École Nationale des Ponts et Chaussées Année scolaire Mécanique des sols et des roches

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1 École Nationale des Ponts et Chaussées Année scolaire Mécanique des sols et des roches Partie 1. Stabilité d un bloc rocheux Contrôle des connaissances 2 (Séance du 8 février 2010) N CORRIGÉ A B α H C Plan horizontal (surface du massif rocheux) AB = AC = 4 m AD = 5 m Angle BAC = 90 degrés Plan ABD 90 N 0 Plan ACD 90 N 90 Plan BCD β N α D Plan horizontal (base de la tranchée) Figure 1. Éléments géométriques de la solution 1. L azimut du plan BCD peut être déterminé directement dans le plan horizontal ABC (Figure 1). Le triangle ABC est rectangle en A. C est un triangle isocèle, donc les autres angles valent 45 degrés. La direction AB est celle du nord. L azimut α du plan BCD est donc égal à l angle NBC, soit 135 degrés. Le pendage du plan BDC est défini par la droite DH, qui est perpendiculaire à BC dans le triangle isocèle DBC. De même, AH est perpendiculaire à BC dans le triangle isocèle ABC. L angle β est donc l angle AHD. On peut le définir par sa tangente : AD tan β = = = = 177,. AH AC / 2 4 L angle β vaut 65 degrés. 2. Le volume du tétraèdre ABCD peut être calculé en remarquant que AD est perpendiculaire au triangle de base ABC. La surface de ABC est égale à S ABC = 5 AB.AC = 8 m 2. Le volume du tétraèdre est égal à V ABCD = S ABC.AD/3 = 5.8/3= 13,33 m 3. Le poids du bloc ABCD est donc égal à W ABCD = 13,33.26 = 347 kn. 3. La surface du triangle BCD est égale à S BCD = 5 BC.DH = 5 (AB 2) (AD/sin β), soit 5 2 S BCD = 5( 4 2) = 16, 23m Les résultats des quatre essais à la boîte permettent de construire le diagramme de la figure 2, dont on déduit que le critère de Mohr-Coulomb applicable pour les contraintes inférieures à 1,5 MPa a pour paramètres : c = ϕ = 45 degrés. ENPC Mécanique des sols et des roches Contrôle de connaissances 2 8/2/2010 Corrigé page 1/6

2 contrainte tangentielle τ (MPa) 2 1, ,5 2 2,5 contrainte normale σ (MPa) 45 degrés Figure 2. Résistance au cisaillement sur les discontinuités 5. La figure 3 montre une coupe du bloc selon le plan vertical AHD. Le poids W ABCD se projette sur la surface de discontinuité BCD selon une force normale N W et une force tangentielle T W. La résistance au glissement est déduite du frottement sur la discontinuité (question précédente) : T max = N W tan ϕ. La condition d équilibre est T W < T max / F, où F est un coefficient de sécurité, qui l on peut fixer à 1,2 ou 1,3. Numériquement, on obtient : T = WABCD cos βtan ϕ = = 171kN max Tw = WABCD sin β = = 302 kn Le bloc étudié n est donc pas stable. A H N W W T W Figure 3. Coupe du bloc ABCD selon le plan vertical AHD D 6. Pour stabiliser le bloc, on peut installer des ancrages horizontaux à partir de la paroi de la tranchée, dans la direction horizontale par exemple. Ces ancrages (appelés boulons pour les roches, et clous pour les sols) seraient installés progressivement lors du creusement de la tranchée. Si cela n est pas possible à cause du mode de creusement, il faudra tailler les talus jusqu à une pente acceptable, à calculer. Partie 2. Étude d un mur de soutènement 1. Le calcul du poids du mur est illustré sur la figure 4. Le massif de béton est divisé en deux parties rectangulaires. Le massif de sol situé au dessus de la semelle est intégré dans le calcul. Les valeurs des forces et leur position horizontale sont indiquées sur la figure. Le calcul de la force de poussée s effectue à la verticale du bord arrière de la semelle (Figure 5). Les contraintes horizontales de poussée sont calculées dans le tableau 1. Tableau 1. Calcul des contraintes de poussée derrière le mur Point z σ v u σ' v K a c -2c 2 σ' h σ h Unité (m) () () () (-) () () () () A B sable B argile C 5,5 104,5 5 99, K a,sable = tan 2 (45-35/2)= 27 K a,argile = tan 2 (45-24/2)= 42 2c tan(45-24/2) = 13 ENPC Mécanique des sols et des roches Contrôle de connaissances 2 8/2/2010 Corrigé page 2/6

3 A Poids du sable W s=5.3.19=285 kn Béton 1 W b1=5.5.24=60 kn 1,75m 3,5m Sable sec F s F s = 65 kn F a1 = 2 kn F a2 = 13,5 kn 2,5m 2,17m Béton 2 W b2=5.5.24=60 kn Figure 4. Calcul des poids de béton et de sable F a1 17m F a2 B 25m C Argile Figure 5. Force de poussée sur le mur 2. Le seul mécanisme de renversement possible est une rotation par rapport à l extrémité de la semelle du mur. Les forces et bras de levier déterminés dans la question précédente permettent de calculer le bilan de moments suivant : - moments moteurs : forces de poussée F s, F a1 et F a2 M(F s )+ M(F a1 )+M(F a2 ) = 65.2, ,5.25 = 145 kn.m - moments résistants : poids W s, W b1, W b2 M(W s )+M(W b1 )+M(W b2 ) = 285.3,5+60.2,5+60.1,75 = 1252,5 kn/m. Le mur est stable au renversement. 3. Calculer la stabilité du mur au poinçonnement. Pour calculer la résistance du sol argileux au poinçonnement sous le mur, il faut déterminer la résultante des charges appliquées au mur (poids et forces de poussée). Cette force résultante F total a pour composantes : - composante verticale F total,v = W s + W b1 + W b2 = = 405 kn - composante horizontale F total,h = F s + F a1 + F a2 = ,5 = 85 kn La résultante est inclinée sur la verticale d un angle α tel que tan α = 85/405, d où α = 11,2 degrés. L excentrement de la charge correspond au point de la base de la semelle du mur par rapport auquel le moment des forces appliquées au mur est nul. Nous le calculerons avec les notations de la figure 6. Le point cherché est à la distance x du bout de la semelle. Cette position n influence pas les moments des forces horizontales. W s W b2 W b1 F s F a1 F a2 Figure 6. Notations pour le calcul de l excentrement Moments des forces horizontales : M(F s )+ M(F a1 )+M(F a2 ) = 145 kn.m. Moment des forces verticales : M(W s )+M(W b1 )+M(W b2 ) = 285(3,5-x)+60(2,5-x)+60(1,75-x) = 1252,5 405x (kn/m) L équilibre se traduit par la condition : 145 = 1252,5 405 x, d où x = (1252,5-145)/405 = 3,09 m. La résultante est donc excentrée de 59 m par rapport au centre de la semelle du mur (vers l amont du mur). La largeur de calcul de la semelle doit être réduite de 1,18m, d où B =3,82m. x ENPC Mécanique des sols et des roches Contrôle de connaissances 2 8/2/2010 Corrigé page 3/6

4 Nous pouvons maintenant calculer la portance du sol sous la semelle, encastrée de 50 cm dans le sol argileux, sous le toit de la nappe. La capacité portante du sol sous une semelle filante, dans le cas d une charge centrée inclinée de 11,6 degrés, et encastrée de 5m dans le sol, le tout placé dans une nappe à 5m de profondeur, est donnée par la formule : q = c' N i + q' N i + 5γ' B' N i max c c q q γ γ avec c =10, ϕ = 24 degrés, q = 4,5, γ = 9, B = 2,5m, et N c (24 degrés) = 19, N γ (24 degrés) = 8, N q (24 degrés) = 1 I γ = {1-[85/(405+3,82.10.cotan24)]} 3 = 6 ; I q = 7 ; I c = /19 = 7 On obtient : q max = , , = 247. Cette pression correspond à la composante verticale de la charge. Elle doit donc être comparée à 405/3,82 = 106. Le rapport de la résistance à la charge doit être de l ordre de 2,5 ou 3. Cette condition est vérifiée. 4. La stabilité du mur au glissement est vérifiée en comparant la résultante des forces de poussée (F total,h = 85 kn) à la force tangentielle de frottement mobilisable, soit F h,max = c L+[F total,v -ul] tan ϕ = 10.5+(405-25) tan 24 = 219 kn. Le mur est stable par rapport au mécanisme de glissement. 5. Le mur est correctement dimensionné vis-à-vis du sol (il reste à vérifier sa structure en béton armé). Partie 3. Stabilité d un rideau de soutènement 1. Étude de la stabilité du rideau a. Calcul des efforts horizontaux sur le rideau On fait le calcul aux points indiqués sur la figure 1, pour utiliser ensuite la linéarité des variations de ces contraintes dans chaque couche homogène. Les points de calcul sont indiqués sur la figure 1. Il n y a pas d écoulement sous le rideau (parce que le rideau va jusqu au substratum). On peut établir le tableau de contraintes suivant (tableau 1). A Sable γ = 19 kn/m 3 c = 0 ϕ = 36 degrés Argile γ = 17 kn/m 3 c = 5 ϕ = 26 degrés 5 m B s B a E Argile 5 m γ = 17 kn/m 3 c = 5 5 m ϕ = 26 degrés C D Substratum rocheux imperméable Figure 1. Définition des points de calcul des contraintes horizontales de poussée et butée b. Forces de poussée et de butée sur le rideau On peut déduire des valeurs des contraintes calculées dans le tableau 1 les forces de poussée et butée et leur point d application le long du rideau. Les forces sont définies sur la figure 2. Leurs valeurs sont données dans le tableau 2. ENPC Mécanique des sols et des roches Contrôle de connaissances 2 8/2/2010 Corrigé page 4/6

5 Tableau 1. Calcul des contraintes horizontales de poussée et de butée Point z m σ v u σ' v c ϕ degrés K a K p -2c K a 2c K p σ' h σ h A B s ,7 61,7 B a ,25-11,3 61,3 C ,25-24, D , ,6 155,6 E , poussée σ h () ,7 61,3 F 1 butée σ h () 16 F 2 F 4 F 3 F ,6 Figure 2. Valeurs des contraintes horizontales de poussée et butée et forces correspondantes Tableau 2. Valeurs et niveau d application des forces de poussée et de butée Force Valeur de la force (kn/m) Altitude z i (m) F 1 F 1 = 5.61,7.5 = 154,25 6,67 F 2 F 2 = 61,3.5 = 306,5 2,5 F 3 F 3 = 5(125-61,3)5 = 159,25 1,67 F 4 F 4 = 16.5 = 80 2,5 F 5 F 5 = 5(155,6-16)5 = 349 1,67 c. Vérification d équilibre - forces horizontales : à gauche F 1 +F 2 +F 3 = 620 kn/m à droite F 4 +F 5 = 429 kn/m ; - moments/base du rideau à gauche F 1 z 1 + F 2 z 2 + F 3 z 3 = 2061 kn.m/m à droite F 4 z 4 + F 5 z 5 = 783 kn.m/m. La stabilité n est pas assurée. d. Comment assurer l équilibre du rideau? On peut soit encastrer le pied du rideau solidement dans le substratum, qui aura l inconvénient d augmenter le moment fléchissant au changement de matériau (rocher/argile) soit placer une nappe de tirants dans le sable pour créer un appui en tête. 2. Le réseau d écoulement dans la partie du site où existe une couche perméable sous l argile correspond, compte tenu de la faible perméabilité de l argile, à deux écoulements verticaux séparés, de part et d autre du rideau. Suivant que la charge hydraulique correspond à la charge à gauche ou à droite du rideau, ou bien à une autre valeur, on aura un écoulement ascendant ou descendant dans l argile (ou pas d écoulement). Nous allons traiter le cas où la nappe des graviers correspond à la partie droite du schéma (le sable a été apporté derrière le rideau et une nappe s y est établie). Dans ce cas, le massif à droite du rideau est en équilibre hydrostatique et le massif à gauche du rideau est le siège d un écoulement descendant. On peut admettre que la perméabilité du sable est suffisamment grande pour que la charge hydraulique reste constante dans le sable. La différence de charge entre le haut et le bas de la couche d argile est de 5m. Cette différence de charge ENPC Mécanique des sols et des roches Contrôle de connaissances 2 8/2/2010 Corrigé page 5/6

6 crée un gradient hydraulique descendant dans l argile, augmentant les contraintes effectives. On peut refaire les calculs précédents en modifiant les pressions interstitielles dans l argile à gauche du rideau. On obtient (tableau 3) : Tableau 3. Calcul des contraintes horizontales de poussée et de butée (écoulement à droite) Point z m σ v u σ' v c ϕ degrés K a K p -2c K a 2c K p σ' h σ h A Bs ,7 61,7 Ba ,25-11,3 61,3 C ,25-44,45 94,5 D , ,6 155,6 E , b. Forces de poussée et de butée sur le rideau On peut déduire des valeurs des contraintes calculées dans le tableau 3 les forces de poussée et butée et leur point d application le long du rideau. Les forces sont définies sur la figure 3. Leurs valeurs sont données dans le tableau 4. poussée σ h () ,7 61,3 F 1 butée σ h () 16 F 2 F 4 F 3 F 5 94,5 155,6 Figure 3. Valeurs des contraintes horizontales de poussée et butée et forces correspondantes Tableau 4. Valeurs et niveau d application des forces de poussée et de butée Force Valeur de la force (kn/m) Altitude z i (m) F 1 F 1 = 5.61,7.5 = 154,25 6,67 F 2 F 2 = 61,3.5 = 306,5 2,5 F 3 F 3 = 5(94,5-61,3)5 = 83 1,67 F 4 F 4 = 16.5 = 80 2,5 F 5 F 5 = 5(155,6-16)5 = 349 1,67 c. Vérification d équilibre - forces horizontales : à gauche F 1 +F 2 +F 3 = 544kN/m à droite F 4 +F 5 = 429 kn/m ; - moments/base du rideau à gauche F 1 z 1 + F 2 z 2 + F 3 z 3 = 1934 kn.m/m à droite F 4 z 4 + F 5 z 5 = 783 kn.m/m. La stabilité n est pas assurée. d. Comment assurer l équilibre du rideau? On peut soit encastrer le pied du rideau dans le substratum, ce qui aura pour effet de ramener le problème à une situation voisine du cas précédent, soit placer une nappe de tirants dans le sable pour créer un appui en tête, soit supprimer les pressions d eau derrière le rideau, si c est possible. ENPC Mécanique des sols et des roches Contrôle de connaissances 2 8/2/2010 Corrigé page 6/6