des simulations URANS Modélisation hybride continue : T-PITM Équivalence entre approches hybrides Perspectives Modélisation statistique Modélisation hybride RANS LES Liste complète des publications Autres références 114

6 iv SOMMAIRE B Publications choisies 130 I R. Manceau and K. Hanjalić. Elliptic blending model: A new near-wall Reynoldsstress turbulence closure. Phys. Fluids, 14(2): , II A. G. Oceni, R. Manceau, and T. Gatski. Introduction of wall effects in explicit algebraic stress models through elliptic blending. In M. Stanislas, J. Jimenez, and I. Marusic, editors, Progress in wall turbulence: Understanding and Modelling. Springer, III F. Dehoux, Y. Lecocq, S. Benhamadouche, R. Manceau, and L.-E. Brizzi. Algebraic modeling of the turbulent heat fluxes using the elliptic blending approach. Application to forced and mixed convection regimes. Flow Turbul. Combust., Accepté pour publication. 157 IV A. Fadai-Ghotbi, Ch. Friess, R. Manceau, and J. Borée. A seamless hybrid RANS LES model based on transport equations for the subgrid stresses and elliptic blending. Phys. Fluids, 22(055104), V A. Fadai-Ghotbi, Ch. Friess, R. Manceau, T.B. Gatski, and J. Borée. Temporal filtering: a consistent formalism for seamless hybrid RANS-LES modeling in inhomogeneous turbulence. Int. J. Heat Fluid Fl., 31(3), VI R. Manceau, Ch. Friess, and T.B. Gatski. Of the interpretation of DES as a hybrid RANS/Temporal LES method. In Proc. 8th ERCOFTAC Int. Symp. on Eng. Turb. Modelling and Measurements, Marseille, France,

7 SOMMAIRE v C Annexes 229 I Curriculum vitae 231 II Responsabilités collectives 237 III Encadrement 243 IV Activités d évaluation 256 V Collaborations académiques et industrielles 261 VI Enseignement 268

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9 Activités de recherche Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples Albert Einstein

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11 3 1 Introduction Ce rapport présente l ensemble de mes activités de recherche entre la fin de ma thèse et aujourd hui, couvrant ainsi la période Il est articulé en deux parties principales, concernant, d une part, la modélisation statistique (RANS) de la turbulence, et d autre part, la modélisation instationnaire. Mais avant d introduire ces deux sujets, un petit rappel historique s impose pour expliquer ce qui m y a amené. En même temps que la dernière année de mon cursus d école d ingénieur (ENSTA), j ai préparé le DEA de mécanique de Paris VI, dans l option Systèmes non-linéaires, instabilités et turbulence, ce qui a véritablement éveillé chez moi la nécessité de poursuivre en thèse. Désireux de m éloigner un peu de Paris et de rejoindre ma province natale (ou pas trop loin), j ai un jour frappé, un peu par hasard, aux portes de Jean-Paul Bonnet et Joël Delville au laboratoire d études aérodynamiques. Ils m ont aussitôt proposé un sujet de stage de DEA sur la modélisation de la couche de mélange par systèmes dynamiques basés sur les modes POD. J étais déjà dans le grand bain. Devant, encore à l époque, m acquitter de mes devoirs envers la défense nationale, j ai ensuite postulé en tant que scientifique du contingent au CEA-DAM, et j ai eu la chance d être affecté au centre du Ripault, à deux pas de chez moi, pour travailler sous la responsabilité de Didier Picart. Loin d être improductif comme le sont parfois certains postes de scientifique du contingent, ce séjour m a permis de me frotter (pour la dernière fois) à la réalisation de quelques mesures expérimentales, et, déjà, à la modélisation par loi de comportement, ici pour des fluides non-newtonien. À la recherche d un sujet de thèse dans les laboratoires associés au DEA de Paris VI, j ai eu le choix entre un sujet sur la modélisation de la turbulence et un sujet sur la stabilité. Après mûre réflexion, c est, on s en doute, le premier sujet que j ai choisi, délaissant à regret un sujet potentiellement passionnant. C est ce choix crucial pour la suite qui m a donc amené au Laboratoire national d hydraulique d EDF, pour travailler sur la modélisation de la turbulence en région de proche paroi, sous la direction de Dominique Laurence. Il y a eu deux moments cruciaux au cours de cette thèse : le choix de l approche de Durbin, la relaxation elliptique, pour représenter les effets de paroi, qui, on s en rendra aisément compte lors de la lecture de ce rapport, a orienté ma recherche pour, au moins, les quinze années suivantes; le séjour au CTR summer program de 1999 à Stanford, qui m a permis, outre la rencontre avec un nombre impressionnant de chercheurs de grande renommée, d avancer de manière décisive dans mes recherches, grâce à l exploitation d une base de donnée de DNS unique à l époque,

12 4 1 INTRODUCTION et qui fait toujours référence aujourd hui (canal à Re τ = 595 de Moser et al. [115]). Il convient également de mentionner que la participation aux workshops du SIG-15 (Refined turbulence modelling) d ERCOFTAC de 1997 et 1998 m a permis de me faire connaître au sein de la communauté de la modélisation la turbulence en Europe. C est ainsi que, quelques mois avant la fin de ma thèse, j ai été approché par Kemo Hanjalić pour venir passer un an de post-doc à Delft, pour continuer à travailler sur la modélisation de la turbulence en proche paroi. Cette période a également été essentielle, car elle a permis le développement du modèle à pondération elliptique, qui est, malgré la variété des travaux qui ont suivi, la réalisation qui a eu le plus d impact dans la communauté. Cette période m a aussi permis de préparer une candidature au CNRS, qui m a conduit à intégrer de manière permanente le laboratoire d études aérodynamiques, et développer les deux thèmes principaux que sont la modélisation statistique et la modélisation instationnaire. Modélisation statistique Bien que les méthodes de simulation beaucoup plus coûteuses (simulation aux grandes échelles, simulation directe) soient en plein essor, le standard dans la pratique industrielle d aujourd hui reste la modélisation statistique RANS [116, 117, 118, 119, 120, 121, 122] et, même si l avenir est promis au développement des simulations instationnaires, il existera toujours de très importants créneaux pour la modélisation statistique. Par exemple, l augmentation de la puissance de calcul conduira les industriels à vouloir simuler la géométrie exacte des systèmes complets : il n est pas imaginable dans les prochaines décennies de réaliser, par exemple, un calcul LES d une géométrie complète de voiture(incluant tous les détails du soubassement, le sous-capot, le système de ventilation, les roues en rotation, etc.). De plus, même quand un tel calcul sera possible, la volonté des industriels sera alors de réaliser des études paramétriques sur ces géométries, dans des délais très court (une courbe paramétrique par nuit), voire de faire de l optimisation, ce qui nécessite des calculs de l ordre de quelques minutes au plus : on voit donc que, avec l augmentation de la puissance de calcul disponible, l augmentation du niveau d exigence fera en sorte que les calculs RANS resteront nécessaires, en complément des simulations hybrides, LES et DNS (de plus, les méthodes hybrides RANS/LES reposent, par définition, sur des modèles RANS dans certaines régions). Et même si la fin du XXI e siècle voit, comme le suggère l évolution actuelle de la puissance des ordinateurs [123], la possibilité de réaliser les premiers calcul DNS d un avion com-

13 5 13 u i u j ε f ij Relaxation elliptique Pondération elliptique u i u j ε α Hypothèse de viscosité turbulente Nombre d équations 7 6 u i u j 2 nd ordre Hypothèse de viscosité turbulente u i u j ε Méthodologie algébrique explicite Divers u i u j ε 5 Méthodologie algébrique explicite 4 v 2 f 3 k ε α 2 k ε Divers Système ouvert Modèles quasi-homogènes Modèles de proche paroi (valides loin des parois) Figure 1 Schéma représentatif des routes possibles pour développer des modèles de proche paroi. Les routes présentées dans ce rapport, conduisant in fine au v 2 f et au k ε α, sont représentées en lettres capitales (et en rouge). k ε plet, il faudra attendre encore beaucoup plus longtemps 1 pour que la DNS satisfasse à tous les désirs de l industrie. Malgré des efforts considérables dans les 30 dernières années, les modèles n ont pas atteint un degré de fiabilité suffisant, et de nombreux efforts restent à faire, notamment en ce qui concerne la représentation d effets complexes (flottabilité, rotation, etc.). Les modèles les plus représentatifs de la physique sont encore trop instables numériquement pour satisfaire les besoins industriels, et les modèles largement utilisés aujourd hui dans les codes de calcul industriels sont encore essentiellement basés sur l hypothèse de viscosité turbulente. 1. Rien ne permet d ailleurs d affirmer que la puissance de calcul continuera à augmenter indéfiniment.

14 6 1 INTRODUCTION L originalité de mes recherches vient de la démarche suivie. Une pratique très répandue consiste à partir de modèles utilisant des hypothèses trop restrictives et à les complexifier pour qu ils soient capables de prendre en compte le maximum de phénomènes. J ai adopté depuis ma thèse une approche radicalement différente, qui a porté beaucoup de fruits : elle consiste à partir de modèles avec des hypothèses beaucoup moins restrictives, mais impossible à utiliser pour les applications industrielles, et à réduire par étape leur complexité et leur instabilité numérique en gardant le plus de physique possible. Cette démarche, qui sera détaillée plus bas, est résumée par la figure 1, que j ai présentée au congrès TSFP3 de 2003 [54] : les équations aux moyennes de Reynolds sont fermées au second ordre (modèle à 7 équations), auxquelles on ajoute les 6 équations de relaxation elliptique pour représenter les effets de paroi (modèle à 13 équations); pour réduire la complexité du modèle, on peut alors soit réintroduire l hypothèse de viscosité turbulente, conduisant alors aux modèles de type v 2 f (modèle à 4 équations) ou remplacer la relaxation elliptique par la pondération elliptique (modèle à 8 équations); dans ce dernier cas, on peut, grâce à la méthode algébrique explicite, faire l économie de 5 équations (modèle à 3 équations). Chacune de ces étapes, la validation de ces modèles et leur extension à la thermique vont être présentées dans la première partie de ce rapport (section 2). Modélisation instationnaire En modélisation RANS, la séparation grandeurs moyennes/grandeurs turbulentes repose sur l idée qu on peut assimiler la turbulence à un processus stochastique. La décomposition de Reynolds est alors définie par la moyenne statistique, qui permet de distinguer l écoulement moyen et l écoulement turbulent. Pour des raisons pratiques évidentes, à la fois dues aux méthodes expérimentales et au besoin de simplifier les simulations, les écoulements étudiés sont le plus souvent statistiquement stationnaires, ce qui permet d assimiler la moyenne statistique à la moyenne temporelle. La conséquence principale est que l écoulement moyen et les moments d ordre supérieurs sont indépendants du temps. Il est alors demandé aux modèles de turbulence de rendre compte à la fois de l agitation turbulente et des structures cohérentes qui sont observées dans de très nombreux écoulements. Il est généralement constaté que, lorsque l écoulement est dominé par de tels phénomènes structurés à grande échelle, les modèles de turbulence sous-estiment largement le transport turbulent. C est une des raisons du succès de la simulation aux grandes échelles (LES [124, 125, 126]), qui réserve la modélisation à des échelles

15 7 qui présentent des caractéristiques qui s approchent de celles d une agitation aléatoire répondant à des lois simples, par exemple gaussiennes. Cependant, pour la plupart des applications industrielles, la simulation des grandes échelles reste très coûteuse, voire inabordable, et il existe un intérêt considérable aujourd hui pour des méthodes intermédiaires entre RANS et LES. En effet, la possession d informations concernant les instationnarités des grandeurs globales est cruciale dans de nombreux domaines : pics de forces, prédiction et contrôle du bruit, fatigue du matériau due aux fluctuations de forces ou de température, etc. Une multitude de stratégies instationnaires low-cost a ainsi vue le jour durant la dernière décennie. Certaines de ces approches sont qualifiées de zonales, dans la mesure où elles sont basées sur un découpage du domaine en plusieurs sous-domaines, dans lesquels un modèle classique, RANS ou LES, est utilisé. Toutes les difficultés sont alors reléguées aux interfaces entre ces domaines, en particulier la génération de conditions aux limites (ou aux interfaces) instationnaires pour la LES. D autres méthodes sont qualifiées de non-zonales (ou globales, ou continues), car dans ce cas il n y a pas de découpage du domaine, mais une transition continue du modèle utilisé d un comportement RANS vers un comportement LES. Dans ce dernier cas, différentes difficultés se présentent, comme, pour commencer, la définition d un formalisme adéquat, puis, surtout, la modélisation de l interaction entre le mouvement résolu instationnaire et le mouvement non-résolu. Ces points seront abordés dans la seconde partie de ce rapport (section 3). Méthodes numériques Le propre de la recherche en modélisation de la turbulence, au moins depuis les années 60, est de s appuyer sur l intégration numérique des équations du modèle pour calibrer, tester, valider ou invalider les hypothèses faites. Ce processus est d une importance capitale, et sans la comparaison avec des bases de données existantes, expérimentales ou numériques, rien ne permettrait de savoir si on est ou non sur la bonne voie. Toutaulongdemestravauxderecherche,delathèseàaujourd hui,monpartiprisa été de m appuyer sur des codes de calcul existants, ce qui m a permis de me concentrer sur la modélisation à proprement parler. Bien sûr, j ai dû intervenir dans ces codes pour mettre en œuvre les nouveaux modèles proposés, mais je reste un utilisateur (disons éclairé) des méthodes numériques, et certainement pas un spécialiste. C est pourquoi je ne vais faire que présenter très brièvement dans cette introduction les

16 8 1 INTRODUCTION codes de calcul utilisés dans la suite de ce rapport, de manière à fournir au lecteur un minimum d informations sur le type de méthodes employées et le niveau de précision qui en découle. Ce rapport ne couvrant que la période postérieure à ma thèse, je ne présenterai donc pas le code N3S d EDF que j avais utilisé durant celle-ci. L outil le plus utile à notre disposition pour la modélisation RANS est un code hérité de Paul Durbin, alors au CTR à Stanford, qui est le code 1D à l aide duquel il a développé et testé le modèle à relaxation elliptique. Il s agit d un code dédié aux écoulements de canal, homogènes dans deux directions, écrit en différences finies à l ordre 2. Ce code s appuie sur une évaluation de la vitesse moyenne par intégration par la méthode des trapèzes de l équation de la quantité de mouvement 1D, et résout les équations de transport des quantités turbulentes par un simple algorithme TDMA, toutes les matrices étant tri-diagonales. Ce code, que nous avons étendu à la thermique, à la rotation et aux parois mobiles, est un outil très efficace pour tester dans un premier temps dans des écoulements de canal de nouvelles idées de modélisation. Il suffit pour cela de disposer d un simple PC du bureau. Le second code à notre disposition est le code Saturne développé par EDF [127]. Il s agit d un code open-source, distribué sous licence Gnu GPL. 2 C est un code en volumes finis non-structurés, collocalisé, à l ordre 2. Il résout les équations de Navier- Stokes incompressibles moyennées ou filtrées, et est basé sur un algorithme SIMPLEC avec interpolation de Rhie et Chow. Même si depuis peu il est doté d un algorithme stationnaire, tous les calculs présentés dans ce rapport ont été réalisés avec marche en temps, y compris les calculs RANS stationnaires. Pour les calculs RANS, une discrétisation des termes de convection par méthode décentrée d ordre deux (SOLU) est utilisée en général, tandis que les calculs LES et hybrides RANS/LES sont réalisés avec une méthode centrée. Le code est parallélisé grâce à MPI, ce qui nous a permis de l utiliser sur une grande variété de machines, allant de simples serveurs multicœurs à la Blue-Gene Babel de l IDRIS, 3 en passant par les clusters successifs du LEA puis de l institut Pprime. 2. http ://www.code-saturne.org 3. Ces travaux ont eu accès aux ressources HPC de l IDRIS grâces aux allocations du GENCI (Grand Équipement National de Calcul Intensif) de 2009, 2010 et 2011.

17 9 2 Modélisation aux moyennes de Reynolds (RANS) de la turbulence en proche paroi La modélisation statistique de la turbulence (Reynolds-Averaged Navier Stokes), a été historiquement (entre autres [128, 129, 130, 131, 132]) fondé sur des travaux théoriques développés en turbulence homogène ou faiblement inhomogène. Cependant, à proximité d une paroi solide, la turbulence acquiert des propriétés extrêmes qui s éloignent très largement des conditions dans lesquelles ces théories s appliquent : la séparation échelles énergétiques/échelles dissipatives disparaît, et, avec elle, la cascade inertielle; la turbulence est hors-équilibre; elle est très fortement anisotrope, tendant même vers un état à deux composantes dû à l effet de blocage par la paroi; par l intermédiaire des fluctuations de pression, elle est sensible à distance à la présence de la paroi, perdant ainsi son caractère local. Ces propriétés font que les modèles classiques (modèles quasi-homogènes sur la figure 1), basés sur des hypothèses de séparation d échelles, d équilibre local, de tendance à l isotropie et de localité sont mis en défaut dans les régions pariétales. De nombreuses voies, largement exploitées (notées Divers sur la figure 1), existent pour corriger ces modèles, dont la plupart ne paraissent pas satisfaisantes : soit elles sont arbitraires (fonctions d amortissement), soit elles sont d application très limitée (lois de paroi), soit elles conduisent à des modèles très complexes et souvent difficiles à intégrer numériquement (modèles fortement non-linéaires). Une voie alternative, ouverte par Durbin en 1991 [133], consiste à résoudre une équation dite de relaxation elliptique pour le terme de redistribution par les fluctuations de pression, qui permet de prendre en compte l effet non-local de blocage par la paroi. Ce type d approches, qui a fait l objet de ma thèse et de mon séjour post-doctoral à Delft, s est développée par la suite par le biais de deux collaborations internationales (TU Delft et NASA) et une collaboration industrielle (EDF), dont l esprit général est le suivant : développer des modèles utilisables dans des applications industrielles (nombre d équations réduit, stabilité numérique), tout en conservant le maximum de physique dans le modèle. 2.1 Les effets de paroi Il n est pas question ici de détailler de manière exhaustive l ensemble des effets des parois solides sur la turbulence, mais plutôt d expliquer brièvement ce qu on va chercher

18 10 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS exactement à reproduire dans les modèles (on pourra par exemple se reporter à [117] ou [134] pour une description détaillée). Parmi les effets les plus important de la paroi, on pourra citer les effets suivants : Présence d un cisaillement moyen intense. Cet effet, lié à l adhérence de la paroi, et qui est à l origine d une très forte production turbulente, peut-être reproduit facilement dans les calculs grâce à la prise en compte de la condition aux limites sur la vitesse moyenne (U i = 0), dès lors que les équations de conservation de la quantité de mouvement moyenne sont résolues jusqu à la paroi (ce qui exclut l utilisation de lois de parois classiques). En revanche, certaines hypothèses de modélisation, comme l hypothèse de quasi-homogénéité, qui permet de simplifier l expression du terme rapide de redistribution dans les équations de transport du tenseur de Reynolds, en considérant que le gradient de vitesse peut localement être considéré comme constant, ne sont plus valides en proche paroi. Amortissement de la turbulence. L adhérence à la paroi implique également l annulation des vitesses fluctuantes, et donc un amortissement très rapide, dans la sous-couche visqueuse, de la turbulence. D une part, cet effet provoque localement une forte inhomogénéité de la turbulence, et donc une forte diffusion. D autre part, la disparition de la turbulence, qui se traduit notamment par un nombre de Reynolds turbulent tendant vers zéro à la paroi, met en défaut un certain nombre d hypothèses classiques sur la turbulence, comme la séparation d échelle entre structures énergétiques et dissipatives, la présence d une zone inertielle, l isotropie des petites structures et donc du tenseur de dissipation. L adhérence implique au voisinage de la paroi un comportement asymptotique linéaire ( en y, où y représente ici la direction normale à la paroi située en y = 0) des vitesses fluctuantes, et donc quadratique ( en y 2 ) des tensions de Reynolds u i u j (on verra ci-dessous que le blocage impose un comportement différents pour certaines composantes). Ce comportent n est pas imposé de manière évidente dans les modèles : les conditions aux limites u i u j = 0 n imposent que l annulation des tensions de Reynolds à la paroi, pas de leur dérivée. L obtention du comportement en y 2 requière la satisfaction de l équilibre entre diffusion visqueuse et dissipation au voisinage de la paroi. En pratique, c est l utilisation d une condition aux limites pour le tenseur de dissipation fonction du tenseur de Reynolds, sous la forme ε ij y=0 = 2ν lim y 0 u i u j y 2 (1) qui impose l annulation de la dérivée première des u i u j. On verra également qu il

19 2.1 Les effets de paroi 11 est possible de prendre en compte l anisotropie du tenseur de dissipation en proche paroi dans le cadre de la relaxation ou de la pondération elliptique. Effet de blocage. La présence d une paroi imperméable impose l annulation de la vitesse normale à la paroi. Cet effet est purement cinématique, indépendant du caractère visqueux du fluide. Il est d ailleurs présent en fluide parfait. Dans le contexte de l hypothèse d écoulement incompressible, il est facile de montrer, à partir de l équation de continuité, que cet effet impose que la composante de vitesse fluctuante normale à la paroi, v, se comporte au voisinage de la paroi en y n+1 si les composantes tangentielles se comportent en y n. Ainsi, pour une paroi glissante ou une surface libre indéformable, les composantes tangentielles seront en y 0 et la composante normale en y 1, tandis que dans le cas d une paroi avec adhérence, ces comportements deviendront respectivement y 1 et y 2. Dans tous les cas, l effet le plus important à prendre en compte pour la modélisation est que la tension de Reynolds v 2 est négligeable devant les tensions u 2 et w 2, conduisant au voisinage de la paroi ou de la surface libre à une turbulence à deux composantes. La reproduction de cet état particulier par les modèles est loin d être triviale, et a conduit à de nombreux travaux de recherche. Une des difficultés réside dans les échelles particulières de ce phénomène, qui sont liées à la non-localité de la pression, qui fait que la turbulence ressent l influence du blocage jusqu à une distance de la paroi bien supérieure à la taille de la sous-couche visqueuse. La couche dans laquelle la composante v 2 reste inférieure à sa valeur à l infini est nommée source layer [135, 136], parce que tout ce passe comme si une source négative de vitesse fluctuante normale était placée à la paroi, ou plus simplement blockage layer [137]. Le lecteur pourra se reporter pour plus de précisions aux études théoriques [135], expérimentales [138] ou numériques [137, 139, 140], qui portent sur l effet de blocage en l absence de cisaillement moyen. C est cet effet de blocage, et en particulier la limite à deux composantes, qu on va chercher à obtenir en introduisant la relaxation elliptique dans les modèles. La méthode a été proposée initialement par Durbin[133] pour le cas de parois solides, et peut-être étendue au cas d une surface libre indéformable [141]. Notons que ce n est pas la seule manière de procéder, et, en particulier, l école de Manchester a développé depuis de nombreuses années [142, 143, 144] le modèle dit TCL pour Two-Component Limit. Pour résumer la différence entre ces deux approches, de manière un peu caricaturale il est vrai, on pourra dire que le modèle TCL obéit à la logique comment introduire le plus de physique possible dans les modèles, tandis que l approche de la relaxation elliptique obéit à la logique comment introduire

20 12 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS le plus de physique possible tout en gardant un modèle linéaire. On verra que la préservation de la linéarité passe par la résolution d équations supplémentaires. Écho de paroi. La présence d une paroi dans l écoulement induit un effet d écho qui conduit à une augmentation des fluctuations de pression. Ce phénomène peut se résumer simplement en considérant l équation de Poisson de la pression fluctuante : 2 p = 2ρ U i x j u j x i ρ u i x j u j x i +ρ u i x j u j x i = S p (2) dans un domaine Ω semi-infini limité par une paroi en y = 0. Il est usuel, pour simplifier le problème, de séparer la pression en deux composantes, p = p + p s, en faisant apparaître la pression de Stokes p s qui est par définition la solution du problème suivant : 2 p s = 0 p s y = ρν 2 v y 2 (3) On remarquera que l apparition de la pression de Stokes est un phénomène visqueux, contrairement à l effet de blocage et l effet d écho décrits ci-dessous, et que son amplitude est faible, comme l a montré Kim [145] à partir de données DNS de canal. Pour simplifier l écriture des termes, on va en effet oublier cette composante de la pression, ce qui ne veut pas forcément dire qu on la néglige, puisque grâce à la linéarité de l équation de Poisson, il est effectivement possible de la traiter à part. La pression à laquelle on a retiré la pression de Stokes p = p p s est alors solution de l équation (2) associée à la condition aux limites p y = 0 (4) et la fonction de Green du domaine semi-infini se met alors sous la forme : G Ω (x,x 1 ) = 4π x x 1 4π x x (5) oùx désignel imagedex danslasymétrieplanedéfinieparlaparoi.lasolution du problème (2) (4) s exprime alors comme S p (x ) p(x) = Ω 4π x x dv(x ) } {{ } p 0 (x) Ω S p (x ) 4π x x dv(x ) } {{ } p e (x) La pression p peut donc être décomposée en deux parties : une pression p 0, qui est la contribution directe de l écoulement dans le domaine Ω; l écho p e, qui est la (6)

21 2.1 Les effets de paroi 13 conséquence de la réflexion par la paroi des ondes de pression (qui voyagent à une vitesse infinie en incompressible) et qui peut aussi se voir comme la contribution d un écoulement miroir. En modélisation RANS, l effet d écho de paroi désigne spécifiquement la conséquence de l existence de cet écho sur le terme de corrélation vitesse gradient de pression dans les équations de transport des tensions de Reynolds : φ ij = 1 ρ u p i 1 x j ρ u p j (7) x i qui peut être décomposé en φ ij = φ 0 ij +φ e ij, en faisant apparaître les deux contributions distinctes des pressions p 0 et p e, qui, dans le domaine Ω considéré ici s écrivent : ij(x) = 1 ρ u p 0 i 1 x j ρ u p 0 j = 1 x i ρ φ 0 ij(x) = 1 ρ u p e i 1 x j ρ u p e j = 1 x i ρ φ e Ω Ω u i (x) S p (x x )+u j (x) S p (x j x ) i dv(x ) 4π x x (8) u i (x) S p (x x )+u j (x) S p (x j x ) i dv(x ) 4π x x (9) On désignera ici par terme d écho de paroi le terme φ e ij, qui est à proprement parler le terme dû à l écho p e. L avantage de cette définition stricte [146], est qu elle permet de bien distinguer, pour le terme φ ij, l effet d écho de paroi et l effet de blocage : l effet d écho de paroi correspond à l apparition du terme image dans la fonction de Green de l équation de Poisson de la pression; l effet de blocage correspond à la modification du champ de vitesse due à la présence de la paroi, qui induit une modification des termes présents dans les intégrandes des équations (8) et (9) (à la fois u i et S p ). On pourra remarquer que les termes d écho, aussi bien p e que φ e ij, sont influencés par l effet de blocage, qui modifie u i et S p. Réciproquement, l effet d écho modifiant le champ de pression, il modifie également le champ de vitesse, et donc indirectement les termes p 0 et φ 0 ij. On voit donc que, si on peut bien identifier deux mécanismes différents, ils sont nécessairement couplés. Pour la modélisation, il est important de noter par exemple que les deux effets jouentensensinversesurφ ij,etnotammentsursapartieredistributive:letermed écho φ e ij est du même signe que φ 0 ij, et tend donc à augmenter la redistribution d énergie de la composante longitudinale u 2 vers la composante normale à la paroi v 2 ; au contraire, l analyse des comportements asymptotiques des vitesses et pression fluctuantes au voisinage de la paroi montre que l effet de blocage conduit à un amortissement très fort de

22 14 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS cette redistribution, qui, dans la sous-couche visqueuse, s effectue même de v 2 vers les composantes tangentielles, montrant au passage que l effet de blocage est dominant par rapport à l effet d écho. Le lecteur pourra se reporter à [112] et [12] pour une analyse détaillée de ces points, notamment à partir de la base de données DNS de [115]. L objectif de la modélisation par relaxation elliptique sera alors essentiellement la reproduction de l amortissement de la redistribution vers v 2, qui est indispensable pour reproduire la limite à deux composantes de la turbulence. 2.2 La relaxation elliptique Bases physiques de l opérateur elliptique Revenons à un cas de turbulence libre, sans présence de paroi. Dans ce cas, le terme d écho de paroi défini par l équation (9) disparaît et le terme de corrélation vitesse gradient de pression est simplement donné par l équation (8). Durbin [133] a proposé de modéliser la corrélation en deux point Ψ ij (x,x ) = u i (x) S p x j (x )+u j (x) S p x i (x ) (10) qui apparaît dans l intégrande, en supposant une simple décroissance exponentielle de la corrélation sous la forme Ψ ij (x,x ) λ(x) = Ψ ij(x,x ) λ(x ) ( ) exp x x L où L est une échelle caractéristique de cette corrélation particulière, et qui devra être modélisée. La fonction de normalisation λ est introduite ici pour permettre de prendre en compte ultérieurement des changements de comportement en proche paroi. L introduction de l équation (11) dans (8) donne (11) ( ) φ ij(x) λ(x) = 1 Ψij (x,x exp x x ) L dv(x ) (12) ρ λ(x ) 4π x x qui fait apparaître le potentiel de Yukawa ( ) x x exp G IR 3(x,x L ) = 4π x x (13)

23 2.2 La relaxation elliptique 15 qui est la fonction de Green associée à l opérateur elliptique 1 L 2 2 (14) Ainsi, (12) est la solution de l équation, dite de relaxation elliptique, ( ) 1 φ ij (x) L 2 2 λ(x) = Ψ ij(x,x) ρλ(x) (15) On remarquera que dans le cas d une échelle de longueur L variable, ce qui sera bien sûr le cas en général, en particulier dans la région de proche paroi, (12) n est qu une approximation de la solution de (15). Nous verrons plus loin que la prise en compte de cette erreur d inversion 4 conduit à l utilisation d un opérateur elliptique différent. Si on fait dans l équation (8) une hypothèse de quasi-homogénéité, c est-à-dire si on considère que le terme Ψ ij (x,x )/λ(x ) peut-être considéré comme constant sur la région autour de x où la fonction de Green n est pas très petite devant 1, on peut sortir Ψ ij (x,x)/λ(x) de l intégrale et on obtient alors la relation Ψ ij (x,x) = ρ L ij(x) (16) 2φ ce qui revient à dire qu en région quasi-homogène, le laplacien de φ ij/λ est négligeable dans (15). Nous verrons plus loin que dans la région de proche paroi, où la quasihomogénéité est mise en défaut [147], ce sont les conditions aux limites de l équation de relaxation elliptique (15) qui pilotent le comportement de φ ij, sans grande influence de la modélisation du second membre. Dès lors, Durbin [133] fait l hypothèse qu on peut, dans tout le domaine, modéliser le second membre de (15) en utilisant un modèle classique de φ ij, c est-à-dire un modèle basé sur l hypothèse de quasi-homogénéité. On obtient alors l équation de relaxation elliptique de la forme ( 1 L 2 2) φ ij λ = φh ij λ (17) On remarquera que les modèles φ h ij utilisés en général, comme lemodèle LRR [146] ou le modèle SSG [148], sont des modèles pour le terme de corrélation pression déformation φ ij, et non pour le terme de corrélation vitesse gradient de pression φ ij. Cela revient à considérer que, dans la zone quasi-homogène, la diffusion par la pression D p ij = φ ij φ ij est négligeable, hypothèse classique en modélisation (rien n empêche cependant d utiliser un modèle φ h ij qui inclue une prise en compte de la diffusion par la pression). 4. Le potentiel de Yukawa (13) est l inverse de la distribution ( 1 L 2 2) δ pour le produit de convolution.

24 16 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS Il est important d insister sur le fait que cette hypothèse n est pas faite en région de proche paroi, ce qui est crucial pour le bon comportement du modèle dans cette région, et que les conditions aux limites à la paroi de (17) devront être choisie de manière à satisfaire le comportement asymptotique de φ ij, qui inclut la diffusion par la pression. L intérêt principal de cette approche est de résoudre une équation différentielle (tensorielle) pour φ ij, au lieu d une expression algébrique, ce qui permettra d une part, de préserver le caractère non-local hérité par φ ij de l équation de Poisson pour la pression, et, d autre part, d imposer le comportement asymptotique de φ ij via les conditions aux limites à la paroi de l équation (17). L opérateur elliptique permet donc de contraindre le comportement en proche paroi de φ ij, puis, quand on s éloigne de la paroi, le laisse relaxer vers le modèle quasi-homogène φ h ij, d où la dénomination de relaxation elliptique. C est l échelle de longueur L qui pilote la transition en fonction de la distance à la paroi d un comportement à l autre. Le prix à payer est évidemment la résolution d une équation supplémentaire pour chacune des 6 composantes du tenseur, faisant passer le nombre d équations à 13 (cf. figure 1). Si on revient maintenant au cas d un domaine Ω semi-infini, limité par une paroi plane en y = 0, de manière similaire au cas de l équation de Poisson de la pression, la solution de l équation (15) fait apparaître, en plus du terme donné par l équation (12) le terme φ e ij(x) λ(x) = 1 ρ Ω ( ) Ψ ij (x,x exp x x ) L dv(x ) (18) λ(x ) 4π x x Ce terme n est pas identique à celui qu on obtiendrait en appliquant l hypothèse (11) au terme d écho de paroi (9). On obtient donc en résolvant les équations de relaxation elliptique dans un domaine borné par une paroi un terme similaire au terme d écho, mais qui ne découle pas d un choix particulier de modèle pour ce terme. Ce point n est aucunement limitatif pour cette approche, et il est important de rappeler ici que l objectif principal reste d imposer le bon comportement de u i u j au voisinage de la paroi Comportement en proche paroi Au voisinage de la paroi, les termes dominants du bilan des tensions de Reynolds sont la diffusion visqueuse ν 2 u i u j / y 2, la dissipation ε ij et la corrélation vitesse gradient de pression φ ij, si bien que les équations de transport des tensions de Reynolds

25 2.2 La relaxation elliptique 17 F w 11 F w 22 F w 33 F w 12 F w 13 F w 23 λ = k 1 2 Fw 22 20ν2 v lim 2 ε w y 0 y Fw 22 20ν2 uv lim ε w y 0 y ν2 vw lim ε w y 0 y 4 λ = kε 1 2 Fw 22 20ν2 ε 2 w lim y 0 v 2 y Fw 22 20ν2 ε 2 w uv lim y 0 y ν2 vw ε 2 lim y 0 w y 4 Table 1 Conditions aux limites en paroi pour les composantes du tenseur F ij = φ ij /λ, pour λ = k et λ = kε. Un w en indice ou exposant indique la condition aux limites en paroi. u i u j se réduisent à φ ij ε ij = ν 2 u i u j y 2 (19) L obtention du bon comportement asymptotique des u i u j est donc conditionnée à une modélisation asymptotiquement correcte de la différence φ ij ε ij dans cette région. Sans entrer dans les détails (le lecteur intéressé se reportera à l article [11] reproduit page 133), il est facile de montrer que le comportement asymptotique est φ ij ε ij = n(n+1) lim y 0 ν u iu j y 2 (20) où n = 1 pour les composantes ne faisant intervenir que des vitesses tangentielles (u 2, w 2 et uw), n = 2 pour uv et vw, et n = 3 pour v 2. Étant donné que, pour les composantes u 2, w 2 et uw, φ ij est négligeable devant ε ij, la stratégie sera la suivante : On choisit un modèle simple pour ε ij qui a le bon comportement asymptotique pour ces trois composantes, sans se soucier des autres composantes. On choisit ensuite un modèle pour φ ij de telle manière que φ ij ε ij ait le bon comportement asymptotique pour les composantes uv, vw et v 2, tout en assurant que φ ij soit bien négligeable devant ε ij pour les composantes u 2, w 2 et uw. En d autres termes, on corrige le modèle de ε ij grâce à un choix de φ ij permettant d imposer le bon comportement de la différence φ ij ε ij. Il n y a pas une manière unique de remplir ce cahier des charges, mais une des manières les plus simples est de choisir le modèle ε ij = u iu j k ε (21) pour le tenseur de dissipation. Il est facile de voir que ce modèle redonne bien le comportement (20) pour le cas n = 1, à partir du moment où la condition aux limites

26 18 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS en paroi de la dissipation est correctement imposée k ε w = 2ν lim (22) y 0 y 2 où k est l énergie turbulente. Pour imposer le bon comportement de φ ij, on peut alors montrer [133] qu il faut choisir dans le modèle (11) une fonction de normalisation λ qui tende vers zéro à la paroi en y 2, de manière à avoir des conditions aux limites finies (non nulles) pour le tenseur F ij = φ ij/λ pour les composantes uv, vw et v 2. Durbin [133] a fait le choix de l énergie turbulente comme fonction de normalisation (λ = k) et les conditions aux limites que F ij = φ ij/λ doit satisfaire sont données dans le tableau 1. Notons qu il existe une latitude pour les conditions aux limites sur les trois composantes F 11, F 33 et F 13, dans la mesure où φ ij est négligeable dans le bilan des tensions de Reynolds correspondantes, si bien que le comportement asymptotique de φ ij = λf ij n est pas crucial, à condition que ce terme reste négligeable devant ε ij. Le choix le plus simple et le plus robuste numériquement est alors F w 11 = F w 33 = F w 13 = 0, mais la plupart des auteurs retiennent F w 11 = F w 33 = 1 2 Fw 22 et F w 13 = 0, c est-à-dire choisissent d annuler la trace de φ ij au voisinage de la paroi, ce qui, en soi, n est pas justifié puisqu il ne s agit pas de la corrélation pression-déformation, de trace nulle, mais de la corrélation vitesse gradient de pression. Les deux choix étant arbitraires, et l influence de ces conditions aux limites étant quasiment négligeable, on les rencontre tous les deux dans la littérature. Nous verrons d autre part à la section qu il est intéressant pour mieux reproduire le terme φ ij dans la zone logarithmique d utiliser une normalisation non pas par λ = k mais par λ = kε. Dans ce cas, ces conditions aux limites sont légèrement modifiées, simplement par le passage au carré de ε w dans les expressions, comme indiqué dans le tableau 1. Un point important restant à résoudre est que le modèle (21) n est pas correct loin de la paroi, car la séparation d échelles fait que les échelles dissipatives peuvent être considérées comme isotropes indépendamment des échelles énergétiques. Dès lors, on voudrait que le tenseur de dissipation tende vers l isotropie quand on s éloigne de la paroi. Une solution, proposée par Durbin[133], consiste à écrire le tenseur de dissipation sous la forme ε ij = u iu j k ε+ξ ij (23) ξ ij étant donc simplement défini comme la différence entre le tenseur de dissipation ε ij et le modèle (21) et de résoudre une équation de relaxation elliptique pour ξ ij sous la même forme que l équation (17) : (1 L 2 2 ) ξ ij λ = ξh ij λ (24)

27 2.2 La relaxation elliptique 19 où avec la condition aux limites ξ h ij = 2 3 εδ ij u iu j k ε (25) ξ ij = 0 (26) aux parois. On aura par conséquent, à l approche de la paroi, ξ ij 0 et donc et en situation quasi-homogène, ξ ij ξ h ij et donc ε ij = u iu j k ε+ξ ij u iu j k ε (27) ε ij u iu j k ε+ξh ij = 2 3 εδ ij (28) Contrairement au cas de φ ij, il ne faut pas chercher de justification théorique à l utilisation de l opérateur elliptique pour ε ij. Certes, dans l équation de transport de ε ij, il y a un terme de corrélation gradient de vitesse gradient de pression [117], qui peut être traité exactement de la même manière que φ ij, et donc peut se modéliser à l aide d une équation de relaxation elliptique, ce qui montre que ε ij hérite également de la non-localité de la pression via ce terme. Cependant, appliquer directement l opérateur elliptique à ε ij est une hypothèse bien plus forte, dont l équivalent serait d appliquer cet opérateur non pas à φ ij mais directement aux tensions de Reynolds. Grâce à la linéarité de l opérateur elliptique, et comme seule la différence φ ij ε ij apparaît dans les équations de transport du tenseur de Reynolds, il n est pas nécessaire de résoudre les deux équations (17) et (24), mais simplement la différence des deux : f ij L 2 2 f ij = fij h = 1 ( φ h ij 2 λ 3 εδ ij + u ) iu j k ε (29) où f ij = (φ ij ξ ij )/λ, les conditions aux limites décrites dans le tableau 1 restant valable pour f ij. Comme mentionné plus haut, l objectif principal de la relaxation elliptique est de reproduire le fort amortissement de la redistribution d énergie vers la composante v 2, de manière à obtenir le comportement asymptotique des tensions de Reynolds, et en particulier le fait que v 2 soit négligeable devant u 2 et w 2 au voisinage de la paroi. La figure 2 illustre, pour la composante 22, l effet de l utilisation de l opérateur elliptique. À partir des données de DNS de canal à Re τ = 590 [115] (test a priori), le terme φ 22 est calculé par les deux modèles LRR et SSG. On constate que ces deux modèles, comme attendu, ne sont pas valables en proche paroi. En revanche, si on résout l équation (17),

28 20 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS φ ,05 0,04 0,03 0,02 DNS [115] Modèle SSG [148] Modèle SSG+relaxation elliptique Modèle LRR [146] Modèle LRR+relaxation elliptique uiuj u 2 v 2 w 2 DNS [115] } uv Modèle SSG [148] Modèle SSG+ relaxation elliptique 0, y + Figure 2 Illustration de l effet de l application de l opérateur de relaxation elliptique sur les modèles. Écoulement de canal à Re τ = 590 [115]. Tests a priori. Modèle utilisant la normalisation par λ = kε y + Figure 3 Tensions de Reynolds reproduites par le modèle SSG original intégré jusqu à la paroi et le modèle SSG à relaxation elliptique, dans le cas d un canal à Re τ = 590 [115]. avec ici λ = kε, et au second membre un des deux modèles précédents, en utilisant une échelle de longueur L calculée à partir des données DNS (voir section pour la question de la modélisation de l échelle de longueur), on constate le rôle important joué parl opérateurelliptique:auvoisinagedelaparoi,c estlaconditionauxlimitesf22 w qui impose le comportement asymptotique de φ 22 = kεf22, w et l opérateur elliptique laisse ensuite, quand on s éloigne de la paroi, φ 22 relaxer vers le modèle quasi-homogène φ h 22. Ces courbes confirment l hypothèse, faite plus haut, que le comportement en proche paroi du modèle à relaxation elliptique est indépendant du modèle quasi-homogène utilisé au second membre. La figure 3 montre quant à elle une comparaison des résultats de simulation numérique pour le modèle SSG original [148], ici intégré jusqu à la paroi, donc sans utiliser de lois de parois, et le modèle à relaxation elliptique basé sur le SSG au second membre. Cette comparaison montre bien que l objectif d une reproduction correcte de la modification des tensions de Reynolds par la présence de la paroi est atteint. En particulier, le respect de la condition v 2 k montre que la limite à deux composantes est bien reproduite. Il est d ailleurs facile de vérifier que la valeur b 22 = 1/3 à la paroi est obtenue de manière exacte. Au loin, l opérateur de relaxation elliptique tend vers l opérateur identité, et les tensions de Reynolds se rapprochent progressivement de celles données par le modèle SSG original.

29 2.2 La relaxation elliptique Autres formes de l opérateur elliptique Durant ma thèse, nous nous étions intéressé[12] à la justification de deux hypothèses de base de la relaxation elliptique, qui sont d une part la modélisation de la fonction de corrélation en deux points entre la vitesse fluctuante et le gradient du terme S p par une exponentielle décroissante (cf. équation 11), et d autre part la modélisation de l échelle de longueur de cette fonction de corrélation par l échelle intégrale bornée par une échelle proportionnelle à l échelle de Kolmogorov, sous la forme ( ) k 3/2 L = C L max ε,c ν 3/4 η Pour vérifier ces hypothèses, lors du CTR Summer Program de 1998 [59], pour quelques positions y + dans un écoulement de canal à Re τ = 590, nous avions calculé cette corrélation en deux points à partir des champs instantanés DNS de Moser et al. [115]. Cette étude a permis de consolider les bases du modèles, dans la mesure où ces deux hypothèses se trouvent être plutôt bien vérifiées. La figure 4 montre la fonction de corrélationf(x,x )calculéepourlacomposante22pourdesséparationsdanstroisplans différents, en y + = 14. On voit que la modélisation par une exponentielle décroissante est acceptable, mais, en particulier en cette position très proche de la paroi, que l échelle de longueur de la corrélation est très différente dans les trois directions. Ce point n est pas crucial, car on peut montrer [12] qu en proche paroi, la quasi-homogénéité dans les directions tangentielles implique que seule l échelle dans la direction normale à la paroi est importante. En revanche, il existe également une forte asymétrie dans la direction normale à la paroi, la décorrélation étant plus rapide en direction de la paroi que dans la direction du centre du canal, ce qui a une réelle importance, sur laquelle nous reviendrons ci-dessous. La figure 5 montre une comparaison de différentes échelles qui peuvent être extraire des données DNS. Il s est avéré au cours de ce travail que la seule définition de l échelle de longueur de corrélation à la fois pertinente et utilisable en pratique était la demilargeur de la fonction de corrélation dans la direction normale à la paroi, définie à droite par et à gauche par ε 1/4 f(x,y,z;x,y +L +,z) = 1 e f(x,y,z;x,y L,z) = 1 (32) e Sur la figure, c est l échelle symétrisée L = 1 2 (L+ + L ) qui est tracée, mais on peut aussi tenir compte de l asymétrie. On peut voir sur la figure que la demi-largeur du (30) (31)

30 22 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS Figure 4 Fonction de corrélation entre la vitesse fluctuante v et S p / y, extraite des données DNS de canal à Re τ = 590 [115] à la position y + = 14. Chacune des figures correspond à une séparation dans un plan différent. 20 L+ y0+ 10 Demi-largeur de la fonction de corrélation Échelle intégrale L int (équation 33) Échelle intégrale modélisée C L k 3/2 /ε Borne C η C L ν 3/4 ε 1/ Figure 5 Comparaison du modèle (30) et des échelles extraites de la base de données DNS de canal à Re τ = 590 [115].

31 2.2 La relaxation elliptique 23 pic correspond, loin de la paroi, à l échelle intégrale L int qu on peut former à partir de l expression intégrale de φ 22, définie par L 2 int(x) = f(x,x )G Ω (x,x )dv(x ) (33) Ω En revanche, près de la paroi, la demi-largeur de la fonction de corrélation s éloigne de l échelle intégrale et, notamment, ne semble pas tendre vers zéro à la paroi. Dès lors, on peut voir que l introduction d une borne liée à l échelle de Kolmogorov est en effet nécessaire pour bien reproduire ce comportement. Cependant, l asymétrie de la fonction de corrélation dans la direction normale à la paroi a des conséquences importantes sur les résultats donnés par le modèle, en particulier dans la zone logarithmique. En effet, dans cette région, qui est trop loin de la paroi pour être dominée par les conditions aux limites des équations de relaxation elliptique, il est facile de montrer, à la suite de [149], en introduisant les évolutions en fonction de la distance à la paroi des différentes variables (φ ij et ε en 1/y, la vitesse en ln(y), les tensions de Reynolds restant constantes), que la redistribution est amplifiée par l opérateur elliptique, lorsque la fonction de normalisation λ est choisie, comme à l origine par Durbin, égale à l énergie turbulente k. La solution de l équation de relaxation elliptique s écrit alors tout simplement f ij = Γfij, h avec un facteur Γ 1,51. Or, dans cette région, il est fortement souhaitable que l opérateur réduise la redistribution (Γ < 1), pour prendre en compte l effet de blocage qui reste influent dans une partie de la zone log, ou encore soit neutre (Γ = 1), notamment quand le modèle φ h ij utilisé au second membre est le modèle SSG qui donne une redistribution correcte dans cette zone. Wizman et al. [149] ont proposé, de manière empirique, de modifier l opérateur de relaxation elliptique pour corriger ce défaut. En remplaçant ainsi f ij L 2 2 f ij par f ij 2 (L 2 f ij ) ou f ij L 2 [L 2 (L 2 f ij )], des facteurs Γ = 1 ou Γ = 0,75 sont respectivement obtenus. L analyse précédente a montré, à partir de données DNS, que la fonction de corrélation, qui est modélisée par une simple exponentielle décroissante, est en fait fortement asymétrique dans la direction normale à la paroi. Dans la zone log, la fonction de corrélation en un point Ψ(x, x) étant également décroissante en 1/y, la non-prise en compte de l asymétrie conduit à surestimer le poids de la région entre le point x et la paroi dans l intégrale (12), et donc à surestimer φ ij. C est donc le défaut d asymétrie de la fonction de corrélation qui est à l origine de l effet d amplification dans la zone log. Dans trois articles [12, 15, 10], nous avons proposé trois autres solutions pour corriger ce problème.

32 24 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS La première est en fait un sous-produit de la prise en compte de l erreur d inversion notée plus haut, qui vient du fait que l expression (12) n est rigoureusement la solution de l équation (15) que dans le cas d une échelle de longueur constante. Pour faire en sorte que cette échelle soit la plus constante possible, nous avons proposé [12] de réaliser une transformation (déformation) de l espace avant d appliquer la modélisation de la corrélation en deux points par une exponentielle décroissante. Cette transformation a la vertu de rendre la fonction de corrélation plus symétrique, et en réalisant la transformation inverse pour revenir dans l espace physique, on montre que l équation de relaxation elliptique se met sous la forme f ij L kl L ml 2 f ij x k x m L ml L kl x m f ij x k = f h ij (34) qui fait intervenir une matrice d échelles de longueur L ij, qui permet donc également de prendre en compte l anisotropie de la corrélation en deux points. Cette formulation, si on choisit par exemple L ij /L = 3 2 u iu j /k, où L est donné par l équation (30), affiche un facteur d amplification Γ = 1,06, et est donc quasi-neutre. De plus, si on choisit une matrice L ij isotrope (L ij = Lδ ij ), on obtient une formulation simplifiée f ij L (L f ij ) = f h ij (35) qui ressemble à celles proposées par Wizman et al., mais qui présente un facteur d amplification de 1,2. Ces deux formulations, qui restent amplificatrices (Γ > 1), n ont pas été utilisées en pratique. La seconde manière de corriger le problème d amplification dans la zone log est de prendre en compte l asymétrie dans la direction normale à la paroi de la fonction de corrélation en faisant intervenir le gradient de l échelle L dans le modèle, sous la forme ( f(x,x ) = exp r L+β(x x) L ). (36) Quelques manipulations algébriques [12] conduisent à une nouvelle forme de l équation de relaxation elliptique : (1+16β( L) 2 )f ij L 2 2 f ij 8βL L f ij = f h ij (37) qui redonne bien l équation d origine pour β = 0. Le facteur d amplification de cette formulation s écrit Γ = 1 1+2(12β 1)CLC 2 µ 3/2 κ 2. (38)

33 2.2 La relaxation elliptique , U + 15 v 2+ 1,5 Exp. [150] 10 Durbin [133] Wizman et al. [149] 5 Manceau et al. [12] Manceau et al. [10] y + 1 0, y + Figure 6 Comparaison des vitesses moyennes et des tensions normales à la paroi données par différentes versions du modèle au second ordre à relaxation elliptique dans le cas d un écoulement de canal à Re τ = 1017 (Re b = 20197) [150]. La description des différentes versions est données dans le tableau 2. Par soucis de clarté, les profils de U + sont décalés vers le haut de 2 en 2 et les profils de v 2+ de 0,5 en 0,5. qu on peut faire varier suivant ce qu on veut faire de 1,51 (pour β = 0) à 0 en augmentant le coefficient β, qui détermine le degré d asymétrie introduit dans le modèle. Un modèle neutre est obtenu pour la valeur particulière β = 1/12. Les simulations numériques en canal et couche limite [15, 10] ont confirmé cette analyse théorique et ont montré que cette formulation permettait d améliorer significativement les résultats, aussi bien dans le cadre des modèles au second ordre que dans le cadre du modèle à viscosité turbulente utilisant la relaxation elliptique, le modèle dit v 2 f, proposé par Durbin [133]. La figure 6 donne un échantillon de ces résultats, pour le modèle au second ordre, dans le cas d un canal à Re τ = 1017, en comparaison avec les données expérimentales de Wei & Willmarth [150]. Cette figure montre une nette amélioration des résultats pour les versions neutres du modèle (γ = 1) par rapport à la version d origine. En particulier, dans ce cas où le nombre de Reynolds de frottement Re τ est imposé dans les calculs, on peut voir que le débit, et donc le Reynolds basé sur la vitesse débitante Re b (surface sous la courbe de U + ) est bien mieux reproduit par les versions modifiées, ce qui implique l obtention d un meilleur coefficient de frottement C f = 2Re 2 τ/re 2 b. Bien que rien de particulier ne soit introduit dans les modèles modifiés pour reproduire les effets bas-reynolds, ces modèles donnent des résultats bien meilleurs à Re τ = 395 et 180 [15, 10].

34 26 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS Référence Formulation Normalisation (λ) Amplification (Γ) Durbin [133] f ij L 2 2 f ij k 1,51 Wizman et al. [149] f ij 2 (L 2 f ij ) k 1 Manceau et al. [12] (1+16β( L) 2 )f ij L 2 2 f ij 8βL L f ij = fij h k 1 Manceau et al. [10] f ij L 2 2 f ij kε 1 Table 2 Description des différentes versions du modèle à relaxation elliptique utilisées pour la figure Modèles renormalisés La troisième manière de corriger le problème d amplification par l opérateur elliptique en zone log est de modifier la fonction de normalisation λ. En effet, cette amplification est due à la combinaison d une fonction de corrélation trop symétrique et de la décroissance en 1/y de la corrélation en un point Ψ ij (x,x). La normalisation par λ = k est nécessaire pour reproduire correctement les comportements asymptotiques au voisinage de la paroi, mais ne change rien en zone log, puisque k est constant dans cette zone. Le candidat naturel pour la normalisation de φ ij et de la corrélation Ψ ij (x,x ) est le taux de dissipation ε, qui varie également en 1/y en zone log. Cependant, comme ε tend vers une valeur finie à la paroi, c est λ = kε qui permet à la fois d assurer les bons comportements dans les deux zones. Le facteur d amplification Γ obtenu est alors de 1, puisque le tenseur f ij = φ ij/(kε) est constant dans la zone log, et donc f ij L 2 2 f ij = fij h se réduit à f ij = fij. h Le développement de modèles dits renormalisés a été réalisé en collaboration avec Tom Gatski et Jan Carlson de NASA Langley, qui m avaient initialement contacté pour les aider au développement d un modèle algébrique explicite dérivé du modèle au second ordre à relaxation elliptique (cette idée n a pas été couronnée de succès, mais a conduit à une longue collaboration avec Tom, renforcée par son accueil au laboratoire depuis 2006, sur les modèles renormalisés présentés ici, puis sur les modèles algébriques explicites dérivés du modèle à pondération elliptique et les modèles hybrides RANS- TLES qui seront présentés plus loin). L idée de renormaliser les modèles est simplissime à appliquer en pratique, que ce soit dans le modèle au second ordre ou dans le modèle v 2 f, puisqu il suffit de changer les conditions aux limites de l équation de relaxation elliptique, comme indiqué dans le tableau 1, d utiliser comme terme source de cette équation φ h ij/(kε) au lieu de φ h ij/k, et d utiliser φ ij = kεf ij au lieu de φ ij = kf ij dans les équations de transport des tensions

35 2.3 La pondération elliptique : modèle EB-RSM 27 de Reynolds (ou simplement de v 2 pour le modèle v 2 f). Les résultats obtenus en canal et en couche limite pour différents Reynolds [10] sont spectaculaires par rapport à l effort de codage demandé. La figure 6 montre que les résultats sont très similaires à ceux obtenus avec les deux autres modèles neutres. L utilisation de la version renormalisée est cependant recommandée en pratique, car elle est aussi justifiée du point de vue théorique que la version originale, et plus stable numériquement que la version de Manceau et al. [12] (cf. tableau 2) grâce à l absence de gradients d échelle de longueur. 2.3 La pondération elliptique : modèle EB-RSM Les modèles au second ordre à relaxation elliptique sont restés assez impopulaires, en partie à cause des 6 équations de relaxation elliptique à résoudre en plus des 7 équations classiques des modèles au second ordre, mais surtout à cause des instabilités numériques liées aux conditions aux limites. Le principal intérêt de la relaxation elliptique, la reproduction de l effet de blocage, est due au fait que l opérateur elliptique assure une transition continue entre le modèle quasi-homogène φ h ij et le bon comportement asymptotique du terme φ ij imposé par les conditions aux limites. On peut cependant remarquer que cette transition est pilotée par une échelle de longueur unique, L, qui intervient dans les 6 équations de relaxation elliptique, et donc que ces équations sont quelque peu redondantes. Dans le cadre de mon post-doc réalisé au sein de l université technique de Delft aux Pays-Bas, dans le groupe de Kemal Hanjalić, nous avons développé une approche, la pondération elliptique (elliptic blending), très largement dérivée de la relaxation elliptique. L objectif, dans le cadre du projet européen MOVA (MOving Vehicule Aerodynamics), était de proposer un modèle gardant l essentiel des bonnes propriétés de la relaxation elliptique, tout en supprimant ses défauts principaux (le nombre d équations et les instabilités numériques), de manière à disposer d un modèle utilisable en configuration industrielle Description de l approche L idée est ici de réaliser la transition entre les comportements du modèle en proche paroi et loin de la paroi à l aide d une simple fonction scalaire f φ, qui doit tendre vers

36 28 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS 0 à la paroi et vers 1 au loin, sous la forme : φ ij = (1 f φ )φ w ij +f φ φ h ij (39) Le modèle φ h ij, forme limite du modèle loin de la paroi, sera simplement un modèle quasi-homogène classique, comme pour la relaxation elliptique. On va alors chercher à modéliser la forme du modèle en proche paroi φ w ij et la fonction de pondération f φ de manière à se rapprocher au maximum des propriétés du modèle à relaxation elliptique ( 1 L 2 2) φ ij λ = φh ij λ Pour cela, on va chercher à faire porter tout l effet de la relaxation elliptique par la fonction f φ, en écrivant ( 1 L 2 2) f φ λ = fh φ λ = 1 λ On défini alors simplement la fonction (40) (41) solution du problème α = f φ λ (42) α L 2 2 α = 1 λ α w = 0 (43) De manière à reproduire le comportement en proche paroi du modèle à relaxation elliptique, φ w ij/λ doit satisfaire les limites données dans le tableau 1. Il est important d insister ici sur le fait que ce tableau donne des conditions aux limites, qui sont écrites dans le repère aligné sur la paroi, ce qui ne pose aucun problème puisqu en pratique, on pourra toujours dans un code de calcul faire localement un changement de repère pour calculer les conditions aux limites à appliquer dans le cas où la paroi n est pas alignée avec le repère. Dans le cas du modèle à pondération elliptique, ce ne sont plus des conditions aux limites qu on cherche à écrire (la seule condition porte sur α), mais un tenseur φ w ij. Il est alors crucial que le modèle reste valable indépendamment de l orientation de la paroi par rapport au repère. De manière à identifier l orientation de la paroi, on peut alors introduire le tenseur N = n n (44) où n est le gradient normalisé de α n = α α (45)

37 2.3 La pondération elliptique : modèle EB-RSM y/h 0.4 uiuj x/h x/h y + Figure 7 Champ de vecteur n calculé par la relation (45) au coin en bas d une marche descendante. Figure 8 Canal à Re τ = 590. Tensions de Reynolds. Symboles : DNS ( u 2 ; v 2 ; w 2 ; uv). Relaxation elliptique. Pondération elliptique. Comme la paroi est l isocontour α = 0, le vecteur n identifie la normale à la paroi au voisinage de celle-ci, mais est correctement défini dans l ensemble du domaine, comme on peut le voir sur l exemple représenté figure 7. Il est facile de voir (cf. article [11] reproduit page 133) que les limites données dans le tableau 1 sont satisfaites par le modèle φ w ij = 5 ε (u i u k n j n k + u j u k n i n k 12 k u ku l n k n l n i n j 12 ) u ku l n k n l δ ij (46) Dans l article d origine [11], la fonction de normalisation λ = k de la relaxation elliptique avait été conservée (la pondération elliptique ne présentant pas de problème d amplification dans la zone log, il est inutile de choisir λ = kε). En effet, il est important pour satisfaire le bon comportement en proche paroi que la partie quasi-homogène du modèle λαφ h ij soit négligeable dans cette région devant φ w ij, ce qui nécessite l utilisation d une fonction de normalisation λ tendant vers zéro à la paroi au moins aussi vite que y. Cependant, d autres choix sont possibles, et en particulier, pour des raisons de stabilité numérique et pour assurer que λα tende exactement vers 1 loin des parois, on peut choisir λ = α, comme utilisé dans le cas des jets multiples impactant une paroi chauffée [9] présenté à la section Finalement, le choix le plus satisfaisant, pour

38 30 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS les raisons exposées plus bas, est λ = α 2, qui conduit au modèle suivant : φ ij = (1 α 3 )φ w ij +α 3 φ h ij α L 2 2 α = 1 α w = 0 (47) On remarquera que le second membre de l équation de α est simplement 1, dans la mesure où c est la valeur quasi-homogène de λ = α 2. De manière similaire à φ ij, le modèle à pondération elliptique cherche à reproduire le comportement du modèle à relaxation elliptique pour le tenseur de dissipation sous la forme ε ij = (1 f ε )ε w ij +f ε ε h ij = (1 f ε ) u iu j k ε+f 2 ε 3 εδ ij (48) Dans l article d origine [11] (cf. page 133), en utilisant une analyse de donnée DNS en canal, il est montré que l échelle de longueur de la transition de la forme proche de la paroi à la forme loin de la paroi n est pas la même pour ε ij que pour φ ij, ce qui avait conduit à l utilisation d une fonction de normalisation λ = Ak pour ε ij, où A est l invariant d aplatissement de Lumley. Cependant, ce raffinement a été plus tard sacrifié sur l autel de la stabilité numérique [9]. Dans ce cas, on a des fonctions f φ et f ε identiques, et on peut alors grouper les modèles pour φ ij et ε ij, ce qui donne φ ij ε ij = (1 f φ )(φ w ij ε w ij)+f φ (φ h ij ε h ij) (49) Cette relation peut être simplement inversée pour exprimer f φ en fonction des autres termes : f φ = (φ ij ε ij ) (φ w ij ε w ij) (φ h ij εh ij ) (φw ij εw ij ) (50) Il est facile de montrer que f φ doit donc tendre vers zéro à la paroi comme y 3, ce qui suggère d utiliser soit f φ = kα, soit f φ = α 3, ce qui revient à choisir soit λ = k, soit λ = α 2. Comme mentionné plus haut, c est le choix f φ = α 3 qui est utilisé dans les applications les plus récentes. La figure 8 illustre l intérêt essentiel de ce modèle, appelé EB-RSM pour Elliptic Blending Reynolds-Stress Model, qui est de reproduire l anisotropie de la turbulence induite par l effet de blocage de la paroi aussi bien que le modèle au second ordre de Durbin [151], mais avec 5 équations de moins. En effet, au lieu de résoudre 6 équations

39 2.3 La pondération elliptique : modèle EB-RSM 31 de relaxation elliptique pour les 6 composantes indépendantes de φ ij ε ij, on ne résout plus qu une équation pour α, ce qui fait passer le modèle de 13 à 8 équations, comme indiqué sur le schéma 1. De plus amples détails sur le modèle et des résultats plus complets peuvent être trouvés dans l article [11] reproduit page 133. Le modèle à pondération elliptique est alors, parmi les modèles utilisant la relaxation elliptique, celui qui offre le meilleur compromis entre la représentation de la physique (modèle au second ordre), et la facilité de mise en œuvre : il contient une seule équation de relaxation elliptique permettant de rendre toutes les tensions de Reynolds sensibles à l effet non-local de la paroi, contrairement au modèle au second ordre de Durbin qui en utilise 6; de plus, la stabilité du modèle est très largement améliorée, grâce au découplage des conditions aux limites des différentes équations, et à l utilisation d une condition aux limites aux parois homogène pour la fonction de pondération elliptique (α = 0). Ces idées ont été brièvement exposées dans deux articles de revue des approches les plus actuelles en modélisation de la turbulence pour l aéronautique, Gatski, Rumsey, Manceau [6] et, plus récemment, Durbin [152]. La communauté de la modélisation de la turbulence a réagi de manière très favorable à la publication de ce modèle. A ma connaissance, en plus des équipes impliquées dans son développement à Delft, Poitiers et EDF, ce modèle a été ou est utilisé par au moins 10 équipes, dans 8 pays, pour des applications diverses : Universités de Stanford/Kentucky, USA : écoulements de couche limite (aéronautique) [153]; Université de Rome La Sapienza, Italie : étages de compresseur [154]; KTH, Stockholm, Suède : Contrôle du décollement par générateurs de tourbillons [155]; Université de Manchester, UK: développement d une version réduite à 4 équations (type v 2 f) [156]; comparaison entre version complète et version réduite en écoulements 3D complexes [157]; Université de Gdansk, Pologne : extension à la modélisation diphasique [158]; Université Keio, Yokohama, Japon : introduction d une modélisation des effets de diffusion par la pression [159]; Université de Shizuako, Japon : écoulements à surface libre [141]; Universités de Séoul/Hanzhong, Corée : écoulements en rotation, conduites incurvées, extension à la thermique, écoulements de carbone super-critique [160, 161, 162, 163]; Korea Atomic Energy Research Institute, Corée : convection naturelle [164, 165];

40 32 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS Figure 9 Jets multiples impactant une paroi chauffée. Comparaison avec les données expérimentales de Geers et al. [169] des résultats obtenus avec (a) le k-ε standard (avec lois de parois), (b) l EB-RSM et (c) le v 2 f. A gauche, champs de vitesse dans un plan vertical passant par le centre de 2 jets voisins. A droite, cartographie de Nusselt à la paroi. Université internationale de Sarajevo, Bosnie-Herzegovine : chambres de combustion avec swirl (communication personnelle). On notera également que l idée d utiliser la fonction de pondération α donnée par l équation (47), avec l échelle de longueur (30), et d identifier la normale n i à la paroi à partir de son gradient pour construire le tenseur n i n j, a été reprise dans le cadre de la modélisation par tenseurs de structure, dans sa version algébrique (ASBM, Algebraic Structure Based Model [166, 167, 168]). Enfin, le modèle étendu à la thermique sera intégré comme modèle disponible par défaut dans la prochaine version du code opensource Saturne d EDF, et son implantation dans le code EZNSS développé par Israeli CFD Center est en projet Applications Jets impactants La première application complexe de l EB-RSM a été le cas du refroidissement d une paroi chaude par impact de jets multiples. Dans ce cas de convection forcée, les flux thermiques turbulents sont simplement modélisés à l aide d un modèle de gradient généralisé (GGDH [170]). Ce travail a été mené en collaboration avec Delft et les calculs ont été réalisés par Luuk Thielen dans le cadre de sa thèse, avec le code en volumes finis

41 2.3 La pondération elliptique : modèle EB-RSM 33 X-Stream. La configuration correspond aux expériences de Geers et al. [169] et consiste en une plaque avec neuf orifices circulaires de diamètre D placée en dessous d une chambre de tranquillisation, qui permet de générer neuf jets avec vitesse uniforme, qui viennent impacter une paroi chauffée. La distance S entre deux orifices voisins et la distance H entre les orifices et la paroi chauffée sont choisis tels que S = H = 4D. Le nombre de Reynolds basé sur le diamètre et la vitesse débitante est Re D = La comparaison détaillée des résultats dynamiques et thermiques a confirmé que cet écoulement est particulièrement difficile à reproduire avec un modèle à viscosité turbulente. Comme on peut le voir sur la figure 9, seul l EB-RSM reproduit correctement l interaction complexe entre les jets, la formation et la collision des jets de paroi autour des régions d impact, l éjection de fluide à la rencontre de deux jets de paroi et la recirculation qui en résulte. En particulier, le k ε standard donne de très mauvais résultats, parce qu il reproduit très mal l interaction paroi/turbulence et que les lois de paroi classique sont inadaptées [171]. Le v 2 f donne de meilleurs résultats parce que la relaxation elliptique lui permet de reproduire l effet de blocage, ce qui évite une surestimation de la viscosité et de la diffusivité turbulente en proche paroi. Cependant, la reproduction du tenseur de Reynolds et du champ de vitesse dans ce cas tridimensionnel complexe est très affecté par l utilisation d une loi de comportement linéaire. Ces résultats se reflètent dans les échanges thermiques à la paroi. Le modèle v 2 f, connu pour donner de bons résultats dans le cas d un jet simple [172, 173, 174], est capable,contrairementauk εstandard,dedonnerlesbonsniveauxdenusselt,maisla mauvaise reproduction de la topologie du champ de vitesse induit une forte déformation des isocontours. Canal en rotation L influence des forces de Coriolis sur la turbulence est un effet très important à prendre en compte dans certaines applications industrielles (turbines de centrales, de moteurs d avions, pompes, disques de frein, élément tournant des systèmes électroniques, etc.), et évidemment dans le domaine des écoulements géophysiques. Un des écoulements simplifiés représentatifs de ces systèmes est le canal en rotation suivant l envergure (spanwise). Il est bien connu que ce type d écoulements est très difficile à reproduire avec des modèles à viscosité turbulente. En particulier, les modèles linéaires sont complètement insensibles à la mise en rotation du canal, sauf si on introduit des corrections explicites

42 34 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS 0,012 Côté anticyclonique uτ/u 0 τ 1 LES fine [? ] EB-RSM Limite laminaire uv/u 2 b 0,008 0, Côté cyclonique Ro y/h Figure 10 Canal en rotation à Re = À gauche : évolution des vitesses de frottement des deux côtés du canal. À droite : Profils de uv pour les quatre taux de rotation de la base de données LES (Ro=0; 1/6; 0,5; 1,5). [175, 176, 177, 178]. Au contraire, les modèles au second ordre sont intrinsèquement capables de reproduire ces effets, à la simple condition de tenir compte de la rotation du référentiel dans le calcul du tenseur des taux de rotation W ij, en utilisant par exemple à la place de ce dernier le tenseur des taux de rotation absolus [179, 180] W ij = W ij +ε mji ω i (51) où ω i est le pseudo-vecteur rotation du référentiel par rapport à un référentiel galiléen. La figure 10 illustre un résultat très intéressant, qui est la remarquable représentation de l influence de la rotation par le modèle à pondération elliptique EB-RSM. Il s agit, à ma connaissance, du premier modèle capable de reproduire la relaminarisation complète du canal, qui se produit à des taux de rotation très élevés. Évidemment, la partieessentielledecesuccèsestàmettreaucréditdumodèlessg,utilisédanslapartie quasi-homogène du modèle, qui a été développé et calibré de manière à reproduire en turbulence homogène le diagramme de bifurcation des solutions en fonction du rapport du taux de rotation ω au taux de cisaillement S, qui indique l existence de solution instables uniquement dans l intervalle 0 < ω/s < 0,5 [181]. Cependant, il est important de noter qu en tant qu extension à la région de proche paroi du modèle SSG, le modèle EB-RSM est capable de reproduire cet écoulement sans aucune adaptation particulière. Une des raisons principales de ce succès est que le modèle est basé sur le respect de l équilibre en proche paroi entre diffusion visqueuse, dissipation et corrélation vitesse gradient de pression, qui reste valable en présence de rotation.

43 2.3 La pondération elliptique : modèle EB-RSM Exp. EB-RSM 0,2 ωd/u j =0.12 ωd/u j =0.24 ζ f k ω SST EB-RSM 1 δ/δ0 z/d Figure 11 Jet impactant un disque en rotation. Évolution avec α du rapport δ/δ 0. α 0 0 0,005 0,01 v 2 θ /U2 j 0 0,02 0,04 v 2 θ /U2 j Figure 12 Jet impactant un disque en rotation. Profils de vθ 2 à r/d = 5,80 pour 2 taux de rotation. Jet impactant un disque en rotation En septembre 2008 à Graz, en Autriche, j ai co-organisé avec Suad Jakirlić (TU Darmstadt), dans le cadre de mon implication dans le comité de pilotage du SIG-15 d ERCOFTAC (Refined Turbulence Modelling), le 13 e workshop du SIG-15. Suite à ce workshop, R. Perrin et moi avons initié une collaboration avec l université internationale de Sarajevo (M. Hadžiabdić) et EDF (S. Benhamadouche) sur les jets impactants un disque en rotation. En effet, outre les sessions de présentation dédiées aux approches hybrides RANS/LES, deux sessions avaient pour objectif la comparaison de modèles de turbulence (RANS, hybrides, LES) sur des cas tests préalablement choisis. L un de ces cas tests est le cas d un jet axisymétrique impactant un disque en rotation, qui permet, en plus des problèmes rencontrés dans les cas de jet impactants classiques, d identifier la capacité des modèles à reproduire l interaction entre la rotation du disque et le jet de paroi qui se développe autour de la zone d impact. Il s agit du cas d un jet axisymétrique impactant perpendiculairement le centre d un disque tournant et chauffé, au nombre de Reynolds Re = et pour une distance de l orifice au disque de H = 5D, où D est le diamètre du jet. Ce cas a été étudié en utilisant une combinaison d analyse théorique, de calculs avec différents modèles de turbulence et de données expérimentales disponibles [182, 183]. L accent a porté sur l étude de l influence du taux de rotation du disque sur l écoulement moyen, la turbulence et les transferts thermiques, dans la région du jet de paroi qui se développe

44 36 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS sur le disque autour de la région d impact. Les quatre taux de rotation documentés dans les bases de données expérimentales disponibles ont été étudiés. Quatre modèles de turbulence ont été utilisés pour les calculs. Il s agit du modèle EB-RSM décrit plus haut et de trois modèles à deux équations à viscosité turbulente linéaire résolvant la région de proche paroi: le k ω SST[184], et deux versions modifiées du modèle v 2 f, le modèle ζ f [185] et le modèle ϕ f [186]. Dans le jet de paroi qui se développe autour de la zone d impact, dans le cas sans rotation, les zones internes et externes du jet de paroi sont en équilibre mutuel, et atteignent un état auto-similaire avec une variation linéaire de l épaisseur du jet et du débit passant à travers une couronne à r donné (croissance du débit due à l entraînement). Ce comportement est bien reproduit par le modèle au second ordre et par les modèles à viscosité turbulente, bien que le modèle ϕ f n atteigne pas une auto-similarité parfaite. Une étude des ordres de grandeur des différents termes des équations de conservation dans les deux cas limites (forte rotation et faible rotation) a permis d étudier l influence de la rotation sur l écoulement. L apparition d une couche limite induite par la rotation, bien connue et documentée dans le cas d un disque dans l air au repos, ne perturbe pas directement la zone externe du jet de paroi, même pour les forts taux de rotation, car l épaisseur de cette couche reste toujours petite comparée à l épaisseur du jet. Ainsi, le mécanisme responsable de la modification drastique de l ensemble du jet quand le taux de rotation augmente est à chercher dans l accélération et le cisaillement transversal de la zone interne, qui, par conservation de la masse, produit une accélération de la zone externe. Une conséquence majeure de ce mécanisme est que, contrairement à l écoulement moyen, le champ turbulent dans la zone externe est quasiment insensible aux effets de rotation, si bien que l entraînement à la frontière externe du jet est indépendant du taux de rotation. Ce comportement permet de démontrer que, comme conjecturé par [182], l épaisseur du jet de paroi varie comme l inverse du paramètre adimensionnel α = r 2 ω/u j D. Il a également été montré que pour observer cette dépendance en α 1 dans les données expérimentales et les résultats du modèle EB-RSM (cf. figure 11), l épaisseur du jet de paroi devait être définie par l intégrale dans la direction normale à la paroi de la vitesse radiale adimensionnée δ = 1 V rmax 0 V r (z)dz (52) et non par la position du maximum de vitesse, comme proposé par [182] : ces définitions ne sont pas équivalentes dans les cas en rotation, car l auto-similarité disparaît. Les

45 2.4 Versions algébriques explicites du modèle EB-RSM 37 modèles à viscosité turbulente ne sont pas capable de reproduire ce comportement, car les tensions de Reynolds dépendant de manière algébrique de l écoulement moyen, la turbulence est affectée par la rotation, même dans la zone externe. Enfin, l analyse des ordres de grandeurs des termes des équations de conservation, y compris les termes de bilan des tensions de Reynolds, a permis l identification d un scénario d apparition progressive de l influence de la rotation, dépendant des deux paramètres adimensionnels α and Re j. Pour les faibles taux de rotation, tels que α 2 Re 5/16 j 1, la couche limite induite par la rotation ne perturbe pas significativement le jet de paroi, si bien que la vitesse azimutale et les tensions de Reynolds v r v θ et v θ v z quiapparaissentsontsimplementsuperposéesàl étatauto-similaire.pourdestaux de rotation intermédiaires, limités par la contrainte α 12/5 Re 11/10 j 1, l accélération centrifuge produit une intensification et un amincissement du jet et, par conséquent, une forte augmentation du cisaillement V r / z, qui produit de fortes fluctuations radiales v r. Cependant, le champ turbulent et les mécanismes de transfert d énergie restent similaires à ceux du cas sans rotation : l énergie est principalement transférée de l écoulement moyen à la composante v 2 r, et redistribuée aux autres composantes. Finalement, pour des taux de rotation plus élevés, cette vision est complètement modifiée : la production turbulente alimente principalement la composante azimutale vθ 2 (cf. figure 12), de tel manière que la structure du tenseur de Reynolds est complètement modifiée. Une partie des résultats a été présentée au congrès THMT 06 [41], et un article est presque finalisé pour soumission à un journal. 2.4 Versions algébriques explicites du modèle EB-RSM Ce travail a été initié en 2001 lors de mes premiers contacts avec Tom Gatski, lorsqu il était toujours à NASA Langley. Il s est poursuivit depuis, par intermittence, et notamment au cours d un cours séjour de 10 jours à Langley en Cette collaboration s est évidemment largement intensifiée grâce à l accueil de Tom Gatski au LEA sur un poste de directeur de recherche contractuel. Depuis 2005, dans le cadre du projet européen WALLTURB, consacré à l étude et la modélisation de la turbulence de proche paroi, nous avons co-encadré la thèse d Abdou Oceni [187], financée sur le projet européen.

46 38 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS Présentation de la méthode Les modèles algébriques explicites (EASM, pour Explicit Algebraic Stress Models) sont des simplifications de modèles au second ordre : la méthode permet d écrire une relation théorique entre les tensions de Reynolds et le champ moyen, sous hypothèse d équilibre faible du tenseur d anisotropie et du tenseur de diffusion [188, 189, 190, 191]. Cette méthode a le grand avantage de réduire les équations de transport des tensions de Reynolds (6 équations) à une seule, celle de l énergie turbulente k, en conservant l essentiel des propriétés du modèle (terme de production exact, notamment). La démarche consiste donc à utiliser une hypothèse d équilibre faible [188] de la turbulence, qui correspond au comportement quand t d une turbulence homogène soumise à un cisaillement constant : la turbulence ne tend pas vers un état d équilibre (l énergie turbulente croît indéfiniment), mais le tenseur d anisotropie, lui, tend vers une limite b. La transposition de ce comportement dans le cas d un écoulement inhomogène consiste à utiliser l hypothèse de conservation du tenseur d anisotropie sur une trajectoire db dt = 0 (53) à laquelle on adjoint l hypothèse que la diffusion de l anisotropie est négligeable, ce qui revient à supposer que la diffusion du tenseur de Reynolds D ui u j a la même anisotropie que le tenseur de Reynolds lui-même : D ui u j 2D k 1 3 δ ij = b ij (54) où D k est la diffusion de l énergie turbulente k. L utilisation de ces hypothèses fait disparaître tous les termes de dérivées partielles des équations des tensions de Reynolds, et conduit donc à l obtention, à partir des équations d un modèle au second ordre classique, d une relation algébrique entre le tenseur d anisotropie, le tenseur des taux de déformation S et le tenseur des taux de rotation W de la forme, en générale dénommée équation algébrique implicite F(b,S,W) = 0 (55) En terme plus mathématiques, b est alors une fonction tensorielle algébrique des tenseurs S et W. La résolution de (55) est très difficile en pratique, et conduit à de graves instabilités numériques, ce qui motive la recherche de solutions explicites [189, 190, 192]. Le cadre mathématique adéquat pour traiter ce problème est la théorie des invariants de Spencer-Rivlin [193]. Sans entrer dans les détails, il est possible de montrer que b

47 2.4 Versions algébriques explicites du modèle EB-RSM 39 peut s écrire comme un polynôme de S et W b = N β i T i. (56) i=1 qui contient N = 10 termes T i, chacun de ces termes étant un élément de la base fonctionnelle correspondant à l équation (55) : 5 T 1 = S ; T 2 = SW WS ; T 3 = S { S 2 } I ; T 4 = W { W 2 } I ; T 5 = WS 2 S 2 W ; T 6 = SW 2 +W 2 S 2 3 { SW 2 } I ; T 7 = WSW 2 W 2 SW ; T 8 = SWS 2 S 2 WS ; T 9 = W 2 S 2 +S 2 W { S 2 W 2} I ; T 10 = WS 2 W 2 W 2 S 2 W. (57) Les coefficients β i sont eux-mêmes des fonctions polynomiales des invariants η i qui constituent la base d intégrité η 1 = { S 2} ; η 2 = { W 2} ; η 3 = { S 3} ; η 4 = { SW 2} ; η 5 = { S 2 W 2} ; η 6 = { SWS 2 W 2}. (58) où {.} désigne la trace. Pour obtenir une formulation explicite de ces coefficients β i, la méthode la plus simple est de réaliser une projection de Galerkin de l équation (55) sur la base (57). On obtient alors l expression des coefficients β i sous la forme β i = f i ( k ε, P ε,η 1,η 2 ) (59) Le rapport P/ε fait lui-même intervenir β 1, ce qui conduit à devoir résoudre une équation du troisième degré pour ce coefficient, les autres β i étant alors obtenus directement par (59). Il suffit donc, pour fermer le système et pouvoir calculer le tenseur de Reynolds, de résoudre des équations de transport pour k et ε. On a alors réduit le nombre d équations à résoudre pour la turbulence de 7 (u i u j ε) à 2 (k ε), tout en conservant l essentiel des propriétés du modèle au second ordre pour la représentation de l anisotropie. L utilisation de la représentation exacte de l équation (55) sous la forme (56) avec les 10 termes conduit rapidement à un système inextricable. Tous les modèles utilisés en pratique reposent donc en fait sur une base tronquée à 3 tenseurs [189], qui constitue une représentation exacte dans le cas d écoulements statistiquement 2D, mais bien sûr uniquement une approximation en 3D. Par exemple, l utilisation de cette méthode pour 5. C est-à-dire, la base fonctionnelle pour la représentation d une fonction tensorielle algébrique d un tenseur symétrique et d un tenseur antisymétrique.

48 40 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS 0,6 8 0,4 6 bij 0,2 0 uiuj ,2-0, y y + Figure 13 Comparaison des anisotropies données par le modèle k ε α et par le modèle de Rumsey et al. (2000). Symboles : DNS à Re τ = 590 de Moser et al. (1999) ( b 11 ; b 22 ; b 33 ); modèle de Rumsey et al.; modèle k ε α à 3 tenseurs. Figure 14 Comparaison entre le modèle au second ordre complet de Durbin (1993) (13 équations) et le modèle k ε α (3 équations).symboles:dnsàre τ = 590 (Moser et al., 1999) ( u 2 ; v 2 ; w 2 ; uv.) Modèle de Durbin. Modèle k ε α à 3 tenseurs. le modèle au second ordre SSG, en utilisant la base la plus classique T 1 T 2 T 3, conduit au modèle de Rumsey et al. [194]. L anisotropie donnée par ce modèle dans le cas d un écoulement de canal est représentée sur la figure 13. On constate qu on conserve une très bonne représentation de l anisotropie dans la zone log. En revanche, au centre du canal, l anisotropie tend vers zéro, car dans cette zone, les trois tenseurs de la base T i tendent vers zéro en même temps que S et W : c est la diffusion de l anisotropie qui domine dans les équations, ce qui met en défaut l hypothèse (54). On voit très clairement, dans la région de proche paroi, que le modèle ne prend pas en compte les effets dûs à celle-ci, ce qui motive l introduction de la pondération elliptique Introduction des effets de paroi Introduire la pondération elliptique conduit à substituer dans les équations le modèle EB-RSM au modèle SSG. Dans ce cas, la prise en compte des effets de paroi implique l insertion d un troisième tenseur dans la relation (55) : F(b,S,W,M) = 0 (60)

49 2.4 Versions algébriques explicites du modèle EB-RSM 41 où M est le tenseur symétrique à trace nulle construit à partir de la normale à la paroi généralisée, calculée à partir du gradient de la fonction de pondération elliptique : M ij = n i n j 1 3 δ ij = ( )/( ) α α α α 1 x i x j x k x k 3 δ ij (61) Cette modification, d apparence anodine, complique considérablement le problème : la base fonctionnelle contient alors 41 tenseurs au lieu de 10 et la base d intégrité 29 invariants au lieu de 6. Ces nombres sont ramenés à 27 et 16, respectivement, grâce à l existence de la syzygie 6 M 2 = 1 3 M I. Un des travaux essentiels réalisés durant la thèse d A.G. Oceni a alors été d identifier les propriétés des modèles obtenus en utilisant diverses possibilités pour la base tronquée : choix du nombre de tenseurs retenus (de 2 à 5) et choix des tenseurs. On obtient alors une hiérarchie de modèles possibles, dont les seuls vraiment utilisables sont des modèles à 2 ou 3 tenseurs. L intérêt de ces modèles par rapport au modèle EB-RSM complet est que le nombre d équations est réduit à 3 (pour k, pour ε et pour la fonction de pondération α), mais que l anisotropie de la turbulence à la paroi est rigoureusement respectée (ce résultat est démontré de manière théorique). Les tests en canal développé confirment le bien-fondé de cette approche, grâce aux propriétés tout à fait remarquables du modèle k ε α : La réduction du nombre d équations différentielles de 13 à 8 par la méthode de la pondération elliptique, puis de 8 à 3 par la méthode algébrique explicite n altère quasiment pas la qualité des résultats en canal (cf. figure 14). Cela montre que le processus de simplification, et donc les hypothèses utilisées, ne détériorent pas la représentation de la physique de la turbulence de proche paroi. Cela illustre l intérêt de la voie suivie (figure 1) pour développer un modèle simple tout en conservant le maximum de réalisme physique. Le modèle k ε α utilisant la base à trois tenseurs T 1 T 2 T 3 est très similaire au modèle de Rumsey et al., et contient uniquement une équation différentielle supplémentaire (pour α) et des termes algébriques additionnels qui rendent le modèle sensible à la présence de la paroi (il dégénère vers le modèle de Rumsey et al. quand α tend vers 1). La comparaison entre le modèle de Rumsey et al. et le modèle k ε α (figure 13) montre le côté presque magique de la méthode : avec une seule variable scalaire supplémentaire (α), le modèle parvient à différencier les composantes de l anisotropie. En particulier, il donne par 6. En algèbre, une syzygie désigne une relation entre les générateurs d un anneau, c est-à-dire ici entre les tenseurs de la base qui génèrent l ensemble des polynômes (56).

50 42 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS construction de manière exacte la valeur limite 1/3 de l anisotropie b 22 qui caractérise la limite à deux composantes de la turbulence en proche paroi. Lemodèlek ε α,bienquebeaucoupplusélaboréetcontenantbeaucoupplusde physiquequelemodèlev 2 f dedurbinquiestsimplementbasésurunehypothèse de viscosité turbulente linéaire, est comme ce dernier une version simplifiée du modèle au second ordre de Durbin. Le modèle v 2 f a cependant été beaucoup critiqué, malgré le grand progrès qu il a apporté dans la modélisation en proche paroi pour les applications industrielles, à cause de l introduction de l échelle scalaire v 2 (décréter qu une composante d un tenseur peut être utilisée comme échellescalaireesteneffeta priori assezchoquant).lemodèlek ε αs affranchit totalement de cette critique, car il fait intervenir un coefficient de projection du tenseur d anisotropie sur le tenseur de déformation qui joue le rôle (entre autres) du v 2 du modèle v 2 f. Cela donne une définition théorique à cette échelle scalaire, et donne directement la formule algébrique qui la relie au champ de vitesse moyenne et aux échelles de turbulence k et ε. Plus de détails et de résultats, en particulier en écoulement de Couette-Poiseuille, sont donnés dans l article [32] reproduit page 147, issu du livre consacré aux résultats du projet européen Wallturb. Deux articles sont par ailleurs en cours de rédaction pour soumission à des journaux. 2.5 Extension à la modélisation des flux thermiques turbulents Dans le cadre de la collaboration avec EDF R&D (Chatou) sur le développement de la modélisation avancée des phénomènes turbulents dans le code de calcul Saturne d EDF, nous avons été amenés à nous intéresser à la modélisation des flux thermiques turbulents en situation de convection mixte ou naturelle. Cette problématique est très importante pour de nombreuses applications industrielles, notamment d EDF, dans lesquelles les vitesses sont faibles et les différences de température sont très élevées. Lorsque la flottabilité a une influence sur la dynamique, il est très important de représenter de manière très réaliste non seulement la turbulence et son anisotropie, mais aussi les flux thermiques turbulents. Les modèles utilisés dans les codes de calculs industriels sont basés sur des hypothèses de simple gradient (diffusivité turbulente) qui sont beaucoup trop restrictives, car supposant valide dans tous les écoulements l analogie de Reynolds [195]. Dans le cadre de la modélisation au second ordre par pondération ellip-

51 2.5 Extension à la modélisation des flux thermiques turbulents 43 tique, qui représente fidèlement l anisotropie de la turbulence dynamique, il est tout à fait possible de résoudre des équations de transport pour les flux thermiques turbulents en imposant, par pondération elliptique, un comportement asymptotique correct de ces flux en proche paroi. Une telle approche a été développée par une équipe coréenne [196] (modèle EB-DFM, Elliptic-Blending Differential Flux Model). Cependant, la supériorité de cette approche par rapport à des modélisations algébriques des flux thermiques turbulents n est pas clairement établie. Les succès rencontrés par les modèles algébriques [197, 198, 199] nous ont pour l instant incités à nous orienter prioritairement vers ces méthodes, qui ne nécessitent pas la résolution d équations de transport pour les flux et qui semblent être un bon compromis dans le cadre d applications industrielles. La thèse de Y. Lecocq [200] (CIFRE EDF), co-encadrée avec Sophie Bournaud (EDF) et Laurent-Emmanuel Brizzi, a en partie été consacrée à l amélioration des modèles de représentation des flux thermiques turbulents. Ce travail a été poursuivi dans le cadre d une seconde thèse CIFRE EDF, celle de F. Dehoux, co-encadrée avec Sofiane Benhamadouche (EDF), qui est en cours. Le modèle développé, issu de l application, comme pour les modèles algébriques explicites des tensions de Reynolds décrit dans la section 2.4, d une hypothèse d équilibre faible, est alors le modèle algébrique EB-AFM (Elliptic-Blending Algebraic Flux Model) qui dérive du modèle à pondération elliptique pour les flux thermiques turbulent (EB-DFM). Enfin, une attention particulière a été portée à la prise en compte de la production par flottabilité dans l équation de la dissipation, qui joue un rôle important dans les cas de convection naturelle. Il est usuel d ajouter simplement ce terme de production au terme de production par cisaillement, mais les résultats en canal vertical et cavité différentiellement chauffée montrent que cette pratique est loin d être optimale, et que notamment il convient d utiliser plutôt une échelle de temps thermique que dynamique Modélisation de l effet de blocage De manière similaire au cas des tensions de Reynolds, les effets de la présence d une paroi sur les flux thermiques turbulents u i θ peuvent être pris en compte par l introduction d un opérateur de relaxation elliptique. En effet, le même raisonnement que pour le terme de corrélation vitesse gradient de pression dans les équations des u i u j peut-être suivi [1] pour le terme de corrélation température gradient de pression φ θi, dit de brouillage (scrambling). Dans le cas le plus simple de l approximation de Boussinesq avec variation linéaire de la masse volumique en fonction de la température,

52 44 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS les équations des u i θ s écrivent Du i θ Dt }{{} C θi = u j θ u i x j } {{ } P U θi u i u j Θ x j } {{ } P Θ θi g i βθ 2 θ p (λ+ν) θ u i ρ x } {{ } } {{ } i x j x } {{ j } G θi φ ε θi θi + ( ) θui u j + ( λ θ u i +νθ u ) i x } j x {{ } j x j x } {{ j } Dθi t Dθi ν (62) où Θ est la température moyenne, θ la fluctuation de température et ρ la valeur de référence de la masse volumique. P U θi, P Θ θi et G θi sont les termes de production par gradientdevitessemoyenne,pargradientdetempératuremoyenneetparflottabilité,etε θi, D t θi et D ν θi les termes de dissipation, de diffusion turbulente et de diffusion moléculaire. L équation de Poisson pour la pression fluctuante p fait simplement apparaître un terme supplémentaire de flottabilité encadré ci-dessous : 2 p = 2ρ U i x j u j x i ρ u i x j u j x i +ρ u i x j u j x i + g l β θ x l = S p (63) En suivant les mêmes étapes que pour le terme de corrélation vitesse gradient de pression, on obtient alors le terme de brouillage sous la forme ρφ Ψθi (x,x ) θi(x) = 4π x x dx où Ψ θi est la corrélation en deux points entre la température et le terme source de l équation de Poisson (63) Ψ θi (x,x ) = θ(x) S p x k (x ) On peut alors également supposer une décroissance exponentielle de la corrélation en deux point ce qui conduit à Ψ θi (x,x ) λ(x) φ θi(x) = 1 ρ = Ψ θi(x,x ) λ(x ) et donc à une équation de relaxation elliptique ( ) exp x x L θ Ψ θi (x,x ) exp( x x /L θ ) dx 4π x x (64) ( 1 L 2 θ 2) φ θi λ = φh θi λ (65)

53 2.5 Extension à la modélisation des flux thermiques turbulents 45 Pθi U +PΘ θi G θi φ θi Dθi ν ε θi Dθi t uθ O(y 3 ) O(y 2 ) O(y) O(1) O(1) O(y 3 ) vθ O(y 4 ) O(y 2 ) O(y) O(y) O(y) O(y 4 ) wθ O(y 3 ) O(y 2 ) O(y) O(1) O(1) O(y 3 ) Table 3 Comportements asymptotiques au voisinage de la paroi des termes du bilan des flux thermiques turbulents (Shin et al. [201]). y représente la distance à la paroi. Ce raisonnement[1] permet donc de justifier l utilisation de la relaxation elliptique pour les flux thermiques turbulents, comme proposé par Shin et al. [201] sur la base d une simple analogie avec les tensions de Reynolds. En poursuivant la démarche suivie précédemment pour les tensions de Reynolds, au lieu de résoudre ces trois équations (65), on peut écrire un modèle à pondération elliptique sous la forme φ θi ε θi = (1 α 3 θ)(φ w θi ε w θi)+α 3 θ ( φ h θi ε h θi) (66) ce qui conduit à un modèle au second ordre (équations de transport pour les flux thermiques turbulents) utilisant une équation de relaxation elliptique pour α θ, α θ L 2 θ 2 α θ = 1 (67) le modèle EB-DFM (Elliptic-Blending Differential Flux Model). À ces équations s ajoutent une équation de transport pour la variance de la température θ 2 et éventuellement pour sa dissipation. Contrairement à Shin et al. [201], nous n avons pas supposé que la fonction de pondération α θ est identique à la fonction de pondération α utilisée dans les équations de transport des tensions Reynolds, ou, autrement dit, que l échelle L θ de la corrélation température gradient de pression est la même que l échelle L de la corrélation vitesse gradient de pression. On pourra alors être amenés à résoudre 2 équations de relaxation elliptique. Le tableau 3 donne les comportements asymptotiques au voisinage de la paroi des différents termes des équations de transport des flux thermiques turbulents, dans le cas particulier de fluctuations de température qui s annulent à la paroi. On voit que, comme dans le cas des tensions de Reynolds, le bilan en proche paroi se réduit à un équilibre entre les termes de brouillage, de dissipation et de diffusion moléculaire : φ θ2 ε θ2 +Dθ2 ν = 0 (68)

54 46 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS Il est facile de montrer le modèle et le modèle de Lai et So [202] ε w θi = 1 2 satisfont les comportements du tableau 3. φ w θi = ε k u jθn i n j (69) ( 1+ 1 ) ε ( ) ui θ +u j θn i n j Pr k Loin de la paroi, le modèle (66) tend vers les formes quasi-homogènes φ h θi et εh θi. Le premier peut par exemple être le modèle linéaire classique de Launder [203, 204] (70) φ h θi = C θ1 ε k u iθ +C θ2 u j θ U i x j +C θ3 g i βθ 2 (71) ou encore le modèle non-linéaire de Kenjereš et al. [197] φ h ε ( θi = C θ1 ui θ C k θ1a ij u j θ ) +C θ2 u j θ U i +C Θ x θ2u i u j +C θ3 g i βθ j x 2 (72) j où a ij est le tenseur d anisotropie a ij = u i u j /k 2 3 δ ij. En ce qui concerne le modèle quasi-homogène ε h θi, on peut remarquer que pour les fluides les plus usuels, le nombre de Prandtl est de l ordre de l unité, et les nombres de Peclet turbulents Pe t = Re t Pr rencontrés en pratique sont grands, au moins loin des parois. Dans ce cas, les fluctuations de température à petite échelle peuvent être considérées comme isotropes [195, 205], si bien que le vecteur de dissipation des flux thermiques turbulents ε h θi est lui aussi isotrope, donc nul : ε h θi = 0 (73) Le modèle (66) permet alors d écrire un modèle à équations de transport des flux thermiques turbulents prenant en compte les effets de paroi par pondération elliptique, le modèle EB-DFM Modèle algébrique : EB-AFM Une version algébrique du modèle EB-DFM peut être obtenue en appliquant, de manière similaire à ce qui a été fait en section 2.4 pour l EB-RSM, une hypothèse d équilibre faible pour les flux thermiques turbulents. Comme détaillé par exemple par Hanjalić [205], cette hypothèse se traduit pour la convection par ( ) du i θ = 1 1dk dt 2 k dt + 1 dθ 2 u i θ (74) θ 2 dt

55 2.5 Extension à la modélisation des flux thermiques turbulents 47 et pour la diffusion par D θi = 1 2 ( 1 k D k + 1 ) θ 2D θ u 2 i θ (75) où D θi, D k et D θ 2 sont les diffusions totales de u i θ, k et θ 2. L équation des flux thermiques turbulents devient alors P θi +φ θi ε θi u iθ 2k (P k +G k ε) u iθ ( ) Pθ 2θ 2 2 ε θ 2 = 0 où on a posé P θi = P U θi + PΘ θi + G θi. Si, de plus, on suppose que la production et la dissipation de k et de θ 2 sont localement en équilibre, P k +G k = ε et P θ 2 = ε θ 2 (76) on a alors P θi +φ θi ε θi = 0 (77) Ici, il est nécessaire de choisir un modèle pour les termes de brouillage pour aller plus loin. Si on considère dans un premier temps le modèle linéaire quasi-homogène (équations 71 et 73), on obtient C θ1 ε k u iθ = (1 C θ2 )P U θi +P Θ θi +(1 C θ3 )G θi (78) ce qui conduit au modèle AFM [203, 199, 206] u i θ = C θ k ε [ u i u j Θ x j +ξu j θ U i x j +ηβg i θ 2 où C θ = C θ /C θ1, ξ = 1 C θ2 et η = 1 C θ3. On remarquera que le coefficient C θ, qui devrait être égal à 1/C θ1, est modifié par l introduction d un coefficient de recalibration C θ, rendu nécessaire par l utilisation des hypothèses simplificatrices. Le modèle algébrique obtenu est un modèle implicite, puisque les u i θ apparaissent dans les deux membres, mais cette question est moins critique que pour le cas des tensions de Reynolds. L obtention de modèles algébriques explicites est également possible, bien que plus complexe [207, 208, 209, 210]. Si, maintenant, on utilise le modèle EB-DFM, on obtient le modèle EB-AFM [ k Θ u i θ = C θ u i u j +ξu j θ U i +ηβg i θ ε x j x 2 +γ ε ] j k u jθn i n j où ξ = (1 αθ 3C θ2), η = (1 αθ 3C θ3), γ = (1 αθ 3)(1+C ε), C ε = 1 (1+1/Pr) et 2 C θ = ] (79) (80) C θ α 3 θc θ1 +(1 α 3 θ)c ε (81)

56 48 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS Ce modèle diffère du modèle (79) par le terme supplémentaire γ ε k u jθn i n j, qui le rend sensible à l orientation de la paroi, et, surtout, par le fait que les coefficients ξ, η et C θ sont dépendant de la fonction de pondération α θ. Il est facile de voir que dans les régions loin des parois, où α θ 1, l influence du modèle à pondération elliptique disparaît et le modèle (79) est retrouvé. On remarquera également que l utilisation de la pondération elliptique n introduit pas de nouveau coefficient. Enfin, on peut pousser la simplification encore plus loin, en posant ξ = η = χ = 0, ce qui conduit au modèle EB-GGDH, qui tend loin des parois vers le modèle le plus utilisé en pratique, le modèle GGDH [ k Θ u i θ = C θ u i u j +γ ε ] ε x j k u jθn i n j u k α θ 1 iθ = C θ ε u Θ iu j (82) x j L obtention des expressions (80) et (82) amène naturellement à se demander comment il est possible que les modèles classiques des flux thermiques turbulents, notamment les modèles GGDH et AFM, qui ne prennent pas en compte les effets de paroi, soient capable de reproduire de manière plutôt satisfaisante les profils de température moyenne dans beaucoup d écoulements (la littérature étant très abondante, on ne citera ici que quelques exemples : [151, 197, 206, 211, 212, 213, 214]). La réponse est à chercher dans la forme que prend l expression (80) pour le flux normal à la paroi vθ dans le cas d un écoulement 1D le long d une paroi, en l absence de flottabilité : ( ) k vθ = C θ v ε 2 Θ y +γε k vθ (83) qui peut être réarrangée sous la forme vθ = C θ ( ) k v ε 2 Θ y (84) où [ Cθ = C θ αθ 3 +(1 α C θ) 3 C ] ε +(1+C ε )C θ 1 (85) θ1 C θ1 Or,commeonpeutlevoirsurlafigure15,ilsetrouvequelecoefficientC θ varietrèspeu dans le domaine lorsque le nombre de Prandtl est celui de l air, Pr = 0,71. Dès lors, les modèles AFM et GGDH, qui sont équivalents à (84) avec un coefficient constant, sont capables de reproduire correctement le flux normal vθ, et donc le profil de température moyenne qui ne fait intervenir que ce flux. L approximation reste acceptable dans tous les cas ne s éloignant pas trop de cette configuration simplifiée, en particulier de nombreuses couches limites en convection forcée. En revanche, pour des écoulements plus

57 2.5 Extension à la modélisation des flux thermiques turbulents 49 0 C θ 0,4 0,3 0,2 Pr = 0,71 Pr = 0,025 Pr = 7 φ + θ1 ε+ θ1-0,05-0,1-0,15-0,2 DNS L θ = L L θ = 1,75L L θ = 2L L θ = 3RL 0,1-0, y y + Figure 15 Évolution de Cθ dans un canal en convection forcée à Re τ = 640 [215] pour différents nombres de Prandtl. Figure 16 Test a priori pour le modèle φ θ1 ε θ1 en convection forcée [215] (Re τ = 640). complexes, négliger les effets de paroi ne sera plus possible : par exemple lorsque la flottabilité n est plus négligeable; pour des fluides de nombre de Prandtl très différents de 1; ou lorsque la paroi est courbe, le flux tangentiel intervenant alors dans l équation de température moyenne, ainsi que le gradient de vitesse moyenne dans l expression (80) Échelle de longueur de la pondération elliptique Contrairement à Shin et al.[201], nous n avons pas supposé que l échelle de longueur qui pilote la fonction de pondération thermique α θ dans l équation (67), et donc la transition du modèle (66) de sa forme de proche paroi à sa forme quasi-homogène, est la même que celle qui pilote la fonction de pondération dynamique α. Notons que l hypothèse de Shin et al. présente l avantage de ne nécessiter la résolution que d une seule équation elliptique, puisque α θ = α. Les deux échelles de longueur L et L θ étant liées aux grandes structures dynamiques et thermiques, on peut supposer, à la suite de Tennekes et Lumley [195], que les deux échelles sont proportionnelles loin des parois, à grand nombre de Peclet. Cependant, rien ne permet d affirmer qu elles sont égales. De plus, on peut s attendre à une variation du rapport L θ /L en proche paroi, où le nombre de Peclet tend vers zéro. Si on cherche à modéliser l échelle L θ en fonction de k, ε, θ 2 et ε θ, l analyse dimensionnelle indique qu on peut exprimer le ratio L θ /L comme une fonction du ratio des échelles de temps

58 50 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS R L θ L = f(r) (86) Si, comme supposé précédemment, R est constant loin des parois, alors on voit que le ratio des échelles de longueur l est aussi. En appliquant la recommandation attribuée à Albert Einstein, donnée en tête de ce rapport (p. 1), on se limitera ici à une relation linéaire de la forme L θ = C LRL (87) Onnoteraqu utiliserunetellerelationentrel θ etrn ad intérêtquesirvariedans l écoulement ou d un écoulement à l autre. Il est usuel, dans le cas des écoulements à grand nombre de Peclet, ce qui peut souvent être considéré comme vrai loin des parois et pour les fluides de nombre de Prandtl pas trop petits devant 1, de considérer ce ratio constant, égal à une valeur qu on notera R h. Dans les cas considérés ici, où Pr = 0,71, la valeur R h = 0,5 est généralement retenue [205]. Cependant, cette hypothèse n est pas valable en proche paroi, et en particulier il est facile de voir que R tend vers Pr à la paroi. De manière à prendre en compte cette variation, nous avons proposé le modèle simple de pondération R = α 3 θr h +(1 α 3 θ)pr (88) Pour une comparaison de ce modèle avec des données de DNS, le lecteur pourra se reporter à l article [1] reproduit page 157. De manière à évaluer la validité de cette simple relation et calibrer le coefficient C L, deux bases de données de DNS de canal en régimes de convection forcée [215], à Re τ = 640 et Pr = 0,71, et de convection mixte [216], à Re τ = 150, Pr = 0,71 et Gr = 9,6 10 5, ont été utilisée. Ces deux configurations sont décrites par les figures 17 et 18. La procédure de tests a priori consiste alors à résoudre l équation(67) en utilisant les différents modèles pour L θ (R et L étant calculés à partir des données de DNS), puis à calculer φ θi ε θi en utilisant l équation (66), également à l aide des données de DNS. Un exemple de résultats est montré sur la figure 16, pour la composante tangentielle à la paroi, qui, comme expliqué plus haut, est beaucoup plus influencée par les effets de paroi que la composante normale, pour ces cas particuliers. On peut remarquer que la représentation de φ θ1 ε θ1 est améliorée de manière significative par la prise en compte d une échelle de longueur thermique plus grande que l échelle dynamique. Les résultats obtenus avec les modèles simples L θ = 3RL et L θ = 1,75L sont quasiment identiques, si bien que, au moins dans un premier temps, la relation L θ = 1,75L a été retenue. Plus de détails sur ces tests a priori sont donnés dans l article [1] reproduit page 157.

59 2.5 Extension à la modélisation des flux thermiques turbulents 51 Figure 17 Écoulement de canal en régime de convection forcée, DNS de Abe et al. [215]. Re τ = 640; Pr = 0,71. Figure 18 Écoulement de canal en régime de convection mixte, DNS de Kasagi et Nishimura [216]. Re τ = 150; Pr = 0,71; Gr = 9, Résultats en canal en régime de convection forcée et mixte Des calculs ont été réalisés dans le cadre des thèses de Yannick Lecocq et de Frédéric Dehoux, de manière à évaluer l intérêt d utiliser la pondération elliptique associées aux modèles GGDH et AFM en convection forcée et mixte. La section suivante sera consacrée à la convection naturelle, qui nécessite de se pencher plus avant sur certains éléments du modèle. Les cas tests utilisés ici sont ceux décrits sur les figures 17 et 18. De manière à réaliser une comparaison aussi peu biaisée que possible, les jeux de coefficients des modèles sont fixés de la manière suivante : les coefficients du modèle quasi-homogène (71) dont dérivent les modèles sont fixés à leur valeur classique et le coefficient de recalibration C θ entrant dans le calcul de C θ = C θ /C θ1 est choisi pour chacun des modèles de manière à reproduire au mieux le profil de température moyenne dans le cas de convection forcée (c est le seul coefficient qui joue un rôle dans ce cas). Dans ce cas monodimensionnel en convection forcée, le flux normal à la paroi vθ donné par les modèles de type AFM est exactement identique à celui donné par les modèles GGDH, seul le terme en gradient de température étant actif dans les équations (79) et (80). De plus, comme expliqué plus haut (section 2.5.2), l introduction des effets de paroi dans les modèles a peu d effet sur la prévision du flux normal vθ, et donc sur la température moyenne qui est entièrement pilotée par vθ, comme on peut le voir sur les figures 19 et 20(droite). La distinction entre les modèles avec et sans pondération

60 52 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS DNS [215] GGDH et AFM EB-GGDH et EB-AFM Θ y + Figure 19 Calculs en régime de convection forcée à Re τ = 640 [215]. Profils de température moyenne 7 1 uθ DNS [215] GGDH EB-GGDH AFM EB-AFM vθ + 0,8 0,6 0, , y + y + Figure 20 Même cas que figure 19. Flux thermiques turbulents tangentiel (gauche) et normal à la paroi (droite). elliptique est donc essentiellement visible sur les profils de la composante tangentielle uθ. Dans l ensemble, cette composante est nettement sous-estimée, ce qui ne peut pas être corrigé par une simple recalibration des modèles : c est ici essentiellement l absence de diffusion dans les modèles algébriques qui est à mettre en cause. Les modèles AFM sont légèrement meilleurs que les modèles GGDH, grâce à la prise en compte du terme en gradient de vitesse. Si au centre du canal, on voit clairement que l effet du modèle de proche paroi disparaît, ce dernier devient prépondérant à l approche de la paroi, et on peut voir que le modèle EB-AFM permet alors de reproduire de manière satisfaisante l amplitude du pic de uθ. Il est important ici de rappeler que le modèle de proche paroi n introduisant pas de coefficient supplémentaire, cette amplitude n est pas obtenue grâce à une calibration. Il est également clair sur cette figure que le terme en gradient

61 2.5 Extension à la modélisation des flux thermiques turbulents 53 de vitesse, négligé dans le modèle EB-GGDH, joue un rôle important. Danslecasd uncanalverticalenrégimedeconvectionmixte[216],telquedécritsur la figure 18, l influence de la flottabilité sur l écoulement se fait essentiellement sentir à travers l équation de la quantité de mouvement verticale, qui inclue un terme βg(θ Θ 0 ). Les paramètres de cet écoulement font que les termes de production par flottabilité G ij = βg i u j θ βg j u i θ qui apparaissent dans les équations des tensions de Reynolds, ( ainsi que les termes de redistribution associés C 3 Gij 2Gδ 3 ij) et le terme source de dissipation G ε, ont une influence quasiment négligeable sur les tensions de Reynolds, comme le montre la figure 22. L obtention d une asymétrie correcte des profils de vitesse moyenne, et par conséquent des tensions de Reynolds, est donc directement dépendante d une prévision correcte de la température moyenne. Encore une fois, le flux thermique turbulent vθ étant le seul qui ait une influence sur la température moyenne, et les effets de proche paroi ayant une influence très limitée dans ce cas particulier, l ensemble des modèles donne une reproduction correcte des profils de vitesse, de température et de tensions de Reynolds. La différence entre les modèles se voit essentiellement sur la composante uθ et les conclusions sont très similaires à celles du cas de convection forcée, mais la faiblesse du nombre de Reynolds de frottement (Re τ = 150) fait que même au centre du canal, l influence du modèle de proche paroi se fait sentir. Une dernière étape, avant de se consacrer, dans un futur proche, à des écoulements de géométrie plus complexe, est de valider l intérêt de l introduction des effets de paroi dans les modèles des flux thermiques turbulents en se plaçant dans un cas où la flottabilité joue un rôle majeur. On pense alors à l écoulement de convection naturelle entre deux plaques parallèles [217, 218, 219, 220, 221], mais nous allons voir que ce cas soulève d autre questions de modélisation Influence de la flottabilité sur les échelles turbulentes et la dissipation En présence d effets de flottabilité, il est classique [222, 223, 199, 224, 144] de modifier l équation de la dissipation ε en introduisant la production par flottabilité G aux côtés de la production par cisaillement P : Dε Dt = C ε1 P +G T } {{ } P ε+g ε ε } {{ T} C ε2 Y ε + ( νδ kl + C ) S ε TR kl x k σ ε x } {{ l } D ε (89)

62 54 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS ,8 U DNS [216] GGDH EB-GGDH AFM EB-AFM Θ/ Θ 0,6 0,4 0, ,5 0 0, ,5 0 0,5 1 y/δ y/δ Figure 21 Calculs en régime de convection mixte [216] à Re τ = 150, Pr = 0,71, Gr = Profils de vitesse et de température moyennes. uiuj u 2 v 2 w 2 uv } EB-GGDH EB-AFM DNS [216] ,5 0 0,5 1 y/h Figure 22 Même cas que figure 21. Tensions de Reynolds ,8 uθ vθ + 0, DNS [216] GGDH EB-GGDH AFM EB-AFM -1-0,5 0 0, ,5 0 0,5 1 y/δ y/δ Figure 23 Même cas que figure 21. Flux thermiques turbulents. 0,4 0,2

63 2.5 Extension à la modélisation des flux thermiques turbulents 55 Bien que cette équation ne corresponde pas à une modélisation terme à terme de l équation exacte de la dissipation, il est utile de rappeler cette dernière, + x k ( Dε Dt = 2ν ui u k + u ) l u l Ui x l x l x i x k x } {{ k } P ε1 +P ε2 u i 2 U i 2νu k 2ν u i u i u k x l x k x } {{ } l x l x l x } {{ } l P ε3 P ( ε4 ) u i θ 2νβg i 2 ν 2 u i x l x } {{ } l x k x } {{ l } G ε Y ε ( 2ν p u k ui νu j +ν ε ρ x l x } {{ } l x } {{ l x } } {{ k } D p ε D t ε ) 2 } {{ } D ε D ν ε (90) ennotantquedansl équationmodèle,letermenotép ε représentel ensembledestermes de production dynamique P ε1, P ε2, P ε3 et P ε4. Dès lors, on peut soulever plusieurs interrogations en comparant ces deux équations. La première, qui peut paraître anecdotique, mais s avère en pratique importante, est l utilisation du même coefficient C ε1 devant les termes de production dynamique P et par flottabilité G. La seconde interrogation apparaît dans le cas des modèles de proche paroi, en particulier le modèles à pondération elliptique, qui, à la suite de Durbin [151], prennent souvent en compte le pic de production de dissipation dans la zone tampon dû au terme P ε3 par un coefficient C ε1 variable (noté alors C ε1) sous une des formes suivantes [11] ( C ε1 = C ε1 [1+A ) ] k 1 1 α 3 k R ij n i n j ( C ε1 = C ε1 [1+A ) ] P 1 1 α 3 P ε Shin et al. [201] ont proposé d utiliser simplement l équation (89) avec le coefficient variable (91), mais cette pratique ne semble en rien justifiée par l équation exacte (90) : le terme P ε3 étant un terme purement dynamique, le coefficient variable utilisé pour représenter son effet ne devrait s appliquer qu à la partie dynamique de la production. Enfin, la troisième interrogation concerne l utilisation de la même échelle de temps dynamique T pour les deux termes P ε et G ε. En effet, si on peut considérer que les (91) (92)

64 56 2 MODÉLISATION AUX MOYENNES DE REYNOLDS U/(κh 1 ) DNS C ε1 = (92); T θ = T C ε1 = (92); T θ = RT C ε1 = (91); T θ = RT Θ/ Θ 0,5 0,4 0,3 0, ,1 0 0,001 0,01 0,1 y/h 0 0 0,2 0,4 3e+09 y/h 10 vθ/(κ Θh 1 ) 5 ε/(κ 3 h 4 ) 2e+09 1e ,2 0,4 y/h 0,001 0,01 0,1 Figure 24 Calculsenrégimedeconvectionnaturelle[219]àGr = etpr = 0,709.Profils de vitesse moyenne, température moyenne, flux turbulent normal à la paroi et dissipation. y/h échelles sont les mêmes (R = R h ) à grand nombre de Peclet, loin des parois, nous avons vu à la section que ce ratio variait en région de proche paroi. Dès lors, de manière à lever ces interrogations, déterminer l influence des différentes hypothèses et sélectionner le modèle qui permet de reproduire au mieux la physique, nous avons entrepris de tester, dans le cas de l écoulement de convection naturelle entre deux plaques différentiellement chauffées[225], qui correspond au schéma de la figure 18 pour un gradient de pression nul, différentes formulations des termes de production de l équation de ε, écrits sous la forme générale P ε +G ε = C ε1 P G T +C ε3 (93) T θ Dans cette relation, le coefficient C ε1 peut être donné par (91) ou par (92); le coefficient C ε3 peut être égal à C ε1, ou être constant (égal à C ε1 ou différent de C ε1 ); l échelle de temps T θ peut-être égale à T ou à RT, avec un R variable donné par (88). Tous les

65 2.5 Extension à la modélisation des flux thermiques turbulents 57 calculs ont été réalisés en utilisant le modèle EB-RSM pour les tensions de Reynolds et le modèle EB-AFM pour les flux thermiques turbulents. Il serait fastidieux de décrire la comparaison des nombreuses possibilités testées, et la figure 24 montre simplement les résultats obtenus avec trois combinaisons illustratives. On peut voir que la première combinaison, pour laquelle l échelle T θ est prise égale à l échelle dynamique T, donne de très mauvais résultats. En particulier, la dissipation ε obtenue est complètement fausse, y compris en ordre de grandeur, la valeur limite à la paroi étant surestimée d un facteur trente. Notons que ces résultats sont très proche de ceux obtenus avec le modèle de Shin et al. [201], qui ne diffère que par l utilisation d un coefficient C ε3 variable. Choi et Kim [164] n ont pu corriger le comportement de ce modèle en convection naturelle que par une modification drastique des coefficients C L et C η utilisés dans le calcul de l échelle de longueur de la pondération elliptique (coefficients ajustés selon les cas tests), qui fait que le modèle ne peut plus marcher en convection forcée. L utilisation de T θ = R T a un effet spectaculaire sur la reproduction de toutes les grandeurs. On notera que ce n est pas la prise en compte des variations du ratio R en proche paroi qui est la cause de cet effet, car l utilisation de R = R h = 0,5 donne des résultats similaires, mais simplement l introduction de ce facteur 0,5, ce qui est équivalent à augmenter le coefficient C ε3 d un facteur deux. On peut voir également que l utilisation de la relation (92) donne des résultats légèrement meilleurs que l utilisation de la relation (91). Comme, de plus, il a été constaté que (92) permet une meilleur reproduction des cas de convection forcée à très bas Reynolds (canal à Re τ = 180) et est beaucoup plus stable numériquement, c est cette relation, associée à l échelle de temps thermique T θ = R T qui sera privilégiée dans les applications futures.

66 58 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE 3 Modélisation instationnaire de la turbulence Depuis la seconde moitié des années 1990, une multitude de méthodologies instationnairesetpeucoûteuses,encomparaisonàlales,avulejour:vles(verylarge-eddy Simulation) [226], LNS (Limited Numerical Scales) [227], DES (Detached Eddy Simulation) [228], URANS (Unsteady Reynolds-Averaged Navier-Stokes) [229, 230], SDM (Semi- Deterministic Modelling) [231], OES (Organized Eddy Simulation) [232], SAS (Scale-Adaptative Simulation) [233], PANS (Partially Averaged Navier-Stokes) [234], PITM (Partially Integrated Transport Model) [235, 236], FSM (Flow Simulation Methodology) [237], Filter-based URANS [238], two-velocities hybrid RANS-LES [239]. Cette liste n est pas exhaustive et donne un aperçu de l intense activité de recherche dans le domaine de la modélisation instationnaire. Le point commun à la plupart de ces modèles est de partir d un modèle RANS et de le modifier dans certaines région sur des bases plus ou moins empiriques, éventuellement en le faisant tendre vers un modèle LES classique, pour tenter de résoudre les structures instationnaires à grande échelle. Ainsi, une partie de l énergie est résolue tandis que l autre partie est modélisée, de manière similaire à une LES. La terminologie utilisée pour désigner ces approches est assez variables, et seules quelques tentatives ont été faites pour en donner une classification [123, 240, 241], ne permettant pas d aboutir à un consensus. Pour l instant, nous les appellerons prudemment approches de modélisation instationnaire, ce qui est suffisamment général pour englober un spectre de méthodes allant de l URANS et la LES, et se rapproche de la dénomination de Fröhlich et von Terzi [241] eddy-resolving methods. 7 Beaucoup de ces modèles sont souvent rangés dans la catégorie assez vague des modèles hybrides RANS/LES dans la mesure où ils utilisent certains ingrédients traditionnels de la modélisation RANS, et certains ingrédients traditionnels de la modélisation LES. Sans chercher à dégager un consensus sur cette question, on peut néanmoins tenter ici de clarifier ce dont on va parler dans la suite. Si on admet que la LES est une approche bien connue et établie, on cherchera simplement à distinguer trois catégories parmi les approches de modélisation instationnaire moins coûteuses que la LES : 7. Cette dénomination, qui pourrait se traduire en français de manière inélégante par méthodes à résolution de tourbillons, a l inconvénient d une part d inclure la DNS et d autre part de s appuyer sur le concept vague, en particulier en français, de tourbillon. En effet, dans certains écoulements, on qualifie de tourbillons certaines régions du champ moyen, comme le tourbillon marginal derrière une aile d avion [242, 243] ou le tourbillon de montant de baie sur une voiture [244]. Dès lors, on pourrait penser que l approche RANS fait partie des méthodes à résolution de tourbillons.

67 59 Les méthodes hybrides zonales : il s agit de méthodes de couplage entre deux simulations, dans deux domaines différents, l un faisant de la LES, l autre un calcul RANS. L approche peut alors s appuyer indépendamment sur des modèles classiques RANS et LES dans chacun des domaines. Le problème essentiel réside dans les conditions aux interfaces. Les méthodes hybrides continues : il s agit de modèles qui transitionnent d un comportement RANS à un comportement LES suivant les régions, en utilisant des critères variés pour piloter cette transition, comme par exemple des comparaisons d échelles turbulentes et de tailles de mailles. On peut ranger dans cette catégorie les approches VLES, LNS, DES, PITM, SAS, FSM, Filter-based URANS and two-velocities hybrid RANS-LES. Les méthodes instationnaires non-hybrides : il s agit d approches qui ne sont pas basées sur l idée d une transition vers un comportement LES dans certaines régions, c est-à-dire qu elle ne fixent nulle part dans le domaine d échelle minimale séparant les structures résolues et non-résolues. Un signe distinctif est qu il est possible d obtenir une convergence en maillage de la solution, ce qui n est pas le cas des méthodes précédentes. On peut classer dans cette catégorie les approches URANS, SDM, OES et PANS. Notons que la méthode PANS, contrairement aux trois autres, permet de faire varier à volonté la partition énergie résolue/énergie modélisée, mais indépendamment de la taille des mailles (Girimaji parle d ailleurs de variable resolution method [245]). Cependant, dans des travaux récents [246, 247], l approche, toujours dénommée PANS, utilise une variation locale de cette partition d énergie liée à la taille des mailles, ce qui fait qu il s agit exactement de l approche PITM, qui fait partie approches hybrides continues. Depuis mon recrutement au LEA, avec une forte accélération depuis 2006, mes recherches se sont donc orientées, en plus de la modélisation stationnaire, vers les approches instationnaires. La suite de ce rapport est consacrée à la présentation des travaux accomplis dans les trois catégories définies ci-dessus : génération de turbulence synthétique pour les conditions d entrée LES; étude de la pertinence de la modélisation URANS; développement de la méthodologie hybride continue, selon l approche PITM.

68 60 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE 3.1 Génération de conditions d entrées pour la LES en couplage zonal RANS LES Ce travail correspond à la thèse de Laurent Perret[248], soutenue en décembre 2004, co-encadrée avec Joël Delville et Jean-Paul Bonnet, et à celle en cours de Benoît de Laage de Meux, en collaboration avec EDF (Bruno Audebert) Génération de turbulence synthétique par systèmes dynamiques L un des objectifs de la thèse de Laurent Perret était de développer un générateur de conditions amont instationnaires basé sur des données statistiques, en vue soit de réaliser une LES correspondant à des conditions mesurées expérimentalement (ce qui a été fait durant la thèse), soit à permettre un couplage entre un calcul entre une zone RANS en amont et une zone LES en aval. Pour la LES, il est nécessaire de disposer, en entrée du calcul, de champs turbulents correspondant aux échelles résolues ayant une cohérence spatio-temporelle réaliste (un simple champ aléatoire ne suffit pas, obligeant à introduire dans le domaine de calcul une importante zone d établissement de la turbulence). Ainsi, dans l objectif de coupler un calcul RANS et un calcul LES, il est nécessaire d être capable de générer artificiellement un champ instationnaire qui satisfasse certaines contraintes au niveau moyen (vitesses moyennes, tensions de Reynolds, cohérence spatio-temporelle,...). La littérature concernant les méthodes de génération de condition d entrée pour la LES est vaste, et ne sera pas détaillée ici. On pourra par exemple se reporter à la revue récente de Tabor et Baba-Ahmadi [249] pour une vue d ensemble. La démarche suivie au laboratoire, initiée par Druault et al. [250], consiste à essayer de définir des méthodes permettant de générer une turbulence synthétique à partir du minimum d informations : ces informations sont, pour le moment, issues de bases de données expérimentales, mais l objectif suivant serait d arriver à se contenter des informations données par un calcul RANS. Le principe général du générateur de conditions amont mis en œuvre est résumé par la figure 25. La première méthode utilisée durant la thèse de Laurent Perret a consisté en l utilisation de données de PIV stéréoscopique (données non-résolues en temps). A partir du tenseur de corrélations en 2 points, il est possible d obtenir la base POD (Proper Orthogonal Decomposition) [251] qui permet de découpler la dépendance spatiale et la

69 3.1 Génération de conditions d entrées pour la LES 61 Figure 25 A gauche : principe général du générateur de conditions amont pour les calculs LES. Adroite:évolutiondel énergieturbulenteaveclegénérateuraléatoiredecoefficientsa (n) (t) (losanges noirs) et le système dynamique (points bleus) pour une couche de mélange. dépendance temporelle de la vitesse fluctuante sous la forme : u i (x,t) = a (n) (t)φ (n) i (x) (94) n=1 Comme la décomposition POD est définie sur un critère énergétique (les modes POD φ (n) i (x) constituent la base optimale pour la norme L2, c est-à-dire qu ils permettent d obtenir le maximum d énergie avec le minimum de modes), il suffit d un nombre de modes N limité (sommation de 1 à N dans l équation 94) pour reconstituer un champ instationnaire à grande échelle tel que celui nécessaire à l entrée d une LES. La connaissance du tenseur de corrélation des vitesses en deux points permet de calculer les modes POD φ (n) i (x), qui contiennent toute l information sur la cohérence spatiale de l écoulement. En revanche, la fenêtre de mesure PIV étant plus petite que le plan d entrée du calcul LES, une procédure assez complexe d adaptation a dû être utilisée [8] pour étendre spatialement les modes POD. L évolution temporelle des a (n) (t) n est pas données par l expérience, la résolution temporelle étant insuffisante. Dans une première approche [8], ces coefficients ont simplement été générés aléatoirement, en imposant néanmoins un spectre réaliste et une variance correspondant aux valeurs propres des modes propres mesurés. Dans une seconde approche [5], les a (n) (t) ont été obtenus comme solution d un système dynamique. En effet, la projection de Galerkin des équations de Navier Stokes sur la base POD et l introduction d un modèle de fermeture de type viscosité turbulente pour modéliser le champ moyen en fonction du champ turbulent, permet de montrer que les coefficients a (n) (t) sont solution d un système dynamique[14, 18]. L utilisation de deux systèmes de PIV stéréoscopique, dans

70 62 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE le même plan, à des instants très légèrement décalés, permet de mesurer la vitesse et l accélération à un grand nombre d instants différents, et par projection sur la base POD les coefficients a (n) et leur dérivée temporelle a (n) / t. Grâce à une méthode des moindres carrés, on peut alors identifier les coefficients du système dynamique. L intégration temporelle de ce système dynamique par une simple méthode de Runge Kutta permet alors de reconstruire une évolution temporelle très réaliste de la vitesse instantanée aux grandes échelles correspondant aux premiers modes POD. Notons qu en pratique, seuls les 12 premiers modes POD ont pu être utilisés dans le système dynamique, les modes suivant étant trop bruités. Cependant, les modes suivants sont tout de même ajoutés pour générer le champ de vitesse en utilisant la méthode de tirage aléatoire pour leurs a (n). Il est intéressant de noter que les expériences ne donnent pas directement l évolution temporelle des coefficients a (n), puisque la PIV ne permet de réaliser des mesures qu à une fréquence faible (10 Hz) : la méthode d identification du système dynamique par moindre carrés permet donc de reconstruire la dynamique temporelle à partir de mesures instantanées décorrélées dans le temps. L utilisation de ce système dynamique dans le générateur de conditions amont permet donc de modéliser de manière réaliste la cohérence spatio-temporelle de l écoulement entrant. La figure 25 montre l apport de cette méthode par rapport au tirage aléatoire des a (n) (t) dans le cas d une couche de mélange spatiale : la mesure de l efficacité des générateurs de conditions amont est ici la rapidité du rétablissement de la valeur asymptotique de l énergie turbulente (région auto-similaire). Cette méthode présente l avantage et l inconvénient d être très sophistiquée. La turbulence générée est très réaliste, reproduisant notamment de manière très fidèle les tensions de Reynolds, les spectres et les corrélations en deux points[8]. Cependant, deux points en suspens rendent très délicat le passage à un véritable couplage RANS/LES: la modélisation d un tenseur de corrélation en deux points (pour obtenir les modes POD) à partir d un champ de corrélations en un point donné par le modèle RANS reste très prospective, et pourra nécessiter la résolution des tenseurs de structure [252]; l identification des coefficients du système dynamique nécessite pour l instant de disposer de champs instantanés de vitesse et d accélération Synthetic Eddy Method Ces deux points délicats nous ont conduit, dans le cadre industriel (EDF) de la thèse de Benoît de Laage de Meux, à développer des méthodes moins sophistiquées

71 3.1 Génération de conditions d entrées pour la LES 63 mais beaucoup plus faciles à appliquer en pratique. Dans un premier temps, la méthode des tourbillons synthétiques SEM (Synthetic Eddy Method) [253] est utilisée, car elle a montré des résultats prometteurs comparé à d autres méthodes [254] et, contrairement à l approche précédente, elle ne requière que des statistiques en un point comme paramètres d entrée. Dans la méthode SEM, un écoulement d entrée spatio-temporellement cohérent est obtenu en convectant des tourbillons synthétiques dans une boîte virtuelle entourant le plan d entrée. Plus précisément, en se basant sur une échelle intégrale de la turbulence σ et des tensions de Reynolds cibles, la SEM calcule les fluctuations de vitesse dans la boîte virtuelle comme somme des contributions de N tourbillons selon la relation ũ i (x) = 1 N a ij (x)ǫ λ jf σ(x) (x x λ ) (95) N λ=1 où x est un point du plan d entrée, x λ le centre du tourbillon λ et a ij la décomposition de Cholesky du tenseur de Reynolds cible. ǫ λ j et la fonction de forme f σ(x) (x x k ) représentent le signe et l amplitude de la contribution du tourbillon λ au point x. Comme mentionné plus haut, la qualité d une méthode de génération de conditions d entrée pour la LES s évalue essentiellement par sa capacité à permettre à la LES de tendre rapidement vers un état complètement établi. Des calculs ont été réalisés en canal en couplant un calcul RANS en amont avec un calcul LES en aval (couplage de deux instances du code Saturne), les conditions d entrée de la LES étant générées par la méthode SEM utilisant comme champs de vitesse moyenne et de tensions turbulentes les champs RANS. L écoulement obtenu par LES, qui évolue spatialement, est alors comparé à sa limite complètement développée, obtenue par une LES périodique préalable. Les résultats obtenus en canal en rotation, à deux taux de rotation Ro b = 1/6 et Ro b = 0,5, sont particulièrement intéressants. La figure 26 montre un établissement rapide des vitesses et tensions turbulentes vers les profils de LES périodique, en particulier lorsque le calcul RANS amont est réalisé avec le modèle EB-RSM plutôt qu avec un modèle à viscosité turbulente (ici le k ω-sst [184]). La qualité de la représentation de l anisotropie de la turbulence en amont du calcul LES, par le modèle RANS, a donc un effet important dans le cas en rotation, en particulier du côté en dépression du canal (côté (s), suction side). La prise en compte de l anisotropie du calcul RANS amont dans la méthode SEM se fait à la fois par l échelle de longueur caractéristique anisotrope des tourbillons et par la mise à l échelle des fluctuations via le tenseur a ij dans l équation (95).

72 64 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE (s) U/u (l) τ (s) (p) (p) 0 0, y +(l) y +(l) y +(l) y +(l) 0,03 kres/u 2 b 0,02 0, ,5 0 0,5 1 y/h -1-0,5 0 0, ,5 0 0, ,5 0 0,5 1 y/h Figure 26 Canal en rotation suivant l envergure. En haut : Vitesse moyenne en unités de paroi locales (l), où (l) vaut (p) (pressure side) ou (s) (suction side). En bas : énergie cinétique résolue. De gauche à droite : x/h = 5,10,15,30. Le nombre de Reynolds vaut Re b = 7000 et deux taux de rotation, Ro b = 2ωh/U b = 1/6 et 0,5 sont utilisés (les profils du taux de rotation le plus élevé sont décalés vers le haut). LES périodique (symboles), LES couplée à un calcul RANS k-ω SST (lignes pointillées) ou EB-RSM (lignes continues). y/h y/h Forçage volumique anisotrope Une autre possibilité développée dans la thèse de B. de Laage de Meux pour générer rapidement des fluctuations réalistes au début de la zone LES est une extension de la méthode dite de forçage contrôlé utilisée par Spille-Kohoff et Kaltenbach [255] et Keating et al. [256], elle-même inspirée du forçage volumique linéaire utilisé par Lundgren [257] et Rosales et Meneveau [258] pour réaliser une turbulence isotrope forcée. L idée est basée sur une région de recouvrement entre les zones RANS en amont et LES en aval, dans laquelle on va chercher à imposer à la LES de satisfaire les vitesses moyennes et les tensions de Reynolds données par le calcul RANS. Pour atteindre ce but, on introduit dans l équation de la quantité de mouvement filtrée une force volumique variable en espace et en temps F i (x,t) dépendant linéairement de la vitesse

73 3.1 Génération de conditions d entrées pour la LES 65 résolue Ũi sous la forme 8 Fi = A ijũj +B i (96) où A ij (x) et B i (x) sont respectivement un tenseur symétrique et un vecteur dont on précisera plus loin le mode d évaluation. Le forçage linéaire de Lundgren [257], utilisé dans un autre contexte, pour générer une turbulence homogène isotrope stationnaire, s écrit F i = f i = Qũ i = 3 ε (97) 2 kũi ce qui correspond, sous la forme (96), à A ij = Qδ ij et B i = QU i, où, dans le cas d une turbulence homogène, la vitesse moyenne U i est nulle. Dans la méthode dite de forçage contrôlé [255, 256], appliquée dans le cas d un canal, des fluctuations de vitesse sont générées dans la direction normale à la paroi de manière à atteindre un niveau cible de tension de cisaillement moyenne uv, en introduisant une force uniquement sur la quantité de mouvement normale à la paroi, de la forme F 2 = f 2 = rũ 1, ce qui, sous la forme (96), s écrit A ij = Qδ i2 δ j1 = Q 0 0 (98) B i = Qδ i2 δ j1 U j (99) où Q est proportionnel à l intégrale temporelle de l écart entre la tension de cisaillement calculée et la tension cible. Notons que cette erreur est évaluée uniquement dans certains plan dits de contrôle et que la force n est appliquée que dans ces plans. 9 Nous allons voir que cette méthode peut se généraliser, grâce à l écriture sous la forme (96), de manière à imposer l ensemble du tenseur de Reynolds, ainsi que le champ de vitesse moyenne. En décomposant la force en partie moyenne et partie fluctuante F i = F i + f i = (A ij U j +B i )+A ij ũ j (100) il est facile de montrer que seule la force moyenne F i intervient dans l équation de la vitesse moyenne et que dans l équation de transport des tensions résolues, un terme de 8. Par soucis de clarté, on applique à cette force les mêmes notations qu à la vitesse. La force introduite dans l équation de quantité de mouvement filtrée se voit donc affublée de la notation réservée aux variables filtrées F, et sera décomposée en partie moyenne F (proportionnelle à la vitesse moyenne U) et partie fluctuante f (proportionnelle à la vitesse fluctuante résolue ũ). 9. Il faut certainement comprendre dans une zone de petite dimension entourant ces plans.

74 66 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE production supplémentaire apparaît, de la forme P f ij = ũ i f j +ũ j fi = A jk ũ i ũ k +A ik ũ j ũ k (101) Le forçage linéaire de Lundgren impose donc P f ij = 2Q ũ iũ j, qui, en turbulence isotrope, se réduit à P f δ ij = 2Q kδ ij, où k est l énergie turbulente résolue k = 1 2ũiũ i. Le forçage contrôlé donne quant à lui P f 12 = P f 21 = Qũũ, P f 22 = 2Qũṽ et toutes les autres composantes sont nulles. Pour forcer la vitesse moyenne du calcul LES à atteindre une valeur cible donnée par exemple par un calcul RANS, il suffit alors d imposer une force moyenne de la forme A ik U k +B i = 1 τ U (U cible i U i ) (102) et, de même, on peut forcer toutes les composantes des tensions résolues à atteindre les valeurs cibles si A jk ũ i ũ k +A ik ũ j ũ k = 1 τ R (u i u j cible ũ i ũ j ) (103) Les échelles de temps τ U et τ R permettent de contrôler l intensité du forçage. Il est à noter que, si on dispose de tensions de Reynolds issues d un calcul RANS, les valeurs cibles seront ũ i ũ j cible = ui u j RANS τ ij (104) où τ ij représente les tensions de sous-maille. Beaucoup de modèles LES, basés sur une viscosité de sous-maille [259, 260, 261], ne calculant que la partie déviatorique du tenseur de sous-maille, on peut se heurter alors à un problème d évaluation de τ ij. La solution la plus rapide et la moins élégante consiste alors à négliger la contribution de sous-maille dans (104). Connaissant les valeurs cibles et les valeurs données à l itération courante par la LES, il suffit en chaque point d inverser le système de 9 équations indépendantes (102) et (103) pour trouver les 9 inconnues A ij et B i. Le forçage (96) permet alors, dans une zone de recouvrement entre RANS et LES, de générer rapidement des fluctuations telles que le champ résolu de la LES satisfassent les mêmes vitesses moyennes et tensions de Reynolds que la solution RANS en amont. Cette méthode s est avérée très simple à mettre en œuvre et assez efficace, permettant d atteindre une LES développée plus rapidement que la méthode SEM, avec un contenu spectral assez satisfaisant. D ailleurs, en turbulence homogène isotrope, la méthode dégénère vers celle de Lundgren [257], et Rosales et Meneveau [258] ont montré que le contenu spectral et les corrélations en deux points engendrés par ce forçage linéaire étaient meilleurs que ceux obtenus par forçage classique aléatoire sur une bande de

75 3.1 Génération de conditions d entrées pour la LES 67 0,025 LES périodique 30 (s) LES forcee, profil en x/h = 2 x/h = 15 0,02 U + 20 x/h = 30 (p) k/u 2 b 0,015 0, , y ,5 0 0,5 1 Figure 27 Vitesse moyenne du côté en pression (p) et en dépression (s) (gauche) et énergie cinétique turbulente résolue (droite). Re b = 7000, Ro b = 1/6. y/h Figure 28 Même cas que figure 27. Isocontours de vitesse fluctuante longitudinale. En haut : côté en pression (y/h = 0,8); en bas : côté en dépression (y/h = 0,8). À gauche : LES forcée; À droite : LES périodique. fréquence. Le forçage (96) présente de plus l avantage, par rapport à celui proposé par Spille-Kohoff et Kaltenbach [255], de satisfaire l ensemble des tensions de Reynolds et pas seulement la tension de cisaillement. Les figures 27 et 28 montrent des exemples de résultats obtenus en canal tournant à nombre de Reynolds Re b = 7000 et taux de rotation Ro b = 1/6. Les profils cibles Ui cible cible (y) et ũ i ũ j (y) sont obtenus ici en réalisant une LES périodique au préalable, dans laquelle la turbulence est donc pleinement développée. En entrée du domaine, la condition aux limites est simplement Ũ = Ucible, sans aucune fluctuations de vitesse ajoutées. Dans ce test, le forçage est appliqué dans tout le domaine LES. On observe que les moments de la LES forcée s ajustent très rapidement sur ceux de la LES pleinement développée (figure 27). La visualisation de la figure 28 indique en outre que les structures turbulentes dans la zone de forçage sont similaires à celles qu on observe pour la LES périodique. Des travaux sont en cours pour examiner de manière plus poussée les performances de cette approche, en termes de rapidité de l établissement de l état développé de la simulation LES, et de réalisme de la turbulence générée au début de la

76 68 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE zone de forçage. 3.2 Extension à la génération de fluctuations de température L un des objectifs de la thèse de Benoît de Laage de Meux, dans le cadre des applications intéressant EDF, est d étendre ces méthodes de génération de turbulence synthétique et de couplage zonal RANS-LES aux écoulements avec transferts thermiques. Une des méthodes possibles est de considérer, en particulier dans les cas de convection forcée, que la génération d une turbulence dynamique réaliste sera suffisante et que, notamment à grande échelle, les fluctuations de température apparaîtront naturellement grâce à la convection par le champ de vitesse. Cependant, il est assez simple d étendre deux des méthodes précédentes pour générer également des fluctuations de température Thermal Synthetic Eddy Method Une première idée pour générer des fluctuations de la température résolue θ est d appliquer une méthode SEM en tout point identique à celle utilisée pour la vitesse, qui s écrit alors θ(x) = 1 N N λ=1 θ 2 ǫ λ jf σθ (x x λ ), (105) Cependant, cette méthode ne permet de générer que des fluctuations de températures qui satisfont une variance de température donnée, mais pas les corrélations vitessetempérature. Pour imposer ces dernières, il est possible d étendre la méthode SEM utilisée pour générer un vecteur vitesse au cas d un vecteur en quatre dimension, en définissant simplement une quatrième composante de vitesse par ũ 4 = U ref Θ ref θ (106) où U ref et Θ ref sont une vitesse et une température de référence arbitraires. Le tenseur en dimension quatre R = ũ ũ est symétrique, et admet donc, comme son homologue en dimension trois, une décomposition de Cholesky R = aa T, de sorte que la méthode SEM peut facilement être étendue à ũ i (x) = 1 N N λ=1 j=1 4 a ij (x)ǫ λ jf σ(x) (x x λ ), (107)

77 3.2 Extension à la génération de fluctuations de température 69 dans laquelle on a explicité la sommation sur j de 1 à 4, qui est la seule différence avec l équation (95). La méthode étendue en dimension quatre, appelée T-SEM (Thermal-SEM) satisfait toujours l ensemble des moments d ordre 2, de telle sorte qu on impose ainsi à la fois la variance θ 2 = Θ 2 ref U 2 ref ũ 2 4 et les flux thermiques turbulents ũ i θ = Θref U 1 ref ũ i ũ 4 (i 4). Comme elle génère le champ de vitesse et le champ de température à l aide du même ensemble de structures spatiales synthétiques, les échelles de longueur imposées aux champs de vitesse et de température sont les mêmes, ce qui suggère un champ de température simplement convecté par le champ de vitesse. Ce mécanisme est cependant compatible avec un grand nombre de situations rencontrées dans la pratique, pour lesquelles les nombres de Prandtl ne sont pas très petits devant l unité, de telle sorte que le champ de température aux échelles résolues par la LES n est pas dominé par les effets diffusifs. Des premiers tests ont été réalisés dans le cas de convection forcée dans un canal de Abe et al. [215], déjà présenté dans le cadre de la modélisation RANS à la section 2.5 et décrit sur la figure 17. La comparaison, figure 29, est basée ici sur l évaluation de l erreur en norme L1 obtenue pour le flux thermique turbulent normal à la paroi et la variance de température, en considérant que la solution de référence est la LES périodique. On peut voir que la comparaison entre la T-SEM et la SEM uniquement utilisée pour la dynamique et un bruit blanc ajouté pour la fluctuation de température est nettement à l avantage de la T-SEM, qui réduit considérablement l erreur dès la position x = 5h. Cependant, on voit que l erreur reste à des valeurs significatives, l établissement de la solution vers la solution de référence requérant, pour les deux approches, un domaine plus long que 30h Forçage volumique En suivant un raisonnement analogue au cas plus simple du forçage volumique de l équation de la quantité de mouvement seule, on peut introduire dans l équation de l énergie une source volumique de chaleur Q(x,t), de la forme Q = α i Ũ i +β Θ+γ (108) où α(x), β(x) et γ(x) sont un vecteur et deux scalaires à définir. La décomposition en partie moyenne Q et fluctuante q et quelques manipulation algébriques simples permettent de montrer que l association de cette source volumique de chaleur avec la

78 70 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE T-SEM SEM+bruit blanc pour θ Eṽ θ E θ2 x/h x/h Figure 29 Canal en convection forcée. Erreur en norme L1 par rapport à une LES périodique sur le flux thermique turbulent normal à la paroi et la variance de température (variables résolues). force (96) dans l équation de quantité de mouvement fait apparaître les termes sources suivant dans les équations : Équation de la température moyenne Θ : Équation de la variance de température θ 2 : Équation des flux thermiques turbulents ũ i θ : α i U i +βθ+γ (109) 2α i ũ i θ+2β θ2 (110) α j ũ i ũ j +(A ij +βδ ij )ũ j θ (111) On voit donc que cette méthode permet, en théorie, d imposer un forçage de toutes ces quantités à la fois, en résolvant, de manière similaire au cas du forçage dynamique simple, le système de 5 équations α i U i +βθ+γ = 1 ( Θ cible Θ ) (112) τ θ 2α i ũ i θ+2β θ2 = 1 ( ) θ τ 2cible θ 2 (113) θ ( ) 1 α j ũ i ũ j +(A ij +βδ ij )ũ j θ = ũ i θcible ũi θ (114) τ θ pour les 5 inconnues α i, β et γ. Notons qu on s est placé ici dans un cadre de convection forcée, sans influence de la thermique sur la dynamique, mais que rien n interdit d étendre cette méthode en introduisant par exemple dans la force volumique dans l équation de quantité de mouvement un terme de type flottabilité sous la forme C i Θ.

79 3.2 Extension à la génération de fluctuations de température 71 Forçage dynamique seul Forçage dynamique et thermique θ2 ṽ θ y/h y/h Figure 30 Canal en convection mixte. Comparaison avec une LES périodique aux positions x = 15h ( ) et x = 30h ( ) des profils obtenus avec forçage dynamique uniquement (équation 96) et avec forçage dynamique et thermique (équation ). Malheureusement, les premiers tests, en canal en convection forcée ou en convection mixte, ont fait apparaître des problèmes liés à l inversion du système ( ), ce qui va nécessiter dans l avenir une analyse plus approfondie. Pour néanmoins tester l efficacité de ce type de forçage par terme source volumique de chaleur, nous avons simplifié la méthode, en supprimant simplement le couplage avec le champ de vitesse, ce qui revient à poser α i = 0. Le système de deux équations ( ) est alors résolu pour trouver les deux inconnues β et γ. Les résultats préliminaires obtenus dans le cas du canal en convection mixte de Kasagi et Nishimura [216], décrit sur la figure 18, présentés sur la figure 30, montrent des résultats mitigés quant à l utilisation de ce forçage. On notera ici que le forçage est appliqué dans tout le domaine, de x/h = 0 à x/h = 30. Si l établissement de la variance de température est effectivement très significativement accéléré par rapport au cas où seul le forçage dynamique est appliqué, on constate en revanche une très nette dégradation du flux thermique turbulent normal à la paroi. Il apparaît donc clairement que le forçage thermique, qui impose les bons profils de température moyenne et de variance de température, détruit la corrélation entre vitesse température. Il apparaît donc dangereux de forcer la variance sans forcer en même temps la corrélation, et par conséquent, la compréhension des problèmes liés à l inversion du système complet ( ) sera un objectif pour l avenir.

80 72 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE 3.3 Étude de la pertinence des simulations URANS Depuis le début des années 90, on assiste à un fort développement des études instationnaires réalisées avec des modèles RANS classiques (approche URANS). La littérature étant assez vaste sur ce sujet, nous citerons ici quelques exemples parmi les plus représentatifs : Lasher et Taulbee [262], Durbin [263], Bosch et Rodi [230], Kenjereš et Hanjalić [198], Kenjereš et al. [264], Iaccarino et al. [229], Wegner et al. [265], Lardeau et Leschziner [266], Thiery et Coustols [267], Shur et al. [268], Revell et al. [269], Kim et al. [270], Al-Sharif et al. [271]. La question de la légitimité de l URANS dans certaines situations est l objet de débats, sur lesquels nous ne nous appesantirons pas. Pour résumer, la base de la modélisation statistique de la turbulence étant d assimiler les grandeurs physiques vitesse, pression et température comme des variables aléatoires, et leur évolution dans le temps comme des réalisations d un processus stochastique [117, 134], il est évident que pour des situations dans lesquelles les conditions aux limites varient en fonction du temps, l ensemble des moments de ces variables aléatoires sont dépendants du temps. Le terme URANS (Unsteady-RANS), ne désigne dans ce contexte que l application de la méthode RANS à un processus stochastique instationnaire, et ne pose pas de problème philosophique. En revanche, le cas où les conditions aux limites sont indépendantes du temps, comme dans le cas d un écoulement à vitesse incidente fixe autour d un obstacle fixe, peut être envisagé de deux manières différentes : soit on considère qu il s agit d un cas de processus stochastique stationnaire, c està-dire dont les moments sont indépendants du temps; dans ce cas, URANS qualifie des simulations réalisées en utilisant les équations d un modèle RANS dans lesquelles les termes de dérivées temporelles ont été ajoutés de manière artificielle; soit on considère qu il existe une composante déterministe dans l écoulement (par exemple un lâcher tourbillonnaire périodique) et une composante aléatoire, et donc que le processus stochastique n est pas stationnaire (mais par exemple cyclostationnaire dans le cas d un lâcher périodique), et dans ce cas l URANS est encore équivalent au RANS. Cette hypothèse séduisante est cependant difficile à valider expérimentalement. Si on laisse de côté ces questions philosophiques (néanmoins importantes), il reste un important problème de modélisation : la turbulence (la partie de l écoulement représentée par le modèle) n est plus en équilibre ou en proche équilibre, car elle est soumise en permanence à un champ de déformation instationnaire. On peut alors s attendre à ce que les modèles RANS classiques ne marchent pas très bien dans ce contexte insta-

81 3.3 Étude de la pertinence des simulations URANS 73 tionnaire, sauf dans le cas où les temps caractéristiques des variations du champ résolu sont grands devant le temps de retournement des grandes structures turbulentes (par exemple, des variations diurnes [264]). Des modèles spécifiques peuvent alors être proposés pour prendre en compte ce déséquilibre, comme des modèles à plusieurs échelles [270, 272, 273, 274] ou prenant en compte le désalignement entre les tenseurs de Reynolds et de déformation [231, 269, 270, 275]. Les simulations URANS, utilisant des modèle RANS classiques, sont néanmoins devenues assez populaires dans le milieu industriel, pour trois raisons bien précises : La première est un peu inavouable : de nombreux calculs stationnaires ne convergent pas, car le modèle cherche à donner une solution instationnaire. Il est alors plus facile de réaliser un calcul instationnaire et de le moyenner dans le temps pour obtenir les grandeurs moyennes. Ces simulations ont gagné une bonne réputation grâce aux premières publications qui ont montré une reproduction correcte des fréquences de lâcher tourbillonnaire dans les cas de zones cisaillées décollées [262] et de sillages de cylindres [230, 263]. Dans les cas où on est capable d obtenir soit une solution stationnaire, soit une solution instationnaire suivant la méthode numérique employée, on s aperçoit le plus souvent que la solution instationnaire moyennée dans le temps est bien meilleure que la solution stationnaire [229, 263]. Dans le cadre des thèses de S. Carpy, d A. Fadai-Ghotbi et de Y. Lecocq, avant de nous consacrer à la modélisation hybride RANS/LES, nous nous sommes dans un premier temps attachés à cette question de la validité des modèles et de la représentativité physique des solutions obtenues. Une série de résultats intéressants et parfois en apparence contradictoires ont été obtenus Écoulement à périodicité imposée : cas du jet synthétique Des calculs ont été réalisés dans le cas de l écoulement bidimensionnel en moyenne d un jet synthétique débouchant d une fente dans un fluide au repos. Les modèles utilisés étaient des modèles standards, le k ε [276, 277, 278, 279] et le modèle au second ordre Rotta+IP [146]. Le but de ce travail était donc d étudier la capacité de ces modèles standards à fermer les équations de Navier Stokes moyennées en phase, puisque dans ce cas il existe une périodicité imposée par les conditions aux limites. Les résultats sont comparés avec les expériences de Yao et al. [280] dans le cadre du workshop organisé par NASA Langley en 2004 [281]. La comparaison des performances des modèles avec les données expérimentales montrent que l évolution de la paire de

82 74 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE (a) PIV (b) k ε (c) RSM Figure 31 Isocontours de la vitesse moyenne (moyenne de phase) verticale (soufflage). Lignes pointillées = isocontours négatifs. Ṽ à la phase 90 Ṽ (m s 1 ) deg 45deg 0deg 270deg 135deg 180deg 225deg + PIV k ε RSM y (m) deg y (m) Figure 32 Comparaison des profils de vitesse moyenne (moyenne de phase) verticale Ṽ dans le plan de symétrie à différentes phases. x (m) Figure 33 Phase 90 (décroissance de la vitesse de soufflage). Lien entre les isocontours de production (lignes pointillées = isocontours négatifs) et régions où θ > 45 (régions grisées).

83 3.3 Étude de la pertinence des simulations URANS 75 tourbillons générée à chaque cycle n est pas correctement reproduite par le modèle k ε, tandis que le modèle au second ordre donne des résultats beaucoup plus réaliste, comme on peut le voir par exemple en comparant les champs de vitesse moyennée en phase sur la figure 31, et surtout les profils de vitesse sur l axe de symétrie sur la figure 32. Sur cette dernière figure, on voit clairement que le modèle k ε conduit à une rapide diminution du maximum de vitesse sur l axe en fonction de la phase, qui traduit une forte surestimation du transfert d énergie de l écoulement moyenné en phase vers l écoulement modélisé. Ceci va à l encontre des conclusions tirées à l issue du workshop [281], basées uniquement sur l analyse des champs moyennés en temps, ce qui montre l importance d une analyse instationnaire dans ce type de cas. Cependant, certaines caractéristiques ne sont pas très bien reproduites par le modèle au second ordre, en particulier la vitesse de convection de la paire de tourbillons, ce qui se traduit par un décalage des positions des pics de vitesse sur la figure 32. L analyse détaillée montre que la dynamique de ces tourbillons est essentiellement inviscide dans la phase initiale de soufflage, durant laquelle la turbulence n est pas pleinement développée. Il est alors important que le modèle de turbulence ne prédise pas de manière erronée un taux de turbulence élevé. En particulier, on peut montrer que durant la phase de décélération de la vitesse de soufflage, une région de production négative apparaît (figure 33) qui ne peut évidemment pas être reproduite par le modèle k ε. La surestimation du transfert d énergie de l écoulement moyen vers l écoulement modélisé par le modèle k ε est une conséquence directe du défaut bien connu de ces modèles, qui consiste à supposer la proportionnalité entre le tenseur d anisotropie et le tenseur de déformation. Lorsque la déformation est instationnaire, avec une fréquence suffisamment élevée, la turbulence n a pas le temps de s adapter et il existe un déphasage permanent entre les axes propres de ces tenseurs. On peut montrer que la production turbulente est une fonction de l angle θ entre les axes propres des deux tenseurs : P = ka:s = kβ(λ 1 λ 2 )cos(2θ) où (λ 1,λ 2 ) et ( β,β) sont les couples de valeurs propres des tenseurs d anisotropie a et de déformation S dans le plan de la déformation, et θ est l angle entre les axes propres des deux tenseurs. La figure 33 montre les isocontours de l angle θ donné par le modèle au second ordre, et la coïncidence (analytiquement évidente) des régions de production négative avec les régions où θ > 45. Il apparaît alors clairement que les modèles à viscosité turbulente constante, qui impliquent l alignement entre les axes propres (θ = 0), surestiment d autant la production que le déphasage réel entre les

84 76 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE Figure 34 Répartition azimutale du Nusselt à la hauteur z/h = 5/8 pour le cas U b = 1 m s 1 et φ = 600 W m 2. Comparaison entre k ω SST (URANS); SSG (URANS); LES. Figure 35 Comparaison entre le cas isotherme (φ = 0) et le cas φ = 850 W m 2. Isocontours de critère Q instantanés colorés par la température. tenseurs est important, c est-à-dire d autant plus que l instationnarité écarte la turbulence de l état d équilibre. La conséquence est un niveau de turbulence trop élevé qui diffuse la vorticité très rapidement, conduisant à une très mauvaise prédiction de la dynamique de l écoulement. Avec le modèle au second ordre, dans lequel la production ne nécessite pas de modélisation, le déphasage est naturellement pris en compte et la dynamique instationnaire est reproduite de manière beaucoup plus réaliste, notamment en ce qui concerne l intensité et la pénétration des tourbillons dans le fluide au repos. Ces résultats et leur analyse détaillée sont disponibles dans l article [7] Écoulement autour d un obstacle fixe : cas d un cylindre chauffé monté en paroi La thèse CIFRE EDF de Y. Lecocq a été en partie consacrée aux problèmes de refroidissement de fûts de déchets nucléaire dans les halls d entreposage. L un des buts de la thèse était de réaliser des calculs 3D d une configuration simplifiée, l écoulement autour d un cylindre chauffé posé sur une paroi, avec l approche URANS, de manière à identifier jusqu où ce type de modèles était fiable dans la reproduction de la dynamique à grande échelle et de l influence des paramètres (vitesse de l écoulement et puissance thermique dégagée par le cylindre) sur cette dynamique et sur les échanges thermiques. Des données expérimentales ont été fournies par le CEA Grenoble et le LEA pour quelques configurations de référence.

85 3.3 Étude de la pertinence des simulations URANS 77 Les phénomènes physiques en jeu sont d une grande complexité (cf. figure 35) : l écoulement, suivant le rapport d aspect du cylindre, résulte d une interaction complexe entre lâchers de Kármán, tourbillons marginaux et effets de sol (tourbillon en fer à cheval, notamment); les paramètres du problème sont tels qu on se situe en général en régime de convection mixte, voire de convection naturelle dans certaines zones. Les calculs ont été menés avec un des modèles disponibles dans le code Saturne (modèle k ω SST, avec modélisation des flux thermiques turbulents par gradient simple), qui donne des résultats globalement très acceptables sur ce cas. La figure 34, présentée au congrès ASME 2008 [42], montre notamment l importance pour la prédiction des transferts thermiques à la paroi de ne pas utiliser de lois de paroi. En effet, on pourrait s attendre à ce que le modèle au second ordre SSG, et a fortiori la LES, donnent des résultats meilleurs que le k ω SST : cependant, leurs résultats sont très affectés par l utilisation de lois de paroi dans les deux cas. La figure 35 montre un résultat assez étonnant et en contradiction avec beaucoup de résultats de la littérature : la solution URANS présente des structures cohérentes d une grande richesse, alors que beaucoup de simulations URANS ne montrent que des structures quasi-périodiques. De plus, on observe dans les simulations présentées sur la figure 35 l ensemble des structures cohérentes mentionnées dans les études expérimentales et numériques portant sur les cylindres de hauteur finie montés en paroi, par exemple [282, 283, 284, 285] : tourbillons en fer à cheval, tourbillons de Kelvin-Helmholtz, tourbillons de Kármán, tourbillons marginaux, tourbillons tornado-like, tourbillons de sillage. Un des résultats les plus intéressants est l apparition sur la figure 35, entre le cas isotherme et le cas chauffé, d une paire de tourbillons au dessus des tourbillons marginaux, qui sont générés par les effets de flottabilité. Ces tourbillons n ont jamais été observé précédemment, et il est fort probable qu ils existent réellement mais n ont pas été vus dans les expériences du CEA, car il n y a pas eu de mesures PIV dans des plans perpendiculaires à l écoulement : nous avons choisi de nommer ces tourbillons tourbillons de flottabilité, ou buoyancy-induced vortices. Ces résultats semblent venir contredire ceux décrits précédemment, obtenus dans le cas du jet synthétique, dans la mesure où le modèle k ω SST est un modèle à viscosité turbulence linéaire, équivalent au k ε loin des parois. Il est cependant important de rappeler que les points analysés dans le cas du sillage de cylindre fini sont uniquement les profils de Nusselt moyens et la description qualitatives des grandes structures tourbillonnaires. Une analyse plus détaillée de l évolution instationnaire de ces structures ferait certainement ressortir les mêmes défauts que dans le cas du jet synthétique. On

86 78 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE 10-2 Maill. 7 Maill. 8 Maill. 9 Maill. 10 Maill Maill. 7 Maill. 9 Maill. 12 M(x) 10-3 Pe x/h Figure 36 Valeur maximale M(x) du rapport énergie résolue/énergie modélisée en fonction de la position longitudinale x/h Figure 37 Évolution longitudinale en amont de la marche du nombre de Peclet local à la position y + = 15. voit cependant que l approche URANS peut répondre, jusqu à un certain point, à des besoins industriels, même avec des modèles RANS classiques, en gardant à l esprit les limitations de cette approche Écoulement cisaillé décollé : cas de la marche descendante La première partie de la thèse d A. Fadai-Ghotbi a été consacrée à l évaluation de la méthode URANS dans le cas d une marche descendante. Il s est avéré, de manière surprenante, que la solution obtenue était exagérément dépendante de la discrétisation, et que les effets observés par raffinement de maillage étaient à première vue incompatibles avec les conclusions de Lasher et Taulbee [262], qui obtenaient une solution stationnaire sur maillage grossier, et instationnaire sur maillage plus fin. Comme le montre la figure 36, l énergie contenue dans le champ résolu décroît avec le raffinement du maillage (on remarquera que les moyens de calcul ayant fortement évolué en 15 ans, notre maillage grossier correspond au maillage fin de Lasher et Taulbee). En fait, un passage d une solution stationnaire à une solution instationnaire peut être artificiellement obtenu par l introduction de petites perturbations bien placées (juste avant le coin de la marche). Dès lors, les erreurs numériques peuvent être suffisantes pour servir de perturbations, et une solution instationnaire est obtenues sur certains maillages. En revanche, un raffinement du maillage conduit à la réduction progressive des perturbations et de l énergie contenue dans les structures résolues, et finalement à une solution stationnaire. Nous avons pu identifier, comme le montre la

87 3.3 Étude de la pertinence des simulations URANS 79 comparaison des figures 36 et 37, que l excitation ou au contraire l amortissement des instationnarités sont liés au poids des erreurs dispersives ou diffusives du schéma de discrétisation des termes de convection, en établissant un lien qualitatif entre l énergie résolue et le nombre de Peclet local défini par Pe(x,y) = τ Diffusion τ Convection = U y2 ν eff x (115) où ν eff prend en compte la viscosité turbulente introduite par le modèle. De plus, dans tous les cas, l énergie contenue dans les structures instationnaires résolues est très faible, et sa grande dépendance aux erreurs de discrétisation fait qu il semble très aventureux de faire confiance à la méthode URANS pour évaluer l amplitude des structures tourbillonnaires à grande échelle. Ces résultats sont présentés en détails dans l article [4]. Ces observations jettent un doute sur la validité de nombreux résultats obtenus en URANS, notamment dans des applications industrielles où le maillage n est pas suffisamment raffiné : les fréquences obtenues sont souvent correctes, car elles sont liées aux modes les plus instables générés, souvent, par des profils moyens inflexionnels, mais l amplitude des fluctuations est très dépendante des perturbations dues aux erreurs numériques. Le cas des sillages d obstacle (par exemple, le cylindre de la section précédente) est très différent, dans la mesure où il a été montré [266] au contraire que l allée de Kármán est obtenue quel que soit le maillage et que l énergie résolue augmente avec la précision du calcul : la solution convergée est bien instationnaire, mais il est probable, bien que nous ne l ayons pas observé, que l énergie contenues dans certaines structures (notamment les tourbillons de Kelvin-Helmholtz) soit sensible aux erreurs numériques. De l ensemble de ces études sur la validité de la modélisation URANS, on peut alors tirer les conclusions suivantes : Il n est pas toujours possible de savoir à l avance si un calcul URANS va donner une solution instationnaire ou stationnaire. L URANS ne semble donc pas être la solution idéale pour obtenir les caractéristiques instationnaires d un écoulement. Dans certains cas, comme le cas de la marche descendante, il n est pas possible d obtenir une information fiable sur l énergie des structures cohérentes. Les modèles à viscosité turbulente linéaires sont inadaptées à la reproduction d un champ modélisé soumis à un champ de déformation instationnaire. En revanche, les modèles au second ordre semblent être un niveau de modélisation naturel dans ce contexte.

88 80 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE Ces constatations plaident en faveur du développement de méthodes hybrides RANS- LES permettant de contrôler la partition énergie résolue/énergie modélisée. Les défauts des modèles à viscosité turbulente linéaires tendent à montrer que les modèles hybrides ne devront pas être basés sur ces modèles, comme le sont la plupart des approches aujourd hui utilisées, mais plutôt sur des modèles de transport des tensions de sousfiltre. C est la raison pour laquelle nous nous sommes alors orientés vers la méthode PITM, qui offre la possibilité de construire, dans un cadre théorique, une approche hybride basée sur un modèle au second ordre. 3.4 Modélisation hybride continue : T-PITM LestravauxdeSchiestel&Dejoan [235]etChaouat&Schiestel[236]ontmontréque les méthodes hybrides RANS/LES continues avec un modèle de sous-filtre basé sur la résolution d équations de transport (contrairement aux modèles algébriques classiques), offrent un bon compromis entre les approches RANS et LES. Le but principal de ce type d approches est évidemment de résoudre les grandes échelles turbulentes dans les régions où cela est nécessaire, alors que les autres régions sont représentées par un modèle RANS. Mais le second but est de pouvoir réaliser une LES sur maillage grossier : dans ce cas, si la longueur d onde de coupure du filtre LES ne se situe pas en zone inertielle du spectre, mais plutôt en zone productive, on ne peut espérer bien reproduire l écoulement qu au prix d une modélisation plus complexe des échelles de sous-maille (ou sous-filtre) que les modèles LES classiques. L un de principaux points faibles des modèles RANS/LES continus disponibles réside dans la modélisation de cette région de proche paroi : les modèles différentiels utilisés comme modèle de sous-filtre ne sont valides dans cette région que grâce à l introduction de fonctions d amortissement. Le manque d universalité de cette approche est connu depuis longtemps, et comme largement exposé dans la première partie de ce rapport (section 2), la relaxation elliptique est une méthode disponible pour s affranchir de ce problème et véritablement reproduire le principal mécanisme physique dû à la paroi, l effet de blocage non-local. Nous avons donc, depuis 2006, démarré une activité importante sur la modélisation hybride RANS/LES continue avec équations de transport pour les tensions de sousfiltre. Durant la thèse d Atabak Fadai-Ghotbi, puis de celle de Ch. Friess, dans le cadre collaboratif franco-allemand du projet DFG-CNRS FOR 507 LES of complex flows (également GDR européen Mécanique des fluides numérique), le modèle EB-RSM a été

89 3.4 Modélisation hybride continue : T-PITM 81 adapté pour servir de modèle de transport des tensions de sous-filtre dans l approche PITM, et un formalisme de filtrage temporel a été développé de manière à rendre l approche compatible avec les applications pratiques en écoulements inhomogènes. La présentation en détail de ces travaux nécessitant de longs développements, les sections suivantes n en sont qu un résumé succinct, et le lecteur intéressé pourra se reporter aux trois articles [2, 3, 38] reproduits respectivement pages 185, 207 et 221. On remarquera en outre que, par soucis de clarté, la présentation de la méthode ci-dessous est réorganisée dans un ordre logique (formalisme de filtrage temporel, modélisation des tensions de sous-filtre), qui ne correspond pas à l ordre chronologique dans lequel les travaux se sont déroulés et ont été publiés (modélisation des tensions de sous-filtre dans le cadre du filtrage spatial, passage à un formalisme temporel) Cadre temporel La théorie PITM, introduite dans le cadre d un filtrage spatial (la théorie est développée en turbulence homogène) [235, 236], considère deux nombres d onde de coupure dans le spectre turbulent. Le premier nombre d onde κ c représente la séparation échelles résolues/échelles modélisées, et le second, κ d, délimite une zone à partir de laquelle on peut négliger l énergie. Il peut alors être montré, à partir de l intégration sur les différents intervalles de nombres d onde, que les équations de transport des tensions de sous-filtre peuvent être écrites de manière formellement identique à celles des tensions de Reynolds en modélisation RANS (ce résultat est classique et dû à Germano [286]), mais aussi qu on peut écrire une équation de dissipation quasiment identique à l équation RANS classique, à la seule différence qu elle prend en compte la position de la coupure par un coefficient C ε2 variable : C ε2 = C ε1 +r(c ε2 C ε1 ) (116) dans lequel r est le ratio énergie modélisée (sous-filtre)/énergie totale. Ce coefficient peut-être modélisé à partir de l intégration sur l intervalle [κ c ; ] d un spectre de Kolmogorov : r = k m k = 1 k 2 3 E(κ)dκ = 1 η c (117) κ c β 0 où η c = κ c k 3/2 /ε est le rapport entre l échelle intégrale de la turbulence et l échelle de coupure. L inconvénient de cette approche, comme de l ensemble des approches cherchant à réaliser une transition continue entre LES et RANS, est l absence de formalisme valable

90 82 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE en dehors du cadre homogène. En effet, la LES est basée sur un filtrage spatial : si on fait tendre l échelle du filtre vers l infini, on tend donc vers une moyenne spatiale. Cette moyenne n est équivalente à la moyenne d ensemble que dans le cas très restrictif de la turbulence homogène. Il n est alors pas possible, dans les écoulements d intérêt pratique, qui sont plutôt des écoulements statistiquement stationnaires inhomogènes, où la moyenne d ensemble est une moyenne temporelle, de donner un sens rigoureux à une simulation hybride RANS/LES. 10 Cependant, il est également possible de définir une approche similaire à la LES mais basée sur un filtrage temporel, la TLES [287, 288, 289]. Dans ce cadre, on peut donner un sens rigoureux à une simulation hybride, qui tend progressivement d une TLES à un calcul RANS, par une évolution continue de la largeur temporelle du filtre, ou, dans l espace des fréquences, de la fréquence de coupure. Nous avons brièvement résumé les réflexions sur la manière d exprimer les différentes approches dans un formalisme unifié dans l article Gatski et al. [6]. Nous avons alors entièrement ré-exprimé l approche PITM en se plaçant en turbulence statistiquement stationnaire inhomogène, et en repartant de l intégration dans l espace fréquentiel des équations de transport des corrélations en deux temps. La décomposition de la vitesse instantanée u en partie filtrée (résolue) Ũ, et partie résiduelle (non-résolue ou sous-filtre) u, un filtre causal <.> est introduit, de la forme générale Ũ(x,t) =<u (x,t)>= 0 D G(x ξ(x,τ),τ) u (x,t+τ) dx dτ (118) où D est le domaine et G(x ξ(x,τ),τ) est le noyau du filtre temporel donné par G(x ξ(x,τ),τ) = δ(x ξ(x,τ)) G T (τ) (119) avec la largeur temporelle du filtre T. L introduction de ξ(x,τ), avec ξ(x,0) = x, dans la définition du filtre permet d assurer la préservation de l invariance Galiléenne [3]. Une forme plus familière du filtre est retrouvée lorsque ξ(x,τ) = x, qui correspond à la situation la plus courante (écoulement statistiquement stationnaire dans le repère courant). 10. Dans le cadre de la discussion amorcée à la section 3.3, on inclut ici dans les écoulements statistiquement stationnaires tous les écoulements à conditions aux limites stationnaires, y compris les cas avec lâcher de tourbillons autour d une fréquence privilégiée.

91 3.4 Modélisation hybride continue : T-PITM Équations filtrées Pour un filtre commutatif, 11 les équations filtrées s écrivent Ũi Ũi t +Ũk = 1 P +ν 2 Ũ i τ ij sfs. (120) x k ρ x i x j x j x j Le tenseur de sous-filtre (subfilter-stress, SFS) τ ijsfs est défini à partir des moments centrés du second ordre τ ijsfs = τ(u i,u j), où τ(a,b) =<ab> <a><b>. L équation de transport pour ce tenseur de sous-filtre s écrit avec τ ijsfs t +Ũk τ ijsfs = τ(u i,u j,u k) x k x } {{ k } D T ij sfs +ν 2 τ ijsfs x k x } {{ k} D ν ij sfs ( u 2ντ i ), u j x k x } {{ k } ε ijsfs 1 ( ρ τ u i, ) p 1ρ ) (u x τ j, p Ũj Ũi τ iksfs τ jksfs j x } {{ i x } k x } {{ k} φ ijsfs P ijsfs τ(a,b,c) =<abc> <a> τ(b,c) <b> τ(a,c) <c> τ(a,b) <a><b><c>. (121) Il est important de remarquer que, de manière similaire au cas du filtrage spatial [286], les équations de transport des tensions de sous-filtre s écrivent sous une forme identique à celle des tensions de Reynolds : cette propriété est la base qui permet d utiliser un modèle pour l approche filtrée qui s écrive sous la même forme qu un modèle RANS au second ordre, en gardant bien sûr à l esprit qu il ne s agit en aucun cas d une validation. La définition de l opérateur de filtrage, basé sur un noyau temporel, assure que les variables Ũi, P et τijsfs tende de manière continue vers les quantité RANS correspondantes, U i, P et u i u j, lorsque la largeur temporelle du filtre tend vers l infini [6]. La principale question est alors la modélisation du tenseur de sous-filtre, qui doit être compatibleavecunefréquence 12 decoupurecaractéristiquedufiltreω c variantde0(rans) à la zone inertielle (TLES). L identité formelle des équations TLES et RANS suggère que la forme des modèles utilisés en régions TLES et RANS puisse être identique, avec une modification adéquate des coefficients et échelles pour assurer la transition. 11. Le cas général des filtres non-commutatifs n est pas considéré ici, mais pourra faire l objet de travaux futurs, car il est lié au problème des zones grises dans le cas de transition rapide de RANS à LES [290, 291]. 12. On utilisera ici la bonne habitude anglo-saxonne qui consiste à ne pas distinguer s il n y en a pas besoin la fréquence et la pulsation. On parle donc ici à 2π près.

92 84 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE Modèle du tenseur de sous-filtre Le tenseur de sous-filtre peut en principe être évalué à l aide d un modèle à viscosité de sous-filtre (de type Smagorinsky [259, 260, 261]), mais dans le contexte hybride, où la fréquence de coupure peut être située aux grandes échelles du spectre, et au vu des résultats présentés à la section 3.3.1, qui montrent que ce type de modèles ne permet pas de bien reproduire la réponse de la turbulence à un champ résolu variable à grande échelle, il nous a semblé préférable de nous tourner vers des modèles à équations de transport des tensions de sous-filtre. On peut en particulier espérer que ces modèles permettront de reproduire les phénomènes complexes de production anisotrope et de redistribution qui ont lieu à ces échelles. De manière à démontrer la faisabilité d une telle approche, une adaptation du modèle RANS EB-RSM présenté dans la première partie de ce rapport, est utilisée, ce qui nous conduira à un modèle hybride à six équations de transport pour les tensions de sous-filtre, une équation de transport pour le taux de dissipation, et une équation de relaxation elliptique. Il est tout d abord nécessaire de montrer que l approche de la relaxation elliptique, appliquée pour reproduire l effet de blocage non-local de la paroi, peut-être utilisée dans le contexte d un modèle de sous-filtre en TLES. Il est facile de montrer que le gradient de la pression de sous-filtre satisfait une équation de Poisson : 2 p = ρ ( 2 Ũi u ) j 2 (u x k x k x j x i x i x iu j τ ij ) } {{ j } S k (122) En utilisant, comme dans le contexte RANS, le formalisme de Green, on obtient [2] l équation intégrale du terme de corrélation vitesse-gradient de pression φ ijsfs qui apparaît dans l équation (121) : ρφ ijsfs (x) = D u i(x)s j (x+r)+u j(x)s i (x+r) 4π r dr (123) De manière similaire au cas RANS, on peut modéliser la fonction de corrélation en deux points par une exponentielle décroissante, ce qui conduit à u i(x)s j (x+r)+u j(x)s i (x+r) = u i(x+r)s j (x+r)+u j(x+r)s i (x+r) ( exp r ) L sfs (124) où L sfs est une échelle de longueur de corrélation. La différence principale entre l équation (124) est son équivalent RANS est le fait qu elle est écrite en variable filtrées et

93 3.4 Modélisation hybride continue : T-PITM 85 non moyennées. En conséquence, l échelle de longueur, qui était considérée en RANS comme proportionnelle à l échelle intégrale, bornée par une échelle proportionnelle à l échelle de Kolmogorov, sous la forme L = C L max ( k 3/2 ε,c η ν 3/4 ε 1/4 ) (125) doit maintenant être fonction de la fréquence de coupure. Nous avons pu montrer [2] qu il est suffisant de remplacer l échelle intégrale par l échelle caractéristique à la coupure k 3/2 sfs /ε, ce qui correspond en moyenne à diminuer l échelle de longueur par rapport au cas RANS d un facteur r 3/2, où r est le rapport entre l énergie modélisée (de sous-filtre) k m = k sfs = u i u i /2 et l énergie turbulente totale k. Pour que ce facteur de réduction soit appliqué partout dans le domaine, la borne proportionnelle à l échelle de Kolmogorov est également réduite en introduisant explicitement r 3/2 devant son coefficient : ( ) k 3/2 sfs ν 3/4 L sfs = C L max ε,r3/2 C η ε 1/4 À la limite RANS (r = 1), l équation (125) est bien retrouvée. (126) On fait alors l hypothèse qu on peut écrire des modèles pour les termes φ ij sfs et ε ijsfs exactement sous la même forme que dans le modèle RANS EB-RSM, mais écrits en variables de sous-filtre. De manière similaire l équation (126) qui est adaptée de l équation(125),réécrirelesmodèlesdeφ ij sfs etε ijsfs envariablesdesous-filtreimplique notamment que les échelles de temps deviennent des échelles exprimées à la coupure. Si adopter la même forme des modèles dans la région quasi-homogène est une hypothèse forte, on peut en revanche montrer facilement que les termes de proche paroi φ w ij sfs et ε w ij sfs peuvent effectivement s écrire sous la même forme que dans le cas RANS, car les comportements asymptotiques sont exactement les mêmes dans les deux cas, c est-àdire même si la région proche paroi est instationnaire (la région de proche paroi, même en mode RANS, n est jamais parfaitement stationnaire, car elle est influencée par les structures résolues dans la zone LES). Le coefficient de pondération elliptique α est obtenu par l équation dans laquelle apparaît l échelle de longueur (126). α L 2 sfs 2 α = 1 (127) Contrôle de la partition d énergie De manière identique au cas du filtrage spatial, on peut montrer [3] que pour contrôler la répartition de l énergie entre le mouvement résolu et le mouvement de

94 86 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE sous-filtre, on peut utiliser une équation de transport du taux de dissipation ε rendue sensible à la fréquence de coupure. Pour cela, il est nécessaire d écrire tout d abord l équation de transport du spectre eulérien en fréquence (densité spectrale d énergie) E T (x,ω) = Q(x,ω) (128) où. désigne la transformée de Fourier temporelle, et Q la trace du tenseur de corrélation en deux temps Q(x,τ) = 1 2 u i(x,t)u i (x,t+τ) (129) En écrivant l équation de transport de Q, on obtient [3] par transformation de Fourier temporelle l équation de transport de E T qui s écrit sous la forme DE T Dt = P+ D Ê+ T (130) où P, D et Ê sont respectivement les densités spectrales de production, de diffusion et de dissipation. Le terme T est un terme de transfert inter-échelles qui ne participe pas au bilan d énergie turbulente : + L énergie turbulente résolue étant donnée par k r (x) = 0 0 T(x,ω)dω = 0 (131) Ĝ T (ω)ĝ T (ω)e T (x,ω)dω (132) où Ĝ T est la transformée de Fourier du noyau du filtre G T et Ĝ T son conjugué, et l énergie modélisée k m = k k r par k m (x) = 0 [ ] 1 Ĝ (ω)ĝ T T (ω) E T (x,ω)dω (133) l équation de transport de k m peut être déduite de l équation (130) : Dk m Dt = P m +D m ε m T G (134) où D m = (1 Ĝ T Ĝ T ) Ddω; P m = (1 Ĝ T Ĝ T )( P+ T)dω; (135) 0 0

95 3.4 Modélisation hybride continue : T-PITM 87 ε m = 0 (1 Ĝ T Ĝ T )Êdω; T G = 0 E T D Dt (Ĝ T Ĝ T )dω. (136) T G est un terme de transfert qui vient des variations de la largeur temporelle du filtre le long des lignes de courant. Il sera considéré comme négligeable dans un premier temps, mais, comme mentionné plus haut, les variations du filtre devront être considérées à l avenir. Maintenant, comme dans le cas spatial, de manière à savoir comment modifier l équation de transport du taux de dissipation ε pour la rendre sensible à la largeur du filtre, un second filtre G T est introduit, de fréquence caractéristique ω d, comme illustré sur la figure 38. Si on considère des filtres de coupure, 13 le spectre turbulent est alors divisé en trois parties : la partie résolue [0;ω c ], la partie de sous-filtre énergétique [ω c ;ω d ] et la partie de sous-filtre dissipative [ω d ; ]. De manière similaire au cas du PITM spatial [235], ω d est défini par la relation ω d = ω c +χ m ε k m (137) où χ m est une constante. Il est important de noter que ω d ne correspond alors pas en général à l échelle de Kolmogorov, χ m étant simplement choisi de manière à ce que la partie d énergie contenue dans l intervalle [ω d ; ] est négligeable. On peut alors montrer [3], à partir de l équation (134) et de la dérivée matérielle de l équation (137), qu il est possible d écrire une équation de transport de ε sous la forme [ Dε Dt = C ε ε 1 P m k m ] C ε1 +r(c ε2 C ε1 ) } {{ } Cε 2 ε 2 k m +D εm (138) qui est similaire à celle obtenue dans le cadre du PITM spatial, sauf en ce qui concerne le terme de diffusion D εm, qui n est pas présent dans le cas du PITM spatial, écrit en écoulement homogène. La transition RANS/TLES est alors contrôlée par le paramètre r = k m /k. La limite RANS correspond à r = 1, pour lequel l équation RANS classique de ε est retrouvée. Différentes possibilités s offrent alors pour contrôler en pratique cette transition RANS/TLES : Étant donné que le seul paramètre qui intervient explicitement dans les équations est le rapport d énergies r, et non la largeur temporelle du filtre ou sa fréquence 13. Cette restriction n est pas nécessaire pour écrire le modèle. Elle est utilisée ici uniquement à titre d illustration.

96 88 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE DNS M M 0 15 M E T (ω) U Ĝ T Ĝ T E T (ω) Ĝ T Ĝ T E T (ω) Figure 38 Exemple d application des deux filtres de l approche T-PITM à un spectre générique. ω y + Figure 39 Canal à Re τ = 395. Profils de vitesse moyenne. caractéristique ω c, on peut imaginer calculer au cours de la simulation les énergies résolue k r et modélisée k m. On obtient alors une méthode auto-adaptative [292, 293], qui modifie automatiquement ses équations en fonction de ce qu elle est capable de résoudre localement. De manière similaire à ce qui a été proposé dans le cas spatial [235, 236], le rapport r peut-être modélisé en fonction des caractéristiques du filtre ω c ou T. Le choix de la largeur temporelle du filtre T n est pas aussi évidente qu en LES spatiale, qui s appuie sur les tailles de mailles locales. L équivalent serait de relier T au pas de temps de la simulation t, mais cette pratique ne permettrait pas d utiliser des tailles de filtres différentes suivant les régions, ce qui va à l encontre de la finalité de l hybride RANS/TLES. De plus, l évaluation de r à partir de l intégration du spectre eulérien se heurte à l absence de théorie générale pour ce dernier, car l application des hypothèses de Kolmogorov dans l espace fréquentiel permet seulement d obtenir le spectre lagrangien [294]. L obtention du spectre eulérien passe alors par l introduction d une relation de dispersion ω = f(κ), qui n est pas connue dans le cas général, dans le spectre de Kolmogorov en nombre d onde. Une troisième possibilité est de chercher à relier le rapport r à la taille des mailles, comme en LES, en remarquant que la limite de résolution spatiale imposée par la discrétisation spatiale induit implicitement une limite en résolution temporelle, les fréquences élevées correspondant aux nombres d onde élevés. Or, le spectre eulérien en fréquences E T (ω) et le spectre en nombres d ondes E(κ) sont reliés

97 3.4 Modélisation hybride continue : T-PITM 89 par dk = E(κ)dκ = E T (ω)dω (139) si bien qu une expression analytique de r peut-être obtenue par changement de variable (on se place ici dans le cas d un filtre de coupure) r = 1 k ω c E T (ω)dω = 1 k κ c E T (ω) E(κ) E T (ω) dκ = 1 k κ c E(κ)dκ (140) Pour réaliser ce changement de variables, on a seulement besoin de supposer qu une relation de dispersion ω = f(κ) existe, de telle sorte que ω c = f(κ c ) et dω = f dκ, mais on n a pas besoin de la connaître explicitement. En utilisant alors le spectre de Kolmogorov en nombre d onde E(κ) = C K ε 2/3 κ 5/3 on obtient comme dans le cas spatial où β 0 = 2/(3C κ ). r = 1 β 0 ( κ c k 3/2 ε ) 2 3 (141) Dans un premier temps, bien qu il soit frustrant de se référer à la taille de la maille comme dans le cas spatial, c est la troisième solution qui a été choisie, car c est la plus simple à mettre en œuvre. On remarquera d ailleurs que, dans ce cas, le modèle T-PITM est très similaire au modèle PITM, à la différence près que les variables ne sont pas définies de la même manière. Comme il a été montré dans [2], un meilleur contrôle de la transition de RANS à TLES quand on s éloigne de la paroi est obtenu si on force le paramètre r à atteindre la valeur 1 (RANS) en proche paroi indépendamment de la taille des mailles, en utilisant la fonction de pondération elliptique α : r = (1 α 3 )+α 3 β 1 0 ( κ c k 3/2 ε ) 2 3 (142) Cependant, cette relation ne donne que le rapport énergie modélisée/énergie totale que l utilisateur veut obtenir : une des difficultés majeures rencontrées est alors que le rapport r observé durant la simulation peut être très différent, et en particulier, en écoulement de canal, l énergie résolue à une tendance à être fortement sous-estimée, voire complètement nulle (solution stationnaire). Pour résoudre ce problème, nous avons développé une correction dynamique pour le coefficient variable C ε 2 qui apparaît dans l équation de la dissipation (138). Le rapport

98 90 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE r observé (noté r o ) est calculé au cours de la simulation et comparé au rapport cible (noté r c ). Le coefficient C ε 2 = C ε1 +r c (C ε2 C ε1 ) dans l équation de la dissipation est alors remplacé par C ε 2 + δc ε 2, de manière à forcer r o à tendre vers r c. La correction δc ε 2 à apporter est évaluée à partir d une méthode de perturbation qui sera présenté à la section 3.5.2, qui montre qu une variation infinitésimale δc ε2 du coefficient conduit à une variation δk m du niveau d énergie modélisé satisfaisant une relation de la forme δc ε2 = A δk m k m +B (143) où A et B dépendent de la fréquence de coupure. En pratique, pour la correction dynamique, la relation simplifiée δc ε2 = C δk m k m (144) est suffisante, avec un coefficient C constant. Pour atteindre le rapport cible r c, la variation d énergie modélisée à obtenir est ( ) δr o r c δk m = k m r = k o m r 1 o (145) de telle sorte que la relation suivante est obtenue : ( ) r δcε c 2 = C r 1 o (146) qui fourni l estimation de la correction dynamique à appliquer. On remarquera que cette correction disparaît lorsque que r o s approche de r c, et est donc surtout active dans les périodes transitoires de la simulation Validation en canal Un écoulement de canal à Re τ = 395 est simulé à l aide du code Saturne. Les calculs sont réalisés dans un domaine de L + x L + y L + z = en unités de paroi. Le maillage de référence, noté M 0, contient cellules. Pour évaluer la capacité du modèle à tendre correctement vers le mode RANS lorsqu on déraffine le maillage et vers le mode TLES lorsqu on le raffine, le maillage de référence a été respectivement déraffiné d un facteur 2 (maillage M ) et raffiné d un facteur 1.5 (maillage M + ) dans les directions longitudinale (x) et transverse (z). La figure 40 montre les profils des contributions du mouvement modélisé et résolu à la tension de cisaillement, en comparaison avec les données de DNS [115]. On peut voir

99 3.4 Modélisation hybride continue : T-PITM τ DNS M M 0 M y y + y + Figure 40 Canal à Re τ = 395. Profils de tension de cisaillement. À gauche : contribution des échelles de sous-filtre; Au centre : contribution des échelles résolues; À droite : Total DNS M M 0 M k y y + y + Figure 41 Même figure que 40 pour l énergie turbulente. que la méthode permet en effet le contrôle des contributions respectives en fonction de la région de l écoulement et en fonction du maillage. La relation (142) impose un comportement RANS en proche paroi, indépendamment du maillage. Le calcul transitionne continûment vers une TLES en s éloignant de la paroi. De plus, la figure 41 montre une propriété remarquable du modèle: quand le maillage est raffiné ou déraffiné, la partition d énergie est radicalement modifiée, mais le total reste presque constant. Contrairement au cas de la tension de cisaillement, rien dans le calcul ne force le niveau total d énergie turbulente à satisfaire cette propriété. La figure 39 montre une autre propriété importante du modèle : le profil de vitesse moyenne reste acceptable, même en utilisant des maillages beaucoup trop grossier pour réaliser une LES standard. Quand le maillage est raffiné, bien que les poids relatifs des contributions résolues et modélisées soient drastiquement modifiés, le profil de vitesse obtenu montre une sensibilité très modérée au maillage, la variation du débit étant inférieure à 0,5%. Ces résultats sont très encourageants et permettent d envisager l application de ce modèleàdescaspluscomplexe.uneétudeestencours,encollaborationavecch.friess, en poste ATER à l ENSMA, sur le cas classiquement utilisé en hybride RANS/LES de

100 92 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE la colline périodique [295], qui va être présenté ci-dessous dans le cadre de l étude de l équivalence entre le T-PITM et la DES. 3.5 Équivalence entre approches hybrides Comme mentionné plus haut, de nombreuses méthodes hybrides RANS/LES sont disponibles, qui diffèrent essentiellement par la manière de contrôler la transition de RANS à LES. Bien sûr, chaque méthode est utilisée avec un modèle particulier pour les tensions de sous-filtre en région LES et pour les tensions de Reynolds en région RANS, mais, en général, il est possible, pour une méthode particulière, de changer ces modèles. Il est donc important de distinguer les différents ingrédients d un modèle particulier : l approche hybride (méthode de contrôle de la transition RANS/LES) et les modèles des tensions non-résolues (tensions de Reynolds ou tensions de sous-filtre suivant les régions). Toutes les approches hybrides ont un objectif commun : contrôler le niveau de tensions dans l équation de quantité de mouvement pour assurer une transition de RANS à LES dans certaines régions. Souvent, un modèle de type RANS est modifié de manière à se comporter comme un modèle LES, par une réduction de la viscosité turbulente ou de l échelle de longueur. Il peut s agir d une modification de l équation de transport de la viscosité turbulente pour des modèles à une équation, comme dans le cas de la DES originale [228, 296], ou de la SAS [292]. En OES [297, 298], XLES [299], dans l approche de Fan et al. [300] ou celle de Perot et Gadebusch [293], c est la relation de Boussinesq qui est directement modifiée, soit en redéfinissant le coefficient C µ, soit en réalisant une pondération entre les relations RANS et LES. En LNS [301] et en FSM [237], suivant la proposition originale de Speziale [226] (VLES), les tensions dans l équation de la quantité de mouvement sont celles données par un modèle RANS, multipliées par un facteur d amortissement. On peut alors se demander si la manière de contrôler la transition RANS/LES a réellement une influence sur les résultats, ou si l ingrédient essentiel sont les modèles pour les tensions non-résolues. Par exemple Kubacki et Dick [302] ont montré que trois approches différentes, utilisées avec les mêmes modèles des tensions non-résolues en régions RANS et LES, donnaient des résultats très proches dans le cas d un jet impactant. Nous avons alors choisi de réaliser une étude similaire de comparaison entre le T-PITM et la DES. Nous verrons à la section qu il est possible d établir une équivalence entre ces méthodes en utilisant une approche analytique, mais dans un

101 3.5 Équivalence entre approches hybrides 93 premier temps, dans le cadre du post-doc de Y. Bentaleb [34], nous avons comparé les résultats du T-PITM et de la DES sur le cas de la colline périodique [295] Comparaison T-PITM/DES Le T-PITM présenté plus haut utilisait comme modèle des tensions de sous-filtre un modèle au second ordre, mais on peut facilement utiliser un modèle à viscosité turbulente, de manière à comparer, à modèle égal, l approche T-PITM et l approche DES,danssaversionk ω [303].DanscetteversiondelaDES,lemodèleRANSk ω-sst est modifié, en introduisant le facteur F DES dans le terme de dissipation de l énergie turbulente [ ] Lt F DES = max C des (1 F 2),1, L t = dans lequel est lié à la taille des mailles. k C µ ω (147) En ce qui concerne le T-PITM, il est immédiat d écrire une version basée sur le modèle k ε, en rendant variable, comme à la section 3.4.4, le coefficient C ε2, qui est alors dépendant du rapport r, selon l équation (138). C est d ailleurs en utilisant ce modèle que le PITM est d abord apparu [235]. Pour exprimer le modèle sous forme d équations pour k et ω = ε/k, il suffit, comme pour établir son équivalent RANS [303], de réaliser un changement de variables dans les équations. Il est facile de montrer que la transition RANS/LES est alors contrôlée non plus par un coefficient C ε2 variable dans l équation de ε, mais par un coefficient β variable dans l équation de ω, fonction du rapport r = k m /k : Dω Dt = γs 2 [C µ γ +r(β C µ γ)] } {{ } + [ (ν +σ ω ν t ) ω x j x j β ] +2(1 F 1 ) σ ω 2 k ω ω x j x j ω 2 (148) De manière similaire au cas du T-PITM basé sur une adaptation de l EB-RSM, le mode RANS est imposé en proche paroi indépendamment de la taille de maille, en utilisant ici la fonction F 2 du modèle k ω-sst, et la correction dynamique est également appliquée, ce qui conduit finalement à l expression ( ) r β = C µ γ +[F 2 +(1 F 2 )r c c ] (β C µ γ)+c r 1 o Cette étude a montré que, contrairement à ce qui est souvent affirmé dans la littérature [296], les résultats obtenus en DES, comme en T-PITM, sont très sensibles

102 94 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE 3 y/h TPITM-02 TPITM-04 DES-04 LES y/h Figure 42 Colline4U/U périodique b +x/h : profils de vitesse moyennes (gauche) r+x/het rapport r énergie modélisée/énergie totale (droite). Approches T-PITM (β 0 = 0,4 et β 0 = 0,2) et DES (C des = 0,4), comparés à la LES fine de référence [295]. à la valeur du coefficient qui détermine la rapidité de la transition RANS/LES quand le maillage est raffiné (C des pour la DES, β 0 pour le T-PITM). Une des caractéristiques observées avec la DES est un passage assez rapide dans un mode pseudo-dns, comme on peut observer au centre du canal sur la figure 42 (droite), où le rapport r est proche de zéro. Lorsqu on diminue le coefficient C des, ce comportement se généralise à une grande partie de l écoulement, et, bien que les statistiques globales soient très satisfaisantes (vitesses moyenne et énergie turbulente notamment), on observe des structures tourbillonnaires qui n ont absolument rien de physique. Pour des valeurs optimales de ces coefficients (C des = 0,4 et β 0 = 0,4), on peut voir sur la figure 42 (droite) que, dans les zones proches des parois, les rapports énergie modélisée/énergie totale obtenues avec les deux approches sont similaires, et que les champs de vitesse sont proches, ce qui tend à confirmer les résultats de Kubacki et Dick [302] montrant que lorsque les modèles pour les tensions non-résolues sont identiques, les différentes approches hybrides donnent des résultats très proches. Il est cependant important, comme le montre la comparaison entre la DES et le T-PITM avec β 0 = 0,2 sur la figure 42, que la partition d énergie entre mouvement résolu et mouvement modélisé soit à peu près identique, au moins dans certaines régions cruciales de l écoulement. Nous verrons d ailleurs à la section suivante (3.5.2) que cette remarque conduit à la notion d équivalence entre les approches. Comme mentionné plus haut, des travaux sont en cours pour appliquer le T-PITM avec modèle au second ordre, ce qui permettra cette fois-ci d évaluer, pour une même approche hybride, l influence du modèle pour les tensions de sous-filtre.

103 3.5 Équivalence entre approches hybrides Développement de critères d équivalence De manière un peu provocatrice, on peut avancer que seul le formalisme temporel étant applicable dans la plupart des cas pratiques qui sont statistiquement inhomogènes et stationnaires (cf. section 3.4.1), toutes les approches hybrides ne peuvent qu être des approches hybrides RANS/TLES. Cette remarque s applique également à l URANS, en notant de plus que le modèle RANS est retrouvé en T-PITM lorsqu on fait tendre la largeur du filtre vers l échelle intégrale, 14 avec le terme de dérivée temporelle dans les équations : on peut donc interpréter, dans toute situation statistiquement stationnaire, l URANS comme une approche hybride RANS/TLES dont le filtre ne laisse passer que les tourbillons de la taille de l échelle intégrale. De plus, les résultats de la section précédente montrent que, à modèle identique pour les tensions non-résolues, les résultats donnés par le T-PITM et la DES sont très proches. On peut alors penser que la méthode utilisée pour piloter la partition d énergie entre mouvement résolu et mouvement non-résolu importe peu, et que si deux approches donnent à peu près la même partition, elles donneront à peu près les mêmes résultats. Dans cette section, qui résume l article [38] reproduit page 221, nous allons étayer ces idées en tentant d établir des critères d équivalence entre les approches, dans le cas particulier de la DES et du T-PITM. Pour cela, considérons le système d équations obtenu pour l énergie modélisée moyenne k m et la dissipation ε dans le cas de l approche T-PITM à la section : dk m dt dε dt = P m ε D m ε = C ε1 k P m Cε2 ε 2 k D ε (149) où le coefficient C ε2 est variable, sensible à la partition d énergie via le rapport r. D m et D ε représentent respectivement les termes de diffusion de k m et de ε. L équivalent de ce système dans le cas de l approche DES est : dk m dt dε dt = P m ψε D m = C ε1 ε k P m C ε2 ε 2 k D ε (150) 14. On atteint exactement les équations URANS pour r = 1, c est-à-dire une largeur de filtre égale à πβ 3/2 0 0,93 fois l échelle intégrale.

104 96 3 MODÉLISATION INSTATIONNAIRE DE LA TURBULENCE où la transition RANS/LES est pilotée par le facteur ( ) ψ = max 1; k3/2 m /ε C des (151) Danscertainscas,parexempleceuxoùk m etεsontenéquilibrelelongd unelignede courant (dk m /dt = dε/dt = 0), ce qui est par exemple exact dans le cas d écoulements complètement développés dans des conduites rectilignes, on peut montrer qu on obtient la même variation infinitésimale d énergie modélisée δk m en faisant varier le coefficient C ε2 d un montant δc ε2 et le coefficient ψ d un montant δψ, si la relation suivante est satisfaite : δcε2 = C ε2δψ (152) Cε2 C ε1 C ε2 C ε1 ψ Si on définit l équivalence entre deux approches par l obtention d une même partition d énergie, on peut alors remarquer que si les deux approches sont équivalentes pour des valeurs données de C ε2 et de ψ, alors elles restent équivalentes pour C ε2 +δc ε2 et ψ + δψ, à condition que la relation (152) soit satisfaite. 15 Ainsi, les deux approches restent équivalentes si, à partir d un état où elle sont équivalentes, on modifie progressivement la partition d énergie par variations infinitésimales successives des coefficients en respectant (152). Or, un tel état d équivalence existe : la limite RANS. En effet, lorsque C ε2 = C ε2 pour le T-PITM et ψ = 1 pour la DES, les deux systèmes d équations sont identiques. En intégrant (152) entre l état RANS et un état arbitraire C ε2 C ε2 1 x C ε1 dx = ψ 1 C ε2 C ε2 C ε1 y dy et en utilisant la définition de Cε2 donnée par l équation (138), on montre que si ( ) Cε2 ψ = 1+ 1 (1 r C ε1/c ε2 ) (153) C ε1 la DES est équivalente au T-PITM. On voit donc qu une approche très proche de la DES (version à deux équations de transport [303]), équivalente au T-PITM, au sens de l obtention de la même partition d énergie, peut être écrit en remplaçant dans la DES l échelle de longueur C des utilisée dans (151) par L = r3/2 ψ(r) L int (154) 15. On suppose ici que les approches sont auto-consistantes, tel que défini dans l article [38], c està-dire que l énergie turbulente totale est conservée quand on modifie la partition d énergie.

105 3.5 Équivalence entre approches hybrides 97 L/Lint 1 0,8 0,6 0,4 L = C des Eq. (154) k DNS T-PITM k m k r k DES équivalente k m k r k 0, ,5 1 / max y + échelles de longueur de la DES classique et de la DES équivalente. Figure 43 Comparaison dans un canal des Figure 44 Écoulement en canal : profils d énergie turbulente (modélisée k m, résolue k r et totale k). où L int désigne l échelle intégrale k 3/2 /ε. Dans cette approche, que nous désignerons ici par DES équivalente, on voit que l échelle de longueur n est plus directement reliée à la taille des mailles, mais au rapport r de l énergie modélisée sur l énergie totale. On peut alors dire que la DES équivalente est une approche empirique permettant, comme le T-PITM, d obtenir la partition d énergie liée à l application d un filtre temporel dans les équations. De plus, en introduisant l évaluation analytique (141) pour le rapport r, avec κ c = π/, dans l échelle de longueur (154), on peut voir que pour passer de la DES classique à la DES équivalente, il suffit de remplacer le coefficient constant C des par la fonction f des = 1 β 3/2 0 πψ(r) (155) Si on calibre les coefficients C des et β 0 de manière à ce que l échelle de longueur L du modèle atteigne l échelle intégrale pour la même valeur de la taille de maille max, on peut voir sur la figure 43 que la DES classique est simplement une approximation linéaire de la DES équivalente. La comparaison entre le T-PITM et la DES équivalente dans le même écoulement de canal que celui utilisé à la section 3.4.5, en utilisant le maillage de référence M 0, montre effectivement une très grande similitude entre les résultats. Sur la figure 44, on peut par exemple voir que la partition d énergie est quasiment la même, quelle que soit la position dans le canal, ce qui valide l analyse ci-dessus établissant l équivalence entre les deux approches.

106 98 4 PERSPECTIVES 4 Perspectives 4.1 Modélisation statistique Dans le cadre de la modélisation statistique de la turbulence (RANS), même si le sujet semble être moins à la mode que par le passé, de nombreuses piste d amélioration sont encore à envisager, car les modèles utilisés aujourd hui dans l industrie sont encore souvent trop simples pour représenter la véritable physique en jeu dans les systèmes complexes. Un des points les plus évidents pour promouvoir l utilisation de modèles élaborés dans l industrie, je pense ici en particulier au modèle EB-RSM longuement évoqué dans la partie 2, est de travailler, en commun avec les industriels, à l industrialisation du modèle et à sa diffusion dans les codes de calculs. Il s agit ici donc de l étape finale du travail sur ce modèle, qui est le transfert de technologie vers l industrie. Une partie de ce transfertadéjàlieudanslecadredelathèsecifreedfdef.dehoux,quivaconduire à l intégration du modèle, avec son volet thermique, dans les versions officielles du code Saturne. On peut aussi penser à l élaboration de stratégies permettant l adaptation du modèle à tout maillage de la zone de proche paroi : en effet, une des limitations pour l industrie de l utilisation de modèles de proche paroi est la nécessité de mailler suffisamment finement cette zone dans tout l écoulement. Il est nécessaire de travailler à une adaptation progressive du modèle à une transition d un maillage fin dans les zones cruciales à un maillage grossier dans les autres zones, le modèle dégénérant alors vers un modèle classique à lois de parois [304, 305]. De plus, dans le domaine de la prise en compte de l interaction de la turbulence avec des phénomènes physiques complexes (convection mixte, forces électromagnétiques, diphasique, combustion, etc.), la modélisation statistique est loin d avoir atteint la maturité. Les problèmes de refroidissement de parois, que ce soit en convection forcée (par ex., refroidissement des aubes de turbine) ou en convection mixte et naturelle (par ex., stockage des déchets nucléaires) sont un champ d application naturel des modèles à relaxation ou pondération elliptique. Mais un des points les plus important qui reste mal maîtrisé aujourd hui est la modélisation de la turbulence fortement hors-équilibre, notamment en situation instationnaire. En effet, il semble aujourd hui s établir dans la pratique industrielle, au moins dans le secteur recherche/développement, que le passage à la LES, au moins dans certaines zones, est indispensable pour représenter la réponse d un système à une

107 4.2 Modélisation hybride RANS LES 99 sollicitation instationnaire. Cependant, les modèles statistiques n ont, semble-t-il, pas dit leur dernier mot, et la modélisation multi-échelles [270, 272, 273, 274] est une voie qui reste largement à explorer. Notamment, une meilleure connaissance de leur champ d application et de leurs limitations permettrait d optimiser les coûts de simulation des systèmes industriels complexes, en ne basculant en mode LES que dans les cas qui le nécessitent vraiment. 4.2 Modélisation hybride RANS LES Les avancées en modélisation hybride sont très encourageantes, notamment en ce qui concerne l amélioration du cadre formel et l obtention des modèles correspondants, basés sur le filtrage temporel. Cependant, il reste une très grande marge d amélioration des modèles continus, qui nécessite un travail très conséquent, qui pourrait s avérer presque aussi conséquent que celui qui a été mené dans la communauté depuis plus de trente ans en modélisation RANS. En effet, l utilisation de modèles formellement identiques aux modèles RANS pour fermer les équations de transport des tensions de sous-maille est une hypothèse forte. Une étude du comportement des différents termes de ces équations et de la manière de les modéliser est nécessaire, à partir de données de simulations directes ou LES dont devront être extraits des bilans filtrés, par application d un filtre temporel ou spatial. Ce vaste chantier n a pour l instant jamais été entrepris à notre connaissance et devrait déboucher sur de nombreuses pistes d amélioration (ou de refonte complète) des modèles. De plus, de manière similaire aux méthodes statistiques, les méthodes hybrides doivent pouvoir prendre en compte l influence sur la turbulence de phénomènes physiques complexes, à commencer par les effets de rotation et de flottabilité. Par exemple, en convection naturelle, les travaux réalisés en RANS, URANS et LES (par exemple, [35, 306, 199, 307, 308, 309, 310]) tendent à montrer qu on peut espérer combiner ces approches pour construire une méthode hybride continue capable de représenter les effets de la flottabilité sur la turbulence aussi bien dans les régions RANS que dans les régions LES. On pourra s appuyer pour ces développements sur les bases de données expérimentales et numérique disponibles à haut Rayleigh [308, 311, 220, 221]. Le dernier point exposé dans la partie 3, l équivalence en DES et T-PITM, ouvre également des perspectives très intéressantes. En comparaison au T-PITM, qui nécessite, comme le PITM, une approche dynamique qui complique un peu la formulation, la DES est très simple d utilisation (ce qui d ailleurs est une des raisons majeures de son

108 100 4 PERSPECTIVES succès). Dès lors, la possibilité de mettre en œuvre une DES équivalente au T-PITM, entièrement basée sur un filtre temporel, et basée sur un modèle à équations de transport des tensions de sous-filtre, mérite une attention particulière. En DES classique, le terme de dissipation de l équation de l énergie cinétique turbulente est modifié de manière à tendre, dans la zone LES, vers ε DES = k3/2 sfs L (156) où L représente la taille du filtre spatial, calculé à partir de la taille des mailles locales. La DES équivalente testée jusqu à présent, pour rester le plus proche possible du T- PITM, était basée également sur la taille des mailles, en utilisant l hypothèse d une relation de dispersion permettant de relier la largeur du filtre temporel à la largeur du filtre spatial implicitement induit. Cependant, il semble très attractif de construire une approche entièrement basée sur des échelles temporelles, en écrivant tout simplement la dissipation sous la forme où T est la largeur temporelle du filtre. ε DES = k1/2 sfs T (157) Un autre point crucial pour les approches hybrides, zonales ou continues, est l enrichissement de la solution RANS par des fluctuations aussi physiques que possible au moment du passage de RANS à LES. Une méthode comme le forçage linéaire anisotrope présenté à la section paraît très encourageante, par son efficacité, sa généralité et sa simplicité de mise en œuvre. Or, dans les approches continues, Germano a montré [290] un lien direct entre les effets de zones grises, c est-à-dire le déficit de tensions turbulentes au moment du passage de RANS à LES, et la non-commutativité du filtre. Dans le cadre temporel que nous avons établi pour ces approches, on peut alors imaginer évaluer l erreur de commutativité due à la variation de la largeur de filtre. On pourrait alors introduire un enrichissement local qui viendrait compenser de manière contrôlée le déficit de tensions turbulentes, par exemple grâce à un forçage volumique. Enfin, il est à noter que, dans l état actuel des méthodes hybrides disponibles, l intervention de l utilisateur est encore très largement nécessaire pour déterminer les zones enmoderansetleszonesenmodeles,neserait-cequeparlorsdelaconstructiondu maillage. À moyen terme, il sera nécessaire de développer des méthodes suffisamment auto-adaptatives pour se passer de cette prédétermination, le code devant être capable de décider à quel endroit changer de modèle, raffiner le maillage et également changer de méthode numérique. Pour cela, un travail important est nécessaire pour déterminer des critères de choix, similaires aux évaluations d erreur utilisées en raffinement automa-

109 4.2 Modélisation hybride RANS LES 101 tique de maillage, mais basés sur la physique des écoulements. Par exemple, la détection d un cisaillement brutal, tel que la turbulence sera trop éloignée de l équilibre pour être représentée à l aide d un modèle RANS, devra provoquer le passage en LES, le raffinement du maillage et l adaptation de la méthode numérique. Arriver à un tel degré d intelligence des méthodes nécessite une connaissance approfondie des phénomènes physiques et des limites des différentes approches.

110 102 5 LISTE COMPLÈTE DES PUBLICATIONS 5 Liste complète des publications Revues à comité de lecture [1] F. Dehoux, Y. Lecocq, S. Benhamadouche, R. Manceau, and L.-E. Brizzi. Algebraic modeling of the turbulent heat fluxes using the elliptic blending approach. Application to forced and mixed convection regimes. Flow Turbul. Combust., Sous presse. [2] A. Fadai-Ghotbi, Ch. Friess, R. Manceau, and J. Borée. A seamless hybrid RANS LES model based on transport equations for the subgrid stresses and elliptic blending. Phys. Fluids, 22(055104), [3] A. Fadai-Ghotbi, Ch. Friess, R. Manceau, T.B. Gatski, and J. Borée. Temporal filtering: a consistent formalism for seamless hybrid RANS-LES modeling in inhomogeneous turbulence. Int. J. Heat Fluid Fl., 31(3), [4] A. Fadai-Ghotbi, R. Manceau, and J. Borée. Revisiting URANS computations of the backward-facing step flow using second moment closures. Influence of the numerics. Flow Turbul. Combust., 81(3): , [5] L. Perret, J. Delville, R. Manceau, and J.-P. Bonnet. Turbulent inflow conditions for large-eddy simulation based on low-order empirical model. Phys. Fluids, 20(7):1 17, [6] T. B. Gatski, C. L. Rumsey, and R. Manceau. Current trends in modeling research for turbulent aerodynamic flows. Phil. Trans. R. Soc. A, 365(1859): , [7] S. Carpy and R. Manceau. Turbulence modelling of statistically periodic flows: synthetic jet into quiescent air. Int. J. Heat Fluid Fl., 27: , [8] L. Perret, J. Delville, R. Manceau, and J.-P. Bonnet. Generation of turbulent inflow conditions for LES from stereoscopic PIV measurements. Int. J. Heat Fluid Fl., 27(4): , [9] L. Thielen, K. Hanjalić, H. Jonker, and R. Manceau. Predictions of flow and heat transfer in multiple impinging jets with an elliptic-blending second-moment closure. Int. J. Heat Mass Tran., 48(8): , [10] R. Manceau, J. R. Carlson, and T. B. Gatski. A rescaled elliptic relaxation approach: neutralizing the effect on the log layer. Phys. Fluids, 14(11): , [11] R. Manceau and K. Hanjalić. Elliptic blending model: A new near-wall Reynoldsstress turbulence closure. Phys. Fluids, 14(2): , 2002.

111 103 [12] R. Manceau, M. Wang, and D. Laurence. Inhomogeneity and anisotropy effects on the redistribution term in Reynolds-averaged Navier Stokes modelling. J. Fluid Mech., 438: , [13] D. Picart, R. Manceau, and J.-P. Fauré. A penetroviscosimeter for Newtonian and visco-plastic fluids. Instrum. Sci. Technol., 29(3): , [14] L. Ukeiley, L. Cordier, R. Manceau, J. Delville, M. Glauser, and J.-P. Bonnet. Examination of the large-scale structures in a turbulent mixing layer. Part 2: Dynamical systems model. J. Fluid Mech., 441:67 108, [15] R. Manceau and K. Hanjalić. A new form of the elliptic relaxation equation to account for wall effects in RANS modelling. Phys. Fluids, 12(9): , [16] R. Manceau, S. Parneix, and D. Laurence. Turbulent heat transfer predictions using the v 2 f model on unstructuredmeshes. Int. J. Heat Fluid Fl., 21(3): , [17] D. Picart, R. Manceau, and J.-P Fauré. Characterization of paste extrudable explosives using a penetration test. Propellants, explosives, pyrotechnics, 24: , [18] L. Cordier, R. Manceau, J. Delville, and J.-P. Bonnet. Sur la relation entre la théorie de la stabilité linéaire et la décomposition orthogonale aux valeurs propres : cas de la couche de mélange plane turbulente. C. R. Acad. Sci. Paris, 324(IIb): , Conférences invitées [19] R. Manceau. Hybrid temporal LES for the simulation of turbulent flows (keynote lecture). In Proc. Int. Conf. Advanced Computing and Applications, Ho Chi Minh City, Vietnam, [20] R. Manceau, Ch. Friess, and T.B. Gatski. Toward a hybrid temporal LES method. In Proc. 6th AIAA Theor. Fluid Mech. Conf., Honolulu, Hawaii, USA, [21] R. Manceau, T.B. Gatski, and Ch. Friess. Recent progress in hybrid temporal- LES/RANS modeling. In Proc. 5th European Conference on Computational Fluid Dynamics, ECCOMAS CFD 2010, Lisbon, Portugal, [22] A. Fadai-Ghotbi, Ch. Friess, R. Manceau, T. Gatski, and J. Borée. A hybrid RANS LES model based on temporal filtering. In S.-H. Peng, editor, Advances in Hybrid RANS LES Modelling. Proc. 3rd Hybrid RANS/LES Symposium. Springer,

112 104 5 LISTE COMPLÈTE DES PUBLICATIONS Papers Contributed to the 2009 Symposium of Hybrid RANS LES Methods, Gdansk, Poland. [23] A. Fadai-Ghotbi, Ch. Friess, R. Manceau, T. Gatski, and J. Borée. T-PITM: a consistent formulation for seamless RANS/TLES coupling. In ERCOFTAC Workshop LESTAC 09: Large Eddy Simulation in Turbulence, Aeroacoustic and Combustion, [24] R. Manceau. Turbulent jet impinging onto a rotating disk: analysis of the RANS results. In Proc. 13th ERCOFTAC (SIG-15)/IAHR Workshop on Refined Turbulence Modelling. TU Graz, Austria, [25] S. Carpy, A. Fadai-Ghotbi, R. Manceau, T. B. Gatski, and J. Borée. A seamless hybrid RANS LES model based on transport equations for the subgrid stresses. In 2nd GACM Colloquium on Computational Mechanics, Munich, [26] J. Delville, L. Perret, J.-P. Bonnet, and R. Manceau. Turbulent mixing layers: a test case for coupling experiments, theory and unsteady computations. AIAA paper , Miami, FL, USA, june [27] R. Manceau, S. Carpy, A. Fadai-Ghotbi, and J. Borée. La simulation instationnaire pour les applications industrielles : vers une voie entre RANS et LES. Journées AUM/AFM, La Rochelle, [28] R. Manceau and S. Carpy. Using Star-CD for turbulence modelling research. In Proc. of the STAR-CD and STAR CCM 12th European User Conference, London, UK, [29] R. Manceau. Contra-rotating jets (wake/mixing layer interaction) : analysis of the results. In R. Manceau, J.-P. Bonnet, M. A. Leschziner, and F. Menter, editors, Proc. 10th ERCOFTAC (SIG-15)/IAHR/QNET-CFD Workshop on Refined Turbulence Modelling. Laboratoire d études aérodynamiques, UMR CNRS 6609, Université de Poitiers, France, [30] R. Manceau. Reproducing the blocking effect of the wall in one-point turbulence models. In Proc. European Congress Comput. Meth. Appl. Sciences and Engng., Barcelona, Spain, pages 1 20, Livres et ouvrages [31] R. Manceau, J.-P. Bonnet, M. A. Leschziner, and F. Menter, editors. Proc. 10th ERCOFTAC (SIG-15)/IAHR/QNET-CFD Workshop on Refined Turbulence Mod-

113 105 elling. Laboratoire d études aérodynamiques, UMR CNRS 6609, Université de Poitiers, France, Chapitres d ouvrages [32] A. G. Oceni, R. Manceau, and T. Gatski. Introduction of wall effects in explicit algebraic stress models through elliptic blending. In M. Stanislas, J. Jimenez, and I. Marusic, editors, Progress in wall turbulence: Understanding and Modelling. Springer, [33] S. Jakirlić, R. Manceau, S. Sarić, A. Fadai-Ghotbi, B. Kniesner, S. Carpy, G. Kadavelil, C. Friess, C. Tropea, and J. Borée. Numerical Simulation of Turbulent Flows and Noise Generation, chapter LES, Zonal and Seamless Hybrid LES/RANS: Rationale and Application to Free and Wall-Bounded Flows involving Separation and Swirl, pages Notes on Numerical Fluid Mechanics and Multidisciplinary Design. Springer, Proceedings à comité de lecture [34] Y. Bentaleb and R. Manceau. A hybrid temporal LES/RANS formulation based on a two-equation subfilter model. In Proc. 7th Int. Symp. Turb. Shear Flow Phenomena, Ottawa, Canada, [35] F. Dehoux, S. Benhamadouche, and R. Manceau. Modelling buoyancy production in the dissipation equation for natural convection regimes. In Proc. 7th Int. Symp. Turb. Shear Flow Phenomena, Ottawa, Canada, [36] B. de Laage de Meux, B. Audebert, and R. Manceau. Modelling rotating turbulence in hydraulic pumps. In Proc. 9th European Conference on Turbomachinery, Fluid Dynamics and Thermodynamics (ETC 9), Istanbul, Turkey, March [37] F. Dehoux, S. Benhamadouche, and R. Manceau. Modeling of the turbulent heat fluxes using elliptic blending. In Proc. 8th ERCOFTAC Int. Symp. on Eng. Turb. Modelling and Measurements, Marseille, France, [38] R. Manceau, Ch. Friess, and T.B. Gatski. Of the interpretation of DES as a hybrid RANS/Temporal LES method. In Proc. 8th ERCOFTAC Int. Symp. on Eng. Turb. Modelling and Measurements, Marseille, France, [39] T.T. Tran, R. Perrin, R. Manceau, and J. Borée. Simulation and analysis of the flow over a thick plate at high Reynolds number. In Proc. 8th ERCOFTAC Int.

114 106 5 LISTE COMPLÈTE DES PUBLICATIONS Symp. on Eng. Turb. Modelling and Measurements, Marseille, France, [40] A. Fadai-Ghotbi, Ch. Friess, R. Manceau, T. Gatski, and J. Borée. Toward a consistent formalism for seamless hybrid RANS LES modelling in inhomogeneous turbulence based on temporal filtering. In Proc. 6th Int. Symp. Turb. Shear Flow Phenomena, Seoul, Korea, [41] R. Manceau, R. Perrin, M. Hadžiabdić, P. Fourment, and S. Benhamadouche. Turbulent jet impinging onto a rotating disc: A collaborative evaluation of RANS models. In Proc. 6th Int. Symp. Turbulence, Heat and Mass Transfer, Roma, Italy, [42] Y. Lecocq, S. Bournaud, R. Manceau, B. Duret, and L. Brizzi. U-RANS simulation of mixed-convection around a finite wall-mounted heated cylinder cooled by cross-flow. In Symposium on Transport Phenomena in Energy Conversion from Clean and Sustainable Resources, ASME Fluids Engng Division Summer Conference, FEDSM , pages 1 11, [43] Y. Lecocq, R. Manceau, S. Bournaud, and L.-E. Brizzi. Modelling of the turbulent heat fluxes in natural, forced and mixed convection regimes. In Proc. 7th ERCOF- TAC Int. Symp. on Eng. Turb. Modelling and Measurements, Limassol, Cyprus, [44] A. G. Oceni, R. Manceau, and T. B. Gatski. A hierachy of explicit algebraic models for wall-bounded flows. In Proc. 7th ERCOFTAC Int. Symp. on Eng. Turb. Modelling and Measurements, Limassol, Cyprus, [45] A. Fadai-Ghotbi, R. Manceau, and J. Borée. A seamless hybrid RANS/LES model based on transport equations for the subgrid stresses and elliptic blending. In Proc. 5th Int. Symp. Turb. Shear Flow Phenomena, Munich, Germany, [46] A. Fadai-Ghotbi, R. Manceau, and J. Borée. Revisiting URANS computations of the flow behind a backward-facing step using second moment closures. In Proc. Fourth International Conference on Computational Fluid Dynamics, Ghent, Belgium, [47] S. Carpy and R. Manceau. Turbulence modelling of statistically periodic flows: The case of the synthetic jet. In Proc. 6th ERCOFTAC Int. Symp. on Eng. Turb. Modelling and Measurements, Sardinia, Italy, [48] R. Manceau. An improved version of the Elliptic Blending Model. Application to non-rotating and rotating channel flows. In Proc. 4th Int. Symp. Turb. Shear Flow Phenomena, Williamsburg, VA, USA, 2005.

115 107 [49] L. Perret, J. Delville, R. Manceau, and J.-P. Bonnet. Generation of turbulent inflow conditions for large eddy simulation from stereoscopic PIV measurements. In Proc. 4th Intl Symp. Turb. Shear Flow Phenomena, Williamsburg, Virginia, USA, [50] L. Perret, J. Delville, R. Manceau, and J.-P. Bonnet. Interfacing stereoscopic PIV measurements to large eddy simulation via low order dynamical system. In ERCOF- TAC Worskhop-Direct and Large-Eddy Simulation-6, Poitiers-Futuroscope, France, [51] L.Tarrade, R. Manceau,A. Texier, L.David, and M.Larinier. Étudenumériquedes écoulements hydrodynamiques turbulents dans une passe à poisson. In 17 e Congrès Français de Mécanique, Troyes, [52] L. Thielen, K. Hanjalić, H. Jonker, and R. Manceau. Predictions of flow and heat transfer in multiple-impinging jets with an Elliptic-Blending second-moment closure. In Proc. ICHMT Int. Symp. Advances in Computational Heat Transfer, Norway, April 19 24, CHT , [53] R. Manceau. Computation of the flow around a simplified car using the rescaled v 2 f model. In Proc. Symp. Separated and Complex Flows VI, ASME 2003 Fluids Engineering Summer Meeting, Honolulu, Hawaii, [54] R. Manceau. Accounting for wall-induced Reynolds stress anisotropy in explicit algebraic stress models. In Proc. 3rd Symp. Turb. Shear Flow Phenomena, Sendai, Japan, [55] R. Manceau, S. Carpy, and D. Alfano. A rescaled v 2 f model: first application to separated and impinging flows. In W. Rodi and N. Fueyo, editors, Proc. 5th Int. Symp. Engng. Turb. Modelling and Measurements, Mallorca, Spain. Elsevier, [56] L. Thielen, K. Hanjalić, R. Manceau, and H. Jonker. Turbulence modelling in a single normally impinging jet. In Proc. ASME-PVP Conference, Atlanta, USA, [57] R. Manceau and S. Parneix. Computations of turbulent flows using the v 2 f model in a finite element code. In Proc. Fourth Intl Symp. on Engng. Turbulence Modelling and Measurements, Ajaccio, Corsica, France, pages , [58] R. Manceau, M. Wang, and D. Laurence. Assessment of inhomogeneity effects on the pressure term using DNS database: implication for RANS models. In Proc. First Intl Symp. Turb. Shear Flow Phenomena, Santa Barbara, USA, 8, pages , 1999.

116 108 5 LISTE COMPLÈTE DES PUBLICATIONS [59] R. Manceau, M. Wang, and P. Durbin. Assessment of non-local effect on pressure term in RANS modeling using a DNS database. In Proc. of the Summer Program, pages Center for Turbulence Research, Stanford University, CA, USA, [60] L. Cordier, R. Manceau, J. Delville, and J.-P. Bonnet. Structures in turbulent plane mixing layer. In Proc. 6th European Turbulence Conference, pages , [61] L. Cordier, R. Manceau, J. Delville, and J.-P. Bonnet. Étude de la couche de mélange plane turbulente incompressible à l aide d un système dynamique d ordre faible. In Actes du 32 e Colloque d Aérodynamique Appliquée de l AAAF, volume 2, pages 23 52, [62] L. Cordier, R. Manceau, J. Delville, and J.-P. Bonnet. POD et systèmes dynamiques :lecasdelacouchedemélange. InActes du congrès général de physique de la Société Française de physique, [63] L. Ukeiley, M. Glauser, L. Cordier, R. Manceau, J. Delville, and J.-P. Bonnet. A dynamical model for a plane turbulent mixing layer. In Proc. American Physical Society/DFD Meeting, Irvine, California, Communications à des congrès et symposiums [64] A. Fadai-Ghotbi, R. Manceau, and T. Gatski. Consistency and invariance issues in developing a global hybrid RANS/LES method: Temporally filtered PITM (T- PITM). 13th ERCOFTAC (SIG-15)/IAHR Workshop on Refined Turbulence Modelling, Graz, Austria, [65] R. Perrin and R. Manceau. RANS computations of a turbulent jet impinging onto a rotating disk. In Proc. 13th ERCOFTAC (SIG-15)/IAHR Workshop on Refined Turbulence Modelling. TU Graz, Austria, [66] S. Carpy and R. Manceau. URANS and seamless hybrid RANS/LES computations of a turbulent forced temporal mixing layer. In 11th European Turbulence Conference FEUP, Porto, Portugal, [67] R. Manceau. Computation of the flow over a hump model using the elliptic blending Reynolds-stress model. In Proc. 12th ERCOFTAC/IAHR Workshop on Refined Turbulence Modelling, Berlin, Germany, [68] R. Manceau. Application of the elliptic blending model to the flow over a hump model (actuator control). In Proc. 11th ERCOFTAC/IAHR Workshop on Refined

117 109 Turbulence Modelling, Goteborg, Sweden, [69] S. Carpy and R. Manceau. Synthetic jet into quiescent air. URANS simulations with eddy-viscosity and Reynolds-stress models. In Proc. NASA Langley Research Center Workshop on CFD Validation of Synthetic Jets and Turbulent Separation Control, Williamsburg, Virginia, USA, [70] R. Manceau. Turbulence modelling of an axisymmetric jet impinging on a heated flat plate: A review. In 3rd QNET-CFD Workshop, Prag, Czech Republic, [71] R. Manceau. Contra-rotating jets: wake/mixing layer interaction. In R. Manceau, J.-P. Bonnet, M. A. Leschziner, and F. Menter, editors, Proc. 10th ERCOFTAC (SIG-15)/IAHR/QNET-CFD Workshop on Refined Turbulence Modelling. Laboratoire d études aérodynamiques, UMR CNRS 6609, Université de Poitiers, France, [72] R. Manceau, J.-P. Bonnet, and P. Gilliéron. The Ahmed body test case for automotive CFD validation. Recent results from experiments and computations. In 2nd QNET-CFD Workshop, Luzern, Switzerland, [73] R. Manceau. Description of the computations of the case 9.2: Periodic flow over a 2 D hill. In S. Jakirlic, R. Jester-Zurker, and C. Tropea, editors, Proc. 9th ERCOF- TAC/IAHR/COST workshop on Refined Turbulence Modelling. Darmstadt University of Technology, Germany, [74] R. Manceau, S. Parneix, T. Goutorbe, and D. Laurence. Description of the computations of the case 7.2. In Proc. 7th ERCOFTAC/IAHR/COST workshop on Refined Turbulence Modelling. UMIST, Manchester, UK, [75] R. Manceau and D. Laurence. Description of the computations of the case 6.3. In Proc. 6th ERCOFTAC/IAHR/COST workshop on Refined Turbulence Modelling. Delft University of Technology, The Netherlands, [76] L. Cordier, R. Manceau, J. Delville, and J.-P. Bonnet. Low-dimensional description of the dynamical behavior of a plane turbulent mixing layer. In Proc. Workshop on Flow Control, Fundamentals and Practices, Cargèse, Corsica, France, Séminaires, workshops [77] B. de Laage de Meux, B. Audebert, and R. Manceau. RANS/LES coupling with synthetic-eddy method and controlled forcing: application to rotating channel flow. Réunion du Club des Utilisateurs de Code Saturne, EDF R&D, Chatou, France,

118 110 5 LISTE COMPLÈTE DES PUBLICATIONS [78] R. Manceau. Modélisation de la turbulence. Prise en compte des effets de paroi. Présentation au comité AERES de l institut PPrime, [79] A. Fadai-Ghotbi, S. Carpy, C. Friess, R. Manceau, and J. Borée. Partially integrated transport modelling (PITM) for free and wall-bounded flows. Réunion du GDRE Mécanique des fluides numériques, Munich, Allemagne, [80] R. Manceau. Utilisation du code open-source Saturne pour le développement et la validation des modèles de turbulence. Séminaire CFD, Cemagref, Antony, [81] A. Fadai-Ghotbi, C. Friess, and R. Manceau. Recent developments in hybrid RANS/LES modelling. Réunion du Club des Utilisateurs de Code Saturne, EDF R&D, Chatou, France, [82] A. Fadai-Ghotbi, C. Friess, R. Manceau, J. Borée, and E. Lamballais. A seamless hybrid RANS/LES model based on transport equations for the subgrid stresses and elliptic blending. Réunion du GDRE Mécanique des fluides numériques, Grenoble, [83] R. Manceau, T. B. Gatski, J. Borée, E. Lamballais, S. Carpy, and C. Friess. Development of a seamless hybrid RANS/LES method. Réunion du GDRE Mécanique des fluides numériques, Stuttgart, Allemagne, [84] S. Carpy and R. Manceau. Modélisation instationnaire de la turbulence. Séminaire invité, laboratoire TREFLE, Bordeaux, [85] J. Delville, R. Manceau, E. Lamballais, P. Comte, and J.-P. Bonnet. Couplages expériences calculs, apports des méthodes optiques. 19e journée thématique de l AFVL, Meudon, [86] R. Manceau, S. Carpy, A. Fadai-Ghotbi, L. Perret, J. Borée, J. Delville, and J.-P. Bonnet. Recent results in unsteady statistical modelling. Séminaire invité, Division of Fluid Dynamics, Department of Applied Mechanics, Chalmers University of Technology, [87] R. Manceau. Effets de la paroi sur la turbulence en modélisation statistique(rans). La relaxation elliptique. Réunion GDR 2865 Structure de la Turbulence et Mélange, École Centrale de Nantes, [88] R. Manceau, S. Carpy, A. Fadai-Ghotbi, L. Perret, J. Borée, J. Delville, and J.-P. Bonnet. Résultats récents en modélisation instationnaire. Réunion du Club des Utilisateurs de Code Saturne, EDF R&D, Chatou, France, 2005.

119 111 [89] S. Carpy and R. Manceau. Modélisation de la turbulence en écoulement statistiquement périodique. Le cas du jet synthétique. Réunion du Club des Utilisateurs de Code Saturne, EDF R&D, Chatou, France, [90] S. Carpy, R. Manceau, and J. Borée. Étude des paramètres pilotant l apparition de structures instationnaires en modélisation URANS. Réunion du Club des Utilisateurs de Code Saturne, EDF R&D, Chatou, France, [91] S. Carpy, R. Manceau, and J. Borée. Étude de l apparition de structures instationnaires dans les écoulements turbulents décrits par les équations aux moyennes de Reynolds (RANS). Séminaire invité, École Nationale Supérieure d Arts & Métiers de Paris, [92] R. Manceau and Y. Lecocq. Développement d un modèle de turbulence au second ordre intégrable jusqu aux parois utilisable en situation industrielle. Réunion du Club des Utilisateurs de Code Saturne, EDF R&D, Chatou, France, [93] R. Manceau. Modélisation bas-reynolds basée sur la relaxation elliptique. Séminaire de turbulence, ONERA, CERT, Toulouse, Cours nationaux et internationaux [94] J.-P. Bonnet, R. Manceau, and E. Lamballais. Phénoménologie des écoulements turbulents. Les différentes échelles de la turbulence, leur interprétation et leurs implications pour les méthodes de simulation numérique. 12 e école de mécanique des fluides numérique, Roscoff, France, [95] R. Manceau. Modélisation statistique de la turbulence. 10 e école de mécanique des fluides numérique, Roscoff, France, [96] R. Manceau and E. Lamballais. Turbulence modelling: RANS, LES and hybrid methods. PREMER course, University of Buenos Aires, Argentina, [97] R. Manceau. Elliptic Relaxation Models. ERCOFTAC Summer School: Physical and Numerical aspects of Turbulence Modelling, UMIST, Manchester, 26 June 2 July, [98] R. Manceau. The elliptic relaxation method. Newton Institute Scientific program on Turbulence. Instructional Conference on Closure Strategies for Modelling Turbulent and Transitional Flows, Cambridge, UK, 1999.

120 112 5 LISTE COMPLÈTE DES PUBLICATIONS Revues sans comité de lecture [99] H. Steiner, S. Jakirlić, G. Kadavelil, R. Manceau, S. Sarić, and G. Brenn. 13th ERCOFTAC workshop on refined turbulence modelling, 25 26th September, 2008, Graz university of technology, Austria. ERCOFTAC Bulletin 79, [100] R. Manceau. Turbulence, de C. Bailly et G. Comte-Bellot. Bulletin de l Union des physiciens, 861, [101] R. Manceau. Report on the 10th joint ERCOFTAC (SIG 15)/IAHR/QNET-CFD workshop on refined turbulence modelling, Poitiers, october 10-11, ERCOF- TAC Bulletin, Autres publications [102] A. G. Oceni and R. Manceau. Explicit algebraic modelling using elliptic blending for wall-bounded flows. (Modélisation algébrique explicite à pondération elliptique pour les écoulements turbulents en présence de parois.) (D4.21). WALLTURB: A European Synergy for the Assessment of Wall Turbulence. European union 6th framework program, contract number AST4-CT , [103] A. G. Oceni, R. Manceau, and T. B. Gatski. RANS modelling of the APG boundary layer (D4.17). WALLTURB: A European Synergy for the Assessment of Wall Turbulence. European union 6th framework program, contract number AST4-CT , [104] A. G. Oceni, R. Manceau, and T. B. Gatski. Explicit algebraic modelling of channel flows (D4.10). WALLTURB: A European Synergy for the Assessment of Wall Turbulence. European union 6th framework program, contract number AST4-CT , [105] A. G. Oceni, R. Manceau, and T. B. Gatski. A hierachy of explicit algebraic models for wall-bounded flows (D4.13). WALLTURB: A European Synergy for the Assessment of Wall Turbulence. European union 6th framework program, contract number AST4-CT , [106] A. G. Oceni, R. Manceau, and T. B. Gatski. Derivation of explicit algebraic models (D4.5). WALLTURB: A European Synergy for the Assessment of Wall Turbulence. European union 6th framework program, contract number AST4-CT , [107] J.-P. Bonnet and R. Manceau. Ahmed Body. Application Challenge Documentation

121 113 (D30). QNET-CFD: a thematic network for quality and trust in the industrial application of CFD. European Union R&D program GROWTH, contract number G1RT-CT , [108] R. Manceau. Impinging Jet. Underlying Flow Regime Documentation(D32). QNET- CFD: a thematic network for quality and trust in the industrial application of CFD. European Union R&D program GROWTH, contract number G1RT-CT , [109] R. Manceau. Transition à la turbulence de l écoulement dans une conduite circulaire soumise à des vibrations. Étude bibliographique. Rapport final du contrat CEA/- LR/ /CV entre le CEA, le CNRS et l université de Poitiers, [110] R. Manceau. Best practice advice for the Ahmed Body. Application Challenge Best Practice Advice (D34). QNET-CFD: a thematic network for quality and trust in the industrial application of CFD. European Union R&D program GROWTH, contract number G1RT-CT , [111] R. Manceau and J. Pécheux. Étude de la rotation d un système complexe. Rapport intermédiaire du contrat CEA/LR/ /CV entre le CEA, le CNRS et l université de Poitiers, [112] R. Manceau. Modélisation de la turbulence. Prise en compte de l influence des parois par relaxation elliptique. Thèse de doctorat, Université de Nantes, [113] R. Manceau. Modélisation de la turbulence sur maillages non-structurés, rapport d activité de 1 re année de thèse. Technical Report HE 41/97/062, Électricité de France, [114] R.Manceau. Étudedesystèmesdynamiquesbaséssurladécompositionorthogonale aux valeurs propres en couche de mélange turbulente. Rapport de stage de DEA, Université Paris VI, 1995.

122 114 6 AUTRES RÉFÉRENCES 6 Autres références [115] R. D. Moser, J. Kim, and N. N. Mansour. Direct numerical simulation of turbulent channel flow up to Re τ = 590. Phys. Fluids, 11(4): , [116] R. Schiestel. Méthodes de modélisation et de simulation des écoulements turbulents. Hermès/Lavoisier, Paris, [117] P. Chassaing. Turbulence en mécanique des fluides. Analyse du phénomène en vue de sa modélisation à l usage de l ingénieur. CollectionPolytech.Cépaduès-Éditions, Toulouse, France, [118] P.-L. Viollet, J.-P. Chabard, P. Esposito, and D. Laurence. Mécanique des fluides appliquée. Presses de l École nationale des ponts et chaussées, Paris, [119] B. Aupoix. Introduction to turbulence modelling V, chapter From mixing length to Reynolds stress models. VKI lecture series. VKI, [120] J. Piquet. Turbulent Flows. Models and physics. Springer-Verlag, Berlin, revised 2nd edition, [121] P. A. Durbin and B. A. Pettersson Reif. Statistical Theory and Modeling for Turbulent Flows. John Wiley & Sons, Ltd, Chichester, UK, [122] K. Hanjalić and B.E. Launder. Modelling Turbulence in Engineering and the Environment. Second-Moment Routes to Closure. Cambridge University Press, [123] P. R. Spalart. Strategies for turbulence modelling and simulations. Int. J. Heat Fluid Fl., 21: , [124] M. Lesieur, O. Métais, and P. Comte. Large-eddy simulations of turbulence. Cambridge University Press, [125] M. Germano. Advanced Turbulent Flows Computations, volume 395 of CISM Courses and Lectures, chapter Fundamentals of large eddy simulation, pages Springer, [126] P. Sagaut. Large eddy simulation for incompressible flows. Springer, 3rd edition, [127] F. Archambeau, N. Méchitoua, and M. Sakiz. Code Saturne: A finite volume code for the computation of turbulent incompressible flows - Industrial applications. Int. J. on Finite Volume, Electronical edition: ISSN 1634(0655), 2004.

123 115 [128] J. Boussinesq. Essai sur la théorie des eaux courantes. Mémoires à l Académie des Sciences, [129] L. Prandtl. Über ein neues Formelsystem für die ausgebildete Turbulenz. Nachr. Akad. Wiss., Allemagne, page 16, [130] A. N. Kolmogorov. Dissipation of energy in the locally isotropic turbulence. Dokl. Aked. Nauk., URSS, 32:16, [131] P. Y. Chou. On velocity correlations and the solutions of the equations of turbulent fluctuation. Quart. of Appl. Math., 3:38 54, [132] J. C. Rotta. Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz. Z. Phys., 129(6): , [133] P. A. Durbin. Near-wall turbulence closure modeling without damping functions. Theor. Comput. Fluid Dyn., 3:1 13, [134] S. Pope. Turbulent Flows. Cambridge University Press, New-York, [135] J. C. R. Hunt and J. M. R. Graham. Free-stream turbulence near plane boundaries. J. Fluid Mech., 84(2): , [136] I. Calmet and J. Magnaudet. Statistical structure of high-reynolds-number turbulence close to the free surface of an open-channel flow. J. Fluid Mech., 474: , [137] G. Campagne, J.-B. Cazalbou, L. Joly, and P. Chassaing. The structure of a statistically steady turbulent boundary layer near a free-slip surface. Phys. Fluids, 21(6), [138] B.H. Brumley and G.H. Jirka. Near-surface turbulence in a grid-stirred tank. J. Fluid Mech., 183: , [139] B. Perot. Turbulence modeling using body force potential. Phys. Fluids, 11(9): , [140] D.T. Walker, R.I. Leighton, and L.O. Garza-Rios. Shear-free turbulence near a flat free surface. J. Fluid Mech., 320:19 51, [141] S. Yokojima and N. Shima. Applicability of elliptic-relaxation method to freesurface turbulence. Fluid Dyn. Res., 42(3), [142] B. E. Launder and S.-P. Li. On the elimination of wall-topography parameters from second-moment closure. Phys. Fluids, 6(2): , 1994.

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143 PHYSICS OF FLUIDS VOLUME 14, NUMBER 2 FEBRUARY 2002 Elliptic blending model: A new near-wall Reynolds-stress turbulence closure Rémi Manceau a) and Kemal Hanjalić Department of Applied Physics, Thermofluids Section, Delft University of Technology, Lorentzweg 1, P.O. Box 5046, 2600 GA Delft, The Netherlands Received 19 December 2000; accepted 14 November 2001 A new approach to modeling the effects of a solid wall in one-point second-moment Reynolds-stress turbulence closures is presented. The model is based on the relaxation of an inhomogeneous near-wall formulation of the pressure strain tensor towards the chosen conventional homogeneous far-from-a-wall form using the blending function, for which an elliptic equation is solved. The approach preserves the main features of Durbin s Reynolds-stress model, but instead of six elliptic equations for each stress component, it involves only one, scalar elliptic equation. The model, called the elliptic blending model, offers significant simplification, while still complying with the basic physical rationale for the elliptic relaxation concept. In addition to model validation against direct numerical simulation in a plane channel for Re 590, the model was applied in the computation of the channel flow at a real-life Reynolds number of 10 6, showing a good prediction of the logarithmic profile of the mean velocity American Institute of Physics. DOI: / I. INTRODUCTION Modeling the effects of solid walls on adjacent turbulent flows has long been and still is a major challenge. The problem is equally acute in one-point and two-point statistical closures, as it is in spectral modeling or large-eddy simulations LES. Indeed, the hypotheses underlying existing one-point turbulence closure models, e.g., high Reynolds number, local isotropy, quasihomogeneity, are not valid in the presence of a wall. Hence, near-wall modifications are necessary in order to make them comply with the near-wall behavior of turbulence. Research on this topic is driven by two opposing motivations: a need for simple and convenient models for industrial applications, and the requirement for consistency with the physics of the near-wall turbulence. The wall-function technique 1 is widely used among the industry because it enables a drastic reduction in the number of grid points, but is still deficient in nonequilibrium flows, primarily in strong pressure gradients, impinging flows, separation, reattachment, natural convection, three-dimensional flows, etc. Models based on damping functions, which allow the integration of equations up to the wall, are much less popular among the industry since they require a very fine mesh in the vicinity of the wall and introduce nonlinear typically exponential functions in the equations, which make their solution more difficult. Moreover, most of these functions are purely empirical and lack theoretical justification. More elaborate models e.g., Lumley, 2 Shih and Lumley, 3 Craft and Launder 4, A solid wall exerts multiple effects on fluid flow and turbulence. The no-slip constraint imposes the dominating role of fluid viscosity in the close vicinity of a wall regardless of the bulk-flow Reynolds number. Viscous effects are of scalar character and dampen the velocity fluctuations equally in all directions. In contrast, the blocking effect originating from the impermeability constraint suppresses the velocity fluctuations primarily in the wall-normal direction, making the turbulence highly anisotropic and, in the limit, forces the turbulence to approach the two-component state at the edge of the viscous sublayer. In addition, the wall reflects the presa Author to whom correspondence should be addressed. Present address: Laboratoire d Études Aérodynamiques, Université de Poitiers, SP2MI, Téléport 2, Bd Marie et Pierre Curie, BP 30179, Futuroscope Chasseneuil Cedex, France; electronic mail: based on constitutive relations and physical constraints such as realizability or two-component limit of turbulence, have better theoretical bases but are very seldom if at all used for industrial applications because of their complexity. The elliptic relaxation method of Durbin 5 offers good prospects of reconciling the two above-mentioned requirements: it enables the integration down to the wall, with acceptable grid density. The method, applied to Reynoldsstress models, has a solid theoretical basis, but implies six additional equations, which impedes its spreading into the industry. The main problem is not the increased cost due to the number of equations, but rather the complexity of the implementation and the stability problems: the boundary conditions for the additional equations are a major source of numerical instability. For industrial applications, Durbin proposed a version of the model reduced to four equations, the v 2 f model, 6 which has become popular and has begun to be implemented in commercial software. However, this model is not fully satisfactory because it still uses the eddy viscosity hypothesis. A. The physics of wall effects on turbulence /2002/14(2)/744/11/$ American Institute of Physics

144 Phys. Fluids, Vol. 14, No. 2, February 2002 Elliptic blending model: A new near-wall 745 sure fluctuations and enhances their scrambling effect, thus redistributing the kinetic energy among the components, which, in turn, leads to the reduction of the turbulence anisotropy. The latter two opposing effects, which have a directional orientation and depend on the wall topography, are of a kinematic character and are present also in the vicinity of an interface free surface between a liquid and gaseous fluid. A physically consistent model ought to account separately for each of the effects mentioned, something that is difficult to achieve with a limited number of flow and turbulence parameters that are at one s disposal in one-point turbulence models, regardless of their level. Most models of near-wall turbulence do not distinguish the viscous from nonviscous effects and usually apply empirical damping functions in terms of local turbulence Reynolds numbers and often of wall distance by which to account for the total wall effect. Needless to say, such models cannot perform well in situations where one or the other effect is absent or is of less importance e.g., viscous and transitional regions in flows away from a solid wall unaffected by blocking, or flows with liquid gas interface where the kinematic blocking is the sole cause of turbulence modification. Several approaches to model viscous and nonviscous wall effects separately have been reported in the literature. Craft and Launder 4 apply nonlinear models for the pressure strain term in which the coefficients are determined by imposing among others the two-component turbulence limit, which is the major consequence of wall blockage, while also introducing some functions to model the viscous effects. Hanjalić et al. 7 model the viscous effects with functions of turbulence Reynolds number defined solely in terms of turbulence kinetic energy and its dissipation rate hence invariant. Recognizing the fact that the turbulence anisotropy in the near-wall region is primarily caused by wall blockage, the turbulent-stress and dissipation-rate anisotropy invariants are used to model this nonviscous effect. Durbin s concept of elliptic relaxation, both in the eddy-viscosity and Reynolds-stress models, accounts in fact for the kinematic wall blocking, which adjusts the wall effect on pressureredistribution, stress anisotropy, and stress dissipation rates, while the viscous effects are introduced by imposing the Kolmogorov scales as the lower bounds to the conventional large-eddy time and length scales. B. The present contribution We propose to reduce the number of equations in Durbin s Reynolds-stress model and thus to reduce the complexity of the model. Moreover, one of the main purposes of this modification is to suppress the previously mentioned numerical stiffness induced by the boundary conditions of the additional elliptic relaxation equations. It is aimed to meet industrial needs for a simple and robust model, while still preserving the elliptic relaxation concept and satisfying the main theoretical constraints pertinent to near-wall turbulence. It is first noted that the six elliptic relaxation equations are somewhat redundant. Indeed, in this model, the redistribution term * ij is evaluated from kf ij, where k is the turbulence kinetic energy, and the six independent components of f ij are obtained by solving the six elliptic differential equations (1 L 2 2 ) f ij f h ij, with boundary conditions enabling the reproduction of the near-wall behavior of the redistribution term. These equations have then the purely geometrical effect, with a unique length scale. Their role is to enforce the redistribution terms to comply with their near-wall limiting behavior. It is, therefore, expected that the same effect could be reproduced with only one elliptic equation. A straightforward idea is to generalize the concept of scalar redistribution function f used in the v 2 f model. A scalar function f can be defined by f kl *M kl, choosing an appropriate tensor M kl e.g., the anisotropy tensor a kl, and the pressure strain term can be reconstructed from * ij fn ij, where N ij is another well-chosen tensor. Unfortunately, no choice of M kl and N ij can rigorously ensure the exact reconstruction of * ij in other words, the equation ij * ( kl *M kl )N ij cannot be satisfied by any tensors M kl and N ij, except obviously when N ij is set to N ij ij */( kl *M kl ), which is of no interest, and this type of model can hence be based only on an approximate reconstruction. A survey of different possibilities, through a priori tests and computations in a channel flow, have led us to the conclusion that this approach cannot give correct predictions of the stress anisotropy in the near-wall region without using complex, nonlinear tensorial expressions for M kl and N ij. Now, one of the major purposes of the elliptic relaxation approach is to avoid the use of such nonlinear formulations, and the appeal of such an approach, compared to nonlinear low-reynolds-number models, diminishes if the level of nonlinearity is not reduced. Therefore, in the present article, another approach is used based on a blending of near-wall and far-from-the-wall forms of the redistribution tensor, the ellipticity being preserved by solving an elliptic equation for the blending function. The model, called the elliptic blending model EBM, preserves the main features of Durbin s Reynolds-stress model, but involves only one additional, scalar, elliptic equation, rather than six. We believe that this approach offers a reasonable compromise between simplicity and consistency with the physics. The article is divided into five sections: after the Introduction, the constraints to be satisfied by a near-wall turbulence model are described. In the next section we outline the derivation of the model. A model validation in the channel flow at Re 590, using direct numerical simulation DNS data, is described. Finally, some comments on the grid sensitivity issue are given. II. REYNOLDS-STRESS BUDGETS IN THE VICINITY OF THE WALL In order for a model to be as universal as possible, it must be based on true universal constraints unlike the wall laws. In the near-wall region, the no-slip boundary condition and the incompressibility of the fluid impose the limiting behavior of the fluctuating quantities, and consequently, of the Reynolds stresses and their budgets. Reproducing these near-wall budgets is the only way to ensure a correct predic-

145 746 Phys. Fluids, Vol. 14, No. 2, February 2002 R. Manceau and K. Hanjalić TABLE I. Taylor-series expansions of the different terms of the budgets of the Reynolds stresses. The identities p 0 / x 2 a 2, p 0 / z 2 c 2, p 1 2 b 2, and p 2 3 b 3 have been used, deriving from the fact that the fluctuating Navier Stokes equations reduce in the near-wall region to p/ x i 2 u i / y 2. u i u j / t C ij D ij T D ij ij * P ij ij 2 2 a a 1 u 2 O(y 2 ) O(y 3 ) 12 a 1 a 2 y O(y 3 ) 4 a 1 a 2 y O(y 3 ) 8 a 1 a 2 y O(y 2 ) O(y 2 ) O(y 2 ) 12 b 2 2 y 2 4 b 2 2 y 2 8 b 2 2 y 2 v 2 O(y 4 ) O(y 5 ) 40 b 2 b 3 y 3 O(y 5 ) 16 b 2 b 3 y 3 O(y 5 ) 24 b 2 b 3 y 3 O(y 4 ) O(y 4 ) O(y 4 ) 2 2 c c 1 w 2 O(y 2 ) O(y 3 ) 12 c 1 c 2 y O(y 3 ) 4 c 1 c 2 y O(y 3 ) 8 c 1 c 2 y O(y 2 ) O(y 2 ) O(y 2 ) 6 a 1 b 2 y 2 a 1 b 2 y 4 a 1 b 2 y uv O(y 3 ) O(y 4 ) (12 a 1 b 3 12 a 2 b 2 )y 2 O(y 4 ) (6 a 1 b 3 4 a 2 b 2 )y 2 O(y 4 ) (6 a 1 b 3 8 a 2 b 2 )y 2 O(y 3 ) O(y 3 ) O(y 3 ) 2 a 1 c 1 2 a 1 c 1 uw O(y 2 ) O(y 3 ) (6 a 1 c 2 6 a 2 c 1 )y O(y 3 ) ( 2 a 1 c 2 2 a 2 c 1 )y O(y 3 ) ( 4 a 1 c 2 4 a 2 c 1 )y O(y 2 ) O(y 2 ) O(y 2 ) 6 b 2 c 1 y 2 b 2 c 1 y 4 b 2 c 1 y vw O(y 3 ) O(y 4 ) (12 b 3 c 1 12 b 2 c 2 )y 2 O(y 4 ) (6 b 3 c 1 4 b 2 c 2 )y 2 O(y 4 ) (6 b 3 c 1 8 b 2 c 2 )y 2 O(y 3 ) O(y 3 ) O(y 3 ) tion of the wall-induced anisotropies in general configurations. Therefore, this is the main line followed in the derivation of the elliptic blending model. Note that free surfaces are not considered here and, consequently, modifications of the model are necessary to account for this type of boundary conditions. We consider the general case of a wall in a turbulent incompressible flow: contrary to usual descriptions of the near-wall limiting behavior, the wall here is not necessarily plane and the flow may not be parallel to it. Let us focus on a certain point on the wall: the reference frame can, without any loss of generality, be chosen such that the y direction be normal to the wall at this particular point, itself located at y 0. The mean velocities U, V, W and the fluctuating velocities u, v, w and pressure p can be expressed as Taylorseries expansions in terms of y. The no-slip boundary condition leads to the canceling of the zeroth-order terms for the velocities, and the continuity equation to the canceling of the first-order terms for V and v: U A 1 x,z,t y A 2 x,z,t y 2 O y 3, V B 2 x,z,t y 2 O y 3, W C 1 x,z,t y C 2 x,z,t y 2 O y 3, u a 1 x,z,t y a 2 x,z,t y 2 O y 3, v b 2 x,z,t y 2 O y 3, w c 1 x,z,t y c 2 x,z,t y 2 O y 3, p p 0 x,z,t p 1 x,z,t y p 2 x,z,t y 2 O y 3. 1 Note that the coefficients A i, B i, and C i are deterministic functions, whereas the coefficients a i, b i, c i, and p i are stochastic variables. The Taylor-series expansion of the Reynolds stresses is straightforward u 2 a 1 2 y 2 2a 1 a 2 y 3 O y 4, v 2 b 2 2 y 4 2b 2 b 3 y 5 O y 6, w 2 c 1 2 y 2 2c 1 c 2 y 3 O y 4, uv a 1 b 2 y 3 a 2 b 2 a 1 b 3 y 4 O y 5, uw a 1 c 1 y 2 a 1 c 2 a 2 c 1 y 3 O y 4, vw b 2 c 1 y 3 b 2 c 2 b 3 c 1 y 4 O y 5. The damping of the components involving v is one of the major features a near-wall model must reproduce, in order to predict the two-component limit of turbulence. The Reynolds-stress transport equations can be written as u iu j C t ij D ij D T ij * P ij ij ij 0, where C ij, D ij, D T ij, * ij, P ij, and ij denote convection, viscous diffusion, turbulent diffusion, redistribution, production, and dissipation, respectively. Note that the term * ij is the pressure velocity gradient correlation, which is purposely not decomposed into traceless and diffusive parts, since this splitting introduces near-wall behaviors that are 2 3

146 Phys. Fluids, Vol. 14, No. 2, February 2002 Elliptic blending model: A new near-wall 747 difficult to reproduce. 8,9 For convenience, * ij is called herein redistribution, even though it also contains a diffusive part. The Taylor-series expansions of the terms in Eq. 3 are given in Table I. It is emphasized again that the general case is in focus here, i.e., all the derivatives with respect to x, z, and t have been taken into account: they do not appear as the dominant orders which are given explicitly in the table, but they are all contained in the O(y n ) for instance, the coefficient of the y 2 2 term in the expansion of 11 is 8 a 2 12 a 1 a 3 2 ( a 1 / x) 2 2 ( a 1 / z) 2. It can be seen that, for all the components, convection, turbulent diffusion, production, as well as the time derivative, are all negligible to the two first dominant orders in the wall region. Shown in Table I is that the behavior of u i u j in the vicinity of the wall is related to its limiting budget, which can be written, whatever the component, as 2 u i u j y 2 n n 1 u iu j y 2 O y n, 4 with n 1 for u 2, w 2 and uw; n 2 for uv and vw; and n 3 for v 2. The solution of this second-order differential equation is u i u j By n 1 C y n O y n 2, where C 0 since u i u j is zero at the wall. Thus, it appears that the correct behavior of u i u j in y n 1 can only be reproduced in computations by respecting the limiting behavior of * ij ij in n(n 1) u i u j /y 2. The way the elliptic relaxation model proposed by Durbin 5 is expected to fulfill this requirement is see, e.g., Durbin 5 or Manceau 9 for details : first, by using the model ij 5 * ij kf ij u iu j ; 6 k and, second, by solving differential equations for f ij f ij L 2 2 f ij 1 h k ij 2 3 ij u iu j, 7 k called elliptic relaxation equations other formulations of the elliptic relaxation operator were proposed 8,10,11. The wall boundary conditions for f ij are f w ij 20 2 u i u j y 4 for f w 22, f w 12, and f w 23, f w ij 1 2 f 22 w for f w 11 and f w 33, f w 13 0, and for 2 k y 2. Thus, in the near-wall budget of v 2, using Eqs. 8 and 9, * ij ij becomes * 22 kf 22 v2 k 12 2 y This complies with Eq. 4, and thus leads to the correct prediction of the limiting behavior of v 2 y 4. In the case of u 2, w 2, and uw, kf ij is negligible as compared with ij, and, thus, the difference * ij ij reduces to u i u j /k, which ensures the correct limiting behavior 2 u i u j /y 2. Hence, for these components Eq. 4 is satisfied, which ensures the correct prediction of u 2, w 2, and uw y 2. However, a problem arises with uv and vw. Indeed, for these components, * ij ij has the same behavior as for v 2, and, accordingly, it leads to the predictions of uv and vw y 4 instead of y 3. Hence, one may wonder why such boundary conditions are used for f 12 and f 23 : the reason 8 is simply that no boundary condition can ensure a behavior in y 3 and that y 4 is preferable to y 2, in order that the turbulent shear stress remain negligible compared to the viscous shear stress in the near-wall budgets of the mean velocities. To summarize, it is worth noting that the prediction of the two-component state of turbulence in the vicinity of the wall by the elliptic relaxation model is a consequence of the correct reproduction of * ij ij for the diagonal components, which is obtained by imposing appropriate boundary conditions to the elliptic equations for f ij. This is obtained without spoiling the predictions in regions far from the wall, since the model degenerates to a standard high-reynolds number model: kf ij ij h ij 2 h 3 ij, where ij can be any high-reynolds number pressure strain model, depending on the user s choice. III. DERIVATION OF THE ELLIPTIC BLENDING MODEL The main drawback of the Reynolds-stress ellipticrelaxation model is that it involves six additional equations for the independent components of the tensor f ij, with boundary conditions 8, involving 1/y 4, which induce numerical stiffness. The aim of this paper is to provide a simpler model, while preserving the main qualities of the elliptic relaxation model, which are: the reproduction of the limiting wall behavior of * ij ij and, consequently, of the Reynolds stresses; the ellipticity of the model, which is necessary to account for the nonlocal blocking effect of the wall; 9 the linearity of the model, or, more precisely, the fact that the use of the elliptic relaxation strategy does not increase the level of nonlinearity of the model mainly due to the model h ij for the redistribution term. Our proposal is to model the redistribution term by ij * 1 k w ij k h ij, and the dissipation by 12 ij 1 Ak u iu j k Ak 2 3 ij, 13

147 748 Phys. Fluids, Vol. 14, No. 2, February 2002 R. Manceau and K. Hanjalić w w ; w 22 5 k v2 ; w w ; 17 w 12 5 k uv; 13 w 0; w 23 5 k vw. FIG. 1. A priori tests in a channel flow at Re 590. DNS from Moser, Kim and Mansour Ref. 16. Anisotropy of the dissipation tensor d ij ij / 2 3 ij. Symbols: DNS d 11 ; d 22 ; d 33. d ij obtained using ij u i u j /k. --- d ij obtained using ij (1 k ) u i u j /k k 2 3 ij. d ij obtained using ij (1 Ak ) u i u j /k Ak 2 3 ij. where A is Lumley s flatness parameter see the Appendix. The ellipticity of the model is preserved by solving an elliptic differential equation for, similar to Eq. 7 solved for f ij in the elliptic relaxation model L k, 14 with the boundary condition 0 at the wall. The reason for using 1/k as the source term of Eq. 14 and multiplying by k in Eqs. 12 and 13 is that it ensures a behavior of k y 3 in the vicinity of the wall, which makes the second term on the right-hand sides of Eqs. 12 and 13 negligible in this region. The factor A has been introduced in the blending function used for ij in order to delay the transition from the near-wall form of ij to its far-from-the-wall form, as shown in Fig. 1. Note also that the solution of Eq. 14 exhibits a singularity at y 0 due to the behavior of k y 2 : in order to suppress this singularity, k is replaced in this equation by T, where, following Durbin, 6 T is bounded by the Kolmogorov time scale T max k T,C 1/2. 15 The length scale L is also bounded by the Kolmogorov length scale 3/4 L C L max 3/4 k3/2,c. 16 In order to preserve the main feature of Durbin s model, which is the correct prediction of * ij ij, the near-wall redistribution term w ij must be chosen in such a way that */k ij tend to the values of f w ij given in Eq. 8. This is achieved by choosing Several important remarks about Eq. 17 should be made i With the above wall values, the difference * ij ij has strictly the same behavior as that given by the elliptic relaxation model. The near-wall budgets of the Reynolds stresses are thus exactly the same as those described in Sec. II and the Reynolds stresses have the same limiting behavior. ii For v 2, the difference 22 * 22 is correctly reproduced near the wall but not each 22 * and 22 separately: this will not cause any problem since only their difference appears in the equations; however, this can be a source of discrepancies when comparing term by term predictions with the DNS data. iii As for the elliptic relaxation model, the near-wall budgets of uv and vw are not correct, leading to behaviors y 4 instead of y 3. This could have been avoided by choosing w w 12 2 k uv and 23 2 k vw, allowing Eq. 4 to be satisfied and thus leading to the correct limiting behavior y 3. This possibility has been investigated, but surprisingly it worsens the results in a channel flow. Therefore, Eq. 17 is preferred. iv The values of w 11 and w 33 have been chosen such that w ij is traceless. This does not mean that what is modeled is the deviatoric part of the velocity pressure gradient correlation i.e., the pressure strain term : if the velocity pressure gradient correlation is split into pressure strain and pressure diffusion, the latter also must be modeled in the near-wall region, since it becomes dominant in the budget of v 2. 9 Equation 4 is then valid only if the pressure diffusion is taken into account. Thus, what is modeled here, i.e., the term balancing D ij ij, is definitely the velocity pressure gradient correlation. The choice for w 11 and w 33 is only made in order to ensure that the Reynoldsstress transport equation contracts to the standard k equation except for turbulent diffusion. This avoids the necessity of modifying the standard coefficients of the model too much, and in particular those of the equation. This implies that w 11 and w 33 are not correctly modeled, but this is of minor importance, since they are small compared to 11 and 33, respectively. Obviously, Eq. 17 needs to be written in a general, frame-independent form. To achieve this, it is necessary to identify somehow the direction normal to the wall. However, the use of a topological wall-normal vector must be avoided, since such a quantity is often not well defined in complex geometries. We propose here to use the fact that the gradient

148 Phys. Fluids, Vol. 14, No. 2, February 2002 Elliptic blending model: A new near-wall 749 FIG. 2. Channel flow at Re 590. Mean velocity. DNS. Elliptic relaxation model. Elliptic blending model. FIG. 4. Channel flow at Re 590. Dissipation rate. DNS. Elliptic relaxation model. Elliptic blending model. of the blending function is normal to the wall in its vicinity, since the wall corresponds to the 0 isovalue contour. Thus, the vector n, 18 can be used as a unit vector representing the wall-normal direction everywhere inside the domain. n cannot be defined only where 0, but this certainly happens only sufficiently far from the wall, where the factor (1 k ) makes the near-wall term negligible in Eq. 12. Some virtues of the use of this vector to identify the wall-normal direction can be noted: it avoids the discontinuity of the wall-normal vector across the bisector of a corner angle that appears with the usual geometrical definitions; it suppresses the need for determining the ambiguous closest wall point, which can be multiply defined along a curved wall; it is sensitive to the curvature of the wall; it accounts automatically for all the FIG. 3. Channel flow at Re 590. Reynolds stresses. Symbols: DNS ( u 2 ; v 2 ; w 2 ; *uv). Elliptic relaxation model. Elliptic blending model. walls present in the domain, contrary to the usual definitions, which favor the closest wall. Equation 17 can then be generalized to w ij 5 k u i u k n j n k u j u k n i n k 1 2 u ku l n k n l n i n j ij. 19 h Concerning the far-from-the-wall part ij any high- Reynolds-number model can be used. Two possibilities have been investigated: the Rotta IP model, and the Speziale, Sarkar, and Gatski model 15 SSG. The latter leads to somewhat better predictions and has been here selected as the preferred choice. Note that the coefficient g 3 * see the Appendix has been set to 1.9 instead of 1.3: this has an influence mainly in the near-wall region, since it is in front of the square root of the second anisotropy invariant, which exhibits a peak in this region. The nonlinear return term g 2 term can cause numerical stiffness and is often suppressed from the SSG model. However, it is necessary to predict correctly the return to isotropy problem cf. Speziale et al. 15 : hence, it is kept in the present model. If this term causes numerical difficulties, it can be suppressed: in that case, the coefficient C 2 should be set to C The model equations for u i u j are finally closed with the low-re-number version of the transport equation for t U C 1 P C 2 k x k T x l C u l u m T x m 2 C x k x 3 k k u ju k 2 U i x j x l 2 U i x k x l, 20 with the boundary condition 9. The term involving secondorder derivatives of the mean velocity is known to be numerically stiff and can require a very fine mesh in the buffer zone close to a wall, but can play an important physical role

149 750 Phys. Fluids, Vol. 14, No. 2, February 2002 R. Manceau and K. Hanjalić FIG. 5. Channel flow at Re 590. Budgets of the Reynolds stresses. a u 2 ; b v 2 ; c w 2 ; d uv. Symbols: DNS Production P ij ; * Redistribution ij * ; Dissipation ij ; Total diffusion D v ij D T ij. Elliptic blending model. in some situations, since it is a model for a term that appears in the exact transport equation. An alternative version of the model is proposed in the Appendix, which does not use this term but a variable C 1 coefficient: the latter version contains a bit less physics but is easier to compute. The complete model equations are summarized in the Appendix. IV. CHANNEL FLOW COMPUTATIONS The fully developed plane channel flow at Re 590, for which a DNS database is available, 16 is used to calibrate the model. The computations were performed with a simple 1D finite difference code, which allows one to impose the correct value of Re. It is worth noting that the implementation of the model is very easy and that the numerical stiffness is considerably reduced compared to the elliptic relaxation model, whose boundary conditions 8 are major sources of numerical instability because of the denominator in y 4. A very fine grid with 300 points across the flow is used, in order to avoid any numerical inaccuracy. The first nearwall point inside the domain is located at y 0.1, and the size of the largest cell in the center of the channel is y 5. Note that such a small value of y for the first calculation point is not necessary: a value up to y 3 can be used without spoiling the predictions too much. Profiles of mean velocity, Reynolds stresses, and dissipation rate, obtained by the elliptic blending model, are plotted in Figs. 2, 3, and 4, compared with the DNS and Durbin s elliptic relaxation model. 5 It can be seen in Fig. 2 that the predictions of the mean velocity profile by both models are similar and reasonably close to the DNS, even though it appears that the slope in the logarithmic layer with both models is slightly underestimated. This seems to be an effect of the low Reynolds number, which may not have been fully captured with the model of the viscous effects induced by imposing the Kolmogorov length scale as the lower bound, Eq. 16. However, Fig. 8 shows that, at high Reynolds number, the elliptic blending model reproduces correctly the logarithmic law. Figure 3 shows that the anisotropy is globally well predicted. When comparing with the elliptic relaxation model, the peak of u 2 is not as well captured, but its profile in the logarithmic layer is better reproduced. v 2 is slightly underestimated too, but the profiles of w 2 and uv are almost per-

150 Phys. Fluids, Vol. 14, No. 2, February 2002 Elliptic blending model: A new near-wall 751 h FIG. 6. Elliptic blending model: different contributions to 22 *. 22 SSG model ; k h 22 ; w 22 ; (1 k ) w 22 ; 22 * (1 k ) w 22 k h 22 ; 22 * from the DNS. fect. It must be emphasized here that the elliptic blending strategy is able to make a high-reynolds number model integrable down to the wall with only one additional equation, whereas the elliptic relaxation strategy uses six additional equations. The price to pay for the reduction of the complexity of the model is a loss of accuracy in the prediction of the anisotropies in the near-wall region. However, since the model is derived in such a way that the correct near-wall balances of the Reynolds-stress transport equations are satisfied, the crucial wall-blocking effect is preserved, which allows the prediction of the two-component limit of turbulence. It must also be noted that, in these computations, the h SSG model has been used as the far-from-the-wall form ij of the redistribution term, when the somewhat less elaborate Rotta IP model has been used for the elliptic relaxation model. In Fig. 4, it is observed that the dissipation rate is well reproduced between y 30 and the center of the channel, but not below. Indeed, a peak around y 10 is predicted instead of a plateau, and the limiting value at the wall is FIG. 8. Channel flow at Re Mean velocity profiles obtained with three different grids. Fine grid 500 points ; Medium grid 100 points ; Coarse grid 50 points, represented by the symbols ; --- Log law: U 1 ln y 5.7, with underestimated by the elliptic blending model, and overestimated by the elliptic relaxation model. Note that, since the boundary condition 9 for depends directly on k, this means that the second derivative of k at the wall is slightly underestimated by the elliptic blending model, and overestimated by the elliptic relaxation model. Figure 5 shows the budgets of the Reynolds stresses predicted by the elliptic blending model compared with the DNS. The budget of u 2 Fig. 5 a is fairly well reproduced: the dissipation is overestimated around y 10 and underestimated in the region below, as a consequence of the prediction of Fig. 4. This flaw is compensated by corresponding underestimation and overestimation, respectively, of the diffusion. The budget of v 2 Fig. 5 b is not as good as that of u 2. In particular, it is observed that very close to the wall (y 2), 22 * and 22 are not well predicted individually: as emphasized in Sec. III, only their difference is correctly re- FIG. 7. Elliptic blending model: different contributions to ; Ak 2 3 ; v 2 /k; (1 Ak ) v 2 /k; 22 (1 Ak ) v 2 /k Ak 2 3 ; 22 from the DNS. FIG. 9. Channel flow at Re Reynolds stress profiles obtained with three different grids. Fine grid 500 points ; Medium grid 100 points ; Symbols: Coarse grid 50 points, represented by the symbols, with: u 2 ; v 2 ; w 2 ; * uv.

151 752 Phys. Fluids, Vol. 14, No. 2, February 2002 R. Manceau and K. Hanjalić TABLE II. Characteristics of the grids used for the grid sensitivity analysis. The computation is performed for a channel flow at Re 10 6 (Re 35,000). n denotes the number of points, and y i the location of the ith point of the grid. n y 1 y 2 y 3 y 4 y n y n 1 Fine grid Medium grid Coarse grid produced. In the region between y 100 and the center of the channel, all the contributions are well predicted. In the region below y 100, 22 * is not very well reproduced, but at least has the correct order of magnitude, unlike the one obtained with the homogeneous, high-reynolds-number model alone see Fig. 6. In the budget, this is again compensated by the diffusion term. The budget of w 2 Fig. 5 c is well reproduced, except for the overestimation of the dissipation around y 10, already noted in the budget of u 2, and its underestimation in the region below, compensated by the diffusion. The redistribution does not have the correct order of magnitude below y 10, as a consequence of the modeling of w 33 described in Sec. III. In Fig. 5 d, it can be seen that the budget of uv is quite well reproduced: at least, the two dominant terms, production and redistribution, are very well predicted. Only the dissipation, and, as a compensation, the diffusion, which are of minor importance in this case, are not accurately predicted. In summary, one can note that the budgets are in general satisfactory in the region very close to the wall (y 10), w where * ij and ij are dominated by their near-wall forms ij and u i u j /k, and far from the wall (y 100), where, in turn, the far-from-the-wall forms h ij and 2 3 ij are dominant. In between, a buffer region exists, where * ij and ij experience a transition between their two forms. This behavior is detailed in Figs. 6 and 7 for 22 * and 22, respectively. It can be seen in Fig. 6 that the SSG model gives a correct prediction sufficiently far from the wall, but does not reproduce the damping of the redistribution very close to it. In the elliptic blending model, this damping is partly due to the factor k, and partly to the near-wall form w 22, which is negative, as is the 22 * given by the DNS. Figure 7 shows, similarly, that the isotropic model 2 3 ij cannot reproduce the near-wall behavior of the dissipation tensor, and that the correct prediction of 22 by the model is due to the blending of the near-wall form u i u j /k and the isotropic form. Note also that the transition between the two forms occurs further from the wall for 22 than for 22 *, as a consequence of the inclusion of the factor A in the blending formula for the former. The location where the blending factor reaches the value 0.5 is indeed y 30 for k ; y 180 for Ak. V. SOME COMMENTS ON GRID SENSITIVITY One of the reasons why near-wall models are criticized and, eventually, not used at all, is the fact that they often require a drastic refinement of the grid close to the wall when compared to models using wall functions. However, we found with our 1D code, using second-order finite differences, that the solution remains reasonably accurate when coarsening the grid. Figures 8 and 9 show results resolved in a channel flow at Re Three very different grids are used: the characteristics of these grids are summarized in Table II. It is not claimed here that this possibility of using a coarse grid can be generalized to other numerical methods, like finite volumes, and to other flows, but the present results are, nevertheless, very encouraging since they contradict the usual belief that the wall region cannot be resolved without using a first grid point below y 1. This behavior of the model is probably due to the fact that the near-wall budgets 4 of the Reynolds stresses are satisfied, which induces, whatever the mesh, the correct behavior of the values at the first two points: for instance, for u 2, the discretization of 4 with a second-order accurate finite difference scheme leads, at the dominant order, to u 2 2 /u 2 1 y 2 2 /y 1 2 where indices 1 and 2 denote the values at the first and second near-wall points, respectively. VI. CONCLUSION The issue of deriving near-wall models preserving a relative simplicity has been investigated. It has been shown that in order to predict the turbulence anisotropy in the vicinity of the wall two-component limit, a model must reproduce the limiting behavior of * ij ij, the difference between the redistribution and the dissipation. This requirement is fulfilled by the elliptic relaxation model of Durbin, 5 but the penalty is an increase in the number of closure equations from seven to 13, and numerically stiff boundary conditions for the six additional equations. A new Reynolds-stress model, the elliptic blending model EBM, has been proposed. This model has been derived on the basis of the elliptic relaxation model, but aimed at using only one additional closure equation thus reducing the total number to eight, without sacrificing the main qualities of Durbin s Reynolds-stress model. It is noted that the six elliptic relaxation equations are somewhat redundant: they all provide a smooth transition between the near-wall and the far-from-the-wall forms of the model depending only on the geometry and the length scale, which is the same for all the components. Therefore, a similar effect can be obtained by using blending formulas for the redistribution * ij and the dissipation ij, with blending factors k and Ak, respectively, going to zero at the wall and to 1 far from it. In order to preserve the nonlocal character of the model, which reflects the physical nonlocality of the blocking effect, the

152 Phys. Fluids, Vol. 14, No. 2, February 2002 Elliptic blending model: A new near-wall 753 function is defined as the solution of an elliptic differential equation, similar to the elliptic relaxation equations used in Durbin s model. The boundary condition for this equation at the wall is simply 0, which avoids numerical stiffness. Tests in a channel flow show that the predictions with the new model are very similar to those of Durbin s model. The main difference is a less accurate prediction of the amplitude of the peak of the streamwise component of the Reynolds stress u 2. The budgets of the Reynolds stresses are in general satisfactory. These results are very encouraging, since they show that the elliptic blending model behavior in a channel flow is very similar to that of Durbin s model. Moreover, the strategy used for the near-wall region leads to only a moderate increase in complexity: it involves only one additional equation of elliptic type compared to standard Reynolds-stress models; it does not increase the level of nonlinearity if a linear pressure strain model is used as the far-from-the-wall formulation, the model of * ij is fully linear ; it seems to allow the use of a reasonable grid density in the near-wall region. We believe that the approach has good prospects of being applicable to a wide range of situations, since it is based on true universal physical constraints: the limiting behavior of the different terms of the Reynolds-stress budgets in the vicinity of the wall, which have been derived in a general case, and are thus valid even at separation and impinging points, in the presence of wall curvature, etc. The model presented in this paper is certainly not a definitive, widely tested version, and an important effort is still necessary for testing and calibrating different modeling options. In the near future, computations of other canonical tests cases backstep flow, impinging jet, square cylinder, etc., as well as more complex flows will be performed for this purpose. APPENDIX: THE ELLIPTIC BLENDING MODEL 1. Equations Du i u j P Dt ij D ij D T ij * ij ij, D C Dt 1 P C 2 T C 3 k u ju k 2 L T, D T ij x l C x l C u l u m T U i x j x l 2 U i u l u m T u iu j k x m, ij * 1 k w ij k h ij, x k x l, 2 A1 x m x k x k A2 A3 A4 A5 ij 1 Ak u iu j k Ak 2 3 ij, A6 A a ija ij a ij a jk a ki ; a ij u iu j k 2 3 ij, A7 h ij g 1 g 1 * P b ij g 2 b ik b kj 1 3 b klb kl ij g 3 g 3 * b kl b kl ks ij g 4 k b ik S jk b jk S ik 2 3 b lms lm ij g 5 k b ik jk b jk ik, b ij u iu j 2k 1 3 ij; S ij 1 2 U i U j x j x i ; ij 1 2 U i U j x j x i, w ij 5 k u i u k n j n k u j u k n i n k 1 2 u ku l n k n l n i n j ij, n, T max k,c T 2. Coefficients 1/2 ; L C L max k3/2,c 1/4 3/4. C 1 1.4; C ; C ; C 0.22; 1.22; k 1.0; C L 0.45; C 80.0; C T 6.0; g 1 3.4; g 1 * 1.8; g 2 4.2; g 3 0.8; g 3 * 1.9; g ; g Boundary conditions at the wall U i 0; u i u j 0; 2 k y 2 ; Alternative version of the model for equation A8 A9 A10 A11 A12 For cases where the term involving C 3 turns out to be unstable, C 3 can be set to zero, and C 1 set to C k k u i u j n i n j. A13 1 S. V. Patankar and D. B. Spalding, Heat and Mass Transfer in Boundary Layers, Morgan Grampian, London, J. L. Lumley, Computational modeling of turbulent flows, Adv. Appl. Mech. 18, 123 Academic, New York, T.-H. Shih and J. L. Lumley, Second-order modeling of near-wall turbulence, Phys. Fluids 29,

153 754 Phys. Fluids, Vol. 14, No. 2, February 2002 R. Manceau and K. Hanjalić 4 T. J. Craft and B. E. Launder, A Reynolds stress closure designed for complex geometries, Int. J. Heat Fluid Flow 17, P. A. Durbin, A Reynolds stress model for near-wall turbulence, J. Fluid Mech. 249, P. A. Durbin, Near-wall turbulence closure modeling without damping functions, Theor. Comput. Fluid Dyn. 3, K. Hanjalić, S. Jakirlić, and I. Hadžić, Expanding the limits of equilibrium second-moment turbulence closures, Fluid Dyn. Res. 29, R. Manceau, Ph.D. thesis, Université de Nantes, France, R. Manceau, Reproducing the blocking effect of the wall in one-point turbulence models, Proceedings of the European Congress Comput. Meth. Appl. Sciences and Engineering, Barcelona, Spain R. Manceau, M. Wang, and D. Laurence, Inhomogeneity and anisotropy effects on the redistribution term in RANS modelling, J. Fluid Mech. 438, R. Manceau and K. Hanjalić, A new form of the elliptic relaxation equation to account for wall effects in RANS modelling, Phys. Fluids 12, J. C. Rotta, Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz, Z. Phys. 129, D. Naot, A. Shavit, and M. Wolfshtein, Two-point correlation model and the redistribution of Reynolds stresses, Phys. Fluids 16, B. E. Launder, G. J. Reece, and W. Rodi, Progress in the development of a Reynolds-stress turbulence closure, J. Fluid Mech. 68, C. G. Speziale, S. Sarkar, and T. B. Gatski, Modeling the pressure strain correlation of turbulence: an invariant dynamical system approach, J. Fluid Mech. 227, R. D. Moser, J. Kim, and N. N. Mansour, Direct numerical simulation of turbulent channel flow up to Re 590, Phys. Fluids 11,

154

155 II A. G. Oceni, R. Manceau, and T. Gatski. Introduction of wall effects in explicit algebraic stress models through elliptic blending. In M. Stanislas, J. Jimenez, and I. Marusic, editors, Progress in wall turbulence: Understanding and Modelling. Springer, 2010.

156

157 Introduction of wall effects into explicit algebraic stress models through elliptic blending Abdou G. Oceni, Rémi Manceau, Thomas B. Gatski 1 Introduction Explicit Algebraic Stress Models (EASMs) are a compromise between representation of the physics and numerical robustness. They inherit most of the capacities of the Reynolds stress model (RSM) from which they are derived to account for complex physical mechanisms. A corollary of the previous remark is that the EASMs also inherit some of the shortcomings of their underlying RSM; particularly, the influence of the blocking effect of the wall, which is not taken into account within the usual context of EASMs. The present work aims at incorporating in EASMs the elliptic blending method proposed by Manceau and Hanjalić [4, 2]. The Elliptic-Blending Reynolds-Stress Model (EB-RSM) aims at reproducing the blocking effect of the wall by enforcing the correct limiting behavior of the difference between the velocity pressure-gradient and dissipation terms of the Reynolds stress (τ i j ) transport equation. The EB-RSM model is characterized by a simple blending between two asymptotically-correct forms of the model for φi j ε i j [ φi j ε i j = (1 α 2 ) φi w j τ ] [ i j k ε + α 2 φi h j 2 ] 3 εδ i j (1) In order to reproduce the nonlocal character of the blocking effect, the blending function α is obtained from the elliptic relaxation equation α L 2 2 α = 1, (2) with the boundary condition α = 0, such that α goes from 0 at the wall to 1 far from the wall. φi h j denotes hereafter the SSG [10] model, valid far from the wall. The analysis of the near-wall asymptotic behavior [4] shows that φi w j must be of the Abdou G. Oceni Rémi Manceau Thomas B. Gatski Laboratoire d études aérodynamiques (LEA), université de Poitiers, ENSMA, CNRS, Bd Marie et Pierre Curie, BP 30179, Futuroscope Chasseneuil Cedex, France, 1

158 2 Abdou G. Oceni, Rémi Manceau, Thomas B. Gatski form φi w j = 5 ε [ τ ik n j n k + τ jk n i n k 1 ] k 2 τ kln k n l (n i n j + δ i j ), (3) where n is a pseudo-wall-normal vector defined by n = α/ α. The present article describes the derivation and validation of explicit algebraic representations based on this Reynolds-stress model. 2 Explicit Algebraic Methodology Using the weak equilibrium assumptions db i j /dt = 0 and D i j /D kk = τ i j /τ kk, where b i j = τ i j /(2k) δ i j /3 and D i j are the anisotropy and the total diffusion of τ i j, respectively, the following algebraic equation for the Reynolds stress is obtained (P i j τ i j k P) + φ i j (ε i j τ i j k ε) = 0. (4) Introducing the EB-RSM model into Eq. (4) yields, under tensorial form 1 a 4 b a 3 ( bs + Sb 2 3 {bs}i ) + a 2 (bw W b) a 5 ( bm + Mb 2 3 {bm}i 1 2 {bm}m ) = a 1 S + a 5 2 M, (5) where {.} denotes the trace, and S and W are the mean strain and mean rotation tensors, respectively. In Eq. (5) and henceforth, the enclosed terms are the terms due to the introduction of the elliptic blending procedure. These terms vanish far from the wall, where the parameter α goes to one. The a i s are given by a 1 = (g 3 g 3 1 α 2 )α 2, a 2 = 1 g 5 2 α2, a 3 = 1 g 4 2 α2, [ a 4 = k ε (1 + g 1 2 α2 ) P ε ( 13 3 g 1 2 ) α ] 1, a 5 = 5 ε k (1 α2 ), where the g i s are the coefficients of the SSG model. Since the implicit algebraic system (5) is numerically intractable, an explicit solution must be sought. The theory of invariants [9] indicates that the solution of such a relation between tensors is a polynomial function of the tensors involved in the equation, of the form b = N i=1 (6) β i T i. (7) where T i are the tensors of the so-called functional integrity basis, and the β i s are polynomial invariant functions.

159 Introduction of wall effects into EASM through elliptic blending 3 3 Invariant and functional integrity bases The specificity of the present model lies in the presence of the tensor M in Eq. (5). Indeed, in the standard explicit algebraic methodology [7], the relation only involves b, S and W, such that the solution is of the form (7), in which the functional integrity basis consists of the N = 10 terms [7] T 1 = S ; T 2 = SW W S ; T 3 = S { S 2 } I ; T 4 = W { W 2 } I ; T 5 = W S 2 S 2 W ; T 6 = SW 2 + W 2 S 2 3 { SW 2 } I ; T 7 = W SW 2 W 2 SW ; T 8 = SW S 2 S 2 W S ; T 9 = W 2 S 2 + S 2 W { S 2 W 2} I ; T 10 = W S 2 W 2 W 2 S 2 W. (8) The β i s are polynomial functions of the terms of the invariant integrity basis η 1 = { S 2} ; η 2 = { W 2} ; η 3 = { S 3} ; η 4 = { SW 2} ; η 5 = { S 2 W 2} ; η 6 = { SW S 2 W 2}. (9) In the present case, the relation (5) involves b, S, W and M, such that the functional integrity basis now contains N = 41 terms and the invariant integrity basis 29 terms [9]. However, using the fact that M 2 = 3 1M + 2 9I, the functional integrity basis reduces to N = 27 terms, i.e., Eq. (8) and the 17 additional terms T 11 = M ; T 12 = SM + MS 2 3 {SM}I ; T 13 = W M MW ; T 14 = MW S SW M 2 3 {MW S}I ; T 15 = S 2 M + MS { S 2 M } I ; T 16 = MW 2 + W 2 M 2 3 { MW 2 } I ; T 17 = W 2 MW W MW 2 ; T 18 = W MS SMW 3 2 {W MS}I ; T 19 = W SM MSW 3 2 {W SM}I ; T 20 = W S 2 M MS 2 W 2 { 3 W S 2 M } I ; T 21 = MW S 2 S 2 W M 3 2 { MW S 2 } I ; T 22 = W MS 2 S 2 MW 2 3 { W MS 2 } I ; T 23 = SW S 2 M MS 2 W S 2 3 { SW S 2 M } I ; T 24 = SW 2 M + MW 2 S 2 3 { SW 2 M } I ; T 25 = W 2 SM + MSW { W 2 SM } I ; T 26 = W 2 S 2 M + MS 2 W { W 2 S 2 M } I ; T 27 = W 2 SW M MW SW { W 2 SW M } I, (10) and the invariant integrity basis to 16 terms, i.e., Eq. (9) and the 10 additional terms η 7 = {SM} ; η 8 = { S 2 M } ; η 9 = { W 2 M } ; η 10 = {W SM} ; η 11 = { W S 2 M } ; η 12 = { W S 2 MS } ; η 13 = { W 2 SM } ; η 14 = { W 2 S 2 M } ; η 15 = { W 2 SW M } ; η 16 = { W 2 MW S 2}. (11) The solution (7) of Eq. (5) can be obtained by performing a Galerkin projection, which leads to a invertible linear system for the β i functions. 4 Truncated bases In order to reduce the complexity of the model, the usual approach, for instance followed by [8] for the SSG model, is to consider a 2D plane flow. In this case, it can be shown [7] that the functional integrity basis is reduced to the 3 terms T 1 T 2 T 3, and the invariant integrity basis to η 1 η 2. The expression (7) with N = 3 is the solution of Eq. (5) in 2D plane cases only, and can be used as an approximation in 3D. However, in our case, the integrity basis in 2D plane flows contains the 6 terms T 1 T 2 T 3 T 11 T 12 T 13, which leads to an overly complex model. Therefore, in the present paper, only bases consisting of at most 3 terms are used.

160 4 Abdou G. Oceni, Rémi Manceau, Thomas B. Gatski This restriction is not too severe, considering that in a 2D plane flow case, the anisotropy tensor is determined by only 3 independent parameters, b 11, b 22 and b 12. However, since such a basis is not an integrity basis, the function (7) obtained by Galerkin projection can be singular at particular locations in the flow domain. The standard choice for the 3-term basis is the 2D plane flow integrity basis T 1 T 2 T 3. The use of this basis leads to a model denoted by EB-EASM #1 (First Elliptic Blending Explicit Algebraic Stress Model). However, basis tensors involving the tensor M are attractive. Indeed, this tensor is independent of the mean field, and tensors such as T 11, T 12 and T 13 are at most linear in the mean velocity gradient. This is a very desirable property for improving numerical robustness. Moreover, M carries the information about the orientation of the wall, which is crucial in its vicinity to ensure a correct representation of the anisotropy in 3D flows (where a 3-term basis representation of b is incomplete). Another interesting characteristic of M is that it does not vanish where S and W vanish. Several combinations of models based on 2-, 3- and 5-term bases have been analytically investigated. The complexity of the formulation is only dependent on the number of tensors retained in the basis, not on the particular choice of the basis tensors. Using a 5-term basis may be valuable in 3D, complex flows, but at the price of a considerable increase of the complexity of the formulation. 4 different attractive choices for the basis have been identified, and the resulting models are EB-EASM #1: b = β 1 S + β 2 (SW W S) + β 3 (S 2 1 { 3 S 2 } I) EB-EASM #2: b = β 1 S + β 2 M EB-EASM #3: b = β 1 S + β 2 M + β 3 (SM + MS 3 2 {SM}I) EB-EASM #4: b = β 1 S + β 2 (SW W S) + β 3 M The reasons for selecting these particular models can be summarized as follows: EB-EASM #1 is the standard choice and can thus be easily compared with standard models, but it is nonlinear in the mean velocity gradient ; EB-EASM #2 is the simplest formulation (only 2 basis tensors) that preserves the two-component limit of turbulence at the wall (b 22 = 1/3) ; EB-EASM #3 is linear in the mean velocity gradient, which is desirable for numerical robustness, but degenerates to EB-EASM #2 in 1D flows, since the last two tensors of the basis are linearly dependent in this situation ; EB-EASM #4 is not susceptible to this degeneracy, and incorporates the tensor M, such that it does not degenerate where S and W vanish. In the following sections, the focus will be on 1D flows, where EB-EASM #3 and #4 are identical to EB-EASM #2 and #1, respectively. Thus, it will only be necessary to present results given by the models #1 and #2. For a 2D plane flow, the Galerkin projection of Eq. (5) onto either one of the 4 bases selected in the previous section provides β i s of the form β i ( η,r, P, Q, k ε, P ε, α ). (12)

161 Introduction of wall effects into EASM through elliptic blending 5 where η = η 1 = {S 2 } and R = η 2 /η 1 = W 2 /S 2 are the mean strain parameter and the mean kinematic vorticity number, respectively. The introduction of elliptic blending results in the appearance of two additional invariants in the models, P = η 7 = {SM} and Q = 2η 10 = 2{W SM}, that both characterize the orientation of the velocity gradient in the coordinate system linked to the wall. P is zero in a flow parallel to the wall and maximum at an axisymmetric impingement point, and Q is zero at an impingement point and maximum in a flow parallel to the wall. Therefore, P and Q are called the Impingement invariant and the Boundary layer invariant, respectively. The dependence on k/ε, P/ε and α originates from the variable a i coefficients of Eq. (6). k, ε and α are provided by their own differential equations, such that the original second-moment closure is reduced to a 3-equation model. The ratio of production to dissipation, P/ε, appears in Eq. (5) via a 4, and is a function of β 1, since P/ε = 2β 1 η 2 k/ε. Consequently, β 1 is the solution of a nonlinear algebraic equation, that is cubic for the model EB-EASM #2, but quartic for the others. It is worth pointing out that this equation is only cubic in standard models using 3-term bases: the increase of the degree of the equation is due to the introduction of the elliptic blending method. This peculiarity does not make the selection of the proper root more problematic in the 1D cases under consideration in the present article, since there is a single physically admissible root (real and negative). 5 Validation of the models The first validation test is the investigation of the analytical form of the models in a channel flow, in order to check that the models inherit from the EB-RSM the reproduction of the two-component limit of turbulence at the wall. In such a 1D flow, the invariants reduce to η = U/ y/ 2, R = 1, P = 0 and Q = η 2, and it can be shown that the models EASM #1 and #2 yield β 2 η β 3η β 1η β β 1η 0 b = 2 2 β 1η β 2 η β 3η 2 0 and b = 2 2 β 1η 2 3 β 2 0, (13) β 3η β 2 respectively. In both models, kβ 1 plays the role of an eddy-viscosity. In model #1, β 2 and β 3 drive the anisotropy of the normal stresses, while in model #2, the use of a 2-term basis does not enable the reproduction of the full anisotropy of the normal stresses, leading to b 11 = b 33 throughout the channel. As the wall is approached (y 0), it can be shown that β 1 0. For model #1, β 2 1/(4η 2 ) and β 3 1/(2η 2 ), while for model #2, β 2 1/2. Therefore, for both models, the original limiting behavior of the EB-RSM (b 12 = 0, b 22 = 1/3, b 11 = b 33 = 1/6, b 12 = 0) is preserved, and the two-component limit of turbulence is correctly enforced (b 22 = 1/3). Such a favorable behavior with the linear, 2-term model #2 is noteworthy.

162 6 Abdou G. Oceni, Rémi Manceau, Thomas B. Gatski 50 U DNS EB-EASM #1 EB-RSM Reτ =2000 Reτ =950 Reτ =590 Reτ =550 Reτ =395 τ + i j DNS τ 11 τ 22 τ 33 τ 12 EB-EASM 1 EB-RSM Rumsey et al. 20 Reτ = y + Fig. 1 EB-EASM #1: Mean velocity profiles in plane Poiseuille flows y + Fig. 2 EB-EASM #1: Reynolds-stress profiles in the plane Poiseuille flow at Re τ = U DNS EB-EASM #2 R-V2F Reτ =2000 Reτ =950 Reτ =590 Reτ =550 Reτ =395 τ + i j 6 4 DNS τ 11 τ 22 τ 33 τ 12 EB-EASM#2 R-V2F 20 Reτ = y + Fig. 3 EB-EASM #2: Mean velocity profiles in plane Poiseuille flows y + Fig. 4 EB-EASM #2: Reynolds-stress profiles in the plane Poiseuille flow at Re τ = 590. Fig. 1 shows the mean velocity profiles given by EB-EASM #1 and its underlying RSM, the EB-RSM, in the case of Poiseuille flows at Reynolds numbers ranging from Re τ = 180 to 2000 [5, 1]. In Fig. 2, the corresponding Reynolds stresses at Re τ = 590 are shown. It is seen that the algebraic model gives profiles almost identical to the EB-RSM, except for the anisotropy at the channel center, due to the weak equilibrium hypothesis on the diffusion term. The Reynolds stresses given by the explicit algebraic model of [8] are also shown in Fig. 2. This model is identical to EB-EASM #1 far from the wall (α 1), as highlighted in Eqs. (5) (12). This comparison emphasizes the effect of the introduction of the elliptic blending method in the explicit algebraic formulation. Figs. 3 and 4 show the same results for EB-EASM #2, compared to the rescaledv 2 f model [3]. As pointed out previously, the reproduction of the anisotropy is not complete since the wall-normal component v 2 and the shear-stress uv are closely approximated, but the model yields exactly u 2 = w 2 throughout the channel. This behavior is similar to that of the v 2 f model, provided that the v 2 component used for comparison is the one given by the additional v 2 equation, not by the Boussinesq relation.

163 Introduction of wall effects into EASM through elliptic blending 7 2 U/( 3 2 U b) τi j/( 3 2 U b) DNS τ 11 τ 22 τ 33 τ 12 EB-RSM EB-EASM #1 EB-EASM #2 0.5 CT Re = 110 CT Re = 207 IT Re = 100 IT Re = y/h PT Re = 113 PT Re = 204 EB-EASM #1 EB-EASM #2 Fig. 5 Couette-Poiseuille flows: mean velocity profiles. PT, CT, IT denote Poiseuille-, Couette- and Intermediate-Type, respectively y/h Fig. 6 Couette-type flow: Reynolds-stress profiles for Re τ = 207. τi j/( 3 2 U b) DNS τ 11 τ 22 τ 33 τ 12 EB-RSM EB-EASM #1 EB-EASM #2 τi j/( 3 2 U b) DNS τ 11 τ 22 τ 33 τ 12 EB-RSM EB-EASM #1 EB-EASM # y/h Fig. 7 Intermediate-type flow: Reynoldsstress profiles for Re τ = y/h Fig. 8 Poiseuille-type flow: Reynolds-stress profiles for Re τ = 204. Figs. 5 8 show the results obtained using EB-EASM #1, EB-EASM #2 and the EB-RSM, in Couette-Poiseuille flows, compared with the DNS data of Orlandi [6]. These 1D flows are generated by imposing a pressure gradient and a moving wall. Three different configurations are studied, distinguished by the velocity gradient at the moving wall: positive for the Poiseuille-type flow; negative for the Couettetype flow; and nearly zero for the intermediate-type flow. Two Reynolds numbers are studied for each configuration. Fig. 5 shows the satisfactory reproduction of the mean velocity profiles by all the models, and in Figs. 6 8 it is shown that the EB-RSM reproduces the Reynolds stress very well for the 3 types of flows. The nonlinear model EB-EASM #1 gives satisfactory results overall, but overestimates the anisotropy in the vicinity of the moving wall, in particular for the Couette-type flow. In such a 1D flow, this discrepancy necessarily comes from the use of the weak equilibrium hypothesis for the diffusion terms: in the region close to the moving wall, the relative weight of these terms is increased due to the reduction of the turbulent level. The results given by EB-EASM #2 are comparable to those shown previously for Poiseuille flows. The crucial components uv and v 2 are correctly reproduced; although, u 2 = w 2 is obtained. It is worth pointing out that EB-EASM #2 actually

164 8 Abdou G. Oceni, Rémi Manceau, Thomas B. Gatski better approximates uv and v 2 than EB-EASM #1 in the intermediate-type flow. This can be traced to the vanishing of the shear component S 12 in the vicinity of the moving wall, that leads to the degeneracy towards zero of the 3 basis tensors of EB-EASM #1; whereas, in EB-EASM #2, the tensor M is independent on the mean flow. 6 Conclusions The introduction of the elliptic blending strategy into explicit algebraic stress models was presented. The extended integrity basis due to the introduction of the wallnormal-sensitive tensor in the algebraic relation led to a number of possible approximated formulations. The validation of selected models, for several cases of Poiseuille and Couette-Poiseuille flows, has shown satisfactory behavior, and that the main properties of the underlying Elliptic Blending Reynolds-Stress Model are preserved. The possibility of building models linear in the mean velocity gradients but resolving the anisotropy is attractive from a numerical robustness standpoint. The 2- term linear model appears as a very acceptable simplified model, with many similarities with the v 2 f model, but derived from an approach valid in general configurations, and with only 3 differential equations for k, ε and α. References 1. S. Hoyas and J. Jimenez. Scaling of velocity fluctuations in turbulent channels up to Re τ = Phys. Fluids, 18(1), R. Manceau. An improved version of the Elliptic Blending Model. Application to non-rotating and rotating channel flows. In Proc. 4th Int. Symp. Turb. Shear Flow Phenomena, Williamsburg, VA, USA, R. Manceau, J. R. Carlson, and T. B. Gatski. A rescaled elliptic relaxation approach: neutralizing the effect on the log layer. Phys. Fluids, 14(11): , R. Manceau and K. Hanjalić. Elliptic blending model: A new near-wall Reynolds-stress turbulence closure. Phys. Fluids, 14(2): , R. D. Moser, J. Kim, and N. N. Mansour. Direct numerical simulation of turbulent channel flow up to Re τ = 590. Phys. Fluids, 11(4): , P. Orlandi. Database of turbulent channel flow with moving walls S. B. Pope. A more general effective viscosity hypothesis. J. Fluid Mech., 72: , C. L. Rumsey, T. B. Gatski, and J. H. Morrison. Turbulence model predictions of strongly curved flow in a U-duct. AIAA J., 38(8): , A. J. M. Spencer. Theory of invariants. In A. C. Eringen, editor, Continuum Physics, volume 1. Academic Press, New York, C. G. Speziale, S. Sarkar, and T. B. Gatski. Modeling the pressure-strain correlation of turbulence: an invariant dynamical system approach. J. Fluid Mech., 227: , 1991.

165 III F. Dehoux, Y. Lecocq, S. Benhamadouche, R. Manceau, and L.-E. Brizzi. Algebraic modeling of the turbulent heat fluxes using the elliptic blending approach. Application to forced and mixed convection regimes. Flow Turbul. Combust., Sous presse.

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167 Flow Turbulence and Combustion manuscript No. (will be inserted by the editor) ALGEBRAIC MODELING OF THE TURBULENT HEAT FLUXES USING THE ELLIPTIC BLENDING APPROACH - APPLICATION TO FORCED AND MIXED CONVECTION REGIMES F. Dehoux Y. Lecocq S. Benhamadouche R. Manceau L.-E. Brizzi Received: date / Accepted: date Abstract The present paper focuses on the application of the elliptic blending approach to the modeling of turbulent heat fluxes, in order to account for the influence of solid boundaries. The analytical justification of the extension to the temperature pressure gradient correlation term of this approach, originally applied to the velocity pressure gradient, is given. The assumption of weak equilibrium enables the derivation of two new algebraic flux models valid down to the wall. It is shown, with both a priori tests and computations in forced and mixed convection regimes, that the predictions of the streamwise heat-flux and the temperature variance are significantly improved by the use of elliptic blending. A particular attention is devoted to the issue of the modeling of the correlation length scale involved in the elliptic blending for the heat fluxes, which is shown to have a significant influence on the predictions. Keywords Turbulent Heat Fluxes Elliptic Blending Thermal Length Scale Forced and Mixed Convection 1 Introduction Many industrial applications, in particular in the field of energy production, are still treated with RANS eddy-viscosity models and the Simple Gradient Diffusion Hypothesis (SGDH), based on a turbulent Prandtl number, to model the turbulent heat fluxes in the Reynoldsaveraged temperature equation. These simple models have several limitations, either for the prediction of the dynamic of the flow or for the estimation of the Nusselt number distribution. This can be due to the inherent complexity of the dynamics of the flow, e.g., in impingement or swirling regions, as well as to complex coupling mechanisms, such as buoyancy effects. F. Dehoux Y. Lecocq S. Benhamadouche EDF R&D MFEE Dept., Chatou, France, Tel.: L.-E. Brizzi R. Manceau Institute Pprime, Dept. Fluid flow, heat transfer and combustion, CNRS University of Poitiers ENSMA, France

168 2 F. Dehoux et al. The present article focuses on the so-called low-reynolds number modeling for both the Reynolds stresses and the turbulent heat fluxes. In order to avoid the use of damping functions to replicate the effect of the presence of solid boundaries, based on a non-dimensional distance to the wall and/or a local turbulent Reynolds number, Durbin [6] introduced the Elliptic Relaxation approach. A simplified version, the Elliptic Blending approach, was proposed by Manceau and Hanjalić [25,24], leading to the so-called Elliptic Blending Reynolds- Stress Model (EB-RSM), which was successfully applied to several configurations, in particular in isothermal and forced convection flows, in the context of RANS [4,11,13,16,29, 31,32,35,36,37], as well as, recently, hybrid RANS/LES [9,10] (see also the review articles [8,12]). This model is used in the present article to model the Reynolds stresses. The modeling of the turbulent heat fluxes has attracted less efforts from the research community. As a consequence, several industrial computations are carried out with sophisticated Reynolds Stress Models but still use a Simple Gradient Diffusion Hypothesis for the heat fluxes, which is not satisfactory in mixed and natural convection regimes (e.g., see Kenjereš et al. [19]). The Generalized Gradient Diffusion Hypothesis (GGDH) [17] accounts for the influence of the anisotropy of the Reynolds stresses on turbulent heat fluxes, but is not sufficiently general to correctly represent buoyancy effects [14]. To overcome this problem, Algebraic Flux Models (AFMs) [22,15,20,5] preserves the different production mechanisms arising in the exact transport equation for the turbulent heat fluxes. However, in the existing AFMs, the effects of the walls are not taken into account. Similarly to the case of the Reynolds stresses mentioned above, in order to avoid the use of damping functions, the present paper aims at introducing the elliptic blending approach in algebraic flux models. Such models can be derived from the model recently proposed by Shin et al. [30], based on differential equations for the turbulent heat fluxes (EB-DFM, Elliptic Blending-Differential Flux Model). Therefore, the present paper aims at providing an in-depth justification for using elliptic relaxation/blending for the turbulent heat fluxes, based on a theoretical derivation using Green s formalism and an analysis of DNS budgets, investigating the validity of the simplifying hypothesis used in Shin et al. [30], which consists in using the same length scales in the elliptic blending equations for the Reynolds stresses and the turbulent heat fluxes, deriving Elliptic Blending-Algebraic Flux Models from the Elliptic Blending-Differential Flux Model and validating them in forced and mixed convection cases. 2 The elliptic blending approach In this section, the main ideas leading to the elliptic blending approach for the velocitypressure gradient correlation in the Reynolds stress transport equation are first recalled and its validity in cases with buoyancy is investigated. Finally, the extension of the approach to the modeling of the temperature pressure-gradient correlation term that enters the turbulent heat fluxes equations is presented. 2.1 Modeling the effect of the wall on the Reynolds-Stresses In a Reynolds Stress Model (RSM), in order to replicate the blocking of the wall-normal fluctuations, it can be shown, using a simple model for the two-point correlations and Green s

169 MODELING TURBULENT HEAT FLUXES USING ELLIPTIC BLENDING 3 formalism [7,26], that the elliptic relaxation model `φ ij ε ij L 2 2 `φ ij ε ij = (φ h ij ε h ij) (1) can be used for the difference between the velocity pressure-gradient correlation term φ ij and dissipation term ε ij. The right hand side, φ h ij ε h ij, can be modeled using any available high-reynolds number model. The main feature of this model is the satisfaction of the asymptotic, near-wall balance φ ij ε ij = D ν ij, (2) where D ν ij denotes the molecular diffusion tensors. In order to avoid the resolution of six, strongly coupled and numerically unstable differential equations, a simplified version, the Elliptic Blending-RSM, was proposed by Manceau and Hanjalić [25] and improved by Manceau [24], based on a blending of any standard model for φ h ij ε h ij, valid far from the wall, and a near-wall model for φ w ij ε w ij that satisfies the asymptotic balance (2) in the near-wall region, φ ij ε ij = (1 α 3 )(φ w ij ε w ij) + α 3 (φ h ij ε h ij). (3) In order to preserve the non-local character of the blocking effect, similarly to Durbin s elliptic relaxation model, the blending function α is obtained from an elliptic relaxation equation α L 2 2 α = 1 with α w = 0, (4) and goes from 0 at the wall to 1 far from the wall. If Rotta s model [28] (ε w ij = u i u j /k ε) is used, the asymptotic analysis in the vicinity of the wall shows that the following model for φ w ij is consistent with the wall limits φ w ij = 5 ε» u i k u k n jn k + u j u k n in k 1 2 u k u l n kn l (n i n j + δ ij ), where n is a unit vector n = α/ α, (5) providing a generalized wall-normal direction. Far from the wall, the SSG model (Speziale et al. [33]) is used for the redistribution term and an isotropic model for the dissipation tensor (ε h ij = 2/3 ε δ ij ). In cases where buoyancy is present, the issue of the validity of the EB-RSM, which is based on the satisfaction of the near-wall balance (2), arises. Close to a wall located at y = 0, Taylor-series expansions lead to the behaviors given in table 1 for the Reynolds stress budgets when the temperature fluctuation is zero at the wall, which is the case in the present article. It can be seen that the production due to buoyancy G ij = β u i θ g j + u j θ g i does not affect the balance given by Eq. (2), and, in particular, that G ij /φ ij = O(y) for all i and j. It can be concluded that the EB-RSM does not require any further modification while introducing buoyancy terms. However, a modification of the transition from the nearwall behavior to the far-from-the-wall behavior can be expected, which would question the validity of Eq. (4). Nevertheless, using the DNS data of Kasagi & Nishimura [18], in the mixed convection case of a vertical channel with a pressure gradient and a temperature difference between the two walls (a more detailed description of this case is provided in section 4), it can be seen in Fig. 1 that the blending function α is only marginally modified by buoyancy. It is worth recalling here that the model is formulated to reproduce the wallblocking effect, i.e., to specifically damp the redistribution of energy toward the wall-normal

170 4 F. Dehoux et al. D ν ij φ ij ε ij P ij D T ij G ij u 2 O(1) O(y) O(1) O(y 3 ) O(y 3 ) O(y 2 ) v 2 O(y 2 ) O(y 2 ) O(y 2 ) O(y 5 ) O(y 5 ) O(y 3 ) w 2 O(1) O(y) O(1) O(y 3 ) O(y 3 ) O(y 2 ) u v O(y) O(y) O(y) O(y 4 ) O(y 4 ) O(y 2 ) u w O(1) O(y) O(1) O(y 3 ) O(y 3 ) O(y 2 ) v w O(y) O(y) O(y) O(y 4 ) O(y 4 ) O(y 2 ) Table 1 Asymptotic behaviors of the terms of the Reynolds stress budget in buoyancy affected flows α 0.4 Aiding flow Opposing flow 0.2 Isothermal case Mixed convection case y/h Fig. 1 Influence of buoyancy on α evaluated a priori by Eq. (6). DNS data from Kasagi and Nishimura [18]. fluctuations. Therefore, the evaluation of the blending parameter α and the length scale L to be reproduced by the model can be performed by using the components φ 22 and ε 22 of the DNS databases (a priori evaluation), by computing α 3 = (φ 22 ε 22 ) (φ w 22 ε w 22) (φ h 22 ε h 22) (φ w 22 ε w 22), (6) Similar to the isothermal case, it can be seen that α varies between 0 and 1, and even though it becomes slightly asymmetrical, the slope in the near-wall region (i.e., the extent of the influence of the wall) is only weakly modified. This modification and the asymmetry can be explained (and thus reproduced) by the influence of buoyancy on turbulence, and thus on the length scale L = C L max k 3/2 /ε, C η ν 3/4 /ε 1/4. Therefore, it is considered that the EB-RSM does not require any modification when buoyancy effects are present.

171 MODELING TURBULENT HEAT FLUXES USING ELLIPTIC BLENDING Extension to the modeling of the effect of the wall on the heat fluxes As it is the case for the redistribution term in the Reynolds stress transport equations, a model for the scrambling term in the transport equation for the turbulent heat fluxes can be derived from the Poisson equation of the fluctuating pressure. The momentum and continuity equations are written in the RANS form with a Boussinesq approximation u i t + (u i u j ) = 1 p + ν x j ρ 0 x i u j x j = 0 (7) 2 u i R ij + ρ g i (8) x j x j x j ρ 0 where u i are the velocity components, p the pressure, R ij the Reynolds stresses, ν the kinematic viscosity, ρ the (temperature-dependent) density and ρ 0 a reference density. The mean temperature equation is given by θ t + u j θ = x j x j! ν θ u j Pr x θ j (9) A Poisson equation can be obtained for the gradient of the fluctuating pressure 2 p = ρ 0 x k x k 2 u i u j + u i u j u u i j 1! ρ g l x j x i x j x i x j x i ρ 0 x l (10) Using the Green function of the domain and assuming that p satisfies a Neuman boundary condition (see Manceau et al. [26]), the solution of Eq. (10) can be obtained in the x k integral form p Z (x) = x k 2 p x k (y)g(x, y)dy The scrambling term (temperature pressure-gradient one-point correlation) that arises in the turbulent heat flux transport equation is φ θi = 1 ρ 0 θ p x i, such that Z ρ 0 φ θi = Ψ θi (x, y)g(x, y)dy where Ψ θi is the two-point correlation between the temperature and the Laplacian of the pressure gradient: Ψ θi (x, y) = θ (x) 2 p x k (y) Similarly to what was proposed by Durbin [6] and justified by Manceau et al. [26] for the velocity-pressure gradient two-point correlation, an exponential decay is assumed Ψ θi (x, y) = Ψ θi (y, y)e r L θ, (11)

172 6 F. Dehoux et al. where r = x y, and the correlation length scale L θ is to be determined. Using this assumption, the scrambling term reads ρ 0 φ θi = 1 Z Ψ θi (y, y) exp ( r/l θ) dy. 4π r Since 1 exp( r/l θ ) 4π r is the Green s function associated to the operator Id, an L 2 θ elliptic relaxation equation is obtained for φ θi φ θi L 2 θ 2 φ θi = 1 ρ 0 L 2 θθ p x i. In a homogeneous flow, this equation reduces to φ θi = 1 ρ 0 L 2 θθ p x i Consequently, the right hand side of the equation can be modeled using any quasi-homogeneous model, such that the elliptic relaxation provides the appropriate near-wall treatment for standard high Reynolds models φ θi L 2 θ 2 φ θi = φ h θi. (12) The above derivation justifies the use of the elliptic relaxation approach to the turbulent heat fluxes, as proposed by Shin et al. [30] based on a simple analogy with the Reynolds stresses. Instead of solving three equations for individual components of the heat fluxes and following Manceau and Hanjalić [25], Shin et al. [30] extended the elliptic blending approach to the heat fluxes, leading to the Elliptic Blending-Differential Flux Model (EB-DFM) φ θi ε θi = (1 αθ) 3 (φ w θi ε w θi) + αθ 3 φ h θi ε h θi. (13) The parameter α θ, used to blend the near-wall and far-from-the-wall forms of the heat fluxes model is obtained from the elliptic relaxation equation α θ L 2 θ 2 α θ = 1 (14) with the boundary condition α θ = 0 at the wall. This equation ensures that α θ 1 far from the wall. Contrary to Shin et al. [30], it is not assumed here that the length scale L θ is equal to the dynamic length scale L used in Eq. (4), i.e., for the difference φ ij ε ij in the Reynolds-stress transport equations, which is, following Durbin [6], modeled by! L = C L max k3/2 ε, C ν 3/4 η (15) ε 1/4 with C L = and C η = 80. Table 2 gives the asymptotic behavior of the different terms on the r.h.s. of the transport equations for the turbulent heat fluxes for zero temperature fluctuations at the wall (see Eq. 24). Similar to the case of the Reynolds stresses, the near-wall budget of the wall normal heat flux reduces, at leading order, to a balance between scrambling, dissipation and molecular diffusion, φ θ2 ε θ2 + Dθ2 ν = 0. In order to ensure the correct asymptotic behavior at the wall of φ w θi ε w θi, Shin et al. [30] showed that the near-wall terms can be modeled as φ w θi =» Pr «ε k u j θ n i n j (16)

173 MODELING TURBULENT HEAT FLUXES USING ELLIPTIC BLENDING 7 P U θi + P T θi G θi φ θi D ν θi ε θi D t θi u θ O(y 3 ) O(y 2 ) O(y) O(1) O(1) O(y 3 ) v θ O(y 4 ) O(y 2 ) O(y) O(y) O(y) O(y 4 ) w θ O(y 3 ) O(y 2 ) O(y) O(1) O(1) O(y 3 ) Table 2 Asymptotic behaviors of the terms of the heat fluxes budget (Shin et al, [30]). y denotes the distance to the wall. and ε w θi = «ε Pr k u i θ. (17) Note that this model does not satisfy the individual asymptotic behaviors of φ w θi and ε w θi, but only of their difference. This problem can be simply overcome by using φ w θi = ε k u j θ n i n j (18) and ε w θi = «ε u i Pr k θ + u j θ n i n j, (19) which is, in practice, strictly equivalent to the previous model, since the difference φ w θi and ε w θi is the same. Far from the wall, the model Eq. (13) tend to the high-reynolds number model φ h θi ε h θi. Shin et al. [30] proposed to use the standard linear model [23], and φ h ε u θi = C θ1 k u i θ + C θ2 u i j + C θ θ2u i x u j j θ + C θ3 g i βθ 2 (20) x j ε h θi = 0. (21) In order to write equations as general as possible, the high-reynolds number model φ h θi for the pressure scrambling term used here is the nonlinear model of Kenjereš et al. [19], consisting of the rapid part φ r u θi = C θ2 u i j + C θ θ θ2u i x u j + C θ3 g i βθ 2 (22) j x j and the slow part φ s ε θi = C θ1 u i k θ C θ1a ij u j θ (23) where a ij is the stress-anisotropy tensor, a ij = R ij /k 2/3 δ ij. The linear high-reynolds number model (20) is obviously a particular case of this model.

174 8 F. Dehoux et al. 3 Algebraic modeling of the heat fluxes Although differential flux modeling is the appropriate level to represent the physical mechanisms driving the evolution of the turbulent heat fluxes, industrial application still rely on much simpler models. The aim of the present section is to make available an intermediate model based on the elliptic blending method to represent the near-wall effects, i.e., an algebraic flux model derived from the EB-DFM presented above. After recalling the method used to derive the standard AFM, this method is applied to the EB-DFM, leading to the Elliptic Blending-Algebraic Flux Model (EB-AFM). Similar to the case of GGDH, which can be written as a simplification of the AFM, a simple model, the EB-GGDH (Elliptic Blending-Generalized Gradient Diffusion Hypothesis), is readily obtained. 3.1 The standard AFM Using the Boussinesq approximation, the transport equations for the turbulent heat fluxes can be written Du i θ Dt {z } C θi = u j θ u i x j {z } Pθi U θ u i u j g i βθ 2 x j {z } {z } P T θi G θi θ 0 + θ u i x u j θ j x j {z } Dθi t p x i ρ {z } φ θi u i x + ui νθ j x j u (λ + ν) θ i x j x j {z } 1 A {z } Dθi ν ε θi (24) where C θi, P U θi, P T θi, G θi, φ θi, ε θi, D t θi and D ν θi denote the material derivative, the production by the mean velocity gradient, by the mean temperature gradient, by buoyancy, the temperature-pressure gradient correlation, the dissipation, the turbulent and molecular diffusions, respectively. Algebraic forms of the turbulent heat flux transport equation can be derived, similarly to the Reynolds stress transport equations (see, for example, [27]). As detailed by Hanjalić [14], algebraic models for the heat fluxes rely on the weak equilibrium assumptions for convection du i θ dt = dk k dt + 1 dθ θ 2 dt 2! u i θ, (25) and diffusion D θi = k D k + 1! D u θ 2 θ 2 i θ, (26) where D θi, D k and D θ 2 denote the total diffusion of u i θ, k and θ 2, respectively, which yields the turbulent heat flux algebraic equation P θi + φ θi ε θi u i θ 2k (P k + G k ε) u i θ 2θ 2 P θ 2 ε θ 2 = 0,

175 MODELING TURBULENT HEAT FLUXES USING ELLIPTIC BLENDING 9 where P θi = P U θi + P T θi + G θi. If the production and the dissipation terms of both k and θ 2 are assumed to be locally in balance, i.e., turbulence is assumed to be in local equilibrium, and then Eq. (27) reduces to P k + G k = ε (27) P θ 2 = ε θ 2, (28) P θi + φ θi ε θi = 0. (29) Introducing the nonlinear model Eqs. (22) and (23) for the scrambling term in this relation yields ε C θ1 k u i θ = (1 C θ2 ) Pθi U + 1 C θ2 Pθi T + (1 C θ3 ) G θi + C θ1 C ε θ1 k a iju j θ ε h θi (30) For Prandtl numbers not small compared to unity, temperature fluctuations at small scales can be considered isotropic [34], such that the dissipation term is assumed to be zero far from the wall (ε h θi = 0). Eq. (24) thus reduces to the Non-Linear Algebraic Flux Model (NL-AFM), Kenjereš et al. [19], " k u i θ = C θ ζu θ u i ε u j + ξu i j + ηβg x θ i θ 2 χ ε # j x j k a iju j θ (31) where C θ = C θ/c θ1, ζ = 1 C θ2, ξ = 1 C θ2, η = 1 C θ3 and χ = C θ1 C θ1. Two simplifications of this model will be utilized in the following: the linear Algebraic Flux Model (AFM, χ = 0) and the Generalized Gradient Diffusion Hypothesis (GGDH, ξ = η = χ = 0). Throughout the present paper, the coefficients that are generally recommended [14], C θ1 = 3.0, C θ2 = 0, C θ2 = C θ3 = 0.55, are used. Note that the coefficient C θ, which should be equal to 1/C θ1, is modified by the introduction of the coefficient C θ; indeed, the assumptions used in the algebraic methodology make necessary the introduction of this recalibration coefficient. 3.2 Elliptic Blending-Algebraic Flux Model The model for the scrambling term given by Eq. (22) and Eq. (23), and consequently the AFM, does not account for the effect of the wall on turbulence. In order to overcome this limitation, the main proposal of the present paper is to apply the elliptic blending strategy to the heat fluxes in order to derive the Elliptic Blending-Algebraic Flux Model (EB-AFM). The same derivation as the one done in the section 3.1 for the high-reynolds number model but now applied to the EB-DFM described in section 2.2 then leads to Pθi U + Pθi T + G θi u i θ 2k (P k + G k ) u i θ P 2θ 2 θ 2 (1 αθ) 3 ε k u j θ n i n j αθc 3 ε θ1 k u i θ + αθc 3 θ1 C θ1 ε k a iju j θ αθc 3 θ2 Pθi U αθc 3 θ2p θi T αθc 3 θ3 G i (1 αθ)c 3 ε ε u i k θ + u j θ n i n j αθε 3 h ε θi + u i θ 2k + ε! 2 θ = 0, 2θ 2 (32)

176 10 F. Dehoux et al. such that the algebraic model now reads, assuming equilibrium (Eqs. 27 and 28), u i θ = ξpθi U + ζpθi T + ηg θi γ ε k u j θ n i n j + χ ε k a iju j θ αθε 3 h iθ h i ε αθ 3C θ1 + (1 αθ 3)C ε k (33) where ξ = (1 αθc 3 θ2 ), ζ = (1 αθc 3 θ2), χ = αθc 3 θ1 C θ1, η = (1 αθc 3 θ3 ), γ = (1 αθ) 3 (1 + C ε ), C ε = 1 2 (1 + 1/Pr). Assuming that εh iθ = 0, this relation reduces to " k u i θ = C θ ζu θ u i ε u j + ξu i j x θ + ηβg i θ 2 χ ε j x j k a iju j θ + γ ε # k u j θ n i n j, (34) where C θ C θ = αθc 3 θ1 + (1 αθ)c 3. (35) ε This model only differs from Eq. (31) by the additional term γ ε k u j θ n i n j, which sensitizes the model to the orientation of the wall, and, above all, by the fact that the coefficients ξ, ζ, χ, η and C θ are now dependent on the blending function α θ. It is easy to see that in regions far from the wall, where α θ 1, the influence of the elliptic blending method vanishes and the model (31) is recovered. In the following, the usual constants of the linear high-reynolds number model are used: C θ1 = 3, C θ2 = 0.55, C θ2 = 0, C θ3 = 0.55 and C θ1 = 0. Note that the elliptic blending method does not introduce any new coefficient. Moreover, the model can be further simplified by using ζ = 1 and ξ = η = χ = 0, which yields the EB-GGDH model u i θ = C θ k ε " u i u j θ + γ ε # x j k u j θ n i n j. (36) 3.3 Equation for the temperature variance The transport equation for the temperature variance θ 2, involved in Eq. (34), is written as θ u 2 + j θ 2 = " # ν θ 2 t x j x k Pr δ kl + C θθ ρu T + P k u l θθ ε θθ (37) x l In this equation, the production term, equal to P θθ = 2 u i θ θ x i does not require modeling, and the dissipation rate ε θθ is obtained via the ratio R of thermal to mechanical time scales 2 ε R = θ ε θθ k. For large turbulent Peclet numbers, which can be considered valid far from the wall, for fluids with not too small Prandtl numbers, assuming a constant thermal-to-mechanical timescale ratio R = R h, where the superscript h denotes homogeneous or quasi-homogeneous,

177 MODELING TURBULENT HEAT FLUXES USING ELLIPTIC BLENDING DNS L θ = L L θ = 1.5 L L θ = 1.75 L L θ = 2 L R = 0.5 R Fig. 2 Thermal-to-mechanical time-scale ratio R obtained from Eq. (38). A priori test in forced convection, Re τ = 640) [1]. y + is a usual practice [14]. In the present case, where the Prandtl number is close to unity, the widely admitted value R h = 0.5 is used. However, in the near-wall region, this assumption fails and, in particular, R approaches the Prandtl number at the wall. In order to account for this limit, in the framework of the elliptic blending approach, R can be modeled as R = α 3 θr h + (1 α 3 θ)pr (38) The DNS database of Abe and Kawamura [1], in which the ratio R is available, enables the evaluation of the performance of this simple model in forced convection regime. The flow between two parallel flat plates is driven by an imposed pressure gradient (see figure 3), and a constant wall heat flux q w is imposed. Buoyancy terms are neglected, such that temperature is a passive scalar. The two parameters of the flow are the friction Reynolds number Re τ and the Prandtl number Pr = Figure 2 shows the time-scale ratio R obtained with Eq. (38), for several value of the length scale used in the equation of α 3 θ (see section 4 for the discussion about this length scale). In this a priori procedure, in order to obtain α θ, Eq. (14) is first solved, with the mechanical length scale L evaluated using DNS data and L θ taken proportional to L. It can be seen that using the simple model (38) yields a significant improvement of the prediction of R in the near-wall region, although the complex shape below y + = 50 is not reproduced. Therefore, Eq. (38) will be used in the computations presented in section 5 for the EB-AFM and EB-GGDH models. It is found in Fig. 2 that the optimal value for L θ /L is Next section is devoted to the investigation of the role of this length scale in the modeling of φ θi ε θi.

178 12 F. Dehoux et al. 4 Influence of the modeling of the thermal length scale As mentioned in section 2.2, Shin et al. [30] assumed that the blending function α θ used in Eq. (13) is equal to the blending function α used in Eq. (3), which is a strong assumption. Since α and α θ are obtained from similar elliptic equations (4) and (14), this is equivalent to the assumption L θ = L. Actually, L θ originates from the approximation of the twopoint correlations by exponential functions in Eq. (11), and the correlation length scale has no reason to be the same for temperature pressure correlations as for velocity pressure correlations. At large turbulent Peclet numbers Pe t = Re t Pr, the large-scale temperature fluctuations are simply convected, such that L θ can be considered entirely determined by the velocity field, and assuming a constant L θ /L is reasonable, but this does not imply that the constant is exactly one. Therefore, the present section focuses on the modeling of the thermal length scale L θ, and its influence on the predictions of φ θi and ε θi, using a priori tests in forced and mixed convection regimes. In order to cover a wide range of regimes, it is usual to assume that the time-scale used in heat fluxes models is a function k, ε, k θ and ε θ, i.e., a hybrid of mechanical and thermal time-scales (see, e.g., Abe et al. [2]). This hypothesis can be extended to L θ, and a dimensional analysis shows that the ratio L θ /L is then a function of R L θ L = f(r), (39) where L = k 3/2 /ε. In order to account for the variations of R in the near-wall region in a simple manner, Eq. (39) can be approximated by a linear relation f(r) L θ = C LR L. (40) Moreover, as mentioned above, assuming a constant thermal-to-mechanical time-scale ratio R is usual for large Peclet numbers. This assumption implies a constant ratio L θ /L. In order to assess a priori the validity of the simple relation (40) and to evaluate the coefficient C L, two DNS databases of fully developed turbulent channel flows are used, in forced and mixed convection regimes. The a priori procedure consists in first solving Eq. (14), with the modeled L θ evaluated using DNS data, and then computing the model Eq. (13), also from DNS data. The standard coefficients [23] of the model for the scrambling term Eqs. (22) and (23) are used (C θ1 = 3, C θ2 = 0.55, C θ2 = 0, C θ3 = 0.55, C θ1 = 0), which yields for the EB-AFM model (34) ξ = ( αθ) 3, ζ = 1, χ = 0, η = ( αθ) 3, γ = (1 αθ) 3 (1 + C ε ), C ε = «, 2 Pr and C θ = C θ 3 α 3 θ + (1 α 3 θ) C ε, where C θ = 0.68 is used. In addition to case of Abe and Kawamura [1] described above and in Fig. 3, the DNS database of Kasagi and Nishimura [18] for the mixed convection regime is used. Buoyancy is accounted for in a vertical channel flow driven by a pressure gradient, with an imposed wall-temperature difference (see Fig. 4). The Reynolds number based on the mean friction velocity is Re τ = 150. The Prandtl number is Pr = 0.71 and the Grashof number based on the temperature difference Gr =

179 MODELING TURBULENT HEAT FLUXES USING ELLIPTIC BLENDING 13 Fig. 3 Channel flow in forced convection regime, Abe and Kawamura [1]. Fig. 4 Channel flow in mixed convection regime, Kasagi and Nishimura [18]. Figures 5 and 6 show φ θ1 ε θ1 (streamwise direction) and φ θ2 ε θ2 (wall-normal direction), respectively, obtained with different values of L θ. Figures 7 and 8 show the same results for the mixed convection case. The difference of sensitivity to a modification of the length of these two components is striking. Contrary to φ θ1 ε θ1, for which doubling the length scale yields a significant modification of the results, φ θ2 ε θ2 remains nearly unaffected. The reason for this behavior lies in the term γ ε k u k θ n i n k arising when the elliptic blending approach is introduced (see Eq. 34). Indeed, the normal-wise component writes v θ = C θ k ε v 2 θ y + γ ε! k v θ, (41) which can be recast as v θ = C θ k ε! v 2 θ y, (42) where» Cθ = C θ αθ 3 + (1 αθ) 3 C ε + (1 + C ε ) C θ C θ1 C θ1 1. Far from the wall, Cθ C θ/c θ1, and Eq. (42) tends to the form given by standard models (GGDH or AFM). For Pr = 0.71, C ε 1.204, such that Cθ goes from 0.23 far from the wall to 0.25 at the wall. Therefore, whatever the shape of α θ, i.e., whatever the model used for L θ, v θ remains nearly the same. This remark leads to an important conclusion: the reason why standard models (GGDH and AFM) successfully reproduce the mean temperature profile in channel flows for fluids with a Prandtl number close to unity, despite the fact that they do not account for near-wall effects on the heat fluxes, is a coincidence. Indeed, in such flows, the streamwise heat flux is not active, and the wall-normal heat flux is correctly reproduced because, for such Prandlt numbers, Cθ is almost a constant. Of course, this feature relies on the correct prediction of the wall-normal component of the Reynolds stress, for which accounting for near-wall effects (which is the case with the EB-RSM) is crucial. However, the situation is different in more complex geometries, where a correct prediction of all the component of the turbulent heat fluxes is important, as well as for Prandtl numbers far from unity : Figure 9 illustrates the distribution of the coefficient Cθ in the domain for different values of the Prandtl number. It is clearly seen that the variation of Cθ cannot be

180 14 F. Dehoux et al. 0 φ + θ1 ε+ θ DNS L θ = L L θ = 1.75 L L θ = 2 L L θ = 3 R L y + Fig. 5 A priori test of the model for φ θ1 ε θ1 in forced convection regime [1] (Re τ = 640) φ + θ2 ε+ θ DNS L θ = L L θ = 1.75 L L θ = 2 L L θ = 3 R L y + Fig. 6 Same figure as Fig. 5 for φ θ2 ε θ2. neglected close to the wall for large or small Prandtl numbers, and, consequently, accounting for wall effects in the model for the turbulent heat fluxes is necessary to correctly reproduce temperature profiles. It is worth pointing out that, for such values of the Prandtl number, other modeling issues arise, such as the modeling of ε h θi, which cannot be neglected for small Prandtl numbers, since the small-scale temperature fluctuations can be considered isotropic only at the limit of large Peclet numbers [34,21].

181 MODELING TURBULENT HEAT FLUXES USING ELLIPTIC BLENDING 15 0,5 DNS L θ = L L θ = 1.75L L θ = 2L φ + θ1 ε+ θ1 0-0, ,5 0 0,5 1 y/δ Fig. 7 A priori test of the model for φ θ1 ε θ1 in mixed convection regime [18]. 0-0,05 DNS L θ = L L θ = 1.75L L θ = 2L φ + θ2 ε+ θ2-0,1-0,15-0,2. -0, ,5 0 0,5 1 y/δ Fig. 8 Same figure as Fig. 7 for φ θ2 ε θ2. On the contrary, for both cases, the streamwise component φ θ1 ε θ1 is significantly improved by increasing the ratio L θ /L (albeit not shown here, the improvement is particularly pronounced for φ θ1). Considering the present a priori test and the conclusion of section 3.3, the optimal value is L θ /L = In the forced convection case, since the time-scale ratio R is provided by the database, the linear hypothesis (40) can be also evaluated with a

182 16 F. Dehoux et al. 0.4 C θ with P r = 0.71 C θ with P r = C θ with P r = C θ y + Fig. 9 C θ sensitivity to the Prandtl number. variable R. It can be observed that the results obtained with L θ = 3 R L and L θ = 1.75 L are almost identical, such that using a constant ratio L θ /L is considered sufficient. 5 Computational results EDF in-house open source (http://www.code-saturne.org) CFD tools Code Saturne is used for the present computations. Code Saturne is an unstructured, collocated finite volume solver for cells of any shape. Spatial discretization is second order accurate. The Navier- Stokes equations are solved for turbulent incompressible flows using a SIMPLEC algorithm for pressure-velocity coupling (see Archambeau et al. [3] for additional details about the code). It includes several RANS models with first and second moment closures such as the standard k ε, k ω-sst, stabilized v 2 f (φ-model), LRR and SSG models. The code can also perform Large-Eddy Simulation using standard or dynamic Smagorinsky models. The elliptic blending approach has been introduced into the standard SSG model available in Code Saturne in order to implement the EB-RSM, which is used for all the computations. For all the solutions presented in the present paper, grid convergence has been carefully ensured. The first computational point for both test cases are located around y + = 0.1. The different turbulent heat fluxes models used in the present work, and summarized below, have been implemented: GGDH (Generalized Gradient Diffusion Hypothesis) u i θ = C θ k ε u i u j θ x j with C θ =

183 MODELING TURBULENT HEAT FLUXES USING ELLIPTIC BLENDING 17 AFM (Algebraic Flux Model) u i θ = C θ k ε " u i u j with C θ = 0.235, ξ = 0.45 and η = # θ u + ξu i j x θ + ηβg i θ 2 j x j EB-GGDH (Elliptic Blending-Generalized Gradient Diffusion Hypothesis) with C θ = 0.68 u i θ 3 α 3 θ + (1 α3 θ )C ε " k = C θ ε u i u j θ + γ ε # x j k u k θ n i n k, γ = `1 αθ 3 [1 + Cε ] and C ε = «Pr (43) The EB-AFM (Elliptic Blending-Algebraic Flux Model) u i θ " k = C θ ε u i u j θ u + ξu i j x θ + ηβg i θ 2 + γ ε # j x j k u j θ n i n j with ξ = α 3 θ and η = α 3 θ (these coefficients tend to the coefficients of the AFM far from the wall). The temperature variance θ 2 is obtain with the Eqs. 37 and 38. It is worth pointing out that the coefficients used in the GGDH, AFM, EB-GGDH and EB-AFM all originate from the same calibration [23] of the underlying model for the scrambling term Eqs. (22) and (23): C θ1 = 3, C θ2 = 0.55, C θ2 = 0, C θ3 = 0.55, C θ1 = 0. The recalibration coefficient (see the discussion in section 3.1) C θ, involved in C θ = C θ/c θ1 is chosen for each model in order to optimize the reproduction of the mean temperature profile in the forced convection case. The corresponding values are C θ = for GGDH and AFM, and C θ = 0.68 for EB-GGDH and EB-AFM. Computations were performed in order to evaluate the advantage of the introduction of the elliptic blending approach combined either with the GGDH or the AFM model on the prediction of the turbulent heat fluxes and mean velocity/temperature profiles, as well as to confirm the necessity of using a thermal length scale different from the mechanical length scale. The two DNS test-cases used above for a priori tests are investigated. Forced convection regime In a fully developed turbulent channel flow, the EB-RSM model gives very satisfactory results for the mean velocity and the Reynolds stresses, as shown in Fig. 10 and in Fig. 11, but this is of course independent of the turbulent heat fluxes model. Figure 12 shows the temperature profile for the different turbulent heat fluxes models. Note that, in forced convection, the AFM and EB-AFM results give exactly the same results as the GGDH or the EB-GGDH, respectively. As mentioned in section 4, the accounting for the near-wall effects only weakly modifies the prediction of the mean temperature profile, since the wall-normal heat flux is only marginally affected by the elliptic blending approach. This is confirmed by Fig. 15, in which it can be seen that the predictions given by all the heat fluxes models are not distinguishable. For the sake of clarity, the predictions for the streamwise heat flux by the GGDH and AFM models have been split in the two Figs. 13 and 14. These two figures clearly show the improvement in the near-wall region introduced by elliptic blending, in particular in the

184 18 F. Dehoux et al DNS Kawamura Re τ = 640 EB-RSM + all heat flux models U Fig. 10 The velocity profile (computational results for the forced convection regime, Re τ = 640). y u u v v w w u v EB-RSM + all heat flux models R + ij y + Fig. 11 The Reynolds tensor profile. (Symbols: DNS of Kawamura Re τ = 640 [1]) (computational results for the forced convection regime). case of the AFM. Moreover, the benefit of using a thermal length scale different from the mechanical length scale is confirmed, although it does not constitute a major breakthrough. It is worth pointing out that differentiating these two length scales has a computational cost, since it makes necessary the resolution of an additional elliptic equation for α θ (otherwise α θ = α), but the cost of the resolution of this equation is very low (typically less than 1% of the total computational time).

185 MODELING TURBULENT HEAT FLUXES USING ELLIPTIC BLENDING DNS Kawamura Re τ = 640 EB-GGDH and EB-AFM L θ = L EB-GGDH and EB-AFM L θ = 1.75L GGDH and AFM T Fig. 12 The temperature profile (computational results for the forced convection regime, Re τ = 640). 7 y + 6 u θ DNS Kawamura Re τ = 640 EB-GGDH L θ = L EB-GGDH L θ = 1.75L GGDH y + Fig. 13 The streamwise turbulent heat flux u θ with GGDH and EB-GGDH flux models (computational results for the forced convection regime, Re τ = 640). Mixed convection For the mixed convection regime, the EB-RSM gives satisfactory results for the mean velocity (Figure 16) and the Reynolds Tensor (Figure 17) whatever the heat fluxes model. Contrary to the case of forced convection, it can be seen in Figs. 18 and 20 that the predictions of the wall-normal heat flux and, consequently, the mean temperature, are slightly influenced by the introduction of the near-wall effects. The most significant improvement is again for

186 20 F. Dehoux et al. 7 6 u θ DNS Kawamura Re τ = 640 EB-AFM L θ = L EB-AFM L θ = 1.75L AFM y + Fig. 14 The streamwise turbulent heat flux u θ with AFM and EB-AFM flux models (computational results for the forced convection regime, Re τ = 640) DNS Kawamura Re τ = 640 All GGDH and AFM all L θ v θ Fig. 15 The normal-wise turbulent heat flux v θ (computational results for the forced convection regime, Re τ = 640). y +

187 MODELING TURBULENT HEAT FLUXES USING ELLIPTIC BLENDING DNS Kasagi Re τ = 150 U + 10 All GGDH and AFM all L θ y/δ Fig. 16 The velocity profile (computational results for the mixed convection regime, Re τ = 150, Gr = ). 8 6 u u v v w w u v EB-RSM + all GGDH and AFM all L θ R + ij y/h Fig. 17 The Reynolds tensor profile. (Symbols: DNS of Kasagi [18]) (computational results for the mixed convection regime). the streamwise component, but also for the temperature variance, as seen in Fig. 21. Overall, the value L θ /L = 1.75 is an appropriate choice, which confirms the conclusion of section 3.3.

188 22 F. Dehoux et al. 1 DNS Kasagi Re τ = All GGDH and AFM all L θ EB-AFM all L θ T/ T y/δ Fig. 18 The temperature profile (computational results for the mixed convection regime, Re τ = 150, Gr = ) u θ DNS Kasagi Re τ = 150 EB-GGDH L θ = L EB-GGDH L θ = 1.75L EB-AFM L θ = L EB-AFM L θ = 1.75L GGDH AFM 0 0,5 1 1,5 2 Fig. 19 streamwise heat flux u θ (computational results for the mixed convection regime, Re τ = 150, Gr = ). y/δ

189 MODELING TURBULENT HEAT FLUXES USING ELLIPTIC BLENDING ,8 v θ + 0,6 0,4 DNS Kasagi Re τ = 150 GGDH and EB-GGDH all L θ EB-AFM L θ = L EB-AFM L θ = 1.75L AFM 0, ,5 1 1,5 2 Fig. 20 Wall normal heat flux v θ (computational results for the mixed convection regime, Re τ = 150, Gr = ). 15 y/δ 10 DNS Kasagi Re τ = 150 EB-GGDH L θ = L EB-GGDH L θ = 1.75L EB-AFM L θ = L EB-AFM L θ = 1.75L GGDH AFM θ Fig. 21 Temperature variance θ 2 (computational results for the mixed convection regime, Re τ = 150, Gr = ). y/δ

190 24 F. Dehoux et al. 6 Conclusions The main contribution of the present paper is the proposal of a new algebraic model for the turbulent heat fluxes, the EB-AFM, as well as a simplified form, the EB-GGDH. These models are similar to usual AFM and GGDH, but reproduce the influence of the wall on the heat fluxes. They are algebraic versions of the EB-DFM [30], based on transport equations for the turbulent heat fluxes in which the blocking effect of the wall on the scrambling term is reproduced by the elliptic blending approach (hence the EB prefix). Moreover, the analytical justification of the use of the elliptic relaxation approach for the turbulent heat fluxes was introduced, which forms the basis for the EB-DFM. In addition, it was proposed to refine the modeling of the thermal-to-mechanical time-scale ratio R, used to evaluate the dissipation of the temperature variance, in order to impose the correct wall limit, as well as to distinguish the mechanical and thermal length scales in the elliptic blending approach for the Reynolds stresses and the heat fluxes, respectively. The validation of these proposals was carried out using both a priori tests and numerical simulations in forced and mixed convection regimes. The predictions of the streamwise turbulent heat flux and the temperature variance are significantly improved when the nearwall effects are accounted for by elliptic blending. Using a thermal length scale larger than the mechanical length scale proved also beneficial, although the improvement is moderate. On the contrary, in channel flow cases, for fluids with Prandtl numbers close to unity, the wall-normal turbulent heat flux is only moderately affected by the introduction of the effects of the wall, which provides an explanation for the success of standard models (AFM and GGDH) in channel flow configurations, although they derive from a model not valid in the near-wall region. This is to be traced to the fact that, fortuitously, the two limiting values (at the wall and far from the wall) of the variable coefficient driving this component of the heat fluxes are almost equal for Pr = Accounting for the near-wall effects might have an important influence in cases where the Prandtl number is far from unity. References 1. Abe, H., Kawamura, H., Matsuo, Y.: Surface heat-flux fluctuations in a turbulent channel flow up to Re τ = 1020 with P r = and 0.71,. Int. J. Heat Fluid Fl. 25, (2004) 2. Abe, K., Kondoh, T., Nagano, Y.: A new turbulence model for predicting fluid flow and heat transfer in separating and reattaching flows-ii. Thermal field calculations. Int. J. Heat Mass Tran. 38(8), (1995) 3. Archambeau, F., Méchitoua, N., Sakiz, M.: Code Saturne: A finite volume code for the computation of turbulent incompressible flows - Industrial applications. Int. J. on Finite Volume, Electronical edition: ISSN 1634(0655) (2004) 4. Borello, D., Hanjalic, K., Rispoli, F.: Prediction of cascade flows with innovative second-moment closures. J. Fluid Eng.-T. ASME 127(6), (2005) 5. Dol, H.S., Hanjali`c, K., Kenjereš, S.: A comparative assessment in the second-moment differential and algebraic models in turbulent natural convection. Int. J. Heat Fluid Fl. 18, 4 14 (1997) 6. Durbin, P.A.: Near-wall turbulence closure modeling without damping functions. Theor. Comput. Fluid Dyn. 3, 1 13 (1991) 7. Durbin, P.A.: A Reynolds stress model for near-wall turbulence. J. Fluid Mech. 249, (1993) 8. Durbin, P.A.: Limiters and wall treatments in applied turbulence modeling. Fluid Dyn. Res. 41(012203) (2009) 9. Fadai-Ghotbi, A., Friess, C., Manceau, R., Borée, J.: A seamless hybrid RANS LES model based on transport equations for the subgrid stresses and elliptic blending. Phys. Fluids 22(055104) (2010) 10. Fadai-Ghotbi, A., Friess, C., Manceau, R., Gatski, T., Borée, J.: Temporal filtering: a consistent formalism for seamless hybrid RANS LES modeling in inhomogeneous turbulence. Int. J. Heat Fluid Fl. 31(3) (2010)

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192

193 IV A. Fadai-Ghotbi, Ch. Friess, R. Manceau, and J. Borée. A seamless hybrid RANS LES model based on transport equations for the subgrid stresses and elliptic blending. Phys. Fluids, 22(055104), 2010.

194

195 PHYSICS OF FLUIDS 22, A seamless hybrid RANS-LES model based on transport equations for the subgrid stresses and elliptic blending Atabak Fadai-Ghotbi, a Christophe Friess, Rémi Manceau, b and Jacques Borée Department of Fluid Flow, Heat Transfer and Combustion, Institute Pprime, CNRS, University of Poitiers, ENSMA, SP2MI, Bd. Marie et Pierre Curie, BP 30179, Futuroscope Chasseneuil Cedex, France Received 2 November 2009; accepted 24 March 2010; published online 7 May 2010 The aim of the present work is to develop a seamless hybrid Reynolds-averaged Navier Stokes RANS large-eddy simulation LES model based on transport equations for the subgrid stresses, using the elliptic-blending method to account for the nonlocal kinematic blocking effect of the wall. It is shown that the elliptic relaxation strategy of Durbin is valid in a RANS steady as well as a LES context unsteady. In order to reproduce the complex production and redistribution mechanisms when the cutoff wavenumber is located in the productive zone of the turbulent energy spectrum, the model is based on transport equations for the subgrid-stress tensor. The partially integrated transport model PITM methodology offers a consistent theoretical framework for such a model, enabling to control the cutoff wavenumber c, and thus the transition from RANS to LES, by making the C 2 coefficient in the dissipation equation of a RANS model a function of c. The equivalence between the PITM and the Smagorinsky model is shown when c is in the inertial range of the energy spectrum. The extension of the underlying RANS model used in the present work, the elliptic-blending Reynolds-stress model, to the hybrid RANS-LES context, brings out some modeling issues. The different modeling possibilities are compared in a channel flow at Re =395. Finally, a dynamic procedure is proposed in order to adjust during the computation the dissipation rate necessary to drive the model toward the expected amount of resolved energy. The final model gives very encouraging results in comparison to the direct numerical simulation data. In particular, the turbulence anisotropy in the near-wall region is satisfactorily reproduced. The contribution of the resolved and modeled fields to the Reynolds stresses behaves as expected: the modeled part is dominant in the near-wall zones RANS mode and decreases toward the center of the channel, where the relative contribution of the resolved part increases. Moreover, when the mesh is modified, the amount of resolved energy changes but the total Reynolds stresses remain nearly constant American Institute of Physics. doi: / I. INTRODUCTION Problems ranging from noise prediction to fluid/structure interaction or thermal fatigue require the computation of time-dependent characteristics of complex flows. Reynoldsaveraged Navier Stokes RANS computations are often used in industrial configurations because of their low computational cost, which is weakly dependent on the Reynolds number, but are not able to provide unsteady information. On the contrary, large-eddy simulation LES can provide the necessary information by resolving the large-scale structures and modeling the smaller scales, which have a more universal behavior. However, at high Reynolds numbers, the computational cost of LES is too high for complex industrial applications. One reason is that the cutoff wavenumber, separating resolved and modeled scales, must be sufficiently large for the energetic scales to be resolved, leading to the use of fine meshes. In particular, a limitation of LES is the resolution required for the crucial near-wall region, which is to be solved in a quasi-direct numerical simulation DNS mode, in order to avoid the use of wall functions. Therefore, a wide variety of relatively low-cost strategies compared to LES have recently emerged for performing unsteady computations: 1 very large-eddy simulation VLES, 2 limited numerical scales LNS, 3 detached eddy simulation DES, 4 unsteady RANS URANS, 5 9 organized eddy simulation OES, 10 scale-adaptive simulation SAS, 11 partially averaged Navier Stokes, 12 partially integrated transport model PITM, 13,14 and additive RANS/DNS filtering, among others. Computations based on a RANS model in some regions of the flow, in particular in the near-wall zones and on LES in some other regions, where explicit computation of the large-scale structures is required, as in separated zones, are referred to as hybrid RANS-LES computations. When the transition RANS-LES occurs in a continuous manner, the model is said to be seamless or continuous, sometimes global 1 or unified. 18 In homogeneous flows, this type of model can be seen as a LES with a cutoff wavenumber continuously going to zero or, equivalently, as a LES with a filter width continuously going to infinity, this limit corresponding formally to the RANS approach spatial average. For inhoa Present address: SNECMA, Site de Villaroche, Rond-point René Ravaud- Réau, Moissy-Cramayel, France. b Author to whom correspondence should be addressed. Electronic mail: /2010/22 5 /055104/19/$ , American Institute of Physics Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

196 Fadai-Ghotbi et al. Phys. Fluids 22, mogeneous and stationary flows, similar approaches can be formulated in the framework of temporal filtering, leading to hybrid temporal LES-RANS models. 19,20 Using such a model between a RANS region and a LES region, there is necessarily, by continuity, a region where the cutoff wavenumber is located in the energetic part of the spectrum. The challenge is thus to be able to reproduce the complex production and redistribution mechanisms occurring at these scales, which are very difficult, if not impossible at all, to be accounted for using an algebraic relation between the subgrid-stress tensor and the resolved strain tensor. In the context of unsteady RANS, it has been highlighted by several authors, in the case of a turbulent field subject to an imposed, periodic strain e.g., Hadžić, Hanjalić, and Laurence; 21 Carpy and Manceau 22, that a second-moment closure is necessary to provide a correct physical representation. Thus, in the present paper, a model based on transport equations for the subgrid-stress tensor is developed. This approach was initially suggested in the early work of Deardorff, 23 and followed, e.g., by Schumann 24 and more recently by Chaouat and Schiestel 14 and Perot and Gadebusch. 25 The better representation of the physical mechanisms is at the price of a moderate increase in the computational cost, due to the additional transport equations. However, a model that is able to correctly reproduce the physical mechanisms when the cutoff wavenumber is in the energetic range is expected to be able to run in VLES mode far from the wall, i.e., on meshes too coarse to perform a standard LES. A slight coarsening of the mesh can by far compensate for the cost of solving additional transport equations. Another challenge is to provide a theoretical framework to the separation resolved/modeled scales which bridges RANS and LES. Recently, such a theoretical framework has been proposed, 13 the so-called PITM, and used with transport equations for the subgrid-stress tensor and the dissipation rate. 14 As a result of modeling in spectral space, with a variable cutoff wavenumber c, compatibility is guaranteed with RANS c 0 and LES. The originality of the present work is the use of transport equations for the subgrid-scale SGS stresses based on the application of the elliptic-blending strategy to reproduce the nonviscous, nonlocal blocking effect of the wall. Similar to the RANS context, 26 elliptic relaxation is a method based on a theoretical argumentation that enables the reproduction of the influence of the wall on turbulence without the introduction of so-called damping function, which is empirical and lacks theoretical foundations, in particular for unsteady velocity and pressure fields. The present model is thus an adaptation to the hybrid RANS LES approach of the ellipticblending Reynolds-stress model EB-RSM, 27,28 which is a near-wall extension of the Speziale Sarkar Gatski SSG model, 29 using the elliptic relaxation strategy of Durbin. 26 This model was successfully applied to different configurations in a RANS framework. 28,30 36 The aim of the present paper is thus to adapt the ellipticblending model to the hybrid context, using the PITM methodology. 13,14 Section II introduces the general filtering approach of Germano, 37 applied to the Navier Stokes equations, which provides an unified formalism for RANS and LES equations. The model equations of the PITM and the elliptic-blending strategy are presented in Sec. III. The adaptation of the EB-RSM brings out some issues which are exposed in Sec. III C. The numerical methods are provided in Sec. IV A, and then the modeling issues are investigated and discussed in Secs. IV B IV D. Finally, in Sec. V, a dynamic procedure is proposed to adapt the dissipation rate in order to reach the expected balance between resolved and modeled energy. A channel flow at Re =395 is used to evaluate the modeling options, in comparison against DNS data. 38 II. FILTERED EQUATIONS As usual in LES, the formalism is introduced in the frame of homogeneous flows, and extended to inhomogeneous flows afterwards. The instantaneous velocity and pressure fields are denoted by U i and P, respectively. The instantaneous flow is driven by the incompressible Navier Stokes equations U i t U j + U U i j = 1 P + 2 U i, x j x i x j x j =0. 2 x j In the context of LES and hybrid methods, the instantaneous velocity is decomposed into a resolved part Ũ i and a residual part u i, such that U i = Ũ i + u i. The resolved velocity is obtained by the application to the instantaneous velocity of a filter F, of characteristic width f Ũ i x,t = U i = F x, U i,t d, where the brackets denote the filtering operator. The most common filters are the Gaussian filter, the top-hat filter, and the spectral cutoff filter. In the case of a spectral cutoff filter, the cutoff wavenumber separating resolved and modeled scales is defined by c = / f. Wavenumbers smaller than c in the turbulent energy spectrum are explicitly resolved, whereas wavenumbers higher than c are modeled see Fig. 1. The ensemble average. Reynolds average of U i is denoted by U i =U i. The large-scale fluctuation is defined by u i = Ũ i U i, and the total fluctuation by u i = U i U i = u i + u i. Similarly, the instantaneous pressure P is decomposed into a filtered, resolved part P and a residual fluctuating part p. The filtered field is incompressible, i.e., k Ũ k =0, and the filtered momentum equation is written as Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

197 A seamless hybrid RANS-LES model based on transport Phys. Fluids 22, k r = 1 2 Ũ iũ i U i U i = 1 2 u i u i. 12 E(κ) Resolved scales variable cutoff κ c κ d Modelled scales FIG. 1. Color online Definition of the wavenumbers c and d. A noteworthy feature of Eq. 8 is that it is of the same form as the standard RANS equations. When the cutoff wavenumber goes to zero, such that all the turbulent scales are modeled, ij R ij, k r 0, and k m k. In this case, the RANS limit is formally reached in homogeneous flows, and the filtered field corresponds to a spatially averaged field, equivalent to the ensemble-averaged field. 19 This feature provides the basis for consistently bridging RANS and LES methods. D Ũ i = 1 P + 2 Ũ i ij, D t x i x j x j x j where D /D t= t +Ũ k k and ij is the SGS tensor, which is the tensor of the generalized central moments ij = U i,u j defined by a,b = ab a b for any variables a and b. The exact transport equation for ij is given by Germano 37 D ij D t where = U i,u j,u k + 2 ij x k T D ijsgs ijsgs x k x k 2 U i D ijsgs, U j x k x k ijsgs 1 U i, P 1 x j U j, P Ũ j Ũ i ik jk, x i x k x k P ijsgs a,b,c = abc a b,c b a,c c a,b a b c. T P ijsgs, ijsgs, D ijsgs, D ijsgs, and ijsgs represent SGS production, dissipation, viscous diffusion, turbulent diffusion, and velocity-pressure gradient correlation, respectively. Hereafter, ijsgs is called the pressure term for convenience. In homogeneous flows, one of the advantages of using the generalized central moments is that for any filter defined by Eq. 4, the total Reynolds stress R ij =u i u j can be simply decomposed as 37 R ij = Ũ i Ũ j U i U j + ij On the right hand side of Eq. 10, ij is the modeled part of the Reynolds stress, and the term in parentheses represents the resolved part. The total fluctuating kinetic energy is defined by k= 1 2 R ii=k m +k r, where the modeled part is k m = k SGS = 1 2 ii and the resolved part 11 III. EQUATIONS OF THE MODEL In this section, the hybrid RANS-LES approach, to socalled PITM, initially proposed by Schiestel and Dejoan, 13 is first introduced for a detailed presentation of all the steps of the derivation of this approach, the reader is referred to the original articles 13,14,39. Then, the compatibility of the method with Smagorinsky-like models is analyzed in the case of a cutoff wavenumber in the inertial range. In this consistent framework, the SGS transport equations are modeled and, in particular, the accounting of wall effects by elliptic blending is proposed. A. Hybrid RANS-LES approach: The PITM 1. Rationale and equations In seamless hybrid RANS/LES methods, the amount of resolved energy is to be controlled by making the equations of the model dependent on the filter width. As shown by Schiestel and Dejoan, 13 this can be achieved by using a transport equation for the dissipation rate that is a modification of the usual equation used in RANS. In order to know how to modify this equation in order to make it dependent on the cutoff wavenumber, homogeneous turbulence is considered, and the turbulence spectrum is partitioned into three regions, 0, c, c, d, and d,, such that the model is a particular case, reduced to only three spectral zones of the multiscale models proposed by Schiestel c is the cutoff wavenumber, characterizing the filter introduced in Sec. II. The interval 0, c is explicitly resolved, whereas the interval c, is to be modeled. The wavenumber d is defined by the relation d = c + m 3/2 k, m 13 where = SGS = 1 2 jj SGS is the Reynolds-averaged dissipation rate and the constant m is chosen sufficiently large, such that the contribution of the zone d, to the total energy is negligible see Fig. 1. This also implies that the energy transfer at d can be assumed equal to the dissipation rate, i.e., spectral equilibrium is satisfied at this scale. 13 In homogeneous flows, the evolution equation of the energy spectrum reads Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

198 Fadai-Ghotbi et al. Phys. Fluids 22, E t = ija ij + T 2 2 E, 14 where ij is the mean velocity gradient tensor, A ij the spectral tensor integrated over a spherical shell, and T the spectral transfer term. Integrating Eq. 14 in the two ranges of wavenumbers c, and d,, introducing them into Eq. 13 and taking the time derivative, it can be shown, 13 after some algebraic manipulations, that the derivative of the subgrid turbulent energy and the dissipation rate can be written in a form similar to the usual RANS equations dk m = P m 15 dt and d d d dt = C P m 1 C 1 k m dt k m C 2 d c dt d c 2 k m, 16 where P m = P SGS = 1 2 P jj SGS is the production rate of SGS energy. Although these equations are formally similar to the standard RANS equations, they involve SGS rather than Reynolds-averaged variables. In order to guarantee compatibility with the RANS limit, C 2 must be equal to the RANS coefficient C 2 when c =0 and d c /dt=0. This constraint leads to d d = C 1 C 2 dt k d. 17 Introducing Eq. 17 into the value of C 2 defined in Eq. 16, and using the fact that c d, the coefficient C 2 is found implicitly dependent on the filter width through the relation C 2 = C 1 + r C 2 C r=k m /k is the ratio modeled energy over total energy, which is dependent on the cutoff wavenumber. As proposed by Schiestel and Dejoan, 13 using a spectral cutoff filter and a Kolmogorov energy spectrum, the ratio r can be linked to the cutoff wavenumber c by r = 1 E d = 1 C K 2/3 5/3 d k c k c = 3C K k 3/2 2/3 c It is worth pointing out that in the present section, the study of the way to modify the dissipation equation is carried out using Fourier transforms in homogeneous flows. Consequently, Eq. 16 involves averaged quantities, k m, and P m. It is assumed that the relations between averaged quantities obtained in spectral space can be applied to filtered quantities. Therefore, Eq. 16 will be solved for the filtered dissipation rate SGS = 1 2 jj SGS, sensitized to the cutoff wavenumber by Eq. 18. This practice corresponds to assuming that the level of SGS energy k SGS will fluctuate around the average value k m, which is controlled by the variable C 2 coefficient. However, since the relations 16 and 18 are true only for averaged quantities, transposing them to resolved, fluctuating quantities does not ensure that the expected ratio r of resolved energy over total energy will be reached in the simulations. This issue will be addressed in Sec. V. Moreover, the flows considered being inhomogeneous, molecular and turbulent diffusion terms will be introduced in the equations. 2. Compatibility with the Smagorinsky model In the present approach, contrary to standard LES, the characteristic length scale of subgrid turbulence is not directly related to the grid, but evaluated using the dissipation rate given by Eqs. 16 and 18. This equation can be associated with an eddy-viscosity model, 13 as well as a secondmoment closure. 14 The parameter r controls the transition from a RANS to a LES behavior, the RANS equation being recovered when r=1. When r is reduced, typically around the value 0.2, the cutoff wavenumber is well in the inertial range of the energy spectrum. The aim of this section is to show the compatibility of the hybrid approach with standard LES in this case. If spectral equilibrium is assumed, a Kolmogorov spectrum can be used E = C K 2/3 5/3, 20 with C K 1.5. The SGS kinetic energy defined by Eq. 11 then reads k m = c E d = 3C K 2 2/3 c 2/3. 21 If, as usual in LES, the cutoff wavenumber is related to the mesh size by c = /, Eq. 21 leads to = 3/2 k 3C m K 3/ , 22 which shows that in case of spectral equilibrium, the length scale of subgrid turbulence is directly linked to the mesh size, similarly to LES. However, this is only a particular case, and the PITM does not assume spectral equilibrium at the cutoff wavenumber c, but only at wavenumber d,as mentioned in Sec. III A 1. When the mesh is locally coarse compared to a LES mesh, the cutoff wavenumber can be located in the productive zone of the spectrum, where equilibrium is rarely achieved, and in such a case, determining the length scale through transport equations for dissipation and SGS energy or SGS stresses is crucial. In the inertial range of the spectrum, second-moment closures and eddy-viscosity models for the SGSs are equivalent, due to the equilibrium and the isotropy pertaining to these scales, such that the following analysis is restricted to an eddy-viscosity model, for simplicity. The subgrid viscosity is written as Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

199 A seamless hybrid RANS-LES model based on transport Phys. Fluids 22, k SGS t = C, 23 SGS where C is a constant to be determined. Local equilibrium and Boussinesq relation imply 2 k SGS = SGS = C S 2, 24 SGS with S ij=1/2 j Ũ i + i Ũ j and S = 2S ij S ij. Writing 2 k SGS S 2 = k m S 2, SGS 2 25 where is a correlation coefficient, and combining Eq. 24 with Eq. 21 leads to = 3/2 C 3/2 3C 3 K 2 S 2 2 3/2. 26 Now, the Smagorinsky model yields = C s 2 S 3, 27 where the usual evaluation 43 of the Smagorinsky constant is C s = 1 2 3C K 3/4 S 23/2 S 3 1/2. 28 Compatibility between Eqs. 26 and 27 then requires C = C K. 29 Since 2/3C K , if the correlation coefficient is assumed to be close to unity, the compatibility with the Smagorinsky model is ensured if the standard RANS value C 0.09 is chosen. It is worth pointing out that if the correlation coefficient is lower than unity, the coefficient C is to be increased for cutoff wavenumbers in the inertial regions, which is against intuition. This result shows that the PITM, which is obviously compatible with standard RANS models when the cutoff wavenumber is equal to zero r=1, k m =k, is also compatible with standard LES, when the cutoff wavenumber is in the inertial range. This is consistent with previous numerical studies showing the behavior of the PITM in the case of decay of isotropic turbulence, both using subgrid-viscosity models 13 or, very recently, subgrid-stress models. 44 When the model is neither in RANS mode nor in LES mode, i.e., when the cutoff wavenumber is in the productive region of the spectrum VLES mode, the situation is different. The SGSs are subject to large-scale strain variations, and in such a case, the eddy-viscosity models fail and, in particular, the phase shift between stress and strain must be accounted for. 22,45 Several authors 10,46 showed that reducing the value of C is beneficial in this case, but such models are not compatible with the LES limit, which cannot be reached by reducing C, as shown by the analysis above. The alteration of the length scales linked to the location of the cutoff wavenumber must be accounted for by another mechanism, which can be a modification of the dissipation rate in the subgrid energy equation DES or of the transport equation for the dissipation rate PITM. B. Elliptic-blending model in the hybrid context In case of a wall-bounded LES at very high Reynolds number, the near-wall regions must be solved in a quasi-dns mode, leading to a dramatic increase in the computational cost. One of the aims of the hybrid methods is to solve these regions in a RANS mode, which is cheaper and weakly dependent on the Reynolds number. A second aim of the hybrid methods is to allow relatively coarse meshes, meaning that the cutoff wavenumber can be in the productive range of the spectrum. In this range, important complex physical processes must be taken into account, such as production and redistribution. A second-moment closure provides a much better representation of these physical processes, in comparison to eddy-viscosity models, as can be shown by studying the interaction of a turbulent background with a time-varying strain. 21,22 In Eq. 8, subgrid-stress production P ijsgs and viscous diffusion D ijsgs do not require modeling, and models will be discussed for the pressure ijsgs, dissipation ijsgs, T and turbulent diffusion D ijsgs terms. 1. Pressure term The most crucial term to be modeled in Eq. 8 is the pressure term ijsgs, which is at the origin of the redistribution mechanisms and the nonlocal blocking effect due to the wall. The latter effect can be taken into account in singlepoint RANS closures using the elliptic relaxation strategy of Durbin, 26,47 or simplified formulations such as the EB-RSM, 27,28 which has been successfully applied in many flows, 28,30 36 in a RANS context. An adaptation of the EB- RSM is used here in the hybrid context for several reasons. First, unlike classical near-wall models, the EB-RSM does not make use of damping functions, which are arbitrary and, in principle, not valid for fluctuating quantities. On the contrary, it will be shown in the present section that the elliptic relaxation approach and, consequently, its simplified form, the elliptic-blending approach, are valid for filtered quantities, since they are derived from the Poisson equation for pressure fluctuations and asymptotic behaviors in the vicinity of the wall, which are formally identical in the RANS statistical averaging and the hybrid filtering formulations. Therefore, the main objective of the present work, compared to existing hybrid models based on transport equations to account for SGSs, 13,14,25 is to avoid the use of damping functions in the near-wall region by introducing the nonlocal effects through elliptic blending. Finally, the elliptic-blending model is numerically robust, contrary to other models based on elliptic relaxation, for which the boundary conditions lead to strong numerical instabilities, and it is also less expansive since a single additional equation is to be solved, compared to the six additional equations of the original elliptic relaxation method of Durbin. 26 In the present section, the validity of the elliptic relaxation strategy for filtered quantities is first demonstrated. Then, the simplified formulation, the so-called elliptic-blending approach, is adapted to the hybrid context. Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

200 Fadai-Ghotbi et al. Phys. Fluids 22, a. Elliptic relaxation strategy in the hybrid context. Subtracting the filtered equation 7 from the instantaneous equation 1, one can deduce the evolution equation for the subgrid fluctuating field u i + u u i t j = 1 p + 2 u i x j x i x j x j + ij Ũ i u x j Ũ j u i, 30 j with the kinematic incompressibility constraint j u =0. j Taking the divergence of Eq. 30, it is deduced that the residual fluctuating part of the pressure, and therefore its gradient, satisfy a Poisson equation 2 p x k = x k 2 Ũ i x j u j x i S k 2 u x i x i u j ij j. 31 Using Green s formalism, 48,49 the solution to Eq. 31 is given by p x x k = S k x + r dr, 32 4 r where 1/ 4 r is Green s function associated with the operator 2. The time dependence of the variables is not explicitly written in order to simplify the notation. As shown by Eq. 32, the subgrid pressure gradient is nonlocal since it results of a spatial integration. Assuming a spectral cutoff filter to simplify the formalism, the pressure term, defined in Eq. 8, can be written as ijsgs = u i p x j u p j 33 x i. Note that the following results can be extended to any filter. Using Eq. 32, the integral equation of ijsgs reads u i x S j x + r + u x S j i x + r ijsgs x dr. = D 4 r 34 Similar to the elliptic relaxation model applied in the RANS context, 47 a simple shape is assumed for the two-point correlation, of the form u i x S j x + r + u x S j i x + r = u i x + r S j x + r + u x j + r S i x + r exp r L SGS, 35 where L SGS is a correlation length scale. The main difference between Eq. 35 and the one found in RANS lies in the fact that the former is written for filtered variables, while the latter is written for Reynolds-averaged variables. Consequently, the length scale, which was modeled as a function of Reynolds-averaged quantities in RANS, must in the present case be modeled as a function of SGS quantities, and as such, will be dependent on the cutoff wavenumber. This modeling issue will be investigated in Sec. IV. The use of an isotropic form of the correlation function, with the same length scale for all the directions, is a strong assumption. The validity of this approximation was investigated, by extracting the correlation function from a DNS database, by Manceau et al. 48 in the frame of RANS modeling. It was shown that the correlation function is indeed strongly anisotropic in the near-wall region, but also that the main consequence of the isotropic assumption, the underestimation of wall-blocking in the logarithmic layer, is due to the asymmetry of the correlation function in the wall-normal direction. The elongation in the tangential directions does not affect the redistribution process, due to statistical homogeneity, and, consequently, it was shown that the length scale entering the modeled, isotropic correlation function must be calibrated in order to correctly reproduce the nonlocal effects in the wall-normal direction. Furthermore, several modifications of the elliptic relaxation model were proposed to enhance the wall-blocking in the logarithmic layer, 48,50 52 but the elliptic-blending approach, 27 a simplification of elliptic relaxation, introduced in Sec. III B 1 b, does not exhibit this weakness. In the frame of hybrid RANS/LES, the elongation of the correlation function in the directions tangent to the wall cannot be rigorously neglected, since the redistribution term is not constant in these directions anymore. However, since the hybrid formulation presented in the subsequent sections enforces the RANS mode in the near-wall region, the gradients in the tangential directions remain weak and the main effect to be reproduced is still the nonlocality in the wall-normal direction. The unique length scale entering Eq. 35 will be carefully calibrated in Sec. IV C to reproduce this effect. Since the length scale of the correlation function in Eq. 34 is shorter in the wall-normal direction than in the other directions, 48 this procedure can, however, lead to an underestimation of the nonlocal effect in the tangential directions. Using the model equation 35, the integral equation for ijsgs becomes ijsgs x u i x + r S j x + r + u x j + r S i x + r = D exp r 4 r L SGS dr. ij x+r 36 The function exp r /L SGS / 4 r being Green s function associated with the operator 2 2 1/L SGS, Eq. 36 is the solution of the so-called elliptic relaxation equation 2 ijsgs L SGS 2 ijsgs = L 2 SGS ij. 37 Again, this result shows that the RANS Reynolds-averaged and hybrid filtered versions of the elliptic relaxation model are formally identical, although they are written for different variables. Following the common practice in RANS, the Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

201 A seamless hybrid RANS-LES model based on transport Phys. Fluids 22, right hand side of Eq. 37 can be modeled using a local model h ij, i.e., a model that does not account for the nonlocality of the pressure term presented above, such that 2 ijsgs L SGS 2 ijsgs = h ij. 38 The particular model used for h ij will be detailed in Sec. IIIB1b, dedicated to the elliptic-blending model, which is a simplified formulation of the elliptic relaxation model. b. Elliptic-blending model in the hybrid context. As noted by Manceau and Hanjalić 27 in RANS, the system 38 is somewhat redundant since it applies the same operator, with the same correlation length scale, to all the components of ijsgs. Consequently, they proposed to reproduce the nonlocal effect using a simplified formulation, with a single differential equation instead of six. First, the elliptic relaxation equation is solved for a blending coefficient 2 L SGS 2 =1. 39 The elliptic-blending strategy then consists in blending the homogeneous away from the wall and the near-wall models of the pressure term ijsgs using ijsgs = 1 f w ij + f h ij. 40 Originally, Manceau and Hanjalić 27 used f =k as the blending function in this equation, but Manceau 28 showed that using a power of is equivalent close to the wall and avoids erroneous behaviors in several configurations. Therefore, f = 3 is used in the present work. The boundary condition of Eq. 39 at the wall is simply =0, such that goes from zero at the wall, to unity far from the wall. This parameter is an implicit indicator of the distance to the wall. The choice of the correlation length scale L SGS is crucial and will be discussed in Sec. IV. In the RANS context, Manceau and Hanjalić 27 showed that the appropriate form of w ij can be obtained by an analysis of the asymptotic behaviors at the wall, in order to satisfy the balance between the pressure, molecular diffusion, and dissipation terms in the vicinity of the wall. Since in the present approach, the near-wall zone will be treated in RANS mode, the near-wall form w ij used in RANS does not require modification to be used in the hybrid model. It will appear in the results below that the near-wall region is never fully steady, since it is subject to large-scale oscillations coming from the outer region, but the analysis of Manceau and Hanjalić 27 already accounted for this possibility. Therefore, the same form as in RANS can be used w ij = 5 SGS ik n j n k + jk n i n k 1 k SGS 2 kln k n l n i n j + ij, 41 where n= / is a generalized wall-normal vector. Due to the formal equivalence of RANS and LES motion equations see Sec. II, the SSG model of Speziale et al., 29 usually applied in a RANS context, is assumed to be h applicable here for ij h ij = g 1 + g P SGS 1 SGS b ij + g 3 g bkl 3 b kl k SGS S ij SGS + g 4 k SGS b ik S jk + b jk S ik 2 3 b lms lm ij + g 5 k SGS b ik jk + b jk ik, 42 where S ij=1/2 j Ũ i + i Ũ j and ij=1/2 j Ũ i i Ũ j are, respectively, the rate of strain and rotation tensor based on the resolved velocity, and b ij = ij / 2k SGS ij /3 is the SGS anisotropy tensor. The constants are g 1 =3.4, g 1 =1.8, g 3 =0.8, g 3 =1.3, g 4 =1.25, and g 5 =0.4. Obviously, the ensembleaveraged quantities used in RANS are replaced by the filtered quantities. Considering that a RANS model for the pressure term can be used without modification in the filtered equations is a strong assumption, but in the absence of DNS data providing the budgets of the subgrid-stress transport equation, this is a reasonable choice. A recalibration of the coefficient would probably improve the accuracy of the model, but such a procedure also requires an appropriate DNS database. Chaouat and Schiestel 14 proposed a modification of the coefficient of the slow part of the pressure term function of the cutoff wavenumber, in order to increase the return to isotropy in the inertial range. The influence of such a modification in the present model first term in the right hand side of Eq. 42 is investigated in Sec. IV D. 2. Dissipation rate In hybrid RANS/LES, the cutoff wavenumber of the filter is supposed to be located far before the dissipative scales, such that the dissipation rate ijsgs of the subgrid stress ij is, in average, very close to the usual dissipation rate ij of the Reynolds stress u i u j, i.e., ijsgs ij. The assumption of isotropy of the dissipation is a matter of debate, 53 but in RANS second-moment closures, ij is usually modeled by the isotropic expression 2 3 ij, and the departure from isotropy the deviatoric part is assumed to be contained in the model for the slow part of the redistribution term. 54 Although ijsgs, the dissipation rate of the subgrid stress, is likely to be more anisotropic than its average ij, in the absence of a DNS database for the budgets of the subgrid stress, the abovementioned decomposition between the deviatoric part, grouped together with the slow part of the pressure term ijsgs, and the isotropic part 2 3 SGS ij, is considered as valid, at least far away from the wall. Moreover, a recalibration of the slow part is considered in Sec. IV D. Near the wall, the hybrid model is in RANS mode, and thus a RANS model can be used. In order to extend the validity of the SSG model 29 to the near-wall region, Manceau and Hanjalić 27 showed that the model of Rotta, 55 ij = u i u j /k, can be associated with the near-wall form Eq. 41 of the pressure term, such that the exact asymptotic behavior of the Reynolds stress is satisfied. Moreover, following the RANS practice, 27 in order to bridge the near-wall and far away from the wall forms of the dissipation rate tensor, similarly to the pressure term, the two forms of the model are combined, leading to Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

202 Fadai-Ghotbi et al. Phys. Fluids 22, ijsgs = 1 f ij SGS + f 2 k SGS 3 SGS ij. 43 The dissipation rate involved in Eq. 43 is provided by the transport equation D SGS D t = C 1 P SGS T C SGS 2 T + lm + C e T lm SGS. 44 x l x m Following the PITM methodology described in Sec. III A, the C 2 coefficient is dependent on the cutoff wavenumber Eq. 18, with C 1 =1.44 and C 2 =1.83. Since the flow considered will be inhomogeneous, transport terms have been incorporated. The turbulent diffusion term is modeled by the generalized gradient diffusion hypothesis, 56 with C e =0.18. Following Manceau and Hanjalić, 27 to avoid singularities at the wall, the subgrid time scale is bounded by the Kolmogorov scale T = max k SGS,C T SGS 45 SGS, with C T =6.0, and to take into account the increase in the production of dissipation in the near-wall zone, the coefficient of the generation term in the dissipation equation is taken as C 1 = C 1 1+A 1 1 f k SGS 46 ij n i n j, with A 1 =0.03 and n being the generalized wall-normal vector. This formulation gives the classical value C 1 far from the wall, and a larger value in the near-wall zone. The boundary condition at the wall subscript w for the dissipation rate is SGSw = lim 2 k SGS 2 x n 0 x, 47 n where x n is distance to the wall. 3. Turbulent diffusion The generalized gradient diffusion hypothesis of Daly and Harlow 56 is extended to the diffusion process of the SGS stresses T D ijsgs = ij d T lm 48 x l C x m, where C d =0.21 and the time scale is given by Eq. 45. C. Modeling issues As mentioned above, some modeling issues remain and must be discussed. Some of them are related to the PITM methodology and others are due to the development of an elliptic-blending model in the hybrid context. The value of the RANS-LES transition parameter r must be chosen as a function of the cutoff wavenumber in such a way that it is consistent with both RANS and LES. The issue of explicitly relating r to the cutoff wavenumber is addressed in Sec. IV B. The elliptic relaxation equation 39 enables to account for the nonviscous, nonlocal blocking effect of the wall on the subgrid stress. This kinematic effect reflects the incompressibility condition for the nonresolved scales. In a hybrid context, the blocking of the large scales, which are explicitly resolved, follows from the explicit resolution of the continuity equation k Ũ k =0. The elliptic blending aims at imposing the blocking effect only on the modeled scales, which implies that the correlation length scale L SGS, entering Eq. 39, must be decreased compared to the RANS case, where all the scales of motion are modeled. This issue is addressed in Sec. IV C. It is usual to assume that small scales return to isotropy faster than the large scales e.g., Hinze 57 or Pope 58, which could be reproduced, as suggested by Chaouat and Schiestel, 14 by making the slow part of the pressure term a function of the filter width. The necessity of doing such a modification is addressed in Sec. IV D. To investigate these issues, the test case of a channel flow is considered at Re =u h/ =395, where h is the channel half-width and u the friction velocity, and results are compared to DNS data. 38 The streamwise, wall-normal, and spanwise directions are, respectively, denoted by x, y, and z. In all the following figures, the quantities will be presented in wall units, the reference velocity and length scale being u and /u, respectively. IV. INVESTIGATION OF THE MODELLING ISSUES A. Numerical method Computations are performed with Code_Saturne, a parallel, finite volume solver on unstructured grids, developed at EDF. 59 Spatial discretization is based on a collocation of all the variables at the center of gravity of the cells. Velocity/pressure coupling is ensured by the SIMPLEC algorithm, with a Rhie and Chow interpolation in the pressurecorrection step e.g., Ferziger and Perić 60. The Poisson equation is solved with a conjugate gradient method. Time advancement is based on a Crank Nicolson scheme. Spatial derivatives are approximated by a second-order centraldifference scheme for the resolved velocity field and a firstorder upwind-difference scheme for the subgrid turbulence field. The computational domain is 8h, 2h, and 4h long in streamwise, wall-normal, and spanwise directions, respectively, corresponding to 3160, 790, and 1580 in wall units. The reference mesh M 0 contains = cells. This mesh is chosen too coarse x + =50, z + =25 in the near-wall region to perform a well-resolved LES, which requires with the present second-order numerical method x + =20 and z + =10, but sufficiently fine and isotropic in the outer region to enable the model to approach the LES mode. One of the important features expected from a hybrid Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

203 A seamless hybrid RANS-LES model based on transport Phys. Fluids 22, TABLE I. Value of 0 as a function of the parameter C g see Eq. 51. C g RANS-LES model is the ability to safely and progressively return to the RANS solution when the mesh is coarsened. In order to assess the behavior of the model in such a case, a second mesh, M, is designed, by reducing the number of cells in the streamwise and spanwise directions by a factor of 2. Due to the rapid variations in space and time of the resolved field, it is found necessary to average the strain tensor in the homogeneous directions, before evaluating the source terms of the subgrid-stress transport equations, similar to what was done by Chaouat and Schiestel, 14 to sustain fluctuations in the resolved field. This procedure is used only to aid the development of the model, in order to test the different modeling issues. Since it is not physically justified, the last section of this article Sec. V, is devoted to the development of a dynamic procedure, aiming at helping the model to sustain the expected amount of resolved energy. Although the theory provides the link Eq. 18 between the coefficient C 2 and the ratio modeled energy over total energy r, the ratio observed in the simulations is not necessarily the expected ratio. B. Modeling of the parameter r The first modeling issue concerns the choice of the parameter r, which is the ratio of the modeled to the total energy. This ratio enters the evaluation of the C 2 coefficient in the dissipation equation Eqs. 44 and 18. The filter width is related to the local mesh size = x y z 1/3 by f =C g /2, where C g 2 is a constant, such that the cutoff wavenumber can be written as c = 2 C g. 49 Using definition 49, and introducing for convenience the dimensionless cutoff wavenumber c c = k 3/2, Eq. 19 can be written as r = 1 2/3 where 0 = 2 0 c 3C K 2 2/3 C g Table I gives the value of 0 as a function of the parameter C g. The relevant value of C g will be investigated at the end of this section. Equation 51 is not compatible with the RANS limit lim c 0r=1, simply because the Kolmogorov 5/3 power law is not valid at large scales. A first possibility to correct this shortcoming is to bound r, 1 r MIN = min 1; 0 2/3. 52 c This formulation will be denoted as MIN hereafter. Some authors 13,14 proposed another simple empirical choice r CS = c 2/3. 53 Formulation 53 will be denoted as CS hereafter. Schiestel and Dejoan 14 proposed the use of the von Karman spectrum to evaluate r q E = C K 2/3 C K q +1 3/2 m 1 + m 1 m+q / m 1, k 54 with m=5/3. The total fluctuating kinetic energy k is given by the integration of Eq. 54 between =0 and =. Note that in decaying turbulence, the dissipation rate is given by the time derivative of the kinetic energy, i.e., = dk/dt, and that d /dt= C 2 2 /k. Combining these results, the following relation can be obtained see Schiestel and Dejoan 13 for more details : 3q +5 C 2 = 2 q +1, 55 which gives q 2.03 for C 2 =1.83. The parameter r is evaluated by integration of Eq. 54 between = c and =, and is denoted as VK 3/2 q+1 2 r VK = q +1 c 0 2/3. 56 It can be easily seen that this formulation is compatible with the RANS limit. Table II gives a summary of the different formulations for the parameter r tested in the present work. The integral length scale k 3/2 / enters the evaluation of the parameter r through the dimensionless wavenumber c. TABLE II. Different semiempirical proposals for the parameter r. Acronym MIN VK Formulation r =min 1; 1 c 0 2/3 2 r = q +1 c 0 2/3 1 CS r = 2/ c EB 3/2 q+1 r =min 1; c 2/3 Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

204 Fadai-Ghotbi et al. Phys. Fluids 22, r cs min vk eb Solid lines: Mesh M 0 Dashed lines: Mesh M y + FIG. 2. Color online Profile of the parameter r given by the different formulations for 0 =0.20. See Table II for the definition of the acronyms. However, the total turbulent kinetic energy k is not known at the beginning of the computation. In the present section, the integral scale is evaluated from a preliminary RANS computation performed with the EB-RSM. This approach is not problematic in a channel flow because the length scales given by the average PITM solution are close to those given by the RANS model. However, in other kind of flows, such as massively separated flows, the averaged PITM results are expected to be different from the RANS results. In such flows, it will be crucial, after a transient phase, to update the integral length scale during the computation. Therefore, the evaluation of the length scale during the computation will be introduced once the final form of the model is chosen, i.e., in Sec. V. Figure 2 shows the profile of r for the different formulations. Using formulation CS for r with mesh M,itisnoticed that the condition 0 c 2/3 1 is not satisfied at the center of the channel, such that the formulation 51, based on the Kolmogorov law, is not asymptotically approached. Figure 3 shows the influence of the particular form of r on the prediction of the resolved, modeled, and total streamwise component of the Reynolds stress for the mesh M.Itis observed that the resolved part of the Reynolds stress increases very rapidly as a function of the distance to the wall and is strongly overestimated, even on this coarse mesh. The same results are obtained with formulation VK not shown here. This behavior seems to be related to the fact that formulations CS and VK do not involve the distance to the wall, and thus the transition RANS-LES completely relies on the mesh, and can occur too close to the wall. The same problem is faced with the original DES formulation, which motivated the development of delayed detached-eddy simulation DDES, 61 in order to avoid artifacts such as mesh-induced separation. In the elliptic-blending framework, it is proposed to blend the value of r near the wall r=1 and its theoretical value, given by Eq. 51, valid far from the wall, as r EB = min 1; 1 p + p 1 0 2/3, 57 c where is the blending parameter solution of Eq. 39 and p is a positive constant. Formulation 57, denoted EB hereafter, enables a better control of the transition RANS-LES, as shown on Figs. 2 and 3 because r is not only a function of the local cell size, but also of the distance to the wall, through the parameter. Using the exact asymptotic behavior at the wall of the different quantities in a fully developed channel flow, i.e., k y 2, 1, and y, and assuming that y n, it is easy to show that c y 3 n and thus p 1 2/3 0 ys, 58 c where s= p n. In order to have a correct asymptotic behavior of r at the wall in Eq. 57 i.e., r 1, s 0 must be imposed, which leads to p n. 59 Since the near-wall zone is to be solved in RANS mode, it can be assumed that x 1, z 1, and y y near-wall clustering, implying n=1/3 and p 16/9. For simplicity, p is chosen as an integer p=2. For this value of p, it is noticed that Eq. 59 is satisfied for any positive value of n. With formulations VK and CS, r decreases very quickly with the wall distance, and thus, the transition to a LES calculation is too close to the wall, explaining the severe overestimation of the Reynolds stress see Fig. 3. Formulations MIN and EB are very similar in the case considered here, and have a satisfactory behavior in the vicinity of the wall. Formulation EB will be chosen for all the tests done in the following sections. A range of values have been tested for the C g parameter, which enters the evaluation of 0 Eq. 51. Indeed, the highest wavenumber that can be obtained on a given mesh depends on the numerical scheme, and Ghosal 62 recommends the value C g =6 for a second-order central-difference scheme. For large values of C g C g 10, r=1 is obtained all across the channel with the formulation EB for r, leading to a RANS solution. When C g is too low, the cutoff wavenumber is increased, leading to a decrease in the modeled part of the Reynolds stress and a consequent increase in the resolved part, especially near the walls. Thus, for C g 4.5, the total Reynolds stresses are strongly overestimated. In the range 4.5,10, the turbulence statistics are weakly dependent on the value of C g. The optimal value is found to be C g 6.5, corresponding to 0 =0.20, which is very close to the value suggested by Ghosal. 62 C. Length scale for the wall-blocking effect The second modeling issue concerns the choice of the correlation length scale L SGS for the wall effects. Theoretical e.g., Hunt and Graham 63 and DNS studies 64 showed that the structures of the flow, and the associated length scales, are strongly affected by the presence of a solid boundary even in the absence of mean shear because of the blocking Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

205 A seamless hybrid RANS-LES model based on transport Phys. Fluids 22, dns sgs res tot dns sgs res tot y y + FIG. 3. Color online Influence of the form of r on the resolved RES=u u +, modeled SGS= + 11, and total TOT=R + 11 =RES+SGS streamwise component of the Reynolds stress. Mesh M, 0 =0.20. Left: formulation CS Eq. 53. Right: formulation EB Eq. 57. effect, which is nonlocal. Indeed, through the pressure field, the kinematic impermeability condition at the wall affects the flow up to an integral scale from the wall. 63 The length scale L SGS in Eq. 39 characterizes the distance at which the nonlocal kinematic blocking of the wall is felt by the nonresolved motion. On the contrary, this effect is explicitly imposed on the resolved scales via the resolution of the continuity equation. Therefore, in the hybrid context, the length scale of the nonresolved fluctuations is dependent on the filter width, and the modeling of the length scale must be consequently modified. L SGS must be smaller than its RANS counterpart L, in order to characterize only the modeled scales. In a RANS framework, the elliptic relaxation equation Eq. 39 is solved, with the correlation length scale given by L = C L max k3/2,l b. 60 L b is related to the Kolmogorov scale L by L b =C L. The coefficients are C L =0.161 and C =80. In order to illustrate the influence of this length scale, it is noted that the solution of Eq. 39 can be well approximated by y =1 exp y 61 L SGS, with a constant length scale, where L SGS must be lower than the admissible value for a RANS computation. Figure 4 shows the profile of the blending coefficient calculated with the EB-RSM in a RANS framework. It can be seen that using the constant length scale L=0.06h yields a blending coefficient very close to the one obtained using Eq. 60. When the length scale is reduced to L=0.04h, reaches the asymptotic value =1 closer to the wall, such that the wall blockage, active where 1, is reduced. The effect of this reduction on the anisotropy is shown in Fig. 5 by comparing the wall-normal component of the Reynolds stress resolved, modeled, and total, obtained with L SGS =0.04h and 0.06h. It is seen that the decrease in L SGS modifies the anisotropy, by reducing the blocking effect, i.e., the inhibition of the redistribution from 11 to 22. As expected, the blocking effect only affects the SGSs, leaving the resolved scales almost unchanged. Reducing further the correlation length scale is attractive, since R 22 is underestimated. However, Fig. 6, which compares the velocity profiles obtained with three values of L SGS, illustrates the fact that this length scale also influences the mean velocity profile, through the blocking imposed on 12. By artificially imposing a constant length scale L SGS,it has been shown that in the hybrid formulation, it is necessary to reduce this length compared to the RANS value. This reduction can be achieved in a natural way, by replacing the integral length scale k 3/2 / in Eq. 60 by the length scale characterizing the largest subgrid eddies k 3/2 SGS / SGS. When the cutoff wavenumber increases, the scale of the largest subgrid eddies decreases, such that the region over which the blocking effect of the wall is felt by the SGSs progressively vanishes, according to Eq. 39. This behavior is consistent with the analysis of Sec. III B1a,inparticular Eq. 35, in which L SGS is defined from the two-point correlations for the SGSs. As the integral length scale k 3/2 / is decreased by a factor r 3/2 to obtain k 3/2 SGS / SGS in the hybrid context, it is proposed to decrease the scale L b by the same factor, leading to α EB-RSM (RANS) L sgs =0.06h L sgs =0.04h y + FIG. 4. Profile of the blending coefficient calculated with the EB-RSM in a RANS framework. Comparison with Eq. 61 with L SGS =0.06h and L SGS =0.04h. Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

206 Fadai-Ghotbi et al. Phys. Fluids 22, dns sgs res tot 1 dns sgs res tot y y + FIG. 5. Color online Influence of L SGS on the resolved RES=v v +, modeled SGS= + 22, and total TOT=R + 22 =RES+SGS wall-normal component of the Reynolds stress. Left: L SGS =0.06h RANS value. Right: L SGS =0.04h. L SGS = C L max k 3/2 SGS,r 3/2 3/4 C 1/4. 62 SGS SGS At the RANS limit r=1, Eq. 60 is recovered. Using formulation 62, Figs. 7 and 8 show the contribution of the resolved and modeled scales to the total shear stress and turbulent energy, respectively. It can be seen that near the wall, the SGS part is dominant RANS mode and decreases toward the center of the channel, where the resolved part in turn becomes dominant LES mode. When the mesh is coarsened, the cutoff wavenumber, proportional to the inverse of the cell size, is decreased, and the balance modeled/resolved contributions is modified as expected: the resolved large-scale part decreases and the modeled SGS part increases. However, Figs. 7 and 8 also show that the contribution of the SGSs is very small on the reference mesh M 0, leading to a pseudo-dns coarse DNS at the center of the channel. This behavior is identified to be due to the artificial averaging in the homogeneous directions of the sources terms of the subgrid-stress transport equations: with the dynamic procedure presented in Sec. V, the model will exhibit a higher level of subgrid energy. Figure 9 shows the normal components of the Reynolds stress obtained using this formulation Eq. 62. Itisobserved that the normal stresses are globally well reproduced, even though the streamwise component is overestimated in U dns L sgs =0.04h L sgs =0.05h L sgs =0.06h FIG. 6. Color online Influence of L SGS on the mean velocity profile. Mesh M and given by Eq. 61. y + the central part of the channel, and the wall-normal and spanwise component are underestimated. The main objective of the introduction of elliptic blending in the model is reached, i.e., the blockage of the wall-normal fluctuations, which is necessary to obtain a correct reproduction of the anisotropy in the near-wall region. D. Modification of the pressure term It is usual to assume that the small scales return to isotropy faster than the large scales. When the cutoff wavenumber is in the inertial range of the turbulent energy spectrum, the structures can be considered as isotropic with a good accuracy e.g., Hinze 57 or Pope 58. In the model, the pressure term is decomposed into a rapid part, depending directly on the velocity field, and a slow part. It is worth recalling that the model for the slow part also accounts for the deviatoric part of the dissipation term, as mentioned in Sec. III B 2. In the hybrid context, Chaouat and Schiestel 14 suggested a modification of the slow part in order to increase the return to isotropy of the small scales. Following Schiestel, 65 they proposed to introduce an empirical parameter f SGS 1 function of the cutoff wavenumber, with lim c 0f SGS =1, in order to remain consistent with the RANS limit. It is recalled that in the elliptic-blending framework, the pressure term ijsgs is decomposed into the homogeneous contribution h ij, valid away from the wall, and the near-wall contribution w ij, as shown by Eq. 40. The former, given here by the SSG model 29 Eq. 42, can be decomposed into a rapid part h,r ij and a slow part h,s ij, given by h,s ij = g 1 + g P SGS 1 SGS b ij. 63 SGS In the hybrid elliptic-blending context, the homogeneous part of the pressure term is modified as h ij = f SGS h,s ij + h,r ij. 64 Since the aim of the hybrid methodology is to perform a RANS calculation near the wall, w ij does not require any modification compared to the RANS model. Two formulations of f SGS have been tested in the present work. The first one, denoted as P-CS, was proposed by Chaouat and Schiestel 14 Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

207 A seamless hybrid RANS-LES model based on transport Phys. Fluids 22, dns sgs res tot 0.5 dns sgs res tot y y + FIG. 7. Color online Profile of resolved RES=u v +, modeled SGS= + 12, and total TOT=R + 12 =RES+SGS shear stress. Formulation EB for r and L SGS given by Eq. 62. Left: mesh M 0 ; Right: mesh M. f SGS = 1+ 2 c 2 1+, 65 c where =1.5 is a constant originating from the work of Schiestel. 65,66 Compatibility is guaranteed with the RANS limit. In the LES regions, where c is large, f SGS tends to, in order to increase the return to isotropy of the SGSs. The profile of f SGS is given in Fig. 10. It is noticed that f SGS reaches its maximum value very quickly and too close to the wall, and that the total Reynolds stress is overestimated, due to high values of the resolved part near the wall figure not shown here. To better control the variations in f SGS in the vicinity of the wall, similar to Eq. 57, the following form is proposed: 2 c f SGS = max 1; 1 b + b 1+ 2, 66 c where b 0 is a constant. This formulation is denoted as P-EB. The different proposals for f SGS tested in the present work are summarized in Table III. In order to have a real effect on the anisotropy, it is found that the value of b must be less than one, and b=0.5 is chosen. At the wall, the RANS limit is recovered since =0. Far away from the wall =1, f SGS tends to. Figure 10 compares the profiles of f SGS obtained with the P-CS formulation and the P-EB formulation with two values of b. In Fig. 11, the normal components of the Reynolds stress obtained using the formulation P-EB with b=0.5 are shown. Comparing this figure with Fig. 9, it is observed that the normal components of the Reynolds stress are slightly improved at the center of the channel, but at the price of a deterioration of the prediction of the peak value of R 11 close to the wall. Figure 12 shows the shear stress resolved, modeled, and total obtained with the formulation P-EB, for the two meshes. Comparing this figure with Fig. 7, it is seen that, surprisingly, the main effect of the introduction of f SGS is a significant modification of the balance between resolved and modeled shear stress, in particular at the center of the channel, leading to an extension of the LES region. Actually, by increasing the return to isotropy, the parameter f SGS tends to decrease the amplitude of the modeled shear stress 12. As a consequence, the production of subgrid energy is also decreased. Since the effect on the anisotropy of the normal stresses is marginal, and even detrimental, the use of this modification of the return to isotropy is not recommended in the elliptic-blending framework. V. DYNAMIC APPROACH The main problem faced by the PITM approach is the difficulty to reach the ratio modeled energy over total energy that the model is supposed to reach: the parameter r entering Eq. 18 provides the model with the energy ratio the user targets, but this value is in general not observed in the solution. In particular, for flows that do not present inflexion dns sgs res tot dns sgs res tot y y + FIG. 8. Color online Same figure as Fig. 7 for the turbulent kinetic energy. Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

208 Fadai-Ghotbi et al. Phys. Fluids 22, TABLE III. Different empirical proposals for the function f SGS. 6 4 R 11 R 22 } dns R 33 pitm Acronym P-CS P-EB Formulation f SGS = 1+ 2 c 2 1+ c f SGS =max 1; 1 b + b 2 c 1+ c y + + FIG. 9. Profile of the normal components of the Reynolds stress R ij =u i u + j + + ij. Formulation EB for r and L SGS given by Eq. 62. Mesh M 0. points to trigger the growth of fluctuations in the resolved field, such as the present channel flow, the model has a tendency to underestimate the resolved energy, and to eventually tend to a steady solution. This problem is particularly acute at the beginning of the computation, during the transient phase, and sustaining resolved fluctuations during this phase is difficult. The reason for this behavior probably lies in Eq. 18, which is true in a spatially average sense, since it is derived in spectral space, but not locally. The consequence can be an inappropriate level of dissipation in the SGS energy equation, possibly leading to a rapid decay of the resolved fluctuations. This problem was circumvented in Sec. IV by averaging the sources terms of the subgrid-stress transport equations in homogeneous directions. However, this procedure has been used to aid the development of the new model, but is not justified from a physical point of view, and will not be necessary anymore with the dynamic procedure described below. Therefore, the present section is devoted to the implementation of a dynamic procedure, whose purpose is twofold: avoiding the decay of the resolved fluctuations during the transient phase of the computation and forcing the model to better approach the expected energy ratio in the permanent state. The latter point is desirable in general, and ensures the internal consistency of the model. Moreover, as was shown in Sec. III A 2, the modification of the length scale entering a RANS model is sufficient to ensure that the turbulent viscosity tends to a SGS viscosity, but this is not true anymore if the observed energy ratio is different from the target energy ratio, since Eq. 21 is not satisfied. The method simply consists in a dynamical correction of the coefficient C 2, C 2 = C 1 + r C 2 C 1, following three steps: The energy ratio is monitored during the calculation by evaluating the resolved energy and the total energy. This ratio is called the observed ratio r o. This ratio is compared to the ratio used in Eq. 18, which is called the target ratio r t. The coefficient C 2 entering the dissipation equation is replaced by C 2 + C 2, in order to drive the observed ratio toward the target ratio. This procedure is rather simple in principle, but requires some criterion to determine the amplitude of the correction C 2. Obviously, this correction must vanish when the target is approached. Therefore, an estimate of C 2 as a function of r o and r t is necessary. Such an estimate can be obtained by simply considering the modification of the level of SGS energy induced by a modification of the C 2 coefficient. f sgs R 11 R 22 } dns R 33 pitm P-CS P-EB (b=2) P-EB (b=0.5) y + FIG. 10. Color online Profile of the function f SGS. See Table III for the meaning of the acronyms y + FIG. 11. Influence of the function f SGS formulation P-EB with b=0.5 on the normal components of the Reynolds stress R + ij =u i u + j + + ij. Reference mesh M 0. Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

209 A seamless hybrid RANS-LES model based on transport Phys. Fluids 22, dns sgs res tot 0.5 dns sgs res tot y y + FIG. 12. Color online Influence of the function f SGS formulation P-EB with b=0.5 on the resolved RES=u v +, modeled SGS= + 12, and total TOT=R + 12 =RES+SGS shear stress. Left: mesh M 0. Right: mesh M. Indeed, in homogeneous turbulence, it is well known that a system of equation such as Eqs. 15 and 16 tends to a weak equilibrium solution at large times characterized by m 2 = C 2 1 C C 1 1, 67 where m =Sk m / and S is the constant mean shear. This equation shows that a small perturbation C 2 of the C 2 coefficient leads to a perturbation of m at equilibrium given by 2 m m = C C 2 Now, at the RANS limit C 2 =C 2, the equilibrium is characterized by =Sk/. Therefore, the ratio r=k m /k reads r = k m k = m, such that the perturbation r of the ratio r is r r = m = 1 m 2 69 C C 2 In order to reach the target ratio r t, the desired variation r is r t r o, such that the following relation is obtained: C 2 =2 C 2 1 rt r o This relation merely provides an estimate of the dynamic correction to be applied. In practice, the parameter is considered a constant and adjusted in order to counteract the above-mentioned drift of the computation toward a steady solution during the transient phase. Using this dynamic procedure, the unphysical averaging of the source terms of Eq. 8, temporarily used in previous sections to help sustaining an unsteady resolved field, is avoided. Averaging is only used to evaluate the statistical quantities involved in the model, i.e., the total energy k and the dissipation rate, entering the integral length scale in Eq. 57, and the modeled energy k m entering the definition of r o. Note that in the present case, averaging is performed in time and in homogeneous directions. It is worth emphasizing that, although the dynamic procedure is, in practice, an important ingredient of the model, it does not modify its rationale described in previous sections. Indeed, when the permanent state is reached during the computation, the observed ratio r o approaches the target ratio r t, such that the dynamic correction equation 71 becomes small. Thus, the parameter driving the partition among resolved and modeled energy remains r t, evaluated by Eq. 57. The model resulting from all the ingredients selected in Sec. IV is finally applied using the dynamic procedure. The final model thus consists of the filtered momentum equation 7, the SGS tensor transport equation 8, using the ellipticblending model described in Sec. III B, the dissipation rate transport equation 44, and the elliptic relaxation equation 39 for the blending coefficient. According to the conclusions drawn from Sec. IV and from the present section, The target energy ratio r t is provided by Eq. 57, with p=2 and 0 =0.20. In this relation, the integral length scale is initialized by the result of a RANS computation, and updated during the computation, after a transient phase. This ratio r t is used in Eq. 18 to evaluate C 2, and the dynamic correction C 2 is applied. The length scale of the blocking effect in Eq. 39 is modeled by Eq. 62. The modification f SGS of the slow term described in Sec. IV D is not used. In this section, dedicated to the final validation of the method, a third mesh, finer than the reference mesh M 0,is introduced, in order to investigate the behavior of the model when LES is approached. This mesh, denoted by M +,isobtained by refining the reference mesh M 0 by a factor of 1.5 in all directions. The results for the three meshes M,M 0, and M + are shown in Figs In Figs. 13 and 14, the shear stress and the turbulent energy, respectively, are compared Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

210 Fadai-Ghotbi et al. Phys. Fluids 22, dns sgs res tot dns sgs res tot y + FIG. 13. Color online Dynamic approach. Profile of resolved RES =u v +, modeled SGS= 12 +, and total TOT=RES+SGS shear stress. From top to bottom: mesh M ; mesh M 0 ; mesh M +. against the DNS data, together with their two contributions resolved and modeled parts. It is noted, compared to previous sections, in which the artificial averaging of the source terms was used, that the computations using the dynamic procedure do not exhibit a pseudo-dns behavior in the center of the channel because the partition between resolved and modeled energy is better controlled. In Fig. 14, a remarkable feature of the model can be observed: when the mesh is progressively refined, the partition of turbulent kinetic energy among resolved and modeled scales is drastically modified, but the total of the two contributions remains almost constant. Figure 16 shows the evolution of the ratio modeled energy/total energy measured in the solution observed, in comparison with the target ratios, for the three meshes. It can be seen that mesh refinement drives the computation toward the LES mode in an increasing portion of the channel. With the finest mesh M +, if Pope s criterion is retained, 58 i.e., if a y + FIG. 14. Color online Same figure as Fig. 13 for the turbulent kinetic energy. LES is characterized by 80% of resolved energy, the model is in LES mode in about half of the channel. Note that since the RANS mode is enforced in the near-wall region by Eq. 57, further refining the mesh in this region would not lead to performing a full LES. With the other two meshes, the computation can only be considered a VLES. Moreover, this figure illustrates the difficulty to control the energy partition, since the target value r t is never exactly obtained, in particular in the central part of the channel, where the difference can reach about 20% with mesh M 0.In the near-wall region, the ratio modeled energy/total energy does not reach 1, which is due to the unsteadiness generated by structures computed in the outer region. Figure 15 shows the normal Reynolds stresses obtained with the dynamic approach on the three meshes. It can be seen that these components are more sensitive to mesh refinement than the turbulent energy, i.e., even if the total en- Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

211 A seamless hybrid RANS-LES model based on transport Phys. Fluids 22, } dns R 33 pitm r Mesh M : r o Mesh M : r t 0.2 Mesh M 0 : r o Mesh M 0 : r t Mesh M + : r o Mesh M + : r t y + FIG. 16. Observed and target ratios modeled/total kinetic energy y + FIG. 15. Dynamic approach. Total R ij =u i u + j + + ij normal Reynolds stresses. From top to bottom: mesh M ; mesh M 0 ; mesh M +. Chaouat and Schiestel 14,44 using a different model for the pressure-strain correlation and damping functions in the near-wall region. The aim of the present work was not to improve the results of these authors in channel flows, which were already satisfactory, but to provide a model free of damping functions. Similar to what has been shown during the past two decades in RANS, it is expected that a near-wall model based on a theoretical basis, such as the elliptic relaxation approach, will be of more general applicability than a model based on empirical damping functions. It must be pointed out that on a given mesh, solving the eight differential equations used to model the subfilter stresses increases the computational cost by a factor of about 1.6 compared to a Smagorinsky model. This higher cost is by far compensated by the possibility of coarsening the mesh. For example, in the case of a channel flow with fluid injections by the porous walls, Chaouat and Schiestel 14 have obtained the same results as a classical LES with a Smagorinsky model, but with a mesh seven times coarser with the PITM approach. Actually, in the finite volume code used in the present work, most of the computational cost is due to the resolution of the velocity/pressure system. Therefore, the ergy is preserved, the anisotropy is modified. The streamwise component is overestimated with the three meshes and, in particular, with the finest mesh M +, in the region around y + =100. However, this misprediction does not affect the shear stress Fig. 13 and the mean velocity, which is shown in Fig. 17, for the three meshes. Comparison is done with DNS and a RANS computation with the EB-RSM. Even though the reproduction of the buffer and logarithmic regions is not as satisfactory as with the RANS model, the mean velocity profile is correctly reproduced. The noticeable independence of the mesh, observed in this figure as well as in Fig. 14, illustrates the fact that the goal of the present work, which is to develop a model able to provide acceptable results whatever the mesh, is achieved. These results are very similar to those obtained by U dns pitm (mesh M ) pitm (mesh M 0 ) pitm (mesh M + ) rans y + FIG. 17. Color online Mean velocity profiles. Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

212 Fadai-Ghotbi et al. Phys. Fluids 22, resolution of the additional equations for the subgrid stresses, the dissipation rate and the elliptic-blending function is affordable. VI. CONCLUSIONS A new seamless hybrid RANS-LES model has been developed, based on transport equations for the subgrid stresses, and the elliptic-blending method to account for the nonlocal kinematic blocking effect of the wall. The derivation is made in the framework of the PITM strategy proposed by Schiestel and Dejoan 13 and Chaouat and Schiestel. 14 The purpose of such a model is to obtain the unsteady characteristics of the flow at a cost lower than LES, by going to a RANS computation in the near-wall regions, and also by making the use of coarse meshes possible compared to LES meshes. However, when the grid is fine enough such that the cutoff wavenumber is in the inertial range of the energy spectrum, it has been shown that the PITM is equivalent to a Smagorinsky-type model, and therefore compatibility with the LES limit is guaranteed. When the grid is coarse, the cutoff can be located in the productive zone of the spectrum, and thus, the complex production and redistribution mechanisms must be reproduced, due to high anisotropies. A second-moment closure is believed to give a better representation of these physical processes, in comparison to eddyviscosity models, especially in an unsteady context e.g., Carpy and Manceau 22. For this purpose, the ellipticblending hybrid model is used and based on transport equations for the SGS tensor and the dissipation rate. It is shown that the elliptic relaxation strategy of Durbin 26 is valid in a RANS steady as well as a LES context unsteady. The wall-blocking effect is reproduced by using an additional elliptic relaxation equation for the blending function, which drives the transition of the SGS pressure term from a nearwall behavior to a quasihomogeneous behavior. A new form of the parameter r, which provides the model with the target ratio modeled/total kinetic energy, is proposed to better control the RANS-LES transition in the near-wall regions, and is calibrated in the channel flow at Re =395. A new formulation of the correlation length scale for the elliptic relaxation equation is also proposed, in order to account for the fact that the kinematic blocking effect must be imposed only on the SGSs. Finally, a dynamic correction of the variable coefficient C 2 in the dissipation rate equation is proposed in order to ensure that the ratio modeled/total kinetic energy observed in the results is the same as the target ratio imposed in the equations of the model. Comparisons with the DNS data 38 show that the results in channel flow are very encouraging in terms of turbulence statistics, and are remarkably independent of the mesh. Near the wall, the SGS part is dominant RANS mode and decreases toward the center of the channel, where the resolved part in turn becomes dominant LES mode. As expected, a modification of the mesh modifies the partition between modeled and resolved energy, but the total turbulent energy remains nearly constant. Although the results are very encouraging, further validation of the model in more complex flows is necessary. ACKNOWLEDGMENTS The first author would like to dedicate this work to his beloved father Dr. M. M. Fadai-Ghotbi, who inspired his interest in science. This work was granted access to the HPC resources of IDRIS under Grant No made by GENCI Grand Equipement National de Calcul Intensif. 1 P. Sagaut, S. Deck, and M. 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213 A seamless hybrid RANS-LES model based on transport Phys. Fluids 22, U. Schumann, Subgrid scale model for finite difference simulations of turbulent flows in plane channels and annuli, J. Comput. Phys. 18, J. B. Perot and J. Gadebusch, A stress transport equation model for simulating turbulence at any mesh resolution, Theor. Comput. Fluid Dyn. 23, P. A. Durbin, A Reynolds stress model for near-wall turbulence, J. Fluid Mech. 249, R. Manceau and K. Hanjalić, Elliptic blending model: A new near-wall Reynolds-stress turbulence closure, Phys. Fluids 14, R. Manceau, An improved version of the elliptic blending model. Application to non-rotating and rotating channel flows, in Proceedings of the Fourth International Symposium on Turbulence Shear Flow Phenomena, Williamsburg, VA, C. G. Speziale, S. Sarkar, and T. B. Gatski, Modeling the pressure-strain correlation of turbulence: An invariant dynamical system approach, J. Fluid Mech. 227, J. K. Shin, K. H. Chun, and Y. D. 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Schiestel, Méthodes de Modélisation et de Simulation des Écoulements Turbulents Hermes/Lavoisier, Paris, Downloaded 10 May 2010 to Redistribution subject to AIP license or copyright; see

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215 V A. Fadai-Ghotbi, Ch. Friess, R. Manceau, T.B. Gatski, and J. Borée. Temporal filtering: a consistent formalism for seamless hybrid RANS-LES modeling in inhomogeneous turbulence. Int. J. Heat Fluid Fl., 31(3), 2010.

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217 International Journal of Heat and Fluid Flow 31 (2010) Contents lists available at ScienceDirect International Journal of Heat and Fluid Flow journal homepage: Temporal filtering: A consistent formalism for seamless hybrid RANS LES modeling in inhomogeneous turbulence Atabak Fadai-Ghotbi, Christophe Friess, Rémi Manceau *, Thomas B. Gatski 1, Jacques Borée Institute Pprime, Department of Fluid Flow, Heat Transfer and Combustion, CNRS-University of Poitiers-ENSMA, Bd Marie et Pierre Curie, BP 30179, Futuroscope Chasseneuil Cedex, France article info abstract Article history: Received 21 September 2009 Received in revised form 4 December 2009 Accepted 9 December 2009 Available online 4 February 2010 Keywords: Eulerian temporal filter TLES TPITM URANS DES Elliptic-Blending Reynolds-Stress Model A consistent formalism is developed for seamless hybrid RANS LES models in inhomogeneous, stationary flows, based on Eulerian temporal filtering. The issues of Galilean invariance of the filtering process and consistency with the Reynolds average are addressed. The similarity of the RANS and TLES equations suggests the use of the same form of model for the two limiting approaches. The inconsistency of the existing TLES models with the RANS limit leads to the choice of the opposite strategy: adapting a RANS model to the TLES limit. The method proposed to achieve this adaptation is the Temporal Partially Integrated Transport Model (TPITM), a temporal version of the spatial PITM. The applicability of the method is shown by performing channel flow simulations using transport equations for the subfilter stresses, derived from the Elliptic-Blending Reynolds-Stress RANS Model (EB-RSM). Finally, the fact that the temporal filter width can be implicitly defined by the associated spatial filter width suggests that most of the unsteady approaches used in everyday applications, such as DES, SAS, URANS, among others, can be regarded as temporally filtered approaches. Ó 2009 Elsevier Inc. All rights reserved. 1. Introduction Unsteady computations of turbulent flows are of great relevance in an industrial context, and concern, e.g., noise emissions, structure vibrations or thermal fatigue. Since Large-Eddy Simulation (LES) is too CPU-demanding for many complex industrial applications, a multitude of unsteady low-cost strategies have gained prominence over the last decade (see, e.g., Fröhlich and von Terzi, 2008; Sagaut et al., 2006). Some of these models can be described as seamless hybrid RANS LES models, in the sense that the computation progressively transitions from a Reynolds-Averaged Navier Stokes (RANS) model in some regions of the flow, particularly in the near-wall zones, to an LES in other regions where explicit computation of the large scale structures is required. In statistically homogeneous flows, such a model can be seen as an LES with a filter width D S continuously going to infinity or, equivalently, as an LES with a cutoff wavenumber j c ¼ p=d S continuously going to zero a limit that corresponds formally to the RANS approach. However, the majority of flows of practical relevance are inhomogeneous, and in that case such models suffer from an important conceptual weakness due to the inherently different concepts underlying LES and RANS models: the former give spatially filtered * Corresponding author. Tel.: ; fax: address: (R. Manceau). 1 Also affiliated with: Center for Coastal Physical Oceanography and Ocean, Earth and Atmospheric Sciences, Old Dominion University, Norfolk, VA fields; whereas, the latter give long-time averaged fields. In order to develop a consistent seamless hybrid RANS LES model in inhomogeneous flows, an Eulerian temporal filtering approach (Pruett, 2000; Pruett et al., 2003) within the LES formalism can be used so that the discussion is now within the context of a Temporal Large-Eddy Simulation (TLES) approach. In this paper a consistent seamless hybrid RANS LES model for incompressible, stationary, inhomogeneous flows is developed by using an Eulerian temporal filtering approach consistent with the TLES formalism. The constraint of stationarity, i.e., the statistical independence with respect to a shift in time, is not too restrictive, since many flows of practical importance are stationary. This class includes all the flows for which the boundary conditions are not varying in time. In particular, although it can be a matter of philosophical debate, since the vortex shedding appearing in some simple turbulent flows, such as 2D wakes, is not periodic in time (e.g., Ma et al., 2000; Perrin et al., 2007), such flows are considered herein as stationary processes, rather than cyclostationary processes (Antoni, 2009). The case of boundary conditions varying with a time scale much larger than the time scale of turbulence can also be considered as eligible to the application of the present methodology, by replacing the constraint of an infinite filter width with the constraint of a filter width much larger than the turbulent time scale. In Section 2, the time-filtering process is presented that satisfies the property of Galilean invariance and the consistency with the Reynolds average. The following sections are devoted to the modeling of the subfilter stress in the temporally filtered momentum X/$ - see front matter Ó 2009 Elsevier Inc. All rights reserved. doi: /j.ijheatfluidflow

218 A. Fadai-Ghotbi et al. / International Journal of Heat and Fluid Flow 31 (2010) equation. Section 3 analyzes the behavior of TLES models making explicit use of the filter (Pruett, 2000; Pruett et al., 2003; Tejada- Martinez et al., 2007) in the limit of infinitely large temporal filters. The inherent limitations of these models lead to the proposal, in Section 4, of a new approach, the so-called Temporal Partially Integrated Transport Model (TPITM), which is a transposition to temporal filtering of the PITM approach (Schiestel and Dejoan, 2005; Chaouat and Schiestel, 2005), based on an analysis in the frequency domain, and enables the adaptation of any RANS model to the context of hybrid RANS/TLES. Section 5 then presents the adaptation of a particular model, the Elliptic-Blending Reynolds- Stress Model (EB-RSM), which leads to a hybrid RANS/TLES based on transport equations for the subfilter stresses, and its application to the case of a channel flow at Re s ¼ 395. Finally, Section 6 discusses the possibility of providing a consistent interpretation of the usual Eddy-resolving methods, such as DES, SAS, OES, URANS, among others, within the framework of temporal filtering. 2. Toward a consistent formalism In this section, a Galilean invariant, time filtering operation is defined that can be applied in the partitioning of the flow variables into resolved and unresolved (subfilter) parts. The consistency of the filter with the Reynolds average in the limit of an infinite filter width and the formal similarity between the filtered and Reynoldsaveraged equations form the foundation for the development in the following sections of a unified model able to bridge RANS and LES Definition of the time-filtering process In order to decompose the instantaneous velocity u into a filtered, resolved part U e ¼hu i, and a residual part u 00, the resolved part is defined by using a filter h:i expressed in the general form Z Z hu iðx; tþ ¼ Gðx 0 nðx; t 0 tþ; t 0 tþu ðx 0 ; t 0 Þdx 0 dt 0 ; ð1þ with a kernel of the form Gðx 0 nðx; t 0 tþ; t 0 tþ ¼dðx 0 nðx; t 0 tþþg DT ðt 0 tþ; ð2þ with D T the temporal filter width. For instance, the exponential filter used by Pruett et al. (2003) and Tejada-Martinez et al. (2007) reads Gðx 0 x; t 0 tþ ¼dðx 0 xþ 1 exp t0 t Hðt t 0 Þ; ð3þ D T D T where H is the Heaviside function. In this case, the spatial part of the filter is the familiar Dirac function, i.e., nðx; t 0 tþ ¼x. The introduction of nðx; t 0 tþ, with nðx; 0Þ ¼x, in the definition of the filter aims at ensuring that the filtering operation preserve the translational, or Galilean, invariance, which is not the case for all the filters (Pruett, 2000). where x is the coordinate vector in the translating frame, and U 0 is a constant displacement velocity. In order to retain Galilean invariance for the filtered equations, it is necessary that hu iðx ; tþ ¼hu iðx; tþ U 0 ; where u is the velocity in the translating frame. For the case where the standard filter nðx; sþ ¼x is applied, which reads n ðx ; sþ ¼x in the translating frame, the filtered velocity reads Z hu iðx ; tþ ¼ G DT ðsþu ðx ; t þ sþds Z ¼ G DT ðsþu ðx þðt þ sþu 0 ; t þ sþds U 0 Z ¼ G DT ðsþu ðx þ U 0 s; t þ sþds U 0 Z G DT ðsþu ðx; t þ sþds U 0 ð5þ hu iðx; tþ U 0 ; ð6þ such that the transformation is not Galilean invariant. This is the relation obtained by Pruett (2000) in assessing a Doppler effect on time filtered variables. This lack of translational invariance can be remedied by considering a new, generalized definition for n parametrized by a reference velocity nðx; sþ ¼x þ V ref s; which transforms as n ðx ; sþ ¼x þ V ref s in the translating frame. The filtered velocity then becomes Z hu iðx ; tþ ¼ G DT ðsþu ðx þ V ref s þðt þ sþu 0 ; t þ sþds U 0 Z ¼ G DT ðsþu ðx þ U 0 t þ sv ref ; t þ sþds U 0 Z ¼ G DT ðsþu ðn; t þ sþds U 0 ¼hu iðx; tþ U 0 ; ð8þ such that now the desired Galilean invariant transformation property holds. These results show that, in order to preserve the Galilean invariance, the filter G must be defined using nðx; sþ ¼x þ V ref s, i.e., the temporal kernel G DT of the filter is necessarily applied at a location moving with some reference velocity. In order to unambiguously define the filter, this reference velocity V ref must be related to the flow configuration, e.g., the boundary conditions (for instance, the velocity of an obstacle). Moreover, in the limit of an infinite filter width D T, this definition of the filter ensures, in all the inertial frames, the compatibility with the Reynolds average that is Galilean invariant. On the contrary, the standard definition goes to the long-time average when D T!1, which does not satisfy Galilean invariance, as noted by Speziale (1987). For instance, with a kernel of top-hat type and n defined by Eq. (7), the generalized filtering operator (1) becomes Gðx 0 nðx; t 0 tþ; t 0 tþ ð7þ 2.2. Galilean invariance of the filter ¼ dðx 0 x V ref ðt 0 tþþ 1 D T Hðt 0 t þ D T ÞHðt t 0 Þ; ð9þ In the development of a seamless hybrid temporally filtered methodology that is capable of spanning the range of solution methodologies from DNS to RANS, it is necessary to insure that the resulting equations retain the same invariance properties as the Navier Stokes and Reynolds-averaged equations. Consider the translational transformation of the spatial frame of reference x given by x ¼ x U 0 t; ð4þ and the generalized long-time averaging defined by ½u Š f1;vref gðx; tþ ¼ lim D T!1 hu iðx; tþ; ð10þ inherits the Galilean invariance from the filter. The definitions of the filter (1) and the associated generalized long-time average (10) thus provide the consistent formalism for seamless hybrid RANS/LES methods (more accurately, hybrid RANS/TLES), for a particular class of flows: the flows that are stationary in a particular

219 380 A. Fadai-Ghotbi et al. / International Journal of Heat and Fluid Flow 31 (2010) reference frame. Therefore, in describing the model development in the remainder of this paper, in order to simplify the analysis, the flow is assumed to belong to this class, the reference frame is the particular frame in which the flow is stationary, and the parameter V ref of the filter is zero in this frame Filtered equations The filtered velocity is denoted by e U ¼hu i and the residual velocity is defined by One of the advantages of Eulerian temporal filtering in the context of stationary flows is that the following property is satisfied hu i¼u ; ð19þ such that, as shown by Germano (1992), the total Reynolds stress u i u j is exactly decomposed as u i u j ¼ U e iu e j U i U j þ s ijsfs : ð20þ The total fluctuating kinetic energy is decomposed as u 00 ¼ u e U: ð11þ k ¼ 1 2 u iu i ¼ k m þ k r ; ð21þ Reynolds averaging, or long-time averaging, is denoted by an overbar ð Þ, and the Reynolds-averaged velocity by U ¼ u. The fluctuating part of the filtered velocity is defined by where the subfilter scale contribution, or modeled part, is k m ¼ k SFS ¼ 1 2 s iisfs; ð22þ u 0 ¼ e U U; and the total fluctuation by u ¼ u U ¼ u 0 þ u 00 : ð12þ ð13þ The same notation is used for the decomposition of the instantaneous pressure p ¼ e P þ p 00 ¼ P þ p ¼ P þ p 0 þ p 00 : ð14þ Assuming, as in spatial LES, that the filter commutes with the differential operators, which is exact if the temporal filter width D T is constant, the incompressibility constraint for the instantaneous field is inherited by the filtered e U k ¼ 0; ð15þ and the filtered momentum equation U e þ U U e i k ¼ P e þ U e ij SFS : k j s ijsfs is the subfilter-scale (SFS) tensor, defined as the generalized central second moment s ijsfs ¼ sðu i ; u j Þ, where sða; bþ ¼habi haihbi for any variables a and b. Similarly to what was shown by Germano (1992) for spatial filtering, the transport equation for the subfilter stress þ e U k i u; j uþ fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} k D T ij SFS þ s ijsfs i fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} k D m e ij ijsfs SFS 1 q s u i 1 U s uj ; s e j q iksfs s e i jk ; ð17þ k fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} / ijsfs P ijsfs where sða; b; cþ ¼habci haisðb; cþ hbisða; cþ hcisða; bþ haihbihci: This equation is formally identical to the familiar RANS equation for the Reynolds stress u i u j, which is the basis for the adaptation of a RANS second moment closure to the hybrid RANS/TLES context presented in Section 5. D T ij SFS ; D m ij SFS ; e ijsfs ; / ijsfs and P ijsfs represent subfilter-scale turbulent diffusion, viscous diffusion, dissipation, velocity pressure gradient correlation and production, respectively. The formal similarity of these terms with their RANS counterpart becomes obvious with an idempotent filter: for instance, in this case, the SFS turbulent diffusion term reads D T ij SFS i u00 j u00i k : k and the resolved part k r ¼ 1 U 2 e iu e i U i U i ¼ 1 2 u0 i u0: ð23þ i In Eq. (20), the last term in the RHS, s ijsfs, is generally not accounted for in standard LES, since the cutoff wavenumber is located well inside the inertial region. In the case of hybrid methods, the contribution of the subfilter scales can be dominant, and even represent 100% of the energy in RANS regions. Consequently, an accurate evaluation of this part is necessary, in general through transport equations for the subgrid energy k SFS or, as in Chaouat and Schiestel (2005), Chaouat and Schiestel (2009), Jakirlić et al. (2009), by directly solving transport equations for the subfilter stress. The formalism introduced in this section provides an appropriate framework for hybrid methodologies. The definition of the filtering operator, based on a temporal kernel, ensures that the variables U e i ; P e and sijsfs consistently and continuously tend to their corresponding RANS counterparts, U i ; P and u i u j, when the temporal filter width goes to infinity. The main issue in this framework is the modeling of the subfilter stress, which must be compatible with all the possible locations of the characteristic cutoff frequency x c in the turbulent spectrum: well inside the inertial range (standard TLES), at the RANS limit (x c ¼ 0), or, by continuity, in the energetic range, where equilibrium cannot be assumed and complex production and redistribution phenomena play a major role. The formal similarity of the TLES transport equation for the subfilter stress and the standard RANS equation for the Reynolds stress, moreover suggests that the form of the models used in TLES and RANS regions can be identical, and that a sensitization of the model to the temporal filter width can provide the appropriate adaptation of the level of subfilter stresses in the momentum equation to account for the transition from a TLES to a RANS behavior. 3. State-of-the-art subfilter stress models The first possibility to be considered in order to develop an hybrid RANS/TLES model is to extend an existing TLES subfilter stress model such that it becomes compatible with the RANS limit. For this purpose, the behavior of the models in the limit D T!1must be investigated. Models for the subfilter stresses for LES based on Eulerian temporal filtering have been proposed by Pruett (2000), Pruett et al. (2003), Tejada-Martinez et al. (2007). Since in Smagorinsky-type models, a length scale characterizing the filter is explicitly needed to determine the subfilter viscosity, such models cannot be directly adapted to temporal filtering. Therefore, the authors have used models in which the filter is explicitly used, such as a scale-similarity

220 A. Fadai-Ghotbi et al. / International Journal of Heat and Fluid Flow 31 (2010) model (Pruett, 2000; Pruett et al., 2003) or a deconvolution model (Pruett et al., 2003; Tejada-Martinez et al., 2007). In the former model, the so-called Temporal Scale-Similarity Model (TSSM), the subfilter stress is approximated by s ijsfs hhu i ihu j ii hhu i iihhu j ii; ð24þ which is formally equivalent to the model of Bardina et al. (1980) who used a spatial filter. Beside the fact that the scale-similarity hypothesis is valid only in case of equilibrium of the turbulent structures above and below the cutoff frequency, which is only valid in the inertial range of the spectrum, the TSSM model vanishes in the limit D T! 1, such that the model is not compatible with the RANS limit. The reason for this behavior is simply that the filtered variables tend to the Reynolds-averaged variables, for which hhu i ihu j ii ¼ hhu i iihhu j ii (Kampé De Fériet and Betchov, 1951). Therefore, the best candidate for an extension to the hybrid methodology is the Temporal Approximate Deconvolution Model (TADM) proposed by Pruett et al. (2003), as an adaptation to time filtering of the ADM model (Stolz et al., 2001). This model is based on a spectral partitioning in the frequency domain x 2½0; 1Š ¼ ½0; x DT Š [½x DT ; x Dt Š[½x Dt ; 1Š; fflfflfflffl{zfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Resolved scales Subfilter scales where x DT and x Dt are the frequencies associated to the temporal width of the filter D T and to the time step Dt, respectively. Two parts are thus distinguished in the subfilter scales: the resolved subfilter scales (RSFS), in the range ½x DT ; x Dt Š, and the unresolved subfilter scales (USFS) in the range ½x Dt ; 1Š. The RSFS are reconstructed using the temporal approximate deconvolution method s ijrsfs hv i v j i hv i ihv j i; ð25þ where v i is an approximation of the instantaneous (unfiltered) velocity u i obtained by applying the approximate inverse filter to the resolved velocity G 1 D T a v i ¼ G 1 D T a hu i i¼c 0hu i iþc 1hhu i iiþþc phu i iðpþ1þ ; ð26þ ( stands for the convolution product). h:i ðqþ denotes the application of the filter q times, using the primary filter G DT. The remaining contribution to the subfilter stress, the USFS, is obtained by a regularization ijusfs ¼ vði G DT G 1 T a Þhu i i; ð27þ j which is purely dissipative. The behavior of the TADM model for large values of the temporal filter width D T was investigated by Pruett et al. (2003), who showed that the approximate deconvolution procedure is able to accurately reproduce the exact filtered velocity, provided that the order q of the approximate inverse is sufficiently high. However, they also mentioned that in the limit D T! 1, the model is not valid, because the deconvolution procedure assumes that the filter is invertible, which is not the case in this limit: the frequency x c characterizing the width of the Fourier transform of the filter G b DT goes to zero, such that lim b DT!1G DT ðxþ ¼0. Under the criteria that have been established here for the construction of a hybrid RANS/TLES methodology, it is not possible to adapt the TLES formulation just discussed to the hybrid approach since the filter does not tend to the Reynolds average in the limit D T! 1. Oftentimes, it is assumed that modification of coefficients is the change necessary in migrating RANS or (T)LES methodologies to a hybrid level. Delineating criteria based on mathematical consistencies, as is done here, can lead to a selection process that preclude what may appear viable hybrid approaches. In the remainder of this article, an alternate strategy is developed: a RANS model is modified by sensitizing the coefficients to the temporal width of the filter. 4. TPITM methodology Within the consistent temporal framework, a new approach is proposed, the Temporal Partially Integrated Transport Model (TPITM), which is an adaptation/extension of the PITM model (Schiestel and Dejoan, 2005; Chaouat and Schiestel, 2005) to the temporal filtering context. The TPITM model is based on a spectral analysis in the frequency domain, in order to guarantee compatibility between the two methodologies RANS and TLES. In Section 4.1, the energy partition among filtered and residual scales Eq. (21) is written in the frequency domain. The transport equation for the Eulerian temporal energy spectrum is derived, in order to obtain the transport equation for the subfilter energy k m. This equation is the basis for the sensitization, introduced in Section 4.2, of the standard RANS dissipation rate equation to the temporal filter width Energy partition in frequency space The turbulent kinetic energy can be written as kðxþ ¼ 1 Z 1 Z 2 Q 1 i;iðx; 0Þ ¼ Q 2 b 1 i;i ðx; xþdx ¼ E T ðx; xþdx; 1 0 ð28þ where / b denotes the temporal Fourier transform of /, defined by b/ðx; xþ ¼ 1 Z 1 e 2p ixs /ðx; sþds: ð29þ 1 Q i;j ðx; sþ is the two-time correlation tensor Q i;j ðx; sþ ¼u i ðx; tþu j ðx; t þ sþ; ð30þ and E T ðx; xþ the Eulerian temporal turbulent kinetic energy spectrum, given by E T ðx; xþ ¼ b Q i;i ðx; xþ: ð31þ Introducing G b DT ðxþ, the Fourier transform of the temporal filter kernel G DT ðsþ, the resolved part of the turbulent energy reads k r ðxþ ¼ Z 1 0 bg DT ðxþ b G D T ðxþe T ðx; xþdx; ð32þ where a star denotes the conjugate, and the residual energy, k m ¼ k k r, Z 1 h k m ðxþ ¼ 1 G b DT ðxþ G b i D T ðxþ E T ðx; xþdx: ð33þ 0 In order to derive the model equation for the dissipation rate, as presented in the next section, the transport equation for k m is required. According to Eq. (33), this equation can be derived from the Eulerian temporal energy spectrum equation. By taking the Fourier transform of the transport equation for Q i;i, the Eulerian temporal energy spectrum equation can be written as DE T Dt ¼ bp þ bd be þ bt: ð34þ The details of the derivation of this equation are given in the appendix. The terms of the RHS of Eq. (34) are the source and transport terms driving the evolution of the turbulent energy per frequency unit along a streamline. bp is the production by the mean velocity, bd the diffusion term, sum of the turbulent bd T, molecular bd m and pressure bd P diffusions, and be the dissipation rate. The term bt originates from the non-linear interactions, and is a spectral flux, i.e.,

221 382 A. Fadai-Ghotbi et al. / International Journal of Heat and Fluid Flow 31 (2010) does not contribute to the creation or destruction of turbulent kinetic energy, since Z 1 0 btðx; xþdx ¼ 0: ð35þ Note that integrating Eq. (34) over all the frequencies, the turbulent kinetic energy equation is obtained Dk Dt ¼ i iu j þ k i u i u j j i : j j j fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} P D e Since the subfilter kinetic energy is given by Eq. (33), its transport equation can be obtained by taking the derivative of Eq. (33) and making use of Eq. (34), which leads to Dk m Dt ¼ P m þ D m e m T G ; where D m ¼ P m ¼ e m ¼ Z 1 0 Z 1 0 Z 1 0 ð1 b G DT ð1 b G DT ð1 b G DT b G D T Þ bd dx; b G D T Þð bp þ btþdx; b G D T Þ be dx; T G ¼ Z 1 E T 0 D Dt ðb G DT b G D T Þdx: ð37þ ð38þ ð39þ Fig. 1. Schematic view of the application of the two filters to the Eulerian temporal spectrum (arbitrary units). De m Dt ¼ e m P m e2 m 1 k m _xd _x c þ T G þ e m D k m k m em x d x c e m ; m k m ð41þ where _ / denotes the material derivative of /. In order to write Eq. (41) in a form similar to the usual RANS equation, the functions C 0 e 1 and C 0 e 2 are introduced The terms e m and D m are respectively the SFS dissipation and diffusion terms. The term P m is the sum of a production term by the mean velocity and a spectral flux. These terms are the subfilter parts of the terms appearing in Eq. (36). Moreover, in the RANS limit, D T! 1, Eq. (36) is recovered term by term, since lim DT!1 b G DT ðxþ ¼0. The last term in the right-hand side of Eq. (37), T G, is a transfer term arising from the variations of filter width. This term is second order in a standard LES, and, therefore, is usually neglected (Ghosal and Moin, 1995) Dissipation rate equation In seamless hybrid RANS/LES methods, the amount of resolved energy is to be controlled by making the equations of the model dependent on the filter width. Similar to the PITM approach (Schiestel and Dejoan, 2005; Chaouat and Schiestel, 2005) (spatial filtering), this can be achieved by using a transport equation for the dissipation rate that is a modification of the usual RANS equation. In order to know how to modify this equation to make it dependent on the characteristic frequency of the filter x c ¼ p=d T, a second filter G 0 D T is introduced, at the frequency x d, such that the turbulent spectrum is schematically divided into three parts, the resolved range ½0; x c Š, the subfilter energetic range ½x c ; x d Š and the subfilter dissipative range ½x d ; 1Š, as illustrated in Fig. 1. With this energy partition, the model is a particular case, reduced to only three spectral zones, of the multi-scale models proposed by Schiestel (1983a), Schiestel (1983b), and Schiestel (1987). Similar to what was proposed by Schiestel (1987) and Schiestel and Dejoan (2005) for the spatial version of the PITM, the following definition is used for x d x d ¼ x c þ v m e m k m ; ð40þ where v m is an arbitrary constant, chosen in such a way that the energy in the range ½x d ; 1Š is negligible compared to the energy in the range ½x c ; x d Š. Using Eq. (37), the material derivative of (40) leads to a transport equation for the subfilter dissipation rate De m Dt ¼ C0 e 1 e m k m P m C 0 e 2 e 2 m k m þ e m k m D m ; where C 0 e 2 ¼ 1 þðc 0 e 1 1Þ P m em k m em _xd _x c þ T G : x d x c e m ð42þ ð43þ C 0 e 1 can be chosen arbitrarily as a function of the characteristic frequency x c, but it must satisfy the RANS limiting behavior lim xc!0c 0 e 1 ¼ C e1. (C e1 and C e2 denote hereafter the coefficients entering the dissipation equation used in RANS mode.) Moreover, in order to recover the standard RANS dissipation equation in the RANS limit, the function C 0 e 2 given by Eq. (43) must satisfy lim C 0 e xc; _xc! 0 2 ¼ 1 þðc e1 1Þ P e k _x d ¼ C e x e2 : d ð44þ This relation provides a constraint on _x d that can be introduced into Eq. (43) to give C 0 e 2 ¼ r x d C r e x d x e2 1 P c e ðc e 1 1Þ þ 1 þðc 0 e 1 1Þ P m em þ k m=e m _x x d x c þ T G ; ð45þ c e m where r ¼ k m =k, and k ¼ k r þ k m is the total kinetic energy, i.e., the sum of the resolved part k r ¼ 1 2 u0 i u0 i and SFS part k m ¼ 1 s 2 iisfs. Similarly, r e ¼ e m =e, and e ¼ e r þ e m is the total dissipation rate, i.e., the sum of the resolved part e r and SFS part e m. At this stage, it can be noticed that Eq. (45) is difficult to use from a practical point of view, because the total (resolved+sfs) variables P and e are not known at the beginning of the computation: a relation between these total variables and their resolved part is needed in order to rewrite Eq. (45) in terms of modeled quantities only. Such a relation can be obtained from the material derivative of r ¼ k m =k, which gives exactly, using of Eqs. (36) and (37) P e ¼ 1 þ r e r P m 1 em þ r e e m D m r D k m r e em r _r r e T G : 2 r e m ð46þ

222 A. Fadai-Ghotbi et al. / International Journal of Heat and Fluid Flow 31 (2010) In the following, it will be assumed that the filter width varies sufficiently slowly for the terms in _x c and T G to be negligible in Eq. (45), as well as the terms in _r and T G in Eq. (46). This hypothesis, e.g. valid for a channel flow, is used here to simplify the analysis, but the influence of the variations of the filter width can be reintroduced if necessary. By inserting Eq. (46) into Eq. (45), the SFS dissipation rate equation can be written as De m Dt ¼ P m e m C0 e 1 k m C 0 e 2 e 2 m k m þ D em ; with C 0 e 2 ¼ x d r P m C x d x e2 C e1 þ Ce1 1 1 þ 1 c r e em þ C 0 Pm e 1 1 and D em em ; ¼ e m e m D m þ C e1 1 k m k m x d ð47þ ð48þ ðd x d x m rdþ: ð49þ c In practical applications, the aim of such a hybrid model is not to achieve the DNS limit, especially if the Reynolds number is high. Therefore, it is assumed that x c x d and r e 1, such that Eq. (48) becomes C 0 e 2 ¼ C e1 þ rc e2 C e1 P m þ C 0 e 1 C e1 em : ð50þ Inserting Eq. (50) into Eq. (47), it is noticed that the final result does not depend on the function C 0 e 1, since the SFS dissipation rate equation is finally given by De m Dt ¼ C e m e 1 P m C e1 þ rc e2 C e2 m e1 þ D em : ð51þ k m fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} k m C e 2 Eq. (51) is similar to the one found in the spatial PITM approach (Schiestel and Dejoan, 2005; Chaouat and Schiestel, 2005), but includes the additional diffusion term D em. The RANS/TLES transition is controlled by the parameter r. The RANS limit corresponds to r ¼ 1, in which case the classical RANS dissipation rate equation is recovered. During the computation, the value of this parameter must be prescribed as a function of the filter width, in order to enforce the desired behavior of the model. This function is proposed in the next section Relation between r and the filter width In TLES, the choice of the temporal filter width D T, or equivalently, the frequency x c ¼ p=d T, is not as obvious as in spatial LES. Transposing the standard practice of spatial LES in the temporal domain, it would seem straightforward to link D T to the time step used in the computation, Dt, for instance by D T ¼ 2Dt. However, since Dt is necessarily the same everywhere in the domain, this relation does not allow local variations of the filter width, which is in contradiction to the objective of hybrid models. Moreover, it is widely recognized in LES that linking the filter width to the local grid step optimizes the cost of a computation. Therefore, the possibility of linking the temporal filter width to the local mesh refinement is investigated. For this purpose, x c must be related to the wavenumber associated with the mesh size j c ¼ pðdxdydzþ 1=3. The main difficulty then lies in the fact that a dispersion relation x ¼ f ðjþ is required to evaluate the frequency x c. This relation is not known in general, and combines complex effects. Indeed, the frequency associated to a particular wavenumber in not only determined by the natural lifetime of the structure, but also by their convection velocity (Doppler effect), as mentioned by Pruett (2000). However, since the Eulerian frequency spectrum E T ðxþ and the wavenumber spectrum EðjÞ are related by dk ¼ EðjÞdj ¼ E T ðxþdx; ð52þ the energy ratio r ¼ k m =k, which is the only parameter entering the model, can be evaluated either in the frequency domain or in the wavenumber domain. In order to obtain a simple analytical expression of r, a spectral cutoff filter is considered. In this case, the ratio r is given by r ¼ 1 k r ¼ 1 k Z 1 xc E T ðxþdx: Using Eq. (52), a change of variable yields ¼ 1 k Z 1 jc Z 1 jc E T ðxþ EðjÞ E T ðxþ dj; EðjÞdj: ð53þ ð54þ ð55þ This relation is a noticeable feature of the TPITM formulation: the model only depends on the parameter r, which can be evaluated by integration of either the temporal spectrum or the spatial spectrum, as shown by Eq. (55). Consequently, the model can be equivalently sensitized to the cutoff frequency of the filter x c or to the corresponding wavenumber defined by j c ¼ f 1 ðx c Þ, without any explicit knowledge of the dispersion relation f. This remarks is interesting for two reasons: firstly, the model for the temporally filtered equations can be linked to the local grid step, which is convenient in practice and enables optimizing the use of computer resources; secondly, the ratio r can thus be evaluated using a schematic shape for the wavenumber spectrum, such as a standard Kolmogorov spectrum, which yields! r ¼ 3 2 C k j j 3=2 2 3 c : ð56þ e Such a relation cannot be found in general using Eq. (53), since the Eulerian temporal spectrum is not known. It is worth emphasizing that the use of this relation does not imply that the temporal filtering is replaced by spatial filtering. It is only a convenient way, justified by Eq. (55), of making the equations of the model sensitive to the local grid step, i.e., of adapting the cutoff frequency of the temporal filter to the highest frequency that can be resolved by the grid. An illustration of this result can be given by considering the particular case of turbulence in the absence of mean flow. In this case, Tennekes (1975) assumed that the scales in the inertial range are swept by the large scales, and proposed the dispersion relation p x ¼ j ffiffiffi k : ð57þ Using this relation yields dk ¼ C j e 2=3 j 5=3 dj; ¼ C j e 2=3 k 1=3 x 5=3 dx; such that E T ðxþ ¼C j e 2=3 k 1=3 x 5=3 : ð58þ ð59þ ð60þ Using this Eulerian spectrum in Eq. (53) finally provides the relation between r and the cutoff frequency r ¼ C 3 k j x c ; ð61þ e p ffiffiffi which is identical to Eq. (56) since x c ¼ j c k.

223 384 A. Fadai-Ghotbi et al. / International Journal of Heat and Fluid Flow 31 (2010) Therefore, in the present TPITM formulation, the temporal filter width is not explicitly used. The transport equations for the subfilter stresses are indirectly sensitized to the filter width through the associated dissipation rate equation; the temporal filter implicitly enters the latter via the energy ratio r, and the above analysis shows that r can be related to the local grid step. 5. Example of model based on the TPITM methodology: elliptic blending model for the subfilter stresses The previous section shows that a RANS model can be modified in order to be used as a TLES model by simply making the coefficient C e2 in the dissipation rate equation a function of the filter width. This procedure can in principle be used within any type of RANS model that uses a dissipation rate equation (the adaptation to the x equation is straightforward). However, in a hybrid RANS/TLES context, in which the cutoff frequency can be located in the large scale region of the turbulent spectrum, we believe that it is necessary to take into account the complex production and redistribution mechanisms occurring at these scales. Therefore, the use of transport equations for the SFS stresses, rather than an Eddy-viscosity model, is desirable, as proposed in the spatial PITM context by Chaouat and Schiestel (2005), Jakirlić et al. (2009). Since the transport equation for the subfilter stress tensor (17) is formally identical to the transport equations for the Reynolds stress tensor, it can be assumed that using a model formally identical to a RANS second moment closure is adequate, as soon as the length and time scales are modified to account for the variable cutoff frequency. In this paper, in order to demonstrate the applicability of the TPITM approach, an adaptation of the Elliptic-Blending Reynolds- Stress Model (EB-RSM) Manceau and Hanjalić, 2002, Manceau (2005), usually applied in a RANS context, is used. In this model, six transport equations for the subfilter stresses are thus solved, in addition to the transport Eq. (51) for the dissipation rate. However, it is worth emphasizing here that Eq. (51) is written for e m, i.e., the long-time averaged value of the SFS dissipation rate e m ¼ e SFS ¼ 1 e 2 iisfs, The analysis done in spectral space shows that the variable coefficient C e2 enables the control of the amount of long-time averaged modeled energy k m ¼ k SFS. In the computations, equations are solved for the time-dependent subgrid stresses rather than for their long-time averages. However, it is assumed that the control of the level of modeled energy via C e2 is also valid for the time-dependent quantities: Eq. (51) is thus solved for the time-dependent subfilter dissipation rate De SFS e SFS e ¼ C e1 P SFS C 2 SFS e Dt k 2 þ D esfs : SFS k SFS ð62þ Note that the diffusion term is modeled by a standard generalized gradient diffusion hypothesis Model for the subfilter stresses The EB-RSM model is an extension of the SSG model (Speziale et al., 1991) to the near-wall region. The characterizing feature of this model is that it uses a blending of the quasi-homogeneous (away from the wall) and the near-wall models of the pressure term / ijsfs and the dissipation tensor e ijsfs using / ijsfs ¼ð1 a 3 Þ/ w ij þ a 3 / h ij ; ð63þ e ijsfs ¼ð1 a 3 Þ s ij SFS k SFS e SFS þ a e SFSd ij : ð64þ a is a blending coefficient which goes from zero at the wall, to unity far from the wall. The nonlocal character of the pressure is reproduced by solving an elliptic equation for the blending function a L 2 SFS $2 a ¼ 1: ð65þ The near-wall form of the model / w ij can be shown to be consistent with the asymptotic behavior of all the variables at the wall when it is taken as : ð66þ / w ij ¼ 5 e SFS k SFS s iksfs n j n k þ s jksfs n i n k 1 2 s klsfsn k n l n i n j þ d ij A generalization of the concept of wall-normal vector is used here: n ¼ $a=k$ak, which is applicable everywhere in the domain. The SSG model (Speziale et al., 1991) is used for / h ij. The association of the elliptic blending model and the TPITM approach leads to some modeling issues that have been previously investigated in the frame of spatial PITM (Fadai-Ghotbi et al., 2007, Jakirlić et al., 2009): in particular, a better control of the parameter r in the near-wall region is obtained when the elliptic blending function a is empirically introduced in the formulation in order to enforce the RANS mode close to the wall! r ¼ð1 a 3 Þþa 3 b 1 k 0 j 3=2 2 3 c ; ð67þ e with b 0 ¼ 0:20, and the length scale of the elliptic Eq. (65) is made a function of the parameter r! : ð68þ L SFS ¼ C L max k3=2 SFS m ; r e 3=2 3=4 C g SFS e 1=4 In Eqs. (67) and (68), k and e are evaluated during the computation, using time-averaging and, in the particular case of the channel flow, averaging in homogeneous directions. k is the sum of the modeled energy k m and the resolved energy k r, defined by Eqs. (22) and (23), respectively. Consistent with the hypothesis r e ¼ 1 made in Section 4.2, the contribution of the resolved scales to the dissipation rate is assumed negligible, such that e ¼ e SFS. These modeling aspects are directly imported from the spatial PITM adaptation of the EB-RSM and are not repeated herein. The reader is referred to Fadai-Ghotbi et al. (2007), Jakirlić et al. (2009) for details Validation in channel flow Computations are performed using the open-source software Code_Saturne, a parallel, finite volume solver on unstructured grids, developed at EDF (Archambeau et al., 2004), distributed under Gnu GPL license. 2 The numerical method is based on a SIMPLEC algorithm, with a Rhie& Chow interpolation in the pressure correction step. The convection terms in the transport Eq. (16) for the filtered momentum are discretized using central differencing. On the contrary, upwind biased differencing is used in the transport equations for the subfilter stresses (17). Time-marching is based on a second-order, Crank Nicolson scheme. The case is a channel flow at Re s ¼ 395, and results are compared with DNS data (Moser et al., 1999). The mesh is made of cells, with Dx þ ¼ 100; Dz þ ¼ 50 and, at the wall, Dy þ 1 ¼ 1:5, which is very coarse compared to a mesh suitable for LES, which requires with the present second-order numerical method Dx þ ¼ 20; Dz þ ¼ 10 and, at the wall, Dy þ 1 ¼ 1. In order to evaluate the sensitivity of the model to the mesh, a second mesh was also used, consisting of

224 A. Fadai-Ghotbi et al. / International Journal of Heat and Fluid Flow 31 (2010) Fig. 2. Contributions of the resolved and modeled flow fields to the shear stress (left) and the turbulent energy (right) for the two meshes. Fig. 4. Isocontour Q ¼ 1 U U i ¼ 0 colored by the filtered velocity (second mesh). Fig. 3. Ratio of modeled energy and shear-stress. First of all, it is worth pointing out that the hybrid method is indeed able to control the respective contributions of the resolved (filtered) and modeled (subfilter) fields. The relation (67) for the energy ratio r aims at enforcing a RANS solution in the near-wall region, independently of the grid, and at continuously transitioning to TLES toward the outer part of the flow. Fig. 2 shows that this aim is fulfilled for both the shear stress and the turbulent kinetic energy. In the near-wall region, the contribution of the resolved stress is zero and the modeled stress represents the integrality of the total shear stress. This partition of the stress progressively transitions toward the center of the channel, where the amount of resolved shear stress reaches about 50% for the first mesh, and 80% for the second mesh. The same trend is observed for the turbulent kinetic energy, although the weight of the subfilter part is slightly larger than in the case of the shear stress. Although the partition of energy among the resolved and SFS scales is very dependent on the mesh refinement, the total turbulent energy remains approximately constant, in particular below y þ ¼ 250. A variation in the central region was also observed by Chaouat and Schiestel (2005) with the spatial version of the PITM, using a different model for the subfilter scales. As shown in Fig. 3, the energy ratio r ¼ k m =k (modeled energy/total energy) significantly varies in the domain, and with mesh refinement. At the center of the channel, it reaches about 0.4 for the first mesh and 0.2 for the second mesh, i.e., the contribution of the resolved scales represents 60% and 80%, respectively. Since in the central region, a ¼ 1, Eq. (67) shows that r is determined by the local grid step. A particularly interesting feature can be observed in Fig. 3: the ratio r ¼ k m =k does not reach unity at the wall, contrary to the ratio s 12SFS =s 12. This behavior shows that the near-wall region is subject to unsteadiness induced by the large scale motions coming from the outer layer. These motions contribute to the fluctuating energy in the near-wall region, but not to the shear stress, which is 100% modeled at the wall. This description corresponds to the definition of the inactive motions of Townsend. Although it does not provide any detailed information about the dynamics of the flow, the structures present in the resolved field are visualized using the Q-criterion in Fig. 4. As could be expected in such a low resolution computation, only very large scale structures are obtained. Figs. 2 and 5 show a satisfactory reproduction of the turbulent energy and the Reynolds stresses. In the near-wall region, these results are to be credited to the RANS model. In the central region, the contribution of the resolved field is significant, but the level of modeled energy is appropriately reduced, such that the sum of the two contribution provides the correct level of energy. Fig. 5 shows that in the TLES region the streamwise fluctuations are overestimated, to the detriment of the fluctuations in the other directions. Since the RANS model correctly reproduces all the Reynolds stresses in the central region, as can be seen in the figure, this behavior is to be related to the TPITM methodology or, at least, to the use of a modified RANS model as a SFS model. Finally, Fig. 6 illustrates an important feature of this approach: despite the fact that DNS is not perfectly matched, the mean velocity profile is very acceptable, even using the first mesh which is much coarser than a LES-type mesh. As shown in the figure, a

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