PROBABILITES. Généralités

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1 Généralités Une urne contient trois boules blanches et deux boules vertes On tire simultanément et au hasard quatre boules de l'urne 1 Quelle est la probabilité de tirer quatre boules d'une même couleur? 2 Quelle est la probabilité de tirer des boules des deux couleurs? 3 Quelle est la probabilité d'obtenir un tirage tricolore? On dispose d'un dé pipé Si l'on note p i la probabilité d'apparition de la face n i (1 i 6), on sait que les nombres p i sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 1/18 1 Déterminer les probabilités p i 2 Ce dé est utilisé par deux joueurs A et B dans les conditions suivantes : pour chacun des lancers, si un numéro pair sort, A gagne Si un numéro impair sort, B gagne A quel joueur le jeu est-il le plus favorable? Dans une classe de Terminale S, 88% des élèves ont déclaré aimer l'étude des sciences naturelles, 20% des mathématiques, 15% des sciences naturelles et des mathématiques Quelle est la probabilité de tirer au hasard un élève de cette classe qui : 1 aime les sciences naturelles, mais pas les mathématiques? 2 aime les mathématiques, mais pas les sciences naturelles? 3 n'aime, ni les sciences naturelles, ni les mathématiques? Un dé pipé comporte six faces numérotées de 1 à 6 Les probabilités d'obtenir les différentes faces sont proportionnelles aux numéros portés par ces faces 1 Calculer la probabilité d'obtenir chacune des faces 2 Calculer la probabilité de l'événement P : «obtenir une face paire» 3 Calculer la probabilité de l'événement T : «obtenir une face multiple de 3» 4 Calculer la probabilité de l'événement E : «obtenir une face paire ou multiple de 3» Chez un pâtissier, il y a 5 éclairs au chocolat, 3 meringues et 4 tartelettes Chloé décide de prendre au hasard un gâteau Quelle est la probabilité pour qu elle ait une meringue? Dans une classe de terminale S, il y a onze filles et douze garçons Le professeur de mathématiques désigne au hasard un élève pour corriger un exercice Quelle est la probabilité pour que cet élève soit une fille? C On considère la figure ci-contre constituée d un cercle de centre O et de trois triangles OAC, OBC et ABC On tire au hasard l un de ces triangles Quelle est la probabilité pour qu il soit isocèle? A O B Exercices à préparer à la maison On lance simultanément deux dés, l un vert et l autre blanc 1 Quelle est la probabilité pour que la somme des faces tirées soit inférieure à 20? 2 Quelle est la probabilité pour que la somme des faces tirées soit égale à 1? 3 Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre positif sur le dé vert? 4 Quelle est la probabilité d'obtenir un 3 sur le dé rouge? Une cible est fabriquée en traçant des cercles concentriques de rayons 2, 4, 6, 8 et 10 cm Elle est donc constituée de cinq zones, un disque et quatre couronnes, numérotées de 1 à 5 à partir du centre de la cible On admet qu'un joueur atteint toujours cette cible et que la probabilité d'atteindre une des cinq zones est proportionnelle à l'aire de cette zone Calculer la probabilité d'atteindre chacune de ces zones PROBABILITES 1 PG 2007/2008

2 Un club de vacances comprend 100 touristes Un sondage donne le résultat suivant : Homme Femme Pratique un sport Ne pratique pas un sport On choisit un touriste au hasard Quelle est la probabilité que ce soit un homme? une femme? qu'il pratique un sport? qu'il n'en pratique pas? ou bien que ce soit un homme ou bien qu'il pratique un sport? Un dé a été truqué de telle sorte que la probabilité de sortie du 6 soit le triple de la probabilité de sortie du 1 Les numéros 1, 2, 3, 4 et 5 ont la même probabilité de sortie 1 Calculer la probabilité de sortie de chaque numéro 2 Calculer la probabilité de l'événement I : «obtenir une face impaire» 3 Calculer la probabilité de l'événement T : «obtenir une face multiple de 3» 4 Calculer la probabilité de l'événement E : «obtenir une face impaire ou multiple de 3» Probabilités conditionnelles Une urne contient cinq boules : deux rouges marquées 1 et 2, trois vertes marquées 1, 2 et 3 On tire au hasard une boule de l'urne 1 Quelle est la probabilité de tirer un n 3? 2 Quelle est la probabilité de tirer un n 3 sachant que la boule tirée est rouge? 3 Quelle est la probabilité de tirer un n 3 sachant que la boule tirée est verte? Deux employés, Jean et Yves, ont une probabilité d'absences simultanées de 0,04 Jean s'absente avec une probabilité de 0,1 Quelle est la probabilité pour que Yves s'absente, sachant que Jean est absent? On tire une carte au hasard dans un jeu ordinaire de trente-deux cartes Dire si les événements A et B suivants sont indépendants : 1 A : Tirer un roi ; B : Tirer une rouge 2 A : Tirer un roi ; B : Tirer une figure Un tireur à l'arc débutant a une probabilité de 0,8 de toucher la cible à chaque tir On suppose les résultats de deux tirs consécutifs indépendants S'il tire deux fois, quelle est la probabilité qu'il touche la cible deux fois? une seule fois? zéro fois? Que peut-on vérifier? Exercices à préparer à la maison Une urne contient trois cartes bien particulières : la première a ses deux faces rouges, la deuxième ses deux faces blanches et la troisième a une face blanche et une face rouge On tire une carte au hasard dans cette urne ; l'une des faces est rouge Quelle est la probabilité que l'autre face soit rouge? On lance deux fois un dé bien équilibré Les événements A et B suivants sont-ils indépendants? 1 A : 2 sort en premier B : 3 sort en second 2 A : 6 sort en premier B : 6 sort deux fois 3 A : 6 sort une fois B : 1 sort une fois Deux trains doivent arriver à la gare à la même heure Sachant que le premier a la probabilité 0,9 de ne pas être en retard et le second la probabilité 0,8 de ne pas être en retard, quelle est la probabilité pour qu'au moins un des trains ne soit pas en retard? (On admet que les arrivées des deux trains sont des événements indépendants) PROBABILITES 2 PG 2007/2008

3 Arbres et probabilités totales Considérons une urne U 1 contenant 2 boules rouges et une verte et une urne U 2 contenant 2 boules blanches et une rouge On tire au hasard une boule de l urne U 1 et on la place dans l urne U 2 On tire ensuite au hasard une boule de l urne U 2 Quelle est la probabilité pour que cette boule soit rouge? On lance un dé bien équilibré Si le résultat est un multiple de 3, on extrait une carte au hasard d un jeu de 32 cartes Si le résultat n est pas multiple de 3, on extrait une carte au hasard d un jeu de 52 cartes Quelle est la probabilité de tirer ainsi : 1 le valet de carreau? 2 un pique? 3 le 2 de cœur? Une urne A contient deux boules rouges et une verte Une urne B contient une boule rouge et 3 vertes Une urne C contient une boule rouge et une verte On tire au hasard de l urne A une boule que l on place dans l urne B On tire au hasard de l urne B une boule que l on place dans l urne C Enfin, on tire au hasard une boule de l urne C Réaliser un arbre probabiliste Quelle est la probabilité que cette dernière boule soit verte? Exercices à préparer à la maison Monsieur X prend son parapluie en partant le matin avec une probabilité de : 1 s'il pleut ; 0,6 s'il y a des nuages ; 0,2 si le ciel est bleu Dans la ville où réside Monsieur X, le temps au petit jour, au cours du mois de janvier, suit la loi suivante : temps pluie nuages ciel bleu probabilité 0,2 0,5 0,3 Calculer la probabilité que Monsieur X parte en emportant son parapluie le 17 janvier 2007 Une urne contient 2 boules vertes et 3 bleues On tire successivement 2 boules sans remise Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit verte? bleue? Une dame nourrit son chat Gédéon à l'aide d'aliments en boîte Chaque jour, elle choisit au hasard l'une des trois variétés : volaille, bœuf, lapin Si on lui sert de la volaille, Gédéon finit toujours sa gamelle Si on lui sert du bœuf, il finit sa gamelle avec une probabilité de 1/2 Si on lui sert du lapin, il finit sa gamelle avec une probabilité de 1/3 seulement 1 Quelle est la probabilité qu'un jour donné Gédéon finisse sa gamelle? 2 On suppose que le choix des boîtes est indépendant d'un jour à l'autre Quelle est la probabilité que Gédéon ne termine pas sa gamelle deux jours de suite? PROBABILITES 3 PG 2007/2008

4 Probabilités des causes M Durand, utilisateur d informatique se fournit en CD-ROM vierges chez deux fournisseurs : Dupont et Pondu 95 % des CD-ROM fournis par Dupont sont exempts de défaut, alors que 10 % des CD-ROM fournis par Pondu sont défectueux M Durand achète 30 % de ses CD-ROM chez Dupond et le reste chez Pondu (ils sont moins chers!) 1 Faire un arbre probabiliste décrivant la situation 2 Calculer la probabilité pour qu un CD-ROM donné soit défectueux 3 Un CD-ROM est défectueux Calculer la probabilité pour qu il provienne de chez Dupont 4 Réaliser l arbre «à l envers» Une urne A contient 2 boules blanches et 3 boules noires Une urne B contient 2 boules blanches et 1 boule noire On tire au hasard une boule de l urne A et on la place dans l urne B, puis on tire au hasard une boule de l urne B Urne A Urne B 1 Faire un arbre probabiliste décrivant la situation 2 Calculer la probabilité pour que la boule tirée de l urne B soit blanche 3 La boule tirée de l urne B est blanche Quelle est la probabilité pour que la boule provenant de l urne A soit également blanche? Exercice à préparer à la maison Voici un arbre probabiliste Retourner l arbre (rechercher les «probabilités des causes») B A 0,8 0,3 B 0,4 B A B PROBABILITES 4 PG 2007/2008

5 Combinaisons Dans chacun des cas suivants indiquer si les objets sont tirés dans des ensembles différents ou dans un même ensemble, s ils sont tirés avec ou sans ordre et si un même objet peut être tiré plusieurs fois (remise ou non) : 1 loto (on coche sur une grille 6 des 49 numéros) 2 tiercé (on désigne trois chevaux parmi 18) 3 on lance deux dés 4 le professeur de mathématiques désigne deux élèves pour corriger deux exercices 5 les 23 élèves élisent deux délégués 6 on compose au hasard un numéro de téléphone à 10 chiffres Au loto, combien de grilles différentes de 6 numéros peut-on réaliser? Combien de «mains» différentes de trois cartes peut-on réaliser avec un jeu de 32 cartes? Une urne contient 3 boules vertes et 2 noires On tire simultanément deux boules de l urne Combien de tirages différents peut-on faire? Ecrire, sous forme algébrique, (1 + 2i) 5 Calculer Démontrer que n n n 2 p p0 Exercices à préparer à la maison Une entreprise de 50 salariés désigne les trois représentants qui siègeront au conseil d administration Combien de délégations différentes peut-on composer? Dans sa trousse qui contient 12 crayons, un enfant tire au hasard 3 crayons Combien de choix différents peut-il faire? Dans une course hippique, il y a 20 chevaux au départ Combien y a-t-il de tiercés différents possibles sans tenir compte de l ordre d arrivée (on parle de tiercé dans l ordre et de tiercé dans le désordre)? Calculer Ecrire, sous forme algébrique, 3 2i 4 Démontrer que n n n 1 n 2 p p 1 p 2 p 2 PROBABILITES 5 PG 2007/2008

6 La pause s impose! Une urne contient huit boules noires et quatre boules blanches On tire, successivement et sans remise, trois boules dans cette urne l Calculer la probabilité de tirer, dans l'ordre, a une blanche, une noire, puis une blanche ; b deux blanches, puis une noire ; c une noire, puis deux blanches 2 Trouver la probabilité de tirer une noire et deux blanches, dans n'importe quel ordre On met dans une urne huit pions portant chacun une lettre du mot ECONOMIE et l'on tire successivement cinq pions au hasard Quelle est la probabilité pour que les pions tirés donnent, dans l'ordre, le mot MOINE : a si l'on remet chaque pion dans l'urne après tirage? b si chaque pion est laissé hors de l'urne après tirage? Un joueur lance un dé Si la face 1 apparaît, il tire, au hasard, une carte d'un jeu de 32 cartes Si la face n'est pas un 1, il tire, au hasard, deux cartes du même jeu 1 Quelle est la probabilité de tirer le roi de pique? 2 Quelle est la probabilité de tirer deux cartes d une même couleur? Une urne contient cinq boules : trois vertes, portant respectivement les numéros 1, 2, et 3 et deux rouges, portant respectivement les numéros 1 et 2 On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne 1 Quelle est la probabilité de l'événement A : «les deux boules tirées sont de la même couleur»? 2 Quelle est la probabilité de l'événement B : «la somme des numéros portés par chacune des deux boules tirées est égale à 3»? 3 Quelle est la probabilité de B sachant que l'on a tiré deux boules de la même couleur? Les événements A et B sont-ils indépendants? Exercice à préparer à la maison Un car se présente à une frontière ; le chauffeur sait que, parmi ses 50 passagers, 10 tentent de frauder Le douanier choisit au hasard 8 personnes pour les contrôler 1 Quelle est la probabilité pour qu'aucune des 8 personnes ne tente de frauder? 2 Quelle est la probabilité pour que, sur ces 8 personnes, l'une au moins tente de frauder? 3 Quelle est la probabilité pour que, sur ces 8 personnes, exactement deux tentent de frauder? Au loto, on tire au hasard 6 boules parmi 49 Quelle est la probabilité de tirer, parmi ces 6 boules : 1 aucune boule du tirage précédent? 2 exactement une boule du tirage précédent? 3 exactement deux boules du tirage précédent? 4 au moins une boule du tirage précédent? On considère deux urnes : une urne A qui contient quatre boules vertes et deux jaunes une urne B qui contient trois boules vertes et une jaunes Paul tire au hasard une boule de l urne A et la place dans l urne B Jean tire au hasard une boule de l urne B Si les deux boules tirées sont de la même couleur Paul gagne, sinon c est Jean qui gagne Ce jeu est-il équitable? Sinon, à quel joueur est-il favorable? PROBABILITES 6 PG 2007/2008

7 Lois de probabilité discrètes Une cible circulaire est composée de trois zones concentriques rapportant 5, 3 et 1 points respectivement Les probabilités d'atteindre ces 3 zones sont dans l'ordre 1/6, 1/3 et 1/2 On admet que les résultats de 2 tirs successifs sont indépendants On tire deux fois On note X la variable aléatoire prenant pour valeur la somme des points obtenus Donner la loi de probabilité de X, puis calculer l'espérance et la variance de X On tire une boule de A et on la met dans B, puis on tire une boule de B et on la met dans C Enfin, on tire une boule de C Si cette dernière est blanche, on gagne 24, sinon on perd 12 Calculer l'espérance du gain, sa variance et son écarttype urne A urne B urne C On partage un gâteau de semoule contenant n raisins secs en 8 parts égales 1 On suppose ici que n est égal à 10 Quelle est la probabilité pour qu'une part donnée contienne exactement 4 raisins? 2 Etant donné k (0 k n), quelle est la probabilité pour qu'une part donnée contienne exactement k raisins? 3 Calculer la probabilité qu'une part donnée contienne au moins un raisin 4 Comment faut-il choisir n pour qu'une part donnée contienne au moins un raisin sec avec une probabilité supérieure ou égale à 9/10? Un joueur de tennis a pour probabilité 1/3 de servir correctement sa première balle Est-il exact d'affirmer que ce joueur est certain de servir au moins une fois correctement sa première balle en trois services? Jean-Claude tire cinq fois de suite une carte d un jeu de 32 cartes en remettant à chaque fois la carte dans le jeu avant de tirer à nouveau On appelle X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de «figures» apparues parmi ce 5 cartes Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance et son écart-type Note : on appelle figures : les rois, les dames et les valets Exercice à préparer à la maison Un marchand de parapluies est installé dans une ville où le temps est beau 185 jours par an, maussade 120 jours par an et pluvieux 60 jours par an (On suppose qu'une année a 365 jours) Le nombre de parapluies vendus en une journée définit une variable aléatoire X On note les événements suivants : B : Le temps est beau M : Le temps est maussade P : Le temps est pluvieux On dispose des renseignements suivants : x i p B (X=x i ) 5/8 2/8 1/8 x i p M (X=x i ) 3/8 2/8 2/8 1/8 x i p P (X=x i ) 1/8 2/8 3/8 2/8 1 Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X 2 Sachant que X = 2, quelle est la probabilité que le temps soit maussade? Un enfant possède une tirelire contenant 2 pièces de 5 F, 3 pièces de l F, 2 pièces de 0,50 F et un jeton sans valeur Il fait tomber au hasard deux des objets contenus dans sa tirelire X est la variable aléatoire définie par la valeur en francs de chaque tirage 1 Quelles sont les différentes valeurs que peut prendre X? 2 Déterminer la loi de probabilité de X 3 Quelle est la probabilité pour que l'enfant récupère ainsi au moins 6 F? PROBABILITES 7 PG 2007/2008

8 Les probabilités au BAC 2006 On étudie le mouvement aléatoire d une puce Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C À l instant 0, la puce est en A Pour tout entier naturel n : si à l instant n la puce est en A, alors à l instant (n +1), elle est : soit en B avec une probabilité égale à 1 3 soit en C avec une probabilité égale à 2 3 si à l instant n la puce est en B, alors à l instant (n + 1), elle est : soit en C, soit en A de façon équiprobable si à l instant n la puce est en C, alors elle y reste On note A n (respectivement B n, C n ) l événement «à l instant n la puce est en A» (respectivement en B, en C) On note a n (respectivement b n, c n ) la probabilité de l événement A n (respectivement B n, C n ) On a donc : a 0 =1, b 0 = c 0 = 0 Pour traiter l exercice, on pourra s aider d arbres pondérés 1 Calculer a k, b k et c k pour k entier naturel tel que 1 k a Montrer que, pour tout entier naturel n, an bn cn 1, an1 bn 2 et 1 bn1 an 3 1 b Montrer que, pour tout entier naturel n, an2 an 6 p 1 a2 p et a2 p1 0 6 c En déduire que, pour tout entier naturel p, p 1 1 b2 p 0 et b2 p Montrer que lim a 0 n n On admet que lim b 0 Quelle est la limite de c n lorsque n tend vers +? n n Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de 3 sortes : 4 sont marqués «oui», 3 sont marqués «non» et 3 sont marqués «blanc» Lors d un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d euro Il tire ensuite un bulletin de l urne et l y remet après l avoir lu Si le bulletin tiré est marqué «oui», le joueur reçoit 60 centimes d euro, s il est marqué «non», il ne reçoit rien Si le bulletin tiré est marqué «blanc», il reçoit 20 centimes d euro Question 1 : Le jeu est : A : favorable au joueur B : défavorable au joueur C : équitable Question 2 : Le joueur joue 4 parties indépendamment les unes des autres La probabilité qu il tire au moins une fois un bulletin marqué «oui» est égale à : A : B : C : Lors d un second jeu, le joueur tire simultanément deux bulletins de l urne Question 3 : La probabilité qu il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à : 4 A : 15 B : C : PROBABILITES 8 PG 2007/2008

9 Lois de probabilité continues Dans chacun des cas, dire si la fonction f peut être on non la densité d une variable aléatoire 1 f ( x) sin x sur 0; f ( x) f ( x) 1 2 x 1 3 x sur [1 ; +[ sur [1 ; +[ La densité de probabilité d une variable aléatoire X est définie sur [0 ; +[ par 1 Déterminer la valeur de 2 Calculer la probabilité P(X 5) 3 Déterminer x pour que P(X < x) > f ( t) e t X désigne un réel choisi au hasard dans l intervalle [10 ; 20] 1 Quelle est la densité de probabilité de X? 2 Quelle est la probabilité de l événement (X > 15)? 3 On répète trois fois la même épreuve de façon indépendante Quelle est la probabilité d obtenir au moins une fois un réel compris entre 15 et 16? Dans un aéroport, la durée d attente X mesurée en minutes pour l enregistrement des bagages suit une loi exponentielle de paramètre Quelle est la densité de probabilité de X? 2 Quelle est la probabilité d attendre au plus 30 minutes? 3 Quelle est la probabilité que l attente dépasse 1 heure? 4 Sachant qu on a attendu 15 minutes, quelle est la probabilité que l attente soit encore d au moins 15 minutes? Exercices à préparer à la maison Vous arrivez à un arrêt de bus à 10 heures sachant que le bus arrivera à un certain instant qui suit la loi uniformément distribuée entre 10 heures et 10 heures 30 1 Quelle est la probabilité que votre attente dure dix minutes ou plus? 2 Si à 10 heures 15, le bus n est pas encore arrivé, quelle est la probabilité que votre attente dure au moins dix minutes supplémentaires? Une variable aléatoire T suit une loi exponentielle 1 Trouver le paramètre de cette loi sachant que : P(T 70) = 0,05 2 En déduire P(T > 30) Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre 1 Calculer sachant que : P(1 X 2) = Calculer alors P(2 X 4) PROBABILITES 9 PG 2007/2008

10 Les lois de probabilité continues au BAC La durée de vie d un robot, exprimée en années, jusqu à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre, avec > 0 Ainsi, la probabilité qu un robot tombe en panne avant l instant t est égale à : x p( X t) e dx 1 Déterminer, arrondi à 10 1 près, pour que la probabilité p(x > 6) soit égale à 0,3 Pour la suite de l exercice, on prendra = 0,2 2 À quel instant t, à un mois près, la probabilité qu un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,5? 3 Montrer que la probabilité qu un robot n ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e 0,4 4 Sachant qu un robot n a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à 10 2 près, la probabilité qu il soit encore en état de marche au bout de six ans? 5 On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n ait pas eu de panne au cours des deux premières années On s intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d un composant électronique On modélise cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l intervalle [0 ; + [ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t t x semaines est p([0 ; t[) = e dx Une étude statistique, montrant qu environ 50 % d un lot 0 important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser p([0 ; 200[) = 0,5 ln 2 1 Montrer que Quelle est la probabilité qu un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300 semaines? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près 3 On admet que la durée de vie moyenne d m de ces composants est la limite quand A tend vers + de 0 A xe x dx A A A x t 0 Ae e 1 a Montrer que xe dx 0 b En déduire d m ; on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale à la semaine près PROBABILITES 10 PG 2007/2008