DM14 RCL série en RSF et puissance

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1 DM4 C série en SF et puissance I Facteur de qualité n circuit,,c) série est soumis à une tension alternative sinusoïdale définie par : ut) = 0 sinωt. On étudie le régime d oscillations sinusoïdales forcées, à la pulsation ω. ) a pulsation ω étant fixée, déterminer la puissance moyenne < P > dissipée par ce circuit par effet Joule. ) Pour quelle valeur ω o de ω cette puissance est-elle maximale? quel phénomène physique correspond cette valeur ω o? 3) Déterminer les limites ω min et ω max de l intervalle de pulsation sur lequel < P > est au moins égal à la moitié de sa valeur maximale P 0. ω 0 En déduire l expression du facteur Q = en fonction de, et ω o. ω max ω min Pour et C fixés, comment Q varie-t-il avec? Quel est l intérêt d un circuit possédant un facteur Q élevé? En déduire une justification de la dénomination : «facteur de qualité» du circuit. 4) Exprimer, en fonction de, et 0, l énergie électromagnétique moyenne < E 0 > stockée, pour la pulsation ω o, dans la bobine ou le condensateur vérifier que c est la même). En déduire une relation entre Q, ω o, < E o > et < P o >. etrouve-t-on, du point de vue énergétique, l intérêt d un circuit à Q élevé? ut) C II Puissance et égime sinusoïdal forcé ) n dipôle est alimenté en régime sinusoïdal forcé par une tension ut) = cosπft) avec = 0 V et f = 50 Hz. intensité du courant qui le parcourt est alors it) = I cosπft+ϕ)..a) En fonction de, I et ϕ, donner les expressions de : α) l impédance complexe Z et de son module Z on notera j le nombre imaginaire pur tel que j = ) ; β) la puissance électrique moyenne P e absorbée par le dipôle..b) En déduire l expression P e = Z, étant la résistance électrique du dipôle. ) n fusible de 6 protège une ligne électrique {,)/, )} alimentant en régime sinusoïdal forcé, sous une tension efficace = 0 V et une fréquence f = 50 Hz, Fusible un dipôle D assimilable à une bobine d inductance = H en série avec un dipôle ohmique de résistance u D fig. ci-contre). intensité efficace maximale admissible dans la ligne est I max = 6. Ce dipôle absorbe une puissance électrique moyenne P e = 500 W. a ligne {,)/, )} se comporte comme un dipôle purement ohmique de résistance électrique totale 0 =, Ω, fusible compris..a) Calculer les deux valeurs possible et de la résistance du dipôle D..b) Pour chaque valeur et, calculer l intensité efficace I et I dans le dipôle D. DM4 E4

2 Circuit C série et Puissance en SF 0-03.c) Déterminer la seule valeur de possible compte tenu de la présence du fusible..d) En déduire l intensité efficace du courant électrique circulant dans la ligne{,)/, )} et la puissance moyenne P 0 dissipée par effet Joule dans cette ligne. 3) On ajoute, en parallèle sur le dipôle D, un condensateur de capacité C = 30,4.0 6 F. 3.a) calculer les intensités efficaces : α) I D dans le dipôle D ; β) I C dans le condensateur ; γ) dans la ligne. Fusible 3.b) Déterminer la puissance P 0 dissipée par effet Joule dans la ligne. 3.c) Comparer P 0 et P 0. Conclure sur l intérêt de ce condensateur. C D u ép :.a) = 7,5 Ω et =,9 Ω ;.b) I = 8,5 et I = 4,5 ;.d) P 0 =< P J >= 750 Ω ; 3.a) I D = 4,5 ; I C = 9,0 ; =,4 ; 3.b) P 0 = 654 W. DM4 E4 Qadri J.-Ph. PTSI

3 0-03 Circuit C série et Puissance en SF Solution ) ut) = cosπft), = 0 V et f = 5 Hz ; it) = cosπft+ϕ)..a.α) = ZI Z = I = e jϕ Z = e jϕ.a.β) < P >=< ut)it) >=< cosπft)i cosπft+ϕ) >= < cos4πft+ϕ)+cosϕ) > P e =< P >= cosϕ.b) P e = cosϕ; I = Z ; cosϕ = cosargz)) = ez) Z ) P e = 500 W et = 30 mh. De plus : P e = Z = + ω..a) D où : P e + ω P e = 0 Polynôme de degré de discriminant : = «b 4ac» = 4 4 ω P e On vérifie que,9.0 6 V 4 > 0 Ce qui signifie que le polynôme admet deux solutions réelles :. = «b» = 7,5 Ω a P e = «b+» = +,9 Ω a P e.b) = Z = deux intensités possibles : + ω Si =, = I 8,3 et si =, = I 4,5 ' Z P e = Z. 0 D.c/d) Puisque le fusible impose < 6 : =,9 Ω et = I 4,5. jω ' D où : P 0 =< P J >= toti m = 0 +)I 0 = 750 W 3) Z e = j +jω) = j ++jω +jω +j j I C = +jω)i D Z e I 0 De plus : C = 30,4 µf et =,9 Ω 3.a.α) I D = I D = + ω 4,5 ' 0 ' ' I C I D j Z e D jω DM4 E4 3.a.β) I C = I C = 9,0 3.a.γ) = I 0 = = ) +) Z e + ω,4 3.b) P 0 =< P J > est la puissance dissipée par effet Joule dans la ligne au niveau de la résistance 0 parcourue par l intensité efficace et de la résistance = parcourue par l intensité efficace I D. D où : P 0 = 0 I 0 + I D 654 W 3.c) P 0 < P 0 : l ajout du condensateur permet de faire baisser les pertes par effets Joule en faisant diminuer l intensité efficace dans la lignei 0 < ). Qadri J.-Ph. PTSI 3

4 Circuit C série et Puissance en SF 0-03 I Facteur de qualité ) Soit i =.sinωt+ϕ) l intensité circulant à travers le circuit C série soumis en convention récepteur) à la tension ut) = 0.sinωt). est l amplitude du courant it) et ϕ = ϕ i ϕ u son déphasage i par rapport à la tension ut). u =.e jωt avec : = 0 En notations complexes : i = I.e jωt = Z.I = +j ω ) avec : I =.e jϕ avec : Z = Z.e jϕ =.e jϕ i ϕ u) 0 a puissance moyenne reçue, en régime sinusoïdal, par un dipôle d impédance complexe Z, soumis à la tension ut) et parcouru par it) en convention récepteur) est, sachant que cosϕ = Z et = Z. : < P > =< it).ut) >=< i u >=<. 0 cosωt+ϕ i ).cosωt+ϕ u ) > =. 0 [< cosϕ u ϕ i ) > + < cosωt+ϕ }{{} i +ϕ u ) > ] }{{} constante 0 car moy. temp. d une fonction sinusoïdale < P >= 0. ) < P > est maximale lorsque lors : < P > max) = P 0 = 0 Dit autrement, < P >=.. cosϕ =.. = 0. Z = 0. + ω ) ω ) s annule, c est-à-dire lorsque ω = ω 0 =. C est maximale lorsque : = I m ω) = 0 Z = 0 + ω ) DM4 E4 passe par sa valeur maximale max) = I m ω 0 ) = 0. Cl : Il y a résonance en puissance moyenne) lorsqu il y a résonance en intensité dans le circuit C série qui se comporte alors comme une résistance pure. 3) On recherche la bande passante en puissance moyenne), c est-à-dire les valeurs ω c des pulsations de coupure qui sont les pulsations ω du générateur telles que : < P > ω) = < P > max) Or, comme < P > max) = P 0 = 0 : < P > ω) = P 0 ω + ) Dès lors : < P > ω) = < P > max) P 0 ω + ) = P 0 Soit : ω.ω = 0 polynôme de discriminant : = 4 C + C En ne retenant que les racines réelles les seules physiquement acceptables) : ω = ± ω max = + + ω min = Qadri J.-Ph. PTSI

5 0-03 Circuit C série et Puissance en SF Comme ω max ω min =, on en déduit : Q = ω 0 = ω 0 ω max ω min = = 0. C Cl : orsque ց, alors Q ր Intérêt d un circuit possédant un facteur de qualité élevé : réaliser un filtre passe-bande) très sélectif, puisque plus Q est élevé et plus la bande passante en puissance/en courant) est réduite. Par ailleurs, plus le facteur de qualité est élevé, pour et C fixées, plus la puissance maximale est élevée puisque P 0 = 0 = 0.Q.ω 0 4) énergie électromagnétique moyenne stockée dans la bobine ou le condensateur est : < E >=< E > + < E C >=<..i > + <.C.u C > avec : < i >=< I0.sin ωt+ϕ) >= et < u C >=< Cm sin ωt+ϕ C ) >= Cm Comme Cm = I j = : < E >=< E > + < E C >= C.ω Soit, pour la pulsationω 0 imposée par l énoncé à cette question), puisque ω 0 ) = 0 résonance en courant) : < E 0 >= < E > = = 4. 0 Q et < E 0 >= < E C > = ω 0 4 I 0 C.ω 0. 0 = 4. 0 Q ω 0 Donc, puisque P 0 = 0 : < E0 >= 4. 0 Q ω 0 = Q ω 0.P 0 Cl : Plus le circuit a un facteur de qualité élevé, et plus l énergie électromagnétique moyenne stockée pour la pulsation ω 0 ) est élevée puisque, lorsque et C sont fixées : < E 0 >= Q.P 0 = 0 ω 0 ω0.q ր lorsque Q ր DM4 E4 Qadri J.-Ph. PTSI 5