5.1 SYSTÈME D ÉQUATIONS LINÉAIRES. Cours 13
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- Julie Papineau
- il y a 6 ans
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1 5.1 SYSTÈME D ÉQUATIONS LINÉAIRES Cours 13
2 Au dernier cours nous avons vus L équations vectoriel et l équation normale d un plan. L intersection de deux plans. L angle entre deux plans. La distance entre un point et un plan.
3 Aujourd hui, nous allons voir Les systèmes d équations linéaires. Un algorithme pour les résoudre.
4 Définition: Une équation linéaire est n importe qu elle expression de la forme; où et les sont des variables. Définition: Une solution de l équation linéaire est un n-plet tel que Solutionner une équation linéaire revient à trouver l ensemble de toutes ses solutions.
5 Définition: Un système d équations linéaires est un ensemble d équations linéaires. On met une accolade au début pour les délimiter. Les indices ici servent à indiquer à quelle variable et à quelle équation un coefficient appartient. Définition: Une solution d un système d équations linéaires est un n-uplet qui est solution de chaque équation du système.
6 Exemple: Le système d équations linéaires suivant a comme solution car et
7 On a vue comment solutionner un système d équations linéaires de 2 équations et 2 inconnues ainsi que de 3 équations et 3 inconnues avec la méthode de Cramer. On aimerait avoir une méthode pour solutionner des systèmes d équations de n équations et m inconnues.
8 Qu est ce qu on peut faire avec une équation sans changer l ensemble solution?
9 Pour comprendre la méthode, regardons ce qu on peut faire à un système d équations sans changer l ensemble solution. 1. Interchanger deux équations 2. Multiplier une équation par une constante
10 3. Additionner à une équation un multiple d une autre.
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12 Matrice des coefficients Matrice augmentée
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14 Matrice des coefficients Li-»Lj ( ***** ) Matrice augmenté
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17 Pour quelles valeurs de x et de y l équation 0 = 8 est-t-elle vérifiée? Aucune!!! Donc le système d équations linéaires n as pas de solution.
18 La deuxième équation est toujours vrai donc inutile. Donc les points de cette droite; forment l ensemble solution du système d équation.
19 Interprétation géométrique Deux droites dans le plan. Une solution de ce système est un point de l intersection de ces deux droites. Deux droites sécantes Deux droites parallèles distinctes Deux droites parallèles confondues Il y a une solution unique Il n y a pas de solution Il y a une infinité de solutions
20 Trois plans dans l espace. Il y a une solution unique Il n y a pas de solution Il y a une infinité de solution
21 On fait quoi avec ça?
22 Il y a donc une infinité de solutions. Il suffit de poser une des variables égale à un paramètre. Prenons par exemple d où Ou, si on préfère, l intersection de ces deux plans est la droite:
23 Eventuellement, vous serez tenté de faire plus d une opération ligne à la fois. Généralement il n y a pas de problème à faire ça, mais vous ne devez pas faire une opération ligne sur une ligne que vous venez de changer.
24 Exemple: Donc il y une infinité de solutions, mais... Il n y en a qu une!
25 Définition: Un système d équations linéaires est dit homogène si toutes les constantes sont nuls. Remarque: Les systèmes d équations linéaires homogènes ont toujours au moins une solution.
26 Définition: Une matrice est dite échelonée réduite ligne (ERL) si Le premier coefficient non nul d une ligne est un 1 (on nomme ce coefficient le pivot). Le pivot d une ligne est toujours à droite des pivots des lignes au dessus. Tous les coefficients de la colonne du pivot sont nuls. Ex:
27 Définition: Deux matrices, et sont dites ligne-équivalente (l-équivalente) si peut s obtenir de par une suites d opérations lignes. On écrit alors; Proposition: Si et avec et des matrices ERL, alors En d autre terme, toutes matrices est l-équivalente à une unique matrice ERL.
28 Définition: Soit une matrice et sa matrice ERL l-équivalente. Le rang de, noté de lignes non nulles de. est le nombre Exemple:
29 Aujourd hui, nous avons vu Les systèmes d équations linéaires Les trois opérations ligne. Système d équations linéaires homogène. Matrices ERL.
30 Devoir: p.172 # 1 à 14
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