DÉPARTEMENT D'INFORMATIQUE ET DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE

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1 1 DÉPARTEMENT D'INFORMATIQUE ET DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE Sigle du cours: 1ft 3512 Nom du professeur: Jacques A. Ferland Titre du cours: Techniques d'optimisation 2 Examen final H 2007 Date: Mardi 24 avril 2007 Heure: 09h30 à 12h30 Lieu: 1177 Pavillon A. Aisenstadt Directives pédagogiques: Répondre à toutes les questions. Deux pages de notes de grandeur 8112 x Il sont permises. L'utilisation de la calculatrice est permise. Rappel: Règlement sur le plagiat (extrait du règlement disciplinaire sur le plagiat ou la fraude de l'université de Montréal) Constitue un plagiat: 1. Faire exécuter son travail par un autre 2. Utiliser, sans le mentionner, le travail d'autrui 3. Échanger des informations lors d'un examen 4. Falsifier un document Le plagiat est passible de sanctions allant jusqu'à l'exclusion du programme. Question 1 (1 0 points) Considérer le problème de la projection d'un point x E Rn sur l'ensemble des points X={xERn:x~o} qui correspond à déterminer le point de X qui est le plus proche de x n 1 Min L -(x; - x;)2 ;=1 2 Sujet à x~o. Déterminer une solution optimale de ce problème en utilisant les conditions d'optimalité de Karush-Kuhn-Tucker.

2 2 Question 2 Considérer le problème de la projection de [- 2, -1YE R 2 sur l'ensemble des points X={XER 2 : Xl ~O, X 2 ~O}. a) (15 points) Déterminer la solution optimale du problème correspondant avec la méthode des directions réalisables en utilisant la solution initiale XO =[3, 2r. b) (15 points) Déterminer la solution optimale du problème correspondant avec la méthode Frank-Wolfe en utilisant la solution initiale XO =[3, 2r. Question 3 (15 points) Considérer le problème de produire une boîte de volume maximale avec une pièce de carton de superficie spécifiée c > O. Dénotons les dimensions des côtés de cette boîte par X, y et z. Le problème peut se formuler comme suit: Max xyz Sujet à 2(xy + yz + zx) =c X, y, z~o. Déterminer les dimensions optimales en utilisant les conditions de Karush-Kuhn-Tucker. Question 4 Considérer le problème de programmation linéaire suivant Min f (x) = CT X Sujet à Ax =b oùaestunematrice mxn, c,xernetber m. x~o a) (15 points) Considérer une itération de la méthode du gradient réduit pour résoudre ce problème. De plus pour faciliter l'écriture, supposer que la base associée à la solution actuelle x k est composée des m premières colonnes de A. Supposer également que toutes les variables hors-base sont nulles. Pour cette itération du gradient réduit, déterminer la direction de déplacement et le pas maximal dans cette direction. b) (15 points) Considérer maintenant une itération de la variante suivante de la méthode du gradient réduit. Pour faciliter l'écriture, supposer que la base associée à la solution actuelle x k est composée des m premières colonnes de A. Supposer également que

3 toutes les variables hors-base sont nulles. Dans cette variante, le vecteur dt associé aux variables hors base est déterminé comme suit: soit s l'indice d'une variable hors base tel que alors 8F~~k) =Min {8F(xt) :j indices des variables hors - base}, Ox- Bk, Ox- Bk) k {1 si j =s d Bk) = 0 S\ } *- s. 3 Démontrer que la direction d' =[:~:] est une direction de descente. Question 5 (15 points) Considérer le problème de programmation linéaire en nombres entiers suivant: Min -4x l +x 2 Sujet à 7x I - 2x 2 ~ 14 x 2 ~ 3 2x 1-2x 2 ~3 XI' x 2 ::?: 0, entières Résoudre ce problème avec la méthode du Branch-and-Bound. Notes: Résoudre d'abord le problème où nous ajoutons une contrainte de type «~» avant celui où nous ajoutons une contrainte de type «:s». Il est plus simple d'utiliser la méthode graphique pour résoudre les divers problèmes. Jacques A. Ferland

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